contas GA

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- C) \(2x^2 + 3x + C\) 
 - D) \(x^2 + 3x^2 + C\) 
 **Resposta: A) \(x^2 + 3x + C\)** 
 **Explicação:** A integral é \(\int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C\). 
 
38. **Qual é o valor de \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan(x) \, dx\)?** 
 - A) \(\ln(1 + \tan(\frac{\pi}{2}))\) 
 - B) \(\ln(2)\) 
 - C) \(\infty\) 
 - D) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Resposta: C) \(\infty\)** 
 **Explicação:** A integral diverge, pois \(\tan(x)\) se aproxima de \(\infty\) quando \(x\) 
se aproxima de \(\frac{\pi}{2}\). 
 
39. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2}\)?** 
 - A) 0 
 - B) \(-\frac{9}{2}\) 
 - C) 1 
 - D) \(-\frac{3}{2}\) 
 **Resposta: B) \(-\frac{9}{2}\)** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \(\lim_{x \to 0} \frac{-3\sin(3x)}{2x} = -
\frac{9}{2}\). 
 
40. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sin(x^2)\)?** 
 - A) \(2x \cos(x^2)\) 
 - B) \(\cos(x^2)\) 
 - C) \(2\sin(x^2)\) 
 - D) \(\sin(x^2)\) 
 **Resposta: A) \(2x \cos(x^2)\)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x\). 
 
41. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{1}{5}\) 
 - B) \(\frac{1}{4}\) 
 - C) \(\frac{1}{3}\) 
 - D) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta: D) \(\frac{1}{2}\)** 
 **Explicação:** A integral é \(\int (4x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = x^4 - x^3 + x^2 + C\). Avaliando 
de 0 a 1, obtemos \(\frac{1}{2}\). 
 
42. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x}\)?** 
 - A) 0 
 - B) 2 
 - C) \(\infty\) 
 - D) Não existe 
 **Resposta: B) 2** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \(\lim_{x \to 0} \frac{2/(1 + 2x)}{1} = 2\). 
 
43. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^5\)?** 
 - A) \(5x^4\) 
 - B) \(x^4\) 
 - C) \(x^5\) 
 - D) \(5x^5\) 
 **Resposta: A) \(5x^4\)** 
 **Explicação:** A derivada de \(x^n\) é \(nx^{n-1}\). 
 
44. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (1 - x^3) \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{1}{2}\) 
 - B) \(\frac{3}{4}\) 
 - C) \(\frac{2}{3}\) 
 - D) \(\frac{1}{4}\) 
 **Resposta: C) \(\frac{3}{4}\)** 
 **Explicação:** A integral é \(\int (1 - x^3) \, dx = x - \frac{x^4}{4} + C\). Avaliando de 0 a 1, 
obtemos \(\frac{3}{4}\). 
 
45. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) \(\infty\) 
 **Resposta: C) 2** 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 2\). 
 
46. **Qual é a integral de \(\int (5x^4 - 2) \, dx\)?** 
 - A) \(x^5 - 2x + C\) 
 - B) \(5x^5 - 2x + C\) 
 - C) \(\frac{5}{5}x^5 - 2x + C\) 
 - D) \(5x^4 - 2x + C\) 
 **Resposta: A) \(x^5 - 2x + C\)** 
 **Explicação:** A integral é \(\int (5x^4 - 2) \, dx = x^5 - 2x + C\). 
 
47. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx\)?** 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) \(\frac{7}{3}\) 
 - D) \(\frac{5}{3}\) 
 **Resposta: B) 2** 
 **Explicação:** A integral é \(\int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C\). 
Avaliando de 0 a 1, obtemos 2. 
 
48. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x}{2x^2 + 1}\)?** 
 - A) 2 
 - B) 3 
 - C) 1 
 - D) 0