contas EV

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- A) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 
 - B) \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) 
 - C) \(2\sqrt{x}\) 
 - D) \(\sqrt{x}\) 
 **Resposta: A) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)** 
 **Explicação:** A derivada de \(x^{1/2}\) é \(\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). 
 
27. **Qual é o valor de \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{e - 1}{2}\) 
 - B) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\) 
 - C) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) 
 - D) \(e - 1\) 
 **Resposta: C) \(\frac{1}{2}(e - 1)\)** 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\). A integral se 
torna \(\frac{1}{2} \int e^u \, du\). 
 
28. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\)?** 
 - A) 0 
 - B) 5 
 - C) 1 
 - D) 10 
 **Resposta: B) 5** 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 5\). 
 
29. **Qual é o valor de \(\int_0^{\pi} \sin^3(x) \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{3\pi}{4}\) 
 - B) \(\frac{2\pi}{3}\) 
 - C) \(\frac{4}{3}\) 
 - D) \(\frac{2\pi}{4}\) 
 **Resposta: A) \(\frac{3\pi}{4}\)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x))\) e integramos. 
 
30. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\)?** 
 - A) 0 
 - B) 3 
 - C) 1 
 - D) 6 
 **Resposta: B) 3** 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 3\). 
 
31. **Qual é a integral de \(\int (4x^3 - 2x) \, dx\)?** 
 - A) \(x^4 - x^2 + C\) 
 - B) \(x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C\) 
 - C) \(4x^4 - x^2 + C\) 
 - D) \(2x^4 - x^2 + C\) 
 **Resposta: A) \(x^4 - x^2 + C\)** 
 **Explicação:** A integral é \(\int (4x^3 - 2x) \, dx = x^4 - x^2 + C\). 
 
32. **Qual é o valor de \(\int_1^2 \frac{1}{x} \, dx\)?** 
 - A) \(\ln(2)\) 
 - B) \(\ln(2) - \ln(1)\) 
 - C) \(\ln(1)\) 
 - D) \(\ln(2) + 1\) 
 **Resposta: B) \(\ln(2) - \ln(1)\)** 
 **Explicação:** A integral é \(\ln|x| + C\). Avaliando de 1 a 2, obtemos \(\ln(2) - \ln(1) = 
\ln(2)\). 
 
33. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}\)?** 
 - A) 0 
 - B) 2 
 - C) \(\infty\) 
 - D) Não existe 
 **Resposta: B) 2** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \(\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2\). 
 
34. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^3)\)?** 
 - A) \(\frac{3}{x}\) 
 - B) \(\frac{1}{3x^2}\) 
 - C) \(\frac{1}{x^3}\) 
 - D) \(\frac{3x^2}{x^3}\) 
 **Resposta: A) \(\frac{3}{x}\)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{3}{x}\). 
 
35. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\)?** 
 - A) 0 
 - B) \(\frac{1}{3}\) 
 - C) 1 
 - D) \(\frac{1}{5}\) 
 **Resposta: A) 0** 
 **Explicação:** A integral é \(\int (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x + 
C\). Avaliando de 0 a 1, obtemos 0. 
 
36. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) Não existe 
 **Resposta: C) 2** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital ou fatoramos: \(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 
1\). Avaliando em \(x = 1\), obtemos 2. 
 
37. **Qual é a integral de \(\int (2x + 3) \, dx\)?** 
 - A) \(x^2 + 3x + C\) 
 - B) \(x^2 + 3 + C\)