Utilize a integração numérica para obter um valor aproximado para a integral da função f(x)=x^2+3 no intervalo [1, 3] considerando n=10 e retângulos à direita. Sabendo que o valor exato desta integral é 44/3, calcule o erro relativo da aproximação em relação ao valor exato.

Question

Utilize a integração numérica para obter um valor aproximado para a integral da função f(x)=x^2+3 no intervalo [1, 3] considerando n=10 e retângulo...

Ed · Answer

Vamos resolver passo a passo:

1. Dados:
- Função: $ f(x) = x^2 + 3 $
- Intervalo: $[1, 3]$
- Número de subintervalos: $ n = 10 $
- Método: Retângulos à direita
- Valor exato da integral: $ \frac{44}{3} \approx 14,6667 $

2. Calcular o tamanho do subintervalo:
$$
\Delta x = \frac{3 - 1}{10} = \frac{2}{10} = 0,2
$$

3. Pontos de avaliação (direita):
$$
x_i = 1 + i \cdot \Delta x, \quad i = 1, 2, ..., 10
$$
Ou seja:
$$
x_1 = 1,2; \quad x_2 = 1,4; \quad x_3 = 1,6; \quad x_4 = 1,8; \quad x_5 = 2,0; \quad x_6 = 2,2; \quad x_7 = 2,4; \quad x_8 = 2,6; \quad x_9 = 2,8; \quad x_{10} = 3,0
$$

4. Calcular $ f(x_i) $ para cada $ x_i $:
$$
f(1,2) = (1,2)^2 + 3 = 1,44 + 3 = 4,44
$$
$$
f(1,4) = 1,96 + 3 = 4,96
$$
$$
f(1,6) = 2,56 + 3 = 5,56
$$
$$
f(1,8) = 3,24 + 3 = 6,24
$$
$$
f(2,0) = 4 + 3 = 7
$$
$$
f(2,2) = 4,84 + 3 = 7,84
$$
$$
f(2,4) = 5,76 + 3 = 8,76
$$
$$
f(2,6) = 6,76 + 3 = 9,76
$$
$$
f(2,8) = 7,84 + 3 = 10,84
$$
$$
f(3,0) = 9 + 3 = 12
$$

5. Calcular a soma dos retângulos:
$$
S = \Delta x \cdot \sum_{i=1}^{10} f(x_i) = 0,2 \times (4,44 + 4,96 + 5,56 + 6,24 + 7 + 7,84 + 8,76 + 9,76 + 10,84 + 12)
$$

Somando os valores:
$$
4,44 + 4,96 = 9,4
$$
$$
9,4 + 5,56 = 14,96
$$
$$
14,96 + 6,24 = 21,2
$$
$$
21,2 + 7 = 28,2
$$
$$
28,2 + 7,84 = 36,04
$$
$$
36,04 + 8,76 = 44,8
$$
$$
44,8 + 9,76 = 54,56
$$
$$
54,56 + 10,84 = 65,4
$$
$$
65,4 + 12 = 77,4
$$

Então:
$$
S = 0,2 \times 77,4 = 15,48
$$

6. Calcular o erro relativo:
$$
\text{Erro relativo} = \frac{|S - \text{valor exato}|}{\text{valor exato}} = \frac{|15,48 - 14,6667|}{14,6667} = \frac{0,8133}{14,6667} \approx 0,0555 \quad (5,55\%)
$$

**Resposta final:**

- Aproximação da integral pelo método dos retângulos à direita com $ n=10 $: **15,48**
- Erro relativo em relação ao valor exato: **5,55%**

Cálculo Numérico

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