geometria da faculdade estacio EXFLL

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12. **Qual é o valor de \(\frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x))\)?** 
 a) \(\frac{1}{1+x^2}\) 
 b) \(\frac{x}{1+x^2}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2}\) 
 d) \(\frac{1}{\tan(x)}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{1+x^2}\) 
 **Explicação:** A derivada da função inversa \(\tan^{-1}(x)\) é dada por 
\(\frac{1}{1+x^2}\). 
 
13. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{6}\) 
 d) \(\frac{2}{3}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{4}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + x\). Avaliando de 0 a 1, obtemos 
\(\left(\frac{1}{2} - 1 + 1\right) - 0 = \frac{1}{4}\). 
 
14. **Qual é o valor de \(\int \cos^2(x) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 b) \(\frac{1}{2}x + C\) 
 c) \(\sin(x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{2}\sin(2x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). Assim, \(\int 
\cos^2(x) \, dx = \frac{1}{2}\int dx + \frac{1}{2}\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}x + 
\frac{1}{4}\sin(2x) + C\). 
 
15. **Qual é o valor da integral \(\int_1^2 (x^2 + 2x + 1) \, dx\)?** 
 a) 5 
 b) 6 
 c) 7 
 d) 8 
 **Resposta:** b) 6 
 **Explicação:** A primitiva é \(\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x\). Avaliando de 1 a 2, temos: 
\(\left(\frac{8}{3} + 4 + 2\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 + 1\right) = 6\). 
 
16. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 6 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \(\lim_{x \to 0} 
\frac{3\sec^2(3x)}{1} = 3\sec^2(0) = 3\). 
 
17. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)?** 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{1}{2x + 1}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x\). 
 
18. **Qual é o valor de \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\). Assim, 
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - 0\right) = \frac{\pi}{4}\). 
 
19. **Qual é o valor de \(\int e^{x} \cos(e^{x}) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{2} e^{x} \sin(e^{x}) + C\) 
 b) \(-e^{x} \sin(e^{x}) + C\) 
 c) \(e^{x} \sin(e^{x}) + C\) 
 d) \(-\frac{1}{2} e^{x} \sin(e^{x}) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2} e^{x} \sin(e^{x}) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = e^{x}\), então \(du = e^{x}dx\). A integral se 
torna \(\int \cos(u) \, du\), que resulta em \(\sin(u) + C\). 
 
20. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) Não existe 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** O limite se simplifica para \(\lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)\). 
Sabemos que \(\sin\) oscila entre -1 e 1, então o limite é 0. 
 
21. **Qual é a integral \(\int (3x^2 - 5) \, dx\)?** 
 a) \(x^3 - 5x + C\) 
 b) \(x^3 - 5 + C\) 
 c) \(3x^3 - 5x + C\) 
 d) \(3x^3 - 5 + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^3 - 5x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\int 3x^2 \, dx - \int 5 \, dx = x^3 - 5x + C\). 
 
22. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{5}\) 
 b) \(\frac{1}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{12}\) 
 **Resposta:** c) \(\frac{1}{6}\)