184_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Claramente, o método de eliminação de Gauss também funciona para sistemas homogêneos.
Na verdade, ele fornece um modo de escrever as soluções de modo conveniente, que será
necessário mais adiante.
Resolva o seguinte sistema homogêneo:
x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0
−x1 + 2x2 + x4 = 0
2x1 − 4x2 + x3 = 0
e expresse as soluções como somas de múltiplos escalares de soluções específicas.
A matriz completa é reduzida da seguinte maneira:
⎡
⎢
⎢
⎣
1 −2 1 1 0
−1 2 0 1 0
2 −4 1 0 0
⎤
⎥
⎥
⎦
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 −2 1 1 0
0 0 1 2 0
0 0 −1 −2 0
⎤
⎥
⎥
⎦
→
⎡
⎢
⎢
⎣
1 −2 0 −1 0
0 0 1 2 0
0 0 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎦
Por essa razão, as variáveis dependentes são x1 e x3, e as variáveis livres x2 e x4 tornam-se
parâmetros: x2 = s e x4 = t. Assim, as equações no sistema final determinam as variáveis
dependentes em termos dos parâmetros:
x1 = 2s + t and x3 = −2t
Isso significa que a solução geral é X = [2s + t s − 2t t]T. A nova idéia agora é separar
esse resultado em parcelas, de modo que em cada uma apareça apenas um dos parâmetros
s ou t:
X =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2s + t
s
−2t
t
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2s
s
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
t
0
−2t
t
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= s
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2
1
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+ t
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
−2
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Assim, X1 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2
1
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
e X2 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
−2
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
são soluções particulares, e a solução geral X tem
a forma X = sX1 + tX2.
As soluções particulares X1 e X2 no Exemplo 2 são chamadas soluções básicas do sistema
homogêneo. Elas têm a propriedade que toda solução X é da forma
X = sX1 + tX2 onde s e t são números arbitrários.
Esse fato acontece em todo sistema homogêneo.
Para descrever a situação geral, a seguinte terminologia será útil: se X1, X2, · · · , Xk são
colunas, uma expressão da forma 
s1X1 + s2X2 + . . . + skXk onde s1, s2, · · · , sk são números arbitários 
é chamada combinação linear das colunas X1, X2, · · · , Xk. Dado qualquer sistema de
equações lineares homogêneo, um cálculo como o feito no Exemplo 2 resulta na expressão
de toda solução do sistema como uma combinação linear de certas soluções particulares.
Essas soluções particulares são chamadas soluções básicas produzidas pelo algoritmo de
Gauss. (É claro que o sistema pode ter apenas a solução trivial; nesse caso, dizemos que o
sistema não tem soluções básicas.)
S O L U Ç Ã O
Exemplo 2
1.3.2 Soluções Básicas
C A P Í T U L O 1 Equações Lineares e Matrizes22
e
Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd 31.08.56 11:20 AM Page 22
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ÁLGEBRA LINEAR
Marcelo Maximiliano Danesi