259_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Logo, podemos escrever x1 e x2 em função das demais variáveis:
x2 = 4x3 + 5x4 – 3x5
x1 = 2x3 + 3x4 – 2x5
e v→ como a soma de 3 vetores, cada um dependendo de apenas uma das variáveis 
livres:
v→ = (2x3 + 3x4 – 2x5,4x3 + 5x4 – 3x5,x3,x4,x5) =
= (2x3,4x3,x3,0,0) + (3x4,5x4,0,x4,0) + (–2x5,–3x5,0,0,x5)
= x3 ∙ (2,4,1,0,0) + x4 ∙ (3,5,0,1,0) + x5 ∙ (–2,–3,0,0,1)
Portanto, qualquer v→∈G é uma combinação linear de:
v1 = (2,4,1,0,0)
v2 = (3,5,0,1,0)
v3 = (–2,–3,0,0,1)
E { v→1, v
→
2, v
→
3} é uma base do subespaço vetorial G de dimensão 3 em ℝ5.
Bases em conjuntos e sua dimensão
Vamos retomar alguns conceitos e analisar com cuidado como identificar se 
um conjunto dado é uma base para um subespaço. Existem vários conceitos 
implícitos nesse objetivo.
Mencionamos anteriormente que nem todo conjunto de vetores é uma base. 
Por definição, isso ocorre sempre que um conjunto de vetores é linearmente 
dependente. Num conjunto de vetores linearmente dependente, não consegui-
mos determinar a dimensão do gerado desse conjunto ou uma representação 
única levando em consideração esse conjunto de vetores.
Espaço vetorial ℝn: base e dimensão14
Em ℝ5, considere o conjunto de vetores:
C = {(2,0,–3,1,–4), (0,1,1,–2,2), (2,2,–1,–3,0),(2,3,0,–5,2)}
e veja que:
a) C é linearmente dependente;
b) podemos determinar um subconjunto de C que é linearmente independente e 
que gera o mesmo subespaço que C.
Solução:
a) Por definição, { v→1, v
→
2, v
→
3, v
→
4} é linearmente independente, se:
α1 . v
→
1 + ... + αn . v→n = 0
→
admite apenas a solução trivial (α1,α2,α3,α4) = (0,0,0,0). Quando aplicamos esse critério 
aos vetores dados, temos:
2
0
–3
1
–4
((
0
1
1
–2
2
((
2
2
–1
–3
0
((
2
3
0
–5
2
((
0
0
0
0
0
((α1 ∙ + α2 ∙ + α3 ∙ + α4 ∙ = 
Essa igualdade pode ser escrita na forma matricial:
 2 0 2 2
 0 1 2 3
–3 1 –1 0
 1 –2 –3 –5
–4 2 0 2
∙ =
a1
a2
a3
a4
( (
0
0
0
0
0
( (
que resolveremos usando a matriz aumentada e eliminação gaussiana (ANTON; 
RORRES, 2012, p. 11). Assim, em:
 2 0 2 2 0
 0 1 2 3 0
–3 1 –1 0 0
 1 –2 –3 –5 0
–4 2 0 2 0
15Espaço vetorial ℝn: base e dimensão
Multiplicamos a primeira linha por 1/2 e a quinta linha por –1/2:
 1 0 1 1 0
 0 1 2 3 0
–3 1 –1 0 0
 1 –2 –3 –5 0
 2 –1 0 –1 0
Somamos 3 vezes a primeira linha à terceira,–1 vez a primeira linha à quarta e–2 
vezes a primeira linha à quinta:
1 0 1 1 0
0 1 2 3 0
0 1 2 3 0
0 –2 –4 –6 0
0 –1 –2 –3 0
Somamos -1 vez a segunda linha à terceira, 2 vezes a segunda linha à quarta e a 
primeira linha à quinta:
1 0 1 1 0
0 1 2 3 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Nesse momento, podemos analisar que α3 e α4 são variáveis livres do sistema. Isso 
significa que existem infinitas combinações (α1,α2,α3,α4) que resultam no vetor nulo. 
Portanto, C é linearmente dependente.
b) Podemos verificar que, se:
v→1 = (2,0,–3,1,–4)
v→2 = (0,1,1,–2,2)
v→3 = (2,2,–1,–3,0)
v→4 = (2,3,0,–5,2)
então v→4 = v→1 + 3v→2 e v→3 = v→1 + 2v→2. Isso nos permite afirmar que B = { v→1, v
→
2} é uma 
base do gerado de C. Isso ocorre por percebermos que todos os vetores de C são 
obtidos por combinações de apenas dois vetores não múltiplos e, portanto, linearmente 
independentes. Assim, quaisquer dois vetores não múltiplos no gerado de C formam 
uma base do gerado de C.
Espaço vetorial ℝn: base e dimensão16