292_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Prévia do material em texto

Agora, calculamos os cofatores:
1 1
0 2
C11 = (–1)1+1 M11
C11 = 1 
C11 = 1 × [2]
C11 = 2
e
1 1
3 0
C31 = (–1)1+3 M13
C31 = 1 
C31 = 1 × [–3]
C31 = –3
Segue que:
det(A) = 2 + 2 × (–3) = –4
Um ponto a ser destacado é que a expansão pode ser feita a partir de 
qualquer uma das linhas. Não existe nenhuma restrição, mas, a fim de reduzir 
o número de cálculos, é comum escolher a linha com a maior quantidade de
zeros. Veja o seguinte exemplo.
Considere a matriz H =
1 0 0
3 2 1
3 1 1
. Pode-se calcular o seu determinante fazendo a 
expansão em cofatores a partir da linha 1, tendo em mente que essa é a linha que tem 
a maior quantidade de elementos nulos.
Utilizando a fórmula de expansão, obtemos:
det(H) = a11C11 + a12C12 + a13C13
det(H) = 1C11 + 0C12 + 0C13
det(H) = C11
Perceba que, como a linha tem dois elementos nulos, o cálculo do determinante 
reduziu-se ao de um determinante de ordem 2 × 2.
5Determinantes e autovalores
2 1
1 1
C11 = (–1)1+1 M11
C11 = 1 
C11 = 1 × [2 – 1]
C11 = 1
Portanto, det(H) = C11 = 1.
A seguir, apresentamos algumas das propriedades mais importantes do 
determinante de uma matriz, que podem ser de muita utilidade no cálculo de 
determinantes.
 � P1: o determinante da matriz nula é igual a zero.
 � P2: o determinante da matriz identidade In×n é igual a um.
 � P3: o determinante é uma função linear de cada linha — isto é, se
multiplicarmos uma linha por k, o determinante da matriz é multipli-
cado por k. 
� P4: se duas linhas (ou colunas) da matriz são iguais, ou múltiplo 
não nula uma da outra, o determinante da matriz é igual a zero.
� P5: se uma das linhas (ou colunas) for formada apenas por elementos 
nulos, o determinante da matriz é igual a zero.
� P6: se a matriz for triangular ou diagonal, o determinante é igual ao 
produto dos elementos da diagonal da matriz.
� P7: Se B = Bnxn, então det ( B) = n.det(B)
Considere a matriz A =
1 2 3
2 4 6
3 0 2
. Pode-se calcular o seu determinante fazendo uso 
das propriedades do determinante. Observe que a linha 2 é múltipla da linha 1. De 
forma mais precisa, L2 = 2L1. Portanto, o determinante da matriz é igual a zero.
Veja, agora, um exemplo sobre matrizes triangulares.
Determinantes e autovalores6
Considere a matriz A =
7 0 0
2 –1 0
1 1 –4
. Pode-se calcular o seu determinante fazendo uso 
das propriedades do determinante. Observe que a matriz é do tipo triangular superior. 
Logo, seu determinante é igual ao produto dos elementos em sua diagonal. Portanto:
det(A) = 7 × (–1) × (–4) = 28 
Como dito anteriormente, a expansão em cofatores pode ser utilizada para 
matrizes de qualquer dimensão, não apenas 2 × 2 ou 3 × 3. Veja um exemplo 
disso a seguir.
Considere a matriz A =
1 0 0 5
1 2 4 1
3 0 0 0
1 1 0 0
. Pode-se calcular o seu determinante fazendo 
uso da fórmula de expansão em cofatores. Para tal, a escolha da terceira linha da 
matriz pode ser uma boa opção, tendo em vista que é a que contém mais elementos 
nulos. Obtém-se:
det(A) = a31C31 + a32C32 + a33C33 + a34C34
det(A) = a31C31 + 0C32 + 0C33 + 0C34
det(A) = a31C31
det(A) = 3C31
Resta calcular o cofator C31. Nesse caso:
C31 = –20
C31 = (–1)3+1 ×
0 0 5
2 4 1
1 0 0
C31 = 1 × 1 (–1)3+1 × 0 5
4 1
Segue que det(A) = 3 × (–20) = –60.
7Determinantes e autovalores