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Determinantes e Autovalores Apresentação O determinante de uma matriz de números reais é um número real. Este, como você verá, carrega importantes informações sobre a matriz ou o sistema a ela associado. O cálculo desse determinante pode ser realizado de maneira simples, porém a quantidade de operações aumenta rapidamente à medida que cresce o número de variáveis do sistema. A álgebra linear consiste em área matemática responsável por fornecer ferramentas de significativa importância em suas modernas aplicações computacionais. Ela está presente desde os aplicativos de GPS até os sofisticados serviços de inteligência artificial. Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que esteja familiarizado com os seguintes tópicos: produto de matrizes, sistemas lineares e matrizes e resolução de sistemas lineares. Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar os determinantes e suas propriedades, além de verificar como encontrar a matriz inversa com o uso de determinantes e saber de que modo relacionar autovalores com o processo de diagonalização de matrizes. Bons estudos. Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Definir determinantes e algumas de suas propriedades. • Encontrar a matriz inversa com o uso de determinantes. • Relacionar autovalores com o processo de diagonalização de matrizes. • Infográfico O método dos cofatores é um dos que você vai aprender nesta Unidade a fim de calcular determinantes. Ele permite calcular determinantes para matrizes de tamanhos arbitrários. Contudo, à medida que a dimensão da matriz aumenta, também cresce o número de cálculos necessários. A seguir, veja quais são os cálculos envolvidos na expansão em cofatores. Conteúdo do livro A álgebra linear desenvolveu-se em contexto de acelerado desenvolvimento dos mecanismos tecnológicos, especialmente dos computadores. Ela fornece ferramentas que têm papel central na solução de sistemas lineares de altíssima complexidade, como os sistemas de controle em aplicações industriais ou mesmo no manejo de grande quantidade de dados no mercado financeiro. Leia o capítulo Determinantes e autovalores, da obra Álgebra linear, e aprenda a calcular determinantes e suas propriedades. Saiba também como utilizá-los no cálculo de matrizes inversas e na diagonalização de matrizes. Boa leitura. ÁLGEBRA LINEAR Silvano Antonio Alves Pereira Junior Determinantes e autovalores Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: � Definir determinantes e algumas de suas propriedades. � Encontrar a matriz inversa com o uso de determinantes. � Relacionar autovalores com o processo de diagonalização de matrizes. Introdução Neste capítulo, você estudará um pouco mais sobre matrizes, que têm aplicações nos mais variados locais — desde a planilha de Excel ao pro- cesso de gerenciamento de estoques, ou mesmo o controle de complexos sistemas de produção. Nesse contexto, o determinante é uma poderosa ferramenta, um invariante numérico de uma matriz que pode auxiliar a obter preciosas informações sobre a matriz e, até mesmo, o sistema associado a ela. Você também será apresentado às ferramentas utilizadas no processo de diagonalização de uma matriz, como autovetores, autovalores e po- linômios característicos. Determinantes e suas propriedades O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Antes de introduzir sua definição precisa, apresentaremos alguns exemplos de casos particulares, que podem ajudar na compreensão do caso geral. Seguiremos uma linha semelhante à apresentada em Nicholson (2006). Caso 2 × 2 Consideremos a seguinte matriz: O determinante da matriz A será denotado por det(A) e pode ser calculado da seguinte maneira: det(A) = (2 × 1) – (3 × 1) = 2 – 3 = –1 como, em resumo, o produto dos elementos da diagonal principal (a da esquerda para a direita) menos o produto dos elementos da diagonal secundária (a da direita para a esquerda). Essa propriedade é válida para matrizes dois por dois em geral, isto é, você poderá utilizar a seguinte fórmula: Se , então det(A) = (a × d) – (c × b) Para calcular o determinante da matriz B = 1 1 2 2 . Você deverá proceder da seguinte maneira: det(B) = (1 × 2) – (2 × 1) = 2 – 2 = 0 Um fato importante para se considerar em matrizes, de maneira geral, é que uma matriz quadrada An×n é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Assim, os exemplos anteriormente apresentados são de uma matriz invertível — a matriz A — e da matriz B , que não possui inversa. Para matrizes 2 × 2, cujo determinante seja não nulo, podemos ainda trabalhar com a seguinte fórmula: tem como inversar a matriz Determinantes e autovalores2 Caso 3 × 3 Para matrizes de tamanho 3 × 3, você poderá calcular o determinante utilizando determinantes menores e cofatores. Definição: se A é uma matriz quadrada, então, o menor relacionado à entrada aij (também denominado ij-ésimo menor de A) é denotado por Mij e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. O número Cij = (–1) i+jMij é denominado cofator da entrada aij (ou o ij-ésimo cofator). Considere a matriz A = 1 0 2 1 1 1 3 0 2 . O cálculo para C31 pode ser realizado da seguinte maneira. Sabe-se que C31 = (–1) 3+1M31 e que o menor M31 é o determinante da matriz que obtemos após eliminar a linha 3 e a coluna 1 da matriz A. Ou seja: M = = 0 × 1 – 1 × 2 = –2 0 2 1 1 Portanto: C31 = (–1) 3+1M31 C31 = (–1) 4(–2) C31 = 1(–2) C31 = –2 A partir dos cofatores, podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada An×n , utilizando a expansão do determinante em cofatores. 3Determinantes e autovalores Expansão em cofatores Seja An×n uma matriz quadrada de números reais, a expansão em cofatores do determinante da matriz An×n a partir da k-ésima linha é dada por: det(A) = ak1Ck1 + ak2Ck2 + ak3Ck3 + … + aknCkn É muito importante estar alerta ao termo (–1)i+j, pois um erro de sinal nessa parte do cálculo é muito comum. Para evitar que isso aconteça, lembre-se de que o resultado dessa conta depende da paridade de i + j. Se i + j for par, o resultado será igual a 1; se i + j for ímpar, o resultado será igual a –1. Essa fórmula permite calcular o determinante de matrizes de qualquer tamanho, mas observe que o número de operações cresce de maneira muito rápida. O determinante de uma matriz 3 × 3 implica três determinantes de matrizes 2 × 2 na sua expansão em cofatores. Já o determinante de uma matriz 4 × 4 implica quatro determinantes de matrizes 3 × 3, sendo que cada um desses implica três determinantes de matrizes 2 × 2, gerando um total de 12 determinantes 2 × 2. Vejamos um exemplo do cálculo de determinantes utilizando a expansão em cofatores. Considere novamente a matriz A = 1 0 2 1 1 1 3 0 2 . Vamos calcular o seu determinante, fazendo a expansão em cofatores a partir da linha 1. Temos: det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 det(A) = 1C11 + 0C12 + 2C13 det(A) = C11 + 2C13 Determinantes e autovalores4 Agora, calculamos os cofatores: 1 1 0 2 C11 = (–1) 1+1 M11 C11 = 1 C11 = 1 × [2] C11 = 2 e 1 1 3 0 C31 = (–1) 1+3 M13 C31 = 1 C31 = 1 × [–3] C31 = –3 Segue que: det(A) = 2 + 2 × (–3) = –4 Um ponto a ser destacado é que a expansão pode ser feita a partir de qualquer uma das linhas. Não existe nenhuma restrição, mas, a fim de reduzir o número de cálculos, é comum escolher a linha com a maior quantidade de zeros. Veja o seguinte exemplo. Considere a matriz H = 1 0 0 3 2 1 3 1 1 . Pode-se calcular o seu determinante fazendo a expansão em cofatores a partir da linha 1, tendo em mente que essa é a linha que tem a maior quantidade de elementos nulos. Utilizando a fórmula de expansão, obtemos: det(H) = a11C11 + a12C12 + a13C13 det(H) = 1C11 + 0C12 + 0C13 det(H) = C11 Perceba que, como a linha tem dois elementos nulos, o cálculodo determinante reduziu-se ao de um determinante de ordem 2 × 2. 5Determinantes e autovalores 2 1 1 1 C11 = (–1) 1+1 M11 C11 = 1 C11 = 1 × [2 – 1] C11 = 1 Portanto, det(H) = C11 = 1. A seguir, apresentamos algumas das propriedades mais importantes do determinante de uma matriz, que podem ser de muita utilidade no cálculo de determinantes. � P1: o determinante da matriz nula é igual a zero. � P2: o determinante da matriz identidade In×n é igual a um. � P3: o determinante é uma função linear de cada linha — isto é, se multiplicarmos uma linha por k, o determinante da matriz é multipli- cado por k. � P4: se duas linhas (ou colunas) da matriz são iguais, ou múltiplo não nula uma da outra, o determinante da matriz é igual a zero. � P5: se uma das linhas (ou colunas) for formada apenas por elementos nulos, o determinante da matriz é igual a zero. � P6: se a matriz for triangular ou diagonal, o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal da matriz. � P7: Se B = Bnxn, então det ( B) = n.det(B) Considere a matriz A = 1 2 3 2 4 6 3 0 2 . Pode-se calcular o seu determinante fazendo uso das propriedades do determinante. Observe que a linha 2 é múltipla da linha 1. De forma mais precisa, L2 = 2L1. Portanto, o determinante da matriz é igual a zero. Veja, agora, um exemplo sobre matrizes triangulares. Determinantes e autovalores6 Considere a matriz A = 7 0 0 2 –1 0 1 1 –4 . Pode-se calcular o seu determinante fazendo uso das propriedades do determinante. Observe que a matriz é do tipo triangular superior. Logo, seu determinante é igual ao produto dos elementos em sua diagonal. Portanto: det(A) = 7 × (–1) × (–4) = 28 Como dito anteriormente, a expansão em cofatores pode ser utilizada para matrizes de qualquer dimensão, não apenas 2 × 2 ou 3 × 3. Veja um exemplo disso a seguir. Considere a matriz A = 1 0 0 5 1 2 4 1 3 0 0 0 1 1 0 0 . Pode-se calcular o seu determinante fazendo uso da fórmula de expansão em cofatores. Para tal, a escolha da terceira linha da matriz pode ser uma boa opção, tendo em vista que é a que contém mais elementos nulos. Obtém-se: det(A) = a31C31 + a32C32 + a33C33 + a34C34 det(A) = a31C31 + 0C32 + 0C33 + 0C34 det(A) = a31C31 det(A) = 3C31 Resta calcular o cofator C31. Nesse caso: C31 = –20 C31 = (–1) 3+1 × 0 0 5 2 4 1 1 0 0 C31 = 1 × 1 (–1) 3+1 × 0 5 4 1 Segue que det(A) = 3 × (–20) = –60. 7Determinantes e autovalores Matriz inversa Na seção anterior, você aprendeu que uma matriz possui inversa se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Além disso, você também aprendeu a calcular a matriz inversa de uma matriz 2 × 2, utilizando o determinante. Agora, verá como utilizar a fórmula de expansão em cofatores para encon- trar a inversa de uma matriz quadrada de qualquer dimensão. Para tal, você precisará do seguinte resultado. Teorema: seja A3×3 uma matriz cujo determinante é diferente de zero, e então sua matriz inversa A–1 pode ser calculada desta forma: Em palavras, a matriz inversa de A é igual ao inverso do determinante de A multiplicado à transposta da matriz de cofatores de A. O resultado foi enunciado no caso 3 × 3, para facilitar a compreensão, mas pode ser utilizado para matrizes de qualquer dimensão. Veja um exemplo da aplicação desse resultado. Considere a matriz A = 1 0 3 0 1 0 0 0 2 , do tipo triangular inferior. Portanto, seu determinante é igual ao produto dos elementos em sua diagonal. Segue que det(A) = 1 × (1) × (2) = 2. Portanto, pode-se aplicar o resultado anterior a essa matriz. Agora, basta montar a transposta da matriz de cofatores para encontrar a inversa: C11 C21 C31 C12 C22 C32 C13 C23 C33 = 2 0 –3 0 2 0 0 0 1 Determinantes e autovalores8 A matriz inversa de A tem a seguinte forma: A–1 = 1 2 2 0 –3 0 2 0 0 0 1 A–1 = 1 0 –3/2 0 1 0 0 0 1/2 Uma simples multiplicação das matrizes é suficiente para verificar que A × A–1 = I3×3. Um importante resultado sobre matrizes inversas é enunciado a seguir. Teorema: dada uma matriz An×n, as afirmações listadas a seguir são equivalentes. 1. An×n é invertível. 2. det(A) ≠ 0. 3. As n linhas de An×n são linearmente independentes. Veja um exemplo da aplicação desse resultado. Considere a matriz A = 1 1 0 0 1 0 1 0 2 . Como decidir se ela é invertível ou não? Podemos utilizar qualquer um dos itens da equivalência apresentada. Escolhemos, então, a mais comum: o valor do determinante. Usaremos a expansão em cofatores a partir da segunda linha. Por que? Porque essa é a linha com a maior quantidade de elementos nulos. Obtemos: det(A) = a21C21 + a22C22 + a23C23 det(A) = 0C21 + 1C22 + 0C23 det(A) = C22 9Determinantes e autovalores O cálculo do cofator C22 pode ser feito da seguinte maneira: C22 = (–1) 2+2 × 1 0 1 2 1 0 1 2 C22 = 1 × C22 = 1 Logo: det(A) = 1 ≠ 0 Portanto, a matriz A é invertível. Outro fato importante sobre matrizes inversas é que elas são fortemente relacionadas aos sistemas lineares. Considere um sistema de equações lineares homogêneo, cuja forma matricial seja: Ax = 0 Fato: o sistema linear homogêneo anterior tem apenas a solução trivial se, e somente se, a matriz A é invertível. Esse fato nos fornece uma maneira simples e prática de verificar se a solução trivial (vetor nulo) é a única de um sistema linear homogêneo. É comum o erro de, em vez de se utilizar a matriz transposta da matriz de cofatores, se tomar a própria matriz de cofatores. Concluímos esta seção com uma importante relação entre o determinante de uma matriz e o determinante de sua inversa. Determinantes e autovalores10 Teorema: seja An×n uma matriz invertível, então: Veja, a seguir, um exemplo de aplicação desse resultado. Considere a matriz A = 23 0 0 2 1 0 1 1 1 . Qual é o determinante de A–1? Sabemos que A é uma matriz triangular inferior. Logo, segundo as propriedades do determinante, ele é igual ao produto dos elementos em sua diagonal. Ou seja: det(A) = 23 Portanto, aplicando o teorema anterior, obtém-se: det(A–1) = 1 23 Observe que a exigência de o determinante ser diferente de zero, A invertível é necessária, uma vez que não se pode ter divisão por zero. Autovalores e diagonalização de matrizes Nesta seção, você verá como calcular os autovalores de uma matriz e como utilizá-los no processo de diagonalização de matrizes, essencial na resolução de sistemas lineares. Um número λ ≠ 0 é um autovalor de uma matriz An×n, se existe algum vetor v, tal que: Av = λv 11Determinantes e autovalores Em palavras, λ é um autovalor de An×n, se existir um vetor v , tal que, ao aplicarmos An×n sobre v obtemos λv. Nesse caso, a operação de aplicar uma transformação linear foi capsulada no produto por um número. Diremos, também, que v é um autovetor de An×n associado ao autovalor λ. Isso é equivalente a dizer que λ é um autovalor de An×n, se existir solução para o sistema linear homogêneo (A – λI)v = 0. Outra maneira de procurar pelos autovalores de uma matriz é por meio do polinômio característico. Dada uma matriz An×n, seu polinômio característico é definido por: p(λ) = det(A – Iλ) Dada a matriz A = 2 0 0 3 1 0 1 –2 2 , que é do tipo triangular superior, pode-se encontrar o polinômio característico da seguinte maneira: p(λ) = det(A – Iλ) p(λ) = (2 – λ)2(1 – λ) p(λ) = 2 – λ 0 0 3 1 – λ 0 1 –2 2 – λ Segue que os autovalores de A são λ1 = 1 e λ2 = 2, este último com multiplicidade 2, isto é, λ2 = 2 é uma raiz dupla do polinômio característico. Observe, ainda, que, conhecidos os autovalores, se pode resolver os sistemas lineares associados e encontrar os autovetores. Agora, você verá um resultado apresentado por Nicholson (2006), que nos permite relacionar autovalores e autovetores com o processo de diagonalização de matrizes. Determinantes e autovalores12 Teorema: seja An×n uma matriz, então: 1. a é diagonalizável se, e somente se, ela possui autovetores x1, x2, ..., xn, tais que a matriz P = [x1,x2, ..., xn] é invertível; 2. quando esse for o caso, temos PAP–1 = diag(λ1, λ2, ..., λn), onde λi é o autovalor associado ao autovetor xi. Como aplicação desse resultado, veja o seguinte exemplo. O problema consiste em procurar, caso exista, a forma diagonalizada da matriz: A = 2 0 0 –3 0 0 0 1 0 O polinômio característico dessa matriz tem a seguinte forma: p(λ) = (2 – λ)(λ – 1)(1 + λ) Existem, portanto, três autovalores diferentes, como requer o teorema. A saber λ1 = 2, λ2 = 1 e λ3 = –1 associados, respectivamente, aos seguintes autovetores: v1 = –1 2 1 v2 = 0 1 1 v3 = 0 1 –1 Segue que a matriz P tem a seguinte forma: P = –1 0 0 2 1 1 1 1 –1 Para verificar o resultado, basta realizar: –1 0 0 2 1 1 1 1 –1 2 0 0 –3 0 0 0 1 0 –1 0 0 2 1 1 1 1 –1 = 2 0 0 0 1 0 0 0 –1 O fato de termos P = P–1 foi apenas uma coincidência, não é uma regra. 13Determinantes e autovalores Você encontrará exercícios e vídeos de boa qualidade com excelente conteúdo na Khan Academy, disponível no link a seguir. https://qrgo.page.link/htszk Veja um último exemplo sobre a diagonalização de matrizes. Dada a matriz: H = 3 0 0 0 2 0 –1 0 7 Deve-se encontrar sua forma diagonal D. Para tal, começa-se encontrando o poli- nômio característico da matriz. Observe, ainda, que essa matriz é do tipo triangular superior. Portanto: p(λ) = (3 – λ)(2 – λ)(7 – λ) Pode-se concluir que D tem a seguinte representação: D = 3 0 0 0 2 0 0 0 7 Um último resultado, extremamente interessante e relacionado ao polinômio característico de uma matriz, é o Teorema de Cayley-Hamilton. Esse resultado, atribuído aos matemáticos Arthur Cayley e William Hamilton, diz que uma matriz An×n é um zero de seu próprio polinômio característico. De maneira mais precisa, quer dizer o seguinte. Determinantes e autovalores14 Teorema (Cayley-Hamilton): considere a matriz An×n. Se p(λ) é o polinômio característico da matriz An×n, então: p(A) = 0 Esse teorema fornece um excelente teste para verificar se o cálculo do polinômio característico foi efetuado de maneira correta. ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2006. 612 p. NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006. 394 p. Leitura recomendada LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra linear: mais de 600 exercícios resolvidos. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. 434 p. (Coleção Schaum). 15Determinantes e autovalores Dica do professor Quando o determinante de uma matriz de ordem 3 x 3 é calculado pela expansão em cofatores, caso não exista linha com um ou mais elementos nulos, pode ser necessário calcular 3 determinantes de ordem 2 x 2. Mas, assim como para matrizes 2 x 2, também existe uma regra especial para as 3 x 3. Na sequência, veja como calcular o determinante de uma matriz de tamanho 3 x 3 por meio da regra de Sarrus, simples, mas aplicável apenas nessa situação. Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar. https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/09010071bf55632277baa26b8ca925d6 Saiba + Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor: Khan Academy Etapa crucial no desenvolvimento de um estudante de ciências exatas é a prática dos conhecimentos adquiridos. O site Khan Academy fornece excelentes exercícios e problemas com resolução. Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar. Programa de iniciação científica: Introdução à Álgebra Linear (2018) Para quem deseja se aprofundar um pouco mais sobre o assunto, excelente opção são vídeos do curso de Introdução à Álgebra Linear do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar. Determinantes No texto a seguir, preparado pela professora Marcia Ruggiero, saiba mais sobre determinantes. Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar. https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix-transformations#inverse-of-matrices https://www.youtube.com/embed/-SU5GH4kBtE https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/determinantes.html Lista de exercícios Para aprender determinantes e autovalores, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões. Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar. http://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/1977690028/ExercciosExtras.pdf?v=1527917429
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