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Soluc¸o˜es dos exerc´ıcios de Ana´lise do livro de Elon Lages Lima:Curso de ana´lise vol.1. Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡ 13 de agosto de 2012 1 Suma´rio 1 Soluc¸o˜es-Curso de ana´lise vol.1 7 1.1 Notac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Cap´ıtulo 2-Conjuntos finitos, Enumera´veis e na˜o-enumera´veis . . . . . . . . 8 1.2.1 Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.5 Questa˜o 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.6 Questa˜o 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.7 questa˜o 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.8 Questa˜o 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.9 Questa˜o 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.10 Questa˜o 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.11 Questa˜o 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.12 Questa˜o 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.13 Questa˜o 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.14 Questa˜o 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.15 Questa˜o 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.16 Questa˜o 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.17 Questa˜o 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.18 Questa˜o 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.19 Questa˜o 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.20 Questa˜o 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.21 Questa˜o 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 SUMA´RIO 3 1.2.22 Questa˜o 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.23 Questa˜o 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.24 Questa˜o 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.25 Questa˜o 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.26 Questa˜o 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3 Cap´ıtulo 3 -Nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.1 Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.2 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.4 Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.5 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.6 Questa˜o 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.7 Questa˜o 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.8 Questa˜o 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.9 Questa˜o 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.10 Questa˜o 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.11 Questa˜o 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.12 Questa˜o 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.13 Questa˜o 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3.14 Questa˜o 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.3.15 Questa˜o 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.3.16 Questa˜o 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.3.17 Questa˜o 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3.18 Questa˜o 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3.19 Questa˜o 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.3.20 Questa˜o 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.3.21 Questa˜o 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.3.22 Questa˜o 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.3.23 Questa˜o 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.24 Questa˜o 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.25 Questa˜o 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.26 Questa˜o 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.3.27 Questa˜o 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 SUMA´RIO 4 1.3.28 Questa˜o 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3.29 Questa˜o 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3.30 Questa˜o 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3.31 Questa˜o 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.3.32 Questa˜o 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.3.33 Questa˜o 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.3.34 Questa˜o 35 e 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.3.35 Questa˜o 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.3.36 Questa˜o 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.3.37 Questa˜o 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.3.38 Questa˜o 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.3.39 Questa˜o 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.3.40 Questa˜o 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.3.41 Questa˜o 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.3.42 Questa˜o 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.3.43 Questa˜o 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.3.44 Questa˜o 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.3.45 Questa˜o 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.3.46 Questa˜o 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.3.47 Questa˜o 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.3.48 Questa˜o 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.3.49 Questa˜o 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.4 Cap´ıtulo 4-Sequeˆncias e se´ries de nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.4.1 Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.4.2 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.4.3 Questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.4.4 Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.4.5 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.4.6 Questa˜o 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.4.7 Questa˜o 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.4.8 Questa˜o 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.4.9 Questa˜o 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.4.10 Questa˜o 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 SUMA´RIO 5 1.4.11 Questa˜o 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.4.12 Questa˜o 11a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 63 1.4.13 Questa˜o 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.4.14 Questa˜o 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.4.15 Questa˜o 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.4.16 Questa˜o 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.4.17 Questa˜o 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.4.18 Questa˜o 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.4.19 Questa˜o 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.4.20 Questa˜o 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.4.21 Questa˜o 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1.4.22 Questa˜o 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.4.23 Questa˜o 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.4.24 Questa˜o 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1.4.25 Questa˜o 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.4.26 Questa˜o 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.4.27 Questa˜o 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.4.28 Questa˜o 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.5 Cap´ıtulo 5-Topologia da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.5.1 Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.5.2 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.5.3 questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1.5.4 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.5 intA ∪ intB ⊂ int(A ∪B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.6 int(A ∩B) = int(A) ∩ int(B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.7 Questa˜o 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.8 Questo˜es 7 e 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.5.9 Questa˜o 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.5.10 Questa˜o 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.5.11 Questa˜o 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.5.12 Questa˜o 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.5.13 Questa˜o 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.5.14 Questa˜o 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 SUMA´RIO 6 1.5.15 Questa˜o 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.5.16 Questa˜o 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.5.17 Questa˜o 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.6 Cap´ıtulo 8-Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.6.1 Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.6.2 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.6.3 Questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.6.4 Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.6.5 Questa˜o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1.7 Cap´ıtulo 8-Sequeˆncias e se´ries de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Cap´ıtulo 1 Soluc¸o˜es-Curso de ana´lise vol.1 Esse texto ainda na˜o se encontra na sua versa˜o final, sendo, por enquanto, cons- titu´ıdo apenas de anotac¸o˜es informais. Sugesto˜es para melhoria do texto, correc¸o˜es da parte matema´tica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email rodrigo.uff.math@gmail.com. Se houver alguma soluc¸a˜o errada, se quiser contribuir com uma soluc¸a˜o diferente ou ajudar com uma soluc¸a˜o que na˜o consta no texto, tambe´m pec¸o que ajude enviando a soluc¸a˜o ou sugesta˜o para o email acima, colocarei no texto o nome da pessoa que tenha ajudado com alguma soluc¸a˜o. Espero que esse texto possa ajudar alguns alunos que estudam ana´lise pelo livro do Elon. 1.1 Notac¸o˜es Denotamos (xn) uma sequeˆncia (x1, x2, · · · ). Uma n upla (x1, x2, · · · , xn) podemos denotar como (xk) n 1 . O conjunto de valores de adereˆncia de uma sequeˆncia (xn) iremos denotar como A[xn]. Usaremos a abreviac¸a˜o PBO para princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o. Denotamos f(x+ 1)− f(x) = ∆f(x). Usando a notac¸a˜o Qxn = xn+1 xn . 7 CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 8 1.2 Cap´ıtulo 2-Conjuntos finitos, Enumera´veis e na˜o- enumera´veis 1.2.1 Questa˜o 1 Axioma 1. Existe uma func¸a˜o s : N → N injetiva, chamada de func¸a˜o sucessor, o nu´mero natural s(n) e´ chamado sucessor de n. Corola´rio 1. Como s e´ uma func¸a˜o, enta˜o o sucessor de um nu´mero natural e´ u´nico, isto e´, um nu´mero natural possui apenas um sucessor. Axioma 2. Existe um u´nico nu´mero natural que na˜o e´ sucessor de nenhum outro natural, esse nu´mero simbolizamos por 1. Axioma 3 (Axioma da induc¸a˜o). Dado um conjunto A ⊂ N , se 1 ∈ A e ∀n ∈ A tem-se s(n) ∈ A enta˜o A = N. Propriedade 1. Supondo os axiomas 1 e 2 enta˜o o axioma 3 e´ equivalente a proposic¸a˜o: Para todo subconjunto na˜o vazio A ⊂ N tem-se A \ S(A) 6= ∅. Demonstrac¸a˜o. ⇒). Supondo o axioma (3) va´lido. Suponha por absurdo que exista A 6= ∅, A ⊂ N tal que A\S(A) = ∅ enta˜o A ⊂ S(A), isto e´, ∀ x ∈ A existe y ∈ A tal que x = s(y). Sabemos que 1 /∈ A, pois se na˜o 1 ∈ A \ S(A). Se n /∈ A, vamos mostrar que s(n) /∈ A. Se fosse s(n) ∈ A, chegar´ıamos em uma contradic¸a˜o com A ⊂ S(A), pois deveria haver y ∈ A tal que s(y) = s(n) e por injetividade seguiria y = n ∈ A, o que contraria a hipo´tese, logo S(n) /∈ A, A e´ vazio pois na˜o conte´m nenhum nu´mero natural, mas consideramos que A na˜o e´ vazio como hipo´tese, absurdo!. ⇐). Pelo axioma 2 temos que 1 e´ o u´nico elemento de N \ S(N), pelo axioma 1 temos que S(N) ⊂ N da´ı temos N = {1} ∪ S(N) o que implica 1 ∈ A, ∀ n ∈ N s(n) ∈ A⇔ A = N. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 9 1.2.2 Questa˜o 2 Propriedade 2. Dados m e n naturais enta˜o existe x natural tal que x.n > m. Demonstrac¸a˜o. Vale n ≥ 1 da´ı multiplicando por m+1 segue (m+1)n ≥ m+1 > m logo (m+ 1)n > n. 1.2.3 Questa˜o 3 Propriedade 3. Seja n0 ∈ N . Se A ⊂ N tal que n0 ∈ A e n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A enta˜o todo x ∈ N com x ≥ a pertence a` A. Demonstrac¸a˜o. Se a = 1 nada temos a fazer pois A = N . Se a > 1 enta˜o a = b+1 e´ sucessor de b. Vamos mostrar que b+n ∈ A ∀ n ∈ N. Sabemos que b+1 ∈ A. Supondo que b+n ∈ A enta˜o b+(n+1) ∈ A da´ı por induc¸a˜o segue que b+n ∈ A ∀ n ∈ N. Lembrando que x > b significa que existe p natural tal que b + p = x, como b + p ∈ A ∀p ∈ N enta˜o x ∈ A. Outro fato que usamos e´ que se x > b enta˜o x ≥ b+ 1 = a pois na˜o existe natural entre b e b+ 1, b ∈ N . 1.2.4 Questa˜o 5 Definic¸a˜o 1 (Antecessor). m ∈ N e´ antecessor de n ∈ N quando m < n mas na˜o existe c ∈ N tal que m < c < n. Propriedade 4. 1 na˜o possui antecessor e qualquer outro nu´mero natural possui ante- cessor. Demonstrac¸a˜o. Na˜o vale m < 1 para algum natural m, logo 1 na˜o possui antecessor. Agora para todo outro n ∈ N vale n > 1 logo existe p ∈ N tal que p+1 = n, vamos mostrar que p = m e´ o antecessor de n. Vale p < p + 1, logo a primeira condic¸a˜o e´ satisfeita, a segunda condic¸a˜o tambe´m e´ satisfeita pois na˜o existe c ∈ N tal que p < c < p+1. Vamos mostrar agora que existe um u´nico antecessor. Suponha existeˆncia de dois antecessores m e m′ distintos enta˜o existe um deles que e´ o maior, digamos m′, da´ı m < m′ e m′ < n por transitividade segue m < m′ < n o que contraria a definic¸a˜o de antecessor, enta˜o existe um u´nico. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 10 1.2.5 Questa˜o 6 Questa˜o 6 a) Propriedade 5. Mostrar que n∑ k=1 k = n(n+ 1) 2 . Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobren. Para n = 1 a igualdade vale pois 1∑ k=1 k = 1 = 1(2) 2 . Supondo a validade para n n∑ k=1 k = n(n+ 1) 2 vamos provar para n+ 1 n+1∑ k=1 k = (n+ 1)(n+ 2) 2 . Por definic¸a˜o de somato´rio temos n+1∑ k=1 k = (n+ 1) + n∑ k=1 k = (n+ 1) + n(n+ 1) 2 = (n+ 1)(1 + n 2 ) = (n+ 1)(n+ 2) 2 onde usamos a hipo´tese da induc¸a˜o . Questa˜o 6 b) Propriedade 6. Mostrar que n∑ k=1 (2k − 1) = n2. Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n. Para n = 1 temos 1∑ k=1 (2k − 1) = 2.1− 1 = 1 = 12. supondo a validade para n, n∑ k=1 (2k − 1) = n2 vamos provar para n+ 1 n+1∑ k=1 (2k − 1) = (n+ 1)2. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 11 Usando a definic¸a˜o de somato´rio e hipo´tese da induc¸a˜o tem-se n+1∑ k=1 (2k − 1) = n∑ k=1 (2k − 1) + 2n+ 1 = n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)2 . Questa˜o 6 c) Exemplo 1. Mostrar por induc¸a˜o que (a− 1) n∑ k=0 ak = an+1 − 1. Para n = 1 temos (a− 1) 1∑ k=0 ak = (a− 1)(a+ 1) = a2 − 1. Supondo que (a − 1) n∑ k=0 ak = an+1 − 1 vamos provar que (a − 1) n+1∑ k=0 ak = an+2 − 1. Por definic¸a˜o de somato´rio e pela hipo´tese da induc¸a˜o temos (a− 1) n+1∑ k=0 ak = (a− 1)an+1 + (a− 1) n∑ k=0 ak = an+2 − an+1 + an+1 − 1 = an+2 − 1 . Questa˜o 6 d) Exemplo 2. Mostre que se n ≥ 4 enta˜o n! > 2n. Para n = 4 vale 4! = 24 > 24 = 16. Suponha validade para n , n! > 2n, vamos provar para n+ 1, (n+ 1)! > 2n+1. Multiplicando n! > 2n por n+ 1 de ambos lados segue que (n+ 1)! > (n+ 1)︸ ︷︷ ︸ >2 2n > 2.2n = 2n+1 . 1.2.6 Questa˜o 7 Propriedade 7 (Unicidade da fatorac¸a˜o em primos). Seja n ∈ N, n > 1. Se n = m∏ k=1 pk = s∏ k=1 qk onde cada pk e qk sa˜o primos, na˜o necessariamente distintos enta˜o m = s e pk = qk∀ k , apo´s, se necessa´rio, uma renomeac¸a˜o dos termos. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 12 Demonstrac¸a˜o. Vamos provar usando o segundo princ´ıpio da induc¸a˜o, para n = 2 a propriedade vale. Suponha a validade para todo t < n vamos provar que nessas condic¸o˜es vale para n. n = pm m−1∏ k=1 pk = qs s−1∏ k=1 qk pm divide o produto s∏ k=1 qk enta˜o deve dividir um dos fatores, por exemplo qs (se na˜o, renomeamos os termos), como pm|qs enta˜o pm = qs pm m−1∏ k=1 pk = pm s−1∏ k=1 qk ⇒ m−1∏ k=1 pk = s−1∏ k=1 qk = n0 < n como n0 e´ menor que n, usamos a hipo´tese da induc¸a˜o, que implica m−1 = s−1, qk = pk de k = 1 ate´ m− 1, da´ı segue que m = n e qk = pk de k = 1 ate´ m. 1.2.7 questa˜o 8 Propriedade 8. Sejam A e B conjuntos com n elementos, enta˜o o nu´mero de bijec¸o˜es de f : A→ B e´ n! Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1, tem-se uma func¸a˜o A = {a1} e B = {b1}, f : A→ B tal que f(a1) = b1. Supondo a validade para conjuntos com n elementos, vamos provar que vale para conjuntos com n+1 elementos. Tomando A = {ak, k ∈ In+1} e B = {bk, ∈ In+ 1}, dado s ∈ In+1, fixamos as bijec¸o˜es f com f(a1) = bs da´ı a quantidade dessas func¸o˜es e´ dada pela quantidade de bijec¸o˜es de A \ {a1} em B \ {bs}, que e´ n! para cada s variando de 1 ate´ n+ 1, o total enta˜o e´ (n+ 1)n! = (n+ 1)!. Corola´rio 2. O mesmo vale se A = B. 1.2.8 Questa˜o 9 Questa˜o a) Propriedade 9. Se A e B sa˜o finitos e disjuntos com |A| = n e |B| = m enta˜o A ∪ B e´ finito com |A ∪B| = m+ n. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 13 Demonstrac¸a˜o. Existem bijec¸o˜es f : In → A, g : Im → B. Definimos h : Im+n → A ∪ B como h(x) = f(x) se 1 ≤ x ≤ n e h(x) = g(x − n) se 1 + n ≤ x ≤ m + n (1 ≤ x− n ≤ m), como h e´ bijec¸a˜o segue o resultado. Propriedade 10. Se A e B sa˜o conjuntos finitos na˜o necessariamente disjuntos vale a relac¸a˜o |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|. Demonstrac¸a˜o. Escrevemos A como a unia˜o disjunta A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), da´ı |A| − |A ∩B| = |A \B| agora escrevemos A ∪B = (A \B) ∪B, unia˜o disjunta logo |A ∪B| = |A \B|+ |B| usando a primeira expressa˜o segue que |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|. Propriedade 11. Se A e B sa˜o conjuntos finitos na˜o necessariamente disjuntos vale a relac¸a˜o |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|. Demonstrac¸a˜o. Escrevemos A como a unia˜o disjunta A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), da´ı |A| − |A ∩B| = |A \B| agora escrevemos A ∪B = (A \B) ∪B, unia˜o disjunta logo |A ∪B| = |A \B|+ |B| usando a primeira expressa˜o segue que |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|. Questa˜o b) Corola´rio 3. Podemos deduzir a identidade para treˆs conjuntos |A ∪B ∪ C|, tomamos B′ = B ∪ C e aplicamos o resultado para dois conjuntos |A ∪B ∪ C| = |A|+ |B ∪ C| − |A ∩ [B ∪ C]| = CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 14 = |A|+|B|+|C|−|B∩C|−|[A∩B]∪[A∩C]| = |A|+|B|+|C|−|B∩C|−|A∩B|−|A∩C|+|A∩B∩C| logo |A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |B ∩ C| − |A ∩B| − |A ∩ C|+ |A ∩B ∩ C| Questa˜o c) Propriedade 12 (Princ´ıpio da inclusa˜o- exclusa˜o). Sejam n conjuntos finitos (Ak) n 1 , seja I o multiconjunto das combinac¸o˜es das intersec¸o˜es desses n conjuntos, enta˜o | n⋃ k=1 Ak| = ∑ K∈I |K|(−1)nk onde onde nk e´ o nu´mero de intersec¸o˜es em K. 1.2.9 Questa˜o 10 Propriedade 13. Seja A finito. Existe uma bijec¸a˜o g : In → A para algum n, pois A e´ finito, a func¸a˜o f : A→ A e´ injetiva ou sobrejetiva ⇔ g−1 ◦ f ◦ g : In → In e´ injetiva ou sobrejetiva, respectivamente. Demonstrac¸a˜o. ⇒). Se f e´ injetiva ou sobrejetiva enta˜o g−1 ◦ f ◦ g : In → In e´ injetiva ou sobrejetiva, por ser composic¸a˜o de func¸o˜es com essas propriedades. ⇐). Seja g−1 ◦ f ◦ g : In → In sobrejetiva vamos mostrar que f tambe´m e´ sobrejetiva. Dado y ∈ A vamos mostrar que existe x ∈ A tal que f(x) = y. Como g : In → A e´ sobrejetiva enta˜o existe x1 ∈ In tal que g(x1) = y e pelo fato de g−1 ◦ f ◦ g ser sobrejetiva enta˜o existe x2 ∈ In tal que g−1(f(g(x2))) = x1 = g−1(y) como g−1 e´ injetiva segue que f(g(x2)) = y logo f e´ sobrejetiva. Se g−1 ◦ f ◦ g e´ injetiva enta˜o f e´ injetiva. Sejam x, y quaisquer em A, existem x1, x2 ∈ In tais que g(x1) = x, g(x2) = y. Vamos mostrar que se f(x) = f(y) enta˜o x = y. Se f(x) = f(y) enta˜o f(g(x1)) = f(g(x2)) e g −1(f(g(x1))) = g−1(f(g(x2))) com g−1 ◦ f ◦ g segue que x1 = x2 que implica g(x1) = g(x2), isto e´, x = y. Propriedade 14. Seja A um conjunto finito. f : A→ A e´ injetiva ⇔ e´ sobrejetiva. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 15 Demonstrac¸a˜o. ⇒). Consideramos o caso f : In → In, se f for injetiva enta˜o f : In → f(In) e´ uma bijec¸a˜o com f(In) ⊂ In. fn na˜o pode ser parte pro´pria de In pois se na˜o f−1(In) → In seria bijec¸a˜o de um conjunto com sua parte pro´pria, logo f(In) = In e f : In → In e´ bijec¸a˜o. ⇐). Se f for sobrejetiva enta˜o para cada y ∈ In (imagem) podemos escolher x ∈ In (domı´nio) tal que f(x) = y e da´ı definir g : In → In tal que g(y) = x, g e´ injetiva, pois f e´ func¸a˜o, logo pelo resultado ja´ mostrado g e´ bijetora, implicando que f tambe´m e´. 1.2.10 Questa˜o 11 Propriedade 15 (Princ´ıpio das gavetas de Dirichlet- Ou princ´ıpio da casas dos pombos.). Se temos m conjuntos (Ak) m 1 e n elementos n > m, com n∑ k=1 |Ak| = n enta˜o existe At em (Ak) m 1 tal que |At| > 1. Esse resultado diz que se temos n elementos e m conjuntos tais que n > m enta˜o deve haver um conjunto com pelo menos 2 elementos. Demonstrac¸a˜o. Supondo que |Ak| ≤ 1 ∀ k enta˜o aplicando a soma n∑ k=1 em ambos lados dessa desigualdade temos n = n∑ k=1 |Ak| ≤ m⇒ n ≤ m o que contraria a hipo´tese de n > m ,portanto deve valer |At| > 1 para algum t ∈ In. 1.2.11 Questa˜o 12 Propriedade 16. Seja A um conjunto com n elementos, enta˜o o nu´mero de func¸o˜es injetivas f : Ip → A e´ p−1∏ k=0 (n− k). Demonstrac¸a˜o. Se p > n o resultado vale pois na˜o existe func¸a˜o injetiva de f : Ip → A, pois se na˜o f : Ip → f(A) seria bijec¸a˜o e f(A) ⊂ A da´ı A iria possuir um subconjunto com p elementos que e´ maior que o nu´mero de elementos de A, o que e´ absurdo. Iremos provar o resultado para outros valores de p ≤ n. Para p = 1 temos n func¸o˜es, que sa˜o f1(1) = a1, f2(1) = a2, · · · , fn(1) = an. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 16 Suponha que para Ip temos p−1∏ k=0 (n − k) func¸o˜es que sa˜o injetivas, vamos mostrar que para Ip+1 temos p∏k=0 (n − k) func¸o˜es. Seja o conjunto das func¸o˜es f : Ip+1 → A injetivas, podemos pensar o conjunto das f restritas a` Ip tendo p−1∏ k=0 (n− k) func¸o˜es, por hipo´tese da induc¸a˜o , agora podemos definir essas func¸o˜es no ponto p+1, onde temos n− p escolhas, para cada uma dessas escolhas temos p−1∏ k=0 (n − k) func¸o˜es, portanto temos um total de (n− p) p−1∏ k=0 (n− k) = p∏ k=0 (n− k) func¸o˜es. 1.2.12 Questa˜o 13 Propriedade 17. Se X possui n elementos enta˜o tal conjunto possui ( n p ) subconjuntos com p elementos. Demonstrac¸a˜o. Vamos provar por induc¸a˜o sobre n e p livre. Para n = 0 ele so´ possui um subconjunto com 0 elementos ( 0 0 ) = 1 e para outros valores de p > 0 ∈ N vale ( 0 p ) = 0. Suponha que para um conjunto qualquer A com n elementos, temos ( n p ) subconjuntos, agora podemos obter um conjunto com n + 1 elementos, adicionando um novo elemento {an+1}, continuamos a contar os ( n p ) subconjuntos que contamos com elementos de A e podemos formar mais subconjuntos com p elementos adicionando o ponto {an+1} aos conjuntos com p− 1 elementos, que por hipo´tese da induc¸a˜o temos ( n p− 1 ) , enta˜o temos no total ( n p− 1 ) + ( n p ) = ( n+ 1 p ) pela identidade de Stifel, como quer´ıamos demonstrar. 1.2.13 Questa˜o 14 Propriedade 18. Seja |A| = n enta˜o |P (A)| = 2n. Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n, se n = 1, enta˜o A = {a1} possui dois subcon- juntos que sa˜o ∅ e {α1}. Suponha que qualquer conjunto qualquer B com n elementos tenha |P (B)| = 2n, vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementos implica CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 17 |P (C)| = 2n+1. Tomamos um elemento a ∈ C, C \ {a} possui 2n subconjuntos (por hipo´tese da induc¸a˜o), sk de k = 1 ate´ k = 2 n, que tambe´m sa˜o subconjuntos de C, pore´m podemos formar mais 2n subconjuntos de C com a unia˜o do elemento {a}, logo no total temos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto, pois na˜o temos nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados. 1.2.14 Questa˜o 15 Exemplo 3. Existe g : N → N sobrejetiva tal que g−1(n) e´ infinito para cada n ∈ N . Seja f : N → N definida como f(n) = k se n e´ da forma n = pαkk onde pk e´ o k-e´simo nu´mero primo e f(n) = n caso contra´rio, f e´ sobrejetiva e existem infinitos n ∈ N tais que f(n) = k para cada k natural. 1.2.15 Questa˜o 16 Propriedade 19. Pn = {A ⊂ N | |A| = n} e´ enumera´vel. Demonstrac¸a˜o. Definimos a func¸a˜o f : Pn → Nn da seguinte maneira: Dado A = {x1 < x2 < · · · < xn}, f(A) = (x1, · · · , xn). Tal func¸a˜o e´ injetiva pois dados A = {xk, k ∈ In} e B = {yk, k ∈ In} na˜o pode valer xk = yk para todo k, pois se na˜o os conjuntos seriam iguais. Se trocamos N por outro conjunto X enumera´vel o resultado tambe´m vale, basta definir uma func¸a˜o f : Pn → Xn e g : X → N injetiva, enumeramos um subconjunto finito qualquer com n elementos A ⊂ X como A = {x1, · · · , xn} onde g(x1) < g(x2) < · · · < g(xn) e definimos f(A) = (x1, · · · , xn). Corola´rio 4. o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N e´ enumera´vel pois Pf = ∞⋃ k=1 Pk e´ unia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis. O mesmo vale trocando N por um conjunto enumera´vel qualquer A. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 18 1.2.16 Questa˜o 17 Propriedade 20. X e´ finito ⇔ existe f : X → X que so´ admite subconjuntos esta´veis ∅ e X. Demonstrac¸a˜o. Iremos considerar sempre conjuntos na˜o vazios. ⇒). Suponha X finito, enta˜o X = {a1, · · · , an}, definimos f : X → X como f(a1) = a2, f(a2) = a3, em geral f(ak) = ak+1 se k < n e f(an) = a1. f na˜o possui subconjunto esta´vel diferente de X, pois, suponha um conjunto Y 6= X esta´vel, a1 na˜o pode pertencer ao conjunto, pois se na˜o f(a1) = a2 ∈ Y , f(a2) = a3 ∈ Y ate´ f(an−1) = an ∈ Y enta˜o ter´ıamos Y = X o que e´ absurdo, da mesma maneira se at ∈ Y enta˜o f(at) = at+1 ∈ Y , f(at+1) = at+2 ∈ Y , em menos de n aplicac¸o˜es da func¸a˜o teremos f(an−1) = an ∈ Y e da´ı f(an) = a1 ∈ Y o que implica Y = X, logo na˜o podemos ter outro subconjunto esta´vel ale´m de X com a func¸a˜o f definida acima. ⇐). Suponha X infinito, vamos mostrar que qualquer func¸a˜o f : X → X possui subcon- junto esta´vel Y 6= X. Tomamos a1 ∈ X, consideramos f(a1) := a2 se a1 = a2 paramos e temos o conjunto Y = {a1} 6= X pois X e´ infinito, se na˜o continuamos a aplica a func¸a˜o f(a2) := a3, se a3 = a2 ou a1 enta˜o paramos e tomamos Y = {a1, a2}, continuamos o processo recursivamente f(ak) : ak+1 se ak+1 e´ igual a algum dos elementos de {a1, · · · , ak}, enta˜o paramos o processo e tomamos Y = {a1, · · · , ak}, se para todo k ∈ N os elementos ak+1 = f(ak) na˜o pertencem ao conjunto {a1, · · · , ak}, enta˜o temos um conjunto = {a2 = f(a1), f(a2) = a3, f(a3) = a4, · · · , f(an) = an+1, · · · } tomamos tal conjunto como Y e temos f(Y ) = {f(a2) = a3, f(a3) = a4, · · · , } ⊂ Y podemos observar que Y 6= X pois a1 /∈ Y. Assim conclu´ımos nossa demonstrac¸a˜o. 1.2.17 Questa˜o 18 Propriedade 21. Seja f : A→ A injetiva, tal que f(A) 6= A, tomando x ∈ A\f(A) enta˜o os elementos fk(x) de O(x) = {fk(x), k ∈ N} sa˜o todos distintos. Estamos denotando fk(x) pela k-e´sima composic¸a˜o de f com ela mesma. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 19 Demonstrac¸a˜o. Para todo t vale que f t e´ injetiva, pois a composic¸a˜o de func¸o˜es injetivas e´ injetiva. Se existisse k 6= t tal que fk(x) = f t(x), t > k , enta˜o existe p > 0 ∈ N tal que t = k + p fk+p(x) = fk(fp(x)) = fk(x) por injetividade de fk segue que fp(x) = x, logo x ∈ f(A) o que contraria a hipo´tese de x ∈ A \ f(A). Portanto os elementos sa˜o distintos. 1.2.18 Questa˜o 19 Propriedade 22. Se A e´ infinito enta˜o existe func¸a˜o injetiva f : N → A. Demonstrac¸a˜o. Podemos definir f indutivamente. Tomamos inicialmente x1 ∈ A e definimos f(1) = x1 e para n ∈ N escolhemos xn+1 ∈ A\ n⋃ k=1 {xk} definido f(n+1) = xn+1. A \ n⋃ k=1 {xk} nunca e´ vazio pois A e´ infinito. f e´ injetora pois tomando m > n tem-se f(n) ∈ m−1⋃ k=1 {xk} e f(m) ∈ A \ m−1⋃ k=1 {xk}. Corola´rio 5. Existe func¸a˜o injetiva de um conjunto finito B num conjunto infinito A, usamos o mesmo processo do exemplo anterior, mas o processo para depois de definir a func¸a˜o |B| pontos. Propriedade 23. Sendo A infinito e B finito existe func¸a˜o sobrejetiva g : A→ B. Demonstrac¸a˜o. Existe func¸a˜o injetiva f : B → A, logo f : B → f(B) ⊂ A e´ bijec¸a˜o, possuindo inversa g−1 : f(B)→ B. Considere a func¸a˜o f : A→ B definida como f(x) = g−1(x) se x ∈ f(B) e f(x) = x1 ∈ B se x /∈ f(B), f e´ func¸a˜o sobrejetiva. 1.2.19 Questa˜o 20 Questa˜o 20-a) Propriedade 24. O produto cartesiano finito de conjuntos enumera´veis e´ enumera´vel. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 20 Demonstrac¸a˜o. Seja s∏ k=1 Ak o produto cartesiano dos conjuntos Ak enumera´veis, enta˜o para cada k existe uma func¸a˜o fk : N → Ak que e´ sobrejetiva, enta˜o definimos a func¸a˜o f : N s → s∏ k=1 Ak dada por f(xk) s 1 = (fk(xk)) s 1 ,isto e´, f(x1, · · · , xs) = (f1(x1), · · · , fs(xs)) como tal func¸a˜o e´ sobrejetiva e N s e´ enumera´vel segue que s∏ k=1 Ak e´ enumera´vel. Corola´rio 6. Se X e´ finito e Y e´ enumera´vel, enta˜o F (X, Y ) e´ enumera´vel. Basta considerar o caso de X = In, enta˜o F (X, Y ) = n∏ k=1 Y = Y n, que e´ enumera´vel. Questa˜o 20-b) Propriedade 25. Para cada f : N → N seja Af = {n ∈ N | f(n) 6= 1}. O conjunto M das func¸o˜es, f : N → N tais que Af e´ finito e´ um conjunto enumera´vel. Demonstrac¸a˜o. Seja Bn o conjunto das f : N → N , tais que |Af | = n, va- mos mostrar inicialmente que Bn e´ enumera´vel. Cada f : N → N e´ uma sequeˆncia (f(1), f(2), f(3), · · · , f(n), · · · ), os elementos de Bn sa˜o as sequeˆncias que diferem da uni- dade em exatamente n valores. Para cada elemento f de Bn temos n termos diferentes de 1, que sera˜o simbolizados por f(k1), f(k2), · · · , f(kn) onde k1 < k2 < · · · < kn definimos g : Bn → Nn como g(f) = (p f(k1) k1 , p f(k2) k2 , · · · , pf(kn)kn ) onde cada pte´ o t-e´simo primo. A func¸a˜o definida dessa forma e´ injetora, pois se vale g(f) = g(h) enta˜o (p f(k1) k1 , p f(k2) k2 , · · · , pf(kn)kn ) = (q f(k′1) k′1 , q f(k′2) k′2 , · · · , qf(k′n)k′n ) por unicidade de fatorac¸a˜o em primos segue que qt = pt e kt = k ′ t ∀ t. Agora escrevemos M = ∞⋃ k=1 Bk e´ uma unia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis, portanto o conjunto das func¸o˜es f : N → N tais que Af e´ finito e´ enumera´vel. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 21 1.2.20 Questa˜o 21 Exemplo 4. Exprimir N = ∞⋃ k=1 Nk onde os conjuntos sa˜o infinitos e dois a dois disjuntos. Tome Nk+1 = {pαkk , αk ∈ N onde pk o k-e´simo primo} e N1 = N \ ∞⋃ k=2 Nk, cada um deles e´ infinito, sa˜o disjuntos e sua unia˜o da´ N . 1.2.21 Questa˜o 22 Exemplo 5. f : N × N → N definida como f(m,n) = 2m−1(2n − 1) e´ uma bijec¸a˜o. Dado um nu´mero natural n qualquer, podemos escrever esse nu´mero como produto dos seus fatores primos n = n∏ k=1 pαkk = 2 α1 . n∏ k=2 pαkk como os primos maiores que 2 sa˜o ı´mpares e o produto de ı´mpares e´ um nu´mero ı´mpar enta˜o n = 2m(2n−1). Agora vamos mostrar que a func¸a˜o e´ injetora seja f(m,n) = f(p, q) 2m(2n− 1) = 2p(2q − 1) se m 6= p os nu´meros sera˜o diferentes pela unicidade de fatorac¸a˜o (2s − 1 na˜o possui fatores 2 pois sempre e´ ı´mpar), enta˜o devemos ter m = p, da´ı segue que n = q e termina a demonstrac¸a˜o. 1.2.22 Questa˜o 23 Propriedade 26. Todo conjunto A ⊂ N e´ enumera´vel. Demonstrac¸a˜o. Se A e´ finito enta˜o A e´ enumera´vel. Se A e´ infinito podemos enu- merar seus elementos da seguinte maneira x1 = minA, xn+1 = minA \ n⋃ k=1 {xk}, da´ı A = ∞⋃ k=1 {xk} pois se existisse x ∈ A tal que x 6= xk da´ı ter´ıamos x > xk para todo k que e´ absurdo, pois nenhum conjunto infinito de nu´meros naturais e´ limitado superiormente. A func¸a˜o x CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 22 definida e´ injetora e sobrejetora. Vamos mostrar agora que ela e´ a u´nica bijec¸a˜o crescente entre A e N . Suponha outra bijec¸a˜o crescente f : N → A. Deve valer f(1) = x1, pois se fosse f(1) > x1 enta˜o f na˜o seria crescente. Supondo que vale f(k) = xk ∀ k ≤ n ∈ N vamos mostrar que f(n + 1) = xn+1, na˜o pode valer f(n + 1) < xn+1 com f(n + 1) ∈ A pois a func¸a˜o e´ injetora e os poss´ıveis termos ja´ foram usados em f(k) com k < n + 1, na˜o pode valer f(n + 1) > xn+1 pois se na˜o a func¸a˜o na˜o seria crescente, ela teria que assumir para algum valor x > n + 1 o valor de xn+1, a u´nica possibilidade restante e´ f(n+ 1) = xn+1 o que implica por induc¸a˜o que xn = f(n) ∀n ∈ N. 1.2.23 Questa˜o 24 Propriedade 27. Todo conjunto infinito se decompo˜e como unia˜o de uma infinidade enumera´vel de conjuntos infinitos, dois a dois disjuntos. Demonstrac¸a˜o. Todo conjuntoX infinito possui um subconjunto infinito enumera´vel E = {b1, b2, · · · , bn, · · · }, tomamos b2k = xk e formamos o conjuntoA = {x1, x2, · · · , xn, · · · }. Definimos Bk = {xαkpk , αk ∈ N}, onde pk e´ o k-e´simo primo e B0 = A \ ∞⋃ k=1 Bk, cada um desses conjuntos B0, B1, · · · e´ infinito e todos sa˜o disjuntos, vale A = ∞⋃ k=0 Bk , definimos B−1 = (E ∪ X) \ A que e´ infinito e na˜o possui elemento e disjunto com todo outro Bk, com isso temos X = ∞⋃ k=−1 Bk que e´ uma unia˜o enumera´vel de conjuntos infinitos disjuntos. 1.2.24 Questa˜o 25 Definic¸a˜o 2 (Func¸a˜o caracter´ıstica). Sejam um conjunto A e V um subconjunto qualquer de A, definimos Cv(t) = 0 se x /∈ V Cv(t) = 1 se x ∈ V Propriedade 28. Sejam X, Y ⊂ A. Valem as propriedades. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 23 Cx∩y = CxCy Cx∪y = Cx + Cy − Cx∩y e Cx∩y = 0⇔ X ∩ Y = ∅. Se X ⊂ Y ⇔ Cx ≤ Cy. CA\X = 1− Cx. Demonstrac¸a˜o. Cx∩y = CxCy. Temos dois casos a analisar, se t ∈ X ∩ Y enta˜o Cx∩y(t) = 1 = Cx(t)︸ ︷︷ ︸ 1 Cy(t)︸ ︷︷ ︸ 1 , se t /∈ X ∩ Y podemos supor t /∈ Y enta˜o Cx∩y(t) = 0 = Cx(t)Cy(t)︸ ︷︷ ︸ 0 . Cx∪y = Cx + Cy − Cx∩y e Cx∩y = 0⇔ X ∩ Y = ∅. Analisamos treˆs casos. 1. Se t ∈ X ∩ Y enta˜o Cx∪y(t) = 1, Cx(t) +Cy(t)−Cx∩y(t) = 1 + 1− 1 = 1, logo vale a igualdade. 2. Se t /∈ X ∩ Y e t ∈ X ( sem perda de generalidade), enta˜o Cx∪y(t) = 1, Cx(t) + Cy(t)− Cx∩y(t) = 1 + 0− 0 = 1, logo vale a igualdade. 3. Agora o u´ltimo caso, se t /∈ X, Y , Cx∪y(t) = 0 e Cx(t) + Cy(t) − Cx∩y(t) = 0 + 0− 0 = 0, valendo novamente a igualdade. Cx∪y = Cx + Cy ⇔ Cx∩y = 0 ⇔ Cx∩y(t) = 0 ∀t ∈ A, isso significa que X e Y sa˜o disjuntos. Se X ⊂ Y ⇔ Cx ≤ Cy. ⇒). Analisamos treˆs casos 1. t /∈ Y e t /∈ Y da´ı t /∈ x e vale Cx(t) = 0Cy(t). 2. Se t ∈ Y e t /∈ x enta˜o Cx(t) = 0 ≤ Cy(t) = 1. 3. Se t ∈ Y tem-se t ∈ Y da´ı Cx(t) = 1 ≤ 1 = Cy(t). CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 24 Em qualquer caso vale a desigualdade. ⇐). Suponha que X na˜o esteja contido em Y , enta˜o existe t tal que t ∈ X, t /∈ Y portanto vale cx(t) = 1 e cy(t) = 0 e na˜o se verifica a desigualdade. CA\X = 1− Cx. Analisamos dois casos 1. Se t /∈ X enta˜o CA\X(t) = 1 = 1− Cx(t)︸ ︷︷ ︸ 0 . 2. Se t ∈ X CA\X(t) = 0 = 1− Cx(t)︸ ︷︷ ︸ 1 . 1.2.25 Questa˜o 26 Propriedade 29. O conjunto das sequeˆncias crescentes de nu´meros naturais na˜o e´ enu- mera´vel. Demonstrac¸a˜o. Seja A o conjunto das sequeˆncias crescentes de nu´meros naturais. Suponha que seja enumera´vel, enta˜o existe uma bijec¸a˜o x : N → A x1 = (y(1,1), y(2,1), y(3,1), y(4,1), · · · ) x2 = (y(1,2), y(2,2), y(3,2), y(4,2), · · · ) ... xn = (y(1,n), y(2,n), y(3,n), y(4,n), · · · ) vamos mostrar que existe uma sequeˆncia crescente que sempre escapa a essa enu- merac¸a˜o, tomamos a sequeˆncia s como s = (y(1,1)+1 , y(2,2)+y(1,1)+1 , y(3,3)+y(2,2)+y(1,1)+1, y(4,4)+y(3,3)+y(2,2)+y(1,1)+1 , · · · ) denotando y(0,0) = 1 o t-e´simo termo da sequeˆncia acima e´ st = t∑ k=0 y(k,k), tal sequeˆncia e´ crescente e ela difere de cada xt na t-e´sima coordenada, portanto ela na˜o pertence a enumerac¸a˜o, o que e´ absurdo, portanto o conjunto das sequeˆncias crescentes e´ na˜o enumera´vel. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 25 1.2.26 Questa˜o 27 Propriedade 30. Sejam (N, s) e (N ′, s′) dois pares formados por um conjunto e uma func¸a˜o em que ambos cumprem os axiomas de Peano. Enta˜o existe uma u´nica bijec¸a˜o f : N → N ′ tal que f(1) = 1′, f(n+ 1) = f(n) + 1′ e vale ainda que f(m) + f(n) = f(m+ n) f(m.n) = f(m)f(n) m < n⇔ f(m) < f(n). Demonstrac¸a˜o. Primeiro vamos provar que f deve ser obrigatoriamente da forma f(n) = n′ ∀n ∈ N , por induc¸a˜o sobre n, a propriedade vale para n = 1, suponha a validade para n, vamos provar para n+ 1 f(n+ 1) = f(n) + 1′ = n′ + 1′ = s′(n) = (n+ 1)′. Enta˜o para todo n ∈ N fica provado que f(n) = n′, f e´ u´nica por construc¸a˜o, sendo tambe´m sobrejetora. Vale que f(m) + f(n) = f(m + n), vamos provar por induc¸a˜o sobre n. Para n = 1 ela vale por definic¸a˜o da func¸a˜o, supondo a validade para n, vamos provar para n+1 f((m+ n) + 1) = f(m+ n) + f(1) = f(m) + (f(n) + f(1)) = f(m) + f(n+ 1) logo fica provada a propriedade. f e´ injetiva, pois se houvessem dois valores distintos m > n tais que f(m) = f(n) enta˜o existe p ∈ N tal que n + p = m, aplicando a func¸a˜o temos f(n) + f(p) = f(m) = f(n), isto e´ n′ + p′ = n′ enta˜o n′ > n′ o que e´ absurdo, portanto a func¸a˜o e´ injetiva. f(m.n) = f(m)f(n). Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1 ela vale. Suponha validade para n, vamos provar para n+ 1 f(m.(n+ 1)) = f(mn+m) = f(m)f(n) + f(m) = f(m)[f(n) + 1] = f(m)f(n+ 1) como quer´ıamos provar. m < n⇔ f(m) < f(n). ⇒). Se vale m < n enta˜o existe p ∈ N tal que m+ p = n e da´ı aplicando f tem-se m′ + p′ = n′ o que implica n′ > m′, isto e´, f(n) > f(m). ⇐) Da mesma forma se f(m) < f(n) enta˜o m′ < n′ e da´ı existe p′ tal que m′+ p′ = n′ ⇒ f(m+ p) = f(n) que por injetividade segue m+ p = n, portanto n > m. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 26 1.3 Cap´ıtulo 3 -Nu´meros reais 1.3.1 Questa˜o 1 Questa˜o 1-1◦ Primeiro provamos um lema, depois a questa˜o pedida. Propriedade 31. a d + c d = a+ c d . Demonstrac¸a˜o. a d + c d = d−1a+d−1c = d−1(a+ c) = a+ c d por distributividade do produto em relac¸a˜o a soma. Propriedade 32. a b + c d = ad+ bc bd . Demonstrac¸a˜o. a b + c d = a b d d + c d b b = ad bd + cb db = ad+ bc bd . Questa˜o 1-2◦ Propriedade 33. a b . c d = ac bd . Demonstrac¸a˜o. a b . c d = a.b−1.c.d−1 = ac.b−1.d−1 = ac.(bd)−1 = ac bd . 1.3.2 Questa˜o 2 Questa˜o 2-1◦ Propriedade 34. Para todo m inteiro vale am.a = am+1. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 27 Demonstrac¸a˜o. Para m natural vale pela definic¸a˜o de poteˆncia, agora para m = −n, n > 0 ∈ N um inteiro vamos provar a−n.a = a−n+1. Para n = 1 temos a−1a = a−1+1 = a0 = 1. Vamos provar agora para n > 1, n− 1 > 0 a−n = (an)−1 = (an−1a)−1 = a−n+1a−1 multiplicando por a de ambos lados a−n.a = a−n+1 como quer´ıamos demonstrar. Propriedade 35. am.an = am+n. Demonstrac¸a˜o. Primeiro seja m um inteiro qualquer e n natural, vamos provar a identidade por induc¸a˜o sobre n, para n = 0 vale am.a0 = am = am+0 para n = 1 vale ama1 = ama = am+1. Supondo va´lido para n am.an = am+n vamos provar para n+ 1 am.an+1 = am+n+1 temos am.an+1 = amana = am+n.a = am+n+1 . Agora para −n com n natural , sem e´ natural temos que a propriedade ja´ foi demonstrada ama−n = am−n se m e´ inteiro negativo temos ama−n = am−n pois o inverso de ama−n e´ a−man = a−m+n propriedade que ja´ esta´ provada por −m e n serem naturais e am−nan−m = 1 por unicidade do inverso de = a−man = a−m+n e´ ama−n logo fica provado para n e m inteiros. Para poteˆncia negativa −n podemos fazer como se segue ama−n = (a−m)−1(an)−1 = (a−man)−1 = (a−m+n)−1 = am−n. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 28 Questa˜o 2-2◦ Propriedade 36. (am)n = amn para m e n inteiros. Demonstrac¸a˜o. Primeiro por induc¸a˜o para m inteiro e n natural (am)0 = 1 = am.0 (am)1 = am = am.1. Supondo va´lido para n (am)n = amn vamos provar para n+ 1 (am)n+1 = am(n+1) temos pela definic¸a˜o de poteˆncia e pela hipo´tese da induc¸a˜o que (am)n+1 = (am)nam = amnam = amn+m = am(n+1) onde usamos a propriedade do produto de poteˆncia de mesma base. Para n inteiro negativo (am)−n = ((am)n)−1 = (amn)(−1) = a−mn. 1.3.3 Questa˜o 3 Exemplo 6. Se xk yk = xs ys para todos k, s ∈ In, num corpo K, prove que dados, ak ∈ K, k ∈ In tais que n∑ k=1 akyk 6= 0 tem-se n∑ k=1 akxk n∑ k=1 akyk = x1 y1 . Chamando x1 y1 = p temos xk yk = p logo xk = pyk e a soma n∑ k=1 akxk = p n∑ k=1 akyk CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 29 logo n∑ k=1 akxk n∑ k=1 akyk = p = x1 y1 . 1.3.4 Questa˜o 4 Definic¸a˜o 3 (Homomorfismo de corpos). Sejam A,B corpos. Uma func¸a˜o f : A → B chama-se um homomorfismo quando se tem f(x+ y) = f(x) + f(y) f(x.y) = f(x).f(y) f(1A) = 1B para quaisquer x, y ∈ A. Denotaremos nesse caso as unidades 1A e 1B pelos mesmos s´ımbolos e escrevemos f(1) = 1. Propriedade 37. Se f e´ homomorfismo enta˜o f(0) = 0. Demonstrac¸a˜o. Temos f(0 + 0) = f(0) + f(0) = f(0) somando −f(0) a ambos lados segue f(0) = 0. Propriedade 38. Vale f(−a) = −f(a). Demonstrac¸a˜o. Pois f(a− a) = f(0) = 0 = f(a) + f(−a) da´ı f(−a) = −f(a). Corola´rio 7. f(a− b) = f(a) + f(−b) = f(a)− f(b). CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 30 Propriedade 39. Se a e´ invert´ıvel enta˜o f(a) e´ invert´ıvel e vale f(a−1) = f(a)−1. Demonstrac¸a˜o. f(a.a−1) = f(1) = 1 = f(a).f(a−1) enta˜o pela unicidade de inverso em corpos segue que f(a)−1 = f(a−1). Propriedade 40. f e´ injetora. Demonstrac¸a˜o. Sejam x, y tais que f(x) = f(y), logo f(x)− f(y) = 0, f(x− y) = 0, se x 6= y enta˜o x− y seria invert´ıvel logo f(x− y) na˜o seria nulo, enta˜o segue que x = y. Propriedade 41. Se f : A → B com f(x + y) = f(x) + f(y) e f(x.y) = f(x)f(y) para x, y arbitra´rios, enta˜o f(x) = 0 ∀x ou f(1) = 1. Demonstrac¸a˜o. f(1) = f(1.1) = f(1)f(1), logo f(1) = f(1)2 por isso f(1) = 1 ou f(1) = 0. Se f(1) = 0 enta˜o f(x.1) = f(x)f(1) = 0, f(x) = 0 ∀x. 1.3.5 Questa˜o 5 Propriedade 42. Se f : Q→ Q e´ um homomorfismo enta˜o f(x) = x ∀x ∈ Q. Demonstrac¸a˜o. Vale que f(x + y) = f(x) + f(y), tomando x = kh e y = h fixo, tem-se f((k + 1)h)− f(kh) = f(h) aplicamos a soma n−1∑ k=0 de ambos lados, a soma e´ telesco´pica e resulta em f(nh) = nf(h) tomando h = 1 segue que f(n) = n, tomando h = p n segue f(n p n ) = f(p) = p = nf( p n )⇒ f(p n ) = p n . CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 31 1.3.6 Questa˜o 6 1.3.7 Questa˜o 7 1.3.8 Questa˜o 8 Propriedade 43. Seja K um conjunto onde valem todos os axiomas de corpo, exceto a existeˆncia de inverso multiplicativo. Seja a 6= 0. f : K → K com f(x) = ax e´ bijec¸a˜o ⇔ ∃ a−1 ∈ K. Demonstrac¸a˜o. ⇒). A func¸a˜o e´ sobrejetora logo existe x tal que f(x) = 1 = ax portanto a e´ invert´ıvel com a−1 = x ∈ K. ⇐). Dado qualquer y ∈ K tomamos x = ya−1 da´ı f(x) = aa−1y = y e a func¸a˜o e´ sobrejetiva. f tambe´m e´ injetiva, pois se f(x1) = f(x2), ax1 = ax2 implica por lei do corte que x1 = x2.. Em geral f e´ injetiva ⇔ vale a lei do corte por essa observac¸a˜o. Propriedade 44. Seja K finito. Vale a lei do corte em A ⇔ existe inverso para cada elemento na˜o nulo de K, Demonstrac¸a˜o. ⇒). Se vale a lei do corte, pela propriedade anterior tem-se que para qualquer a 6= 0 em K, f : K → K com f(x) = ax e´ injetiva, como f e´ injetiva de K em K que e´ um conjunto finito, enta˜o f e´ bijetiva, o que implica a ser invert´ıvel. ⇐). A volta e´ trivial pois existeˆncia de inverso implica lei do corte. 1.3.9 Questa˜o 9 Exemplo 7. O conjunto dos polinoˆmios de coeficiente racionais Q[t] na˜o e´ um corpo, pois por exemplo o elemento x na˜o possui inverso multiplicativo, se houvesse haveria n∑ k=0 akx k tal que x n∑ k=0 akx k = 1 = n∑ k=0 akx k+1 o que na˜o e´ poss´ıvel pois o coeficiente do termo independente x0 e´ zero em n∑ k=0 akx k+1 e deveria ser 1. O conjunto dos inteiros Z na˜o e´ um corpo, pois na˜o possui inverso multiplicativo para todo elementos, por exemplo na˜o temos o inverso de 2. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 32 1.3.10 Questa˜o 10 Propriedade 45. Dados x, y ∈ R, x2 + y2 = 0 ⇔ x = y = 0. Demonstrac¸a˜o. ⇒).Suponha que x 6= 0, enta˜o x2 > 0 e y2 ≥ 0 de onde segue que x2+y2 > 0 , absurdo enta˜o deve valer x2 = 0⇒ x = 0 logo temos tambe´m y2 = 0⇒ y = 0, portanto x = y = 0. ⇐). Basta substituir x = y = 0 resultando em 0. 1.3.11 Questa˜o 11 Exemplo 8. A func¸a˜o f : K+ → K+ com f(x) = xn, n ∈ N e´ crescente. Sejam x > y > 0 enta˜o xn > yn pois xn = n∏ k=1 x > n∏ k=1 y = yn, por propriedade de multiplicac¸a˜o de positivos. Se f : Q+ → Q+, Q+ o conjunto dos racionais positivos, enta˜o f na˜o e´ sobrejetiva para n = 2, pois na˜o existe x ∈ Q tal que x2 = 2 ∈ Q+. f(K+) na˜o e´ um conjunto limitado superiormente de K, isto e´, dado qualquer x ∈ K existe y ∈ K+ tal que yn > x. O limitante superior do conjunto, se existisse, na˜o poderia ser um nu´mero negativou ou zero, pois para todo y positivo tem-se yn positivo, que e´ maior que 0 ou qualquer nu´mero negativo. Suponha que x positivo seja, tomando y = x + 1 temos yn = (x+ 1)n ≥ 1 + nx > x, logo f(K+) na˜o e´ limitado superiormente. 1.3.12 Questa˜o 12 Propriedade 46. Sejam X um conjunto qualquer e K um corpo, enta˜o o conjunto F (X,K) munido de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de func¸o˜es e´ um anel comutativo com uni- dade, na˜o existindo inverso para todo elemento. Lembrando que em um anel comu- tativo com unidade temos as propriedades, associativa, comutativa, elemento neutro e existeˆncia de inverso aditivo, para adic¸a˜o. valendo tambe´m a comutatividade, associati- vidade, existeˆncia de unidade 1 para o produto e distributividade que relaciona as duas operac¸o˜es. Demonstrac¸a˜o. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 33 Vale a associatividade da adic¸a˜o ((f + g) + h)(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f + (g + h))(x) Existe elemento neutro da adic¸a˜o 0 ∈ K e a func¸a˜o constante 0(x) = 0 ∀ x ∈ K, da´ı (g + 0)(x) = g(x) + 0(x) = g(x). Comutatividadeda adic¸a˜o (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x) Existe a func¸a˜o sime´trica, dado g(x), temos f com f(x) = −g(x) e da´ı (g + f)(x) = g(x)− g(x) = 0. Vale a associatividade da multiplicac¸a˜o (f(x).g(x)).h(x) = f(x).(g(x).h(x)) Existe elemento neutro da multiplicac¸a˜o 1 ∈ K e a func¸a˜o constante I(x) = 1 ∀ x ∈ K, da´ı (g.I)(x) = g(x).1 = g(x). Comutatividade da multiplicac¸a˜o (f.g)(x) = f(x)g(x) = g(x)f(x) = (g.f)(x) Por u´ltimo vale a distributividade (f(g + h))(x) = f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) + f(x)h(x) = (f.g + f.h)(x). Na˜o temos inverso multiplicativo para toda func¸a˜o, pois dada uma func¸a˜o, tal que f(1) = 0 e f(x) = 1 para todo x 6= 1 em K, na˜o existe func¸a˜o g tal que g(1)f(1) = 1, pois f(1) = 0, assim o produto de f por nenhuma outra func¸a˜o gera a identidade. 1.3.13 Questa˜o 13 Propriedade 47. Sejam x, y > 0 . x < y ⇔ x−1 > y−1. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 34 Demonstrac¸a˜o. ⇒). Como y > x e x−1 e y−1 sa˜o positivos, multiplicamos a desi- gualdade por x−1y−1 em ambos lados x−1y−1y > x−1y−1x implicando x−1 > y−1, enta˜o se y > x temos 1 x > 1 y . ⇐). Se x−1 > y−1 . x, y sa˜o positivos, multiplicamos a desigualdade por xy em ambos lados, de onde segue que y > x. 1.3.14 Questa˜o 14 Propriedade 48. Sejam a > 0 em K e f : Z → K com f(n) = an. Nessas condic¸o˜es f e´ crescente se a > 1, decrescente se a < 1 e constante se a = 1. Demonstrac¸a˜o. Para qualquer n ∈ Z vale f(n+ 1)− f(n) = an+1 − an = an(a− 1), an e´ sempre positivo, enta˜o o sinal da diferenc¸a depende do sinal de a− 1. Se a = 1 vale f(n+ 1) = f(n) ∀ n ∈ Z logo f e´ constante, se a− 1 < 0, a < 1 enta˜o f(n+ 1)− f(n) < 0, f(n+1) < f(n), f e´ decrescente e finalmente se a−1 > 0, a > 1 enta˜o f(n+1) > f(n) e a func¸a˜o e´ crescente. Perceba que as propriedades citadas valem para todo n ∈ Z, por exemplo no caso de a > 1 temos · · · < f(−4) < f(−3) < f(−2) < f(−1) < f(0) < f(1) < f(2) < f(3) < · · · < f(n) < f(n+1) < · · · analogamente para os outros casos. 1.3.15 Questa˜o 15 Exemplo 9. Para todo x 6= 0 real, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx. Se x > −1 tomamos a desigualdade de bernoulli com 2n no expoente. Se x < −1 vale 1 + x < 0 pore´m elevando a uma poteˆncia par resulta num nu´mero positivo, por outro lado 2nx < −2n logo 1+2nx < 1−2n < 0 enta˜o (1+x)2n e´ positivo e 1+2nx e´ negativo, logo nesse caso vale (1 + x)2n > 1 + 2nx . 1.3.16 Questa˜o 16 Exemplo 10. Se n ∈ N e x < 1 enta˜o (1 − x)n ≥ 1 − nx, pois de x < 1 segue que −x > −1 e da´ı aplicamos a desigualdade de Bernoulli (1 + y)n ≥ 1 + ny com y = −x. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 35 1.3.17 Questa˜o 17 Corola´rio 8. Se a e a+ x sa˜o positivos, enta˜o vale (a+ x)n ≥ an + nan−1x. Pois a+ x a = (1 + x a ) > 0 enta˜o podemos aplicar a desigualdade de Bernoulli (1 + y)n ≥ 1 + ny com y = x a , resultando em (a+ x)n ≥ an + nan−1x. Se a 6= 0, arbitra´rio em R, podendo agora ser negativo, substitu´ımos y = x a em (1 + x)2n > 1 + 2nx. chegando na desigualdade (a+ x)2n > a2n + a2n−12nx. Se vale x a < 1 enta˜o da desigualdade (1 − y)n ≥ 1 − ny, novamente tomamos y = x a de onde segue (a− x)n ≥ an − an−1nx. 1.3.18 Questa˜o 18 Propriedade 49. Sejam sequeˆncias (ak) , (bk) em um corpo ordenado K onde cada bk e´ positivo, sendo a1 b1 o mı´nimo e an bn o ma´ximo dos termos da sequeˆncia de termo ak bk enta˜o vale a1 b1 ≤ n∑ k=1 ak n∑ k=1 bk ≤ an bn . Demonstrac¸a˜o. Para todo k vale a1 b1 ≤ ak bk ≤ an bn ⇒ bk a1 b1 ≤ ak ≤ bk an bn pois bk > 0, aplicamos a soma n∑ k=1 em ambos lados, de onde segue n∑ k=1 bk a1 b1 ≤ n∑ k=1 ak ≤ n∑ k=1 bk an bn CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 36 dividindo por n∑ k=1 bk que e´ positivo, temos finalmente a1 b1 ≤ n∑ k=1 ak n∑ k=1 bk ≤ an bn . 1.3.19 Questa˜o 19 Propriedade 50 (Multiplicatividade). |a||b| = |a.b| para a e b reais quaisquer. Demonstrac¸a˜o. Vale que |x.y|2 = (x.y)2 = x2y2 e (|x||y|)2 = |x|2|y|2 = x2.y2 os quadrados desses nu´meros sa˜o iguais e eles sa˜o na˜o negativos, enta˜o segue que |x.y| = |x||y|. Demonstrac¸a˜o.[2] |a.b| = √ (a.b)2 = √ a2.b2 = √ a2. √ b2 = |a||b|. Propriedade 51. Se x 6= 0 enta˜o |1 x | = 1|x| . Demonstrac¸a˜o. Vale |x||1 x | = |x x | = 1 da´ı |1 x | e´ inverso de |x|, sendo 1|x| . Corola´rio 9 (Preserva divisa˜o). |x y | = |x||y| . 1.3.20 Questa˜o 20 Propriedade 52. n∏ k=1 |ak| = | n∏ k=1 ak| Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o, para n = 1 vale, supondo para n nu´meros n∏ k=1 |ak| = | n∏ k=1 ak| CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 37 vamos provar para n+ 1 n+1∏ k=1 |ak| = | n+1∏ k=1 ak| temos n+1∏ k=1 |ak| = n∏ k=1 |ak|.|an+1| = | n∏ k=1 ak||an+1| = | n∏ k=1 akan+1| = | n+1∏ k=1 ak| . Propriedade 53 (Desigualdade triangular generalizada). Sejam g(k) definida para k inteiro ,a, b ∈ Z, enta˜o vale | b∑ k=a g(k)| ≤ b∑ k=a |g(k)|. Demonstrac¸a˜o. Para cada k vale −|g(k)| ≤ g(k) ≤ |g(k)| aplicando o somato´rio em ambos lados segue − b∑ k=a |g(k)| ≤ b∑ k=a g(k) ≤ b∑ k=a |g(k)| que implica | b∑ k=a g(k)| ≤ | b∑ k=a |g(k)|| = b∑ k=a |g(k)| pois os termos |g(k)| somados sa˜o na˜o negativos ,logo a soma desses termos e´ na˜o-negativa e o mo´dulo da soma e´ igual a soma. Propriedade 54. A identidade que provamos acima vale para nu´meros reais, vamos provar agora por induc¸a˜o que se vale |z + w| ≤ |z|+ |w| para quaisquer z, w enta˜o vale | n∑ k=1 zk| ≤ n∑ k=1 |zk| de maneira que possa ser usada para nu´meros complexos , normas e outras estruturas que satisfazem a desigualdade triangular. Demonstrac¸a˜o.[2] Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1 tem-se | 1∑ k=1 zk| = |z1| ≤ 1∑ k=1 |zk| = |z1| CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 38 logo vale. Supondo a validade para n | n∑ k=1 zk| ≤ n∑ k=1 |zk| vamos provar para n+ 1 | n+1∑ k=1 zk| ≤ n+1∑ k=1 |zk|. Da hipo´tese da induc¸a˜o somamos |zn+1| em ambos lados, logo | n+1∑ k=1 zk| = |zn+1 + n∑ k=1 zk| ≤ |zn+1|+ | n∑ k=1 zk| ≤ n+1∑ k=1 |zk| Vejamos outras1 demonstrac¸o˜es da desigualdade triangular 1.3.21 Questa˜o 22 Vamos resolver um caso mais geral do problema. Definic¸a˜o 4 (Mediana). Dada uma sequeˆncia finita (yk) n 1 seus termos podem ser rear- ranjados para forma uma sequeˆncia na˜o-decrescente (xk) n 1 . A mediana X˜ e´ definida da seguinte maneira Se n e´ ı´mpar X˜ = xn+1 2 . Se n e´ par X˜ = xn 2 +1 + xn 2 2 . Exemplo 11. Seja (xk) n 1 uma sequeˆncia crescente f : R → R com f(x) = n∑ k=1 |x − xk|. Se x < x1 enta˜o f(x) = −nx+ n∑ k=1 xk logo f e´ decrescente para x < x1. Tomando x > xn f(x) = nx− n∑ k=1 xk logo f e´ crescente para x > xn. 1Essas demonstrac¸o˜es aprendi com Pedro Kenzo, obrigado por compartilhar as soluc¸o˜es. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 39 Seja agora x ∈ [xt, xt+1), t variando de 1 ate´ n− 1 f(x) = t∑ k=1 (x− xk)− n∑ k=t+1 (x− xk) = (2t− n)x+ t∑ k=1 xk − n∑ k=t+1 xk portanto a func¸a˜o e´ decrescente se t < n 2 e crescente se t > n 2 , de t = 1 ate´ t = bn 2 c em cada intervalo [xt, xt+1) a func¸a˜o e´ decrescente, sendo bn 2 c segmentos decrescentes, de t = bn 2 c+ 1 ate´ n− 1, temos n− 1− bn 2 c segmentos crescentes. Se n e´ ı´mpar f e´ decrescente em [xbn 2 c, xbn 2 c+1) e crescente em [xbn 2 c+1, xbn 2 c+2) logo o ponto xbn 2 c+1 = xn+1 2 e´ o u´nico ponto de mı´nimo. Se n e´ par a func¸a˜o e´ constante em [xn 2 , xn 2 +1), todos os pontos desse intervalo sa˜o pontos de mı´nimo. Em especial o ponto xn 2 + xn 2 +1 2 e´ ponto de mı´nimo. Conclu´ımos que um ponto de mı´nimo acontece sempre na mediana da sequeˆncia. Exemplo 12. Achar o mı´nimo da func¸a˜o f(x) = n∑ k=1 |x− k| para n ı´mpar e para n par. Trocando n por 2n temos que o mı´nimo acontece no ponto x 2n 2 = xn = n, substitu´ımos enta˜o tal valor na func¸a˜o 2n∑ k=1 |n− k| = n∑ k=1 |n− k|+ 2n∑ k=n+1 |n− k| = n∑ k=1 (n− k) + 2n∑ k=n+1 (−n+ k) = = n∑ k=1 (n− k) + n∑ k=1 (k) = n∑ k=1 n = n.n = n2. portanto o mı´nimo de 2n∑ k=1 |x− k| e´ n2. min{|x− 1|+ |x− 2|} = 1 min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|} = 4 min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|+ |x− 5|+ |x− 6|} = 9 min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|+ |x− 5|+ |x− 6|+ |x− 7|+ |x− 8|} = 16. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 40 Agora para n ı´mpar, trocamos n por 2n + 1 o mı´nimo acontece no ponto x (2n+1)+1 2 = xn+1 = n+ 1, aplicando na func¸a˜o temos 2n+1∑ k=1 |n+1−k| = n+1∑ k=1 |n+1−k|+ 2n+1∑ k=n+2 |n+1−k| = n+1∑ k=1 (n+1−k)+ 2n+1∑ k=n+2 −(n+1)+k = = n∑ k=1 (n+ 1− k) + n∑ k=1 k = n∑ k=1 (n+ 1) = n(n+ 1). min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|} = 2 min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|+ |x− 5|} = 6 min{|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ |x− 4|+ |x− 5|+ |x− 6|+ |x− 7|} = 12 min{|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|+|x−5|+|x−6|+|x−7|+|x−8|+|x−9|} = 20. 1.3.22 Questa˜o 23 Propriedade 55. |a− b| < ε⇒ |a| < |b|+ ε. Demonstrac¸a˜o. Partindo da desigualdade |a− b| < ε, somamos |b| a ambos lados |a− b|+ |b| < ε+ |b| e usamos agora a desigualdade triangular |a| ≤ |a− b|+ |b| < ε+ |b| da´ı segue |a| ≤ ε+ |b|. Da mesma forma vale se |a−b| < ε enta˜o |b| ≤ ε+|a| ⇒ |b|−ε ≤ |a| e com |a| ≤ ε+|b|. temos |b| − ε ≤ |a| ≤ ε+ |b|. Vimos que |a− b| < ε implica |a| < |b|+ ε, mas como a ≤ |a| segue a < |b|+ ε. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 41 1.3.23 Questa˜o 24 Propriedade 56. Dado um corpo ordenado K , sa˜o equivalentes 1. K e´ arquimediano. 2. Z e´ ilimitado superiormente e inferiormente. 3. Q e´ ilimitado superiormente e inferiormente. Demonstrac¸a˜o. 1⇒ 2. N ⊂ Z enta˜o Z e´ ilimitado superiormente. Suponha por absurdo que Z seja limitado inferiormente, enta˜o existe a ∈ K tal que a < x ∀x ∈ Z, logo −a > −x, pore´m existe n natural tal que n > −a⇒ −n︸︷︷︸ ∈Z < a o que contraria a hipo´tese. 2⇒ 3 . Z ⊂ Q portanto Q e´ ilimitado superiormente e inferiormente. 3 ⇒ 1 . Para todo y ∈ K existe a b ∈ Q com a, b > 0 naturais tal que a b > y, da´ı a > yb, podemos tomar y = x b , logo a > x, a ∈ N , portanto N e´ ilimitado superiormente e o corpo e´ arquimediano. 1.3.24 Questa˜o 25 Propriedade 57. Seja K um corpo ordenado. K e´ arquimediado⇔ ∀ε > 0 em K existe n ∈ N tal que 1 2n < ε. Demonstrac¸a˜o. ⇒). Como K e´ arquimediano, enta˜o ∀ε > 0 existe n ∈ N tal que n > 1 ε ⇒ n + 1 > n > 1 ε por desigualdade de Bernoulli temos 2n > n+ 1 > 1 ε ⇒ 1 2n < ε. ⇐). Se ∀ε > 0 em K existe n ∈ N tal que 1 2n < ε, tomamos ε = 1 x , x > 0 arbitra´rio enta˜o x < 2n, com 2n = m ∈ N enta˜o K e´ arquimediano, N na˜o e´ limitado superiormente. 1.3.25 Questa˜o 26 Propriedade 58. Seja a > 1, K corpo arquimediano, f : Z → K com f(n) = an, enta˜o CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 42 f(Z) na˜o e´ limitado superiormente. inf(F (Z)) = 0. Demonstrac¸a˜o. Vale que a > 1 enta˜o a = p + 1 onde p > 0, por desigualdade de Bernoulli temos (p + 1)n ≥ 1 + pn. ∀ x > 0 ∈ K existe n tal que n > x p ⇒ pn > x ⇒ (p + 1)n ≥ 1 + pn > x, logo f(Z) na˜o e´ limitado superiormente. 0 e´ cota inferior de f(Z) pois vale 0 < an ∀n ∈ Z. Suponha que exista x tal que 0 < x < am ∀ m ∈ Z, sabemos que existe n ∈ N tal que an > 1 x da´ı x > 1 an = a−n, absurdo, enta˜o 0 deve ser o ı´nfimo. 1.3.26 Questa˜o 27 Propriedade 59. Se s e´ irracional e u 6= 0 e´ racional enta˜o u.s e´ irracional. Demonstrac¸a˜o. Suponha que s e´ irracional e u.s seja racional, enta˜o u.s = p q com p 6= 0 e q 6= 0 inteiros e como u 6= 0 e´ racional ele e´ da forma u = j v , j 6= 0 e v 6= 0, inteiros, logo j v s = p q multiplicando por v j ambos lados segue s = p.v j.q que e´ um nu´mero racional, logo chegamos a um absurdo. Propriedade 60. Se s e´ irracional e t racional, enta˜o s+ t e´ irracional. Demonstrac¸a˜o. Suponha s + t racional, enta˜o s + t = p q da´ı s = p q − t que seria racional por ser diferenc¸a de dois racionais, um absurdo enta˜o segue que s+ t e´ irracional. Exemplo 13. Existem irracionais a e b tais que a + b e a.b sejam racionais. Exemplos a = 1 + √ 5 , b = 1− √ 5 da´ı a+ b = 2 e a.b = 1− 5 = −4. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 43 1.3.27 Questa˜o 28 Propriedade 61. Sejam a, b, c, d racionais enta˜o a+ b √ 2 = c+ d √ 2⇔ a = c e b = d. Demonstrac¸a˜o. ⇐). Se a = c e b = d a temos a+ b √ 2 = c+ d √ 2. ⇒). Suponha a + b √ 2 = c + d √ 2 enta˜o a − c = √ 2(d − b), se d = b enta˜o a = c e terminamos, se na˜o vale que a− c d− b = √ 2 o que e´ absurdo pois √ 2 e´ irracional. 1.3.28 Questa˜o 29 Exemplo 14. O conjunto da forma {x + y√p} onde x e y sa˜o racionais e´ subcorpo dos nu´meros reais. O elemento neutro da adic¸a˜o 0 pertence ao conjunto. Pois 0 = 0 + 0 √ p O elemento neutro da multiplicac¸a˜o 1 pertence ao conjunto. Pois 1 = 1 + 0 √ p A adic¸a˜o e´ fechada. Pois x+ y √ p+ z + w √ p = x+ z + (y + w) √ p. O produto e´ fechado. Pois (x+ y √ p)(z + w √ p) = xz + xw √ p+ yz √ p+ y.wp. Dado x ∈ A implica −x ∈ A. Pois dado x+ y√p temos o sime´trico −x− y√p. Dado x 6= 0 ∈ A tem-se x−1 ∈ A. Pois dado x+ y√p temos inverso x− y√p x2 − y2p como inverso multiplicativo. Exemplo 15. O conjunto dos elementos da forma a + bα onde α = 3 √ 2 na˜o e´ um corpo pois o produto na˜o e´ fechado, vamos mostrar que α2 na˜o pertence ao conjunto. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 44 Suponha que α2 = a+bα enta˜o α3 = aα+bα2 = 2 substituindo a primeira na segunda temos que aα+ b(a+ bα) = aα + ab+ b2α = α(b2 + a) + ab = 2⇒ α(b2 + a) = 2− ab se b2 + a 6= 0 enta˜o α = 2− ab b2 + a o que e´ absurdo pois α e´ irracional, enta˜o devemos ter a = −b2, multiplicamos a expressa˜o aα + bα2 = 2 por α, de onde segue aα2 + 2b = 2α, substituindo α2 = a+ bα nessa u´ltima temos a(a+ bα) + 2b = a2 + abα + 2b = 2α⇒ α(2− ab) = 2b+ a2 se 2 6= ab chegamos num absurdo de α = 2b+ a 2 2− ab , temos que ter enta˜o 2 = ab e a = −b 2 de onde segue 2 = −b3, pore´m na˜o existe racional que satisfaz essa identidade, da´ı na˜o podemos escrever α2 da forma a+bα com a e b racionais, portanto o produto de elementos na˜o e´ fechado e assim na˜o temos um corpo. 1.3.29 Questa˜o 30 Propriedade 62. Sejam a, b ∈ Q+. √a+ √ b e´ racional ⇔ √a e √ b sa˜o racionais. Demonstrac¸a˜o. ⇒). Se a = b enta˜o 2 √ a ∈ Q o que implica √a = √ b ∈ Q. Agora o caso de a 6= b. Suponha que √ a+ √ b e´ racional enta˜o seu inverso tambe´m racional , que e´ √ a−√b a− b , da´ı √ a− √ b ∈ Q , a soma (√a+ √ b) + ( √ a− √ b) = 2 √ a ∈ Q logo √a ∈ Q, a diferenc¸a de nu´meros racionais tambe´m e´ um nu´mero racional ( √ a+ √ b)−√a = √ b, portanto √ a e √ b sa˜o racionais. ⇐). A volta vale pois a soma de racionais e´ um racional. 1.3.30 Questa˜o 31 Propriedade 63. Sejam A ⊂ R na˜o vazio limitado e c ∈ R, enta˜o 1. c ≤ sup(A)⇔ ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A tal que c− ε < x. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 45 2. c ≥ inf(A)⇔ ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A tal que c+ ε > x. Demonstrac¸a˜o. 1. ⇒). Para todo ε > 0 vale que c − ε < sup(A). Dado ε > 0 fixo, se na˜o existisse x ∈ A tal que c− ε < x enta˜o c− ε seria cota superior menor que o supremo, o que e´ absurdo, contraria o fato do supremo ser a menor das cotas superiores. ⇐). Suponha por absurdo que fosse c > sup(A), poder´ıamos tomar c− sup(A) = ε da´ı c− c+ sup(A) = sup(A) < x o que e´ absurdo. 2. ⇒). Para todo ε > 0 vale que c + ε < inf(A). Dado ε > 0 fixo, se na˜o existisse x ∈ A tal que c+ ε > x enta˜o c+ ε seria cota superior menor que o ı´nfimo, o que e´ absurdo, contraria o fato do ı´nfimo ser a menor das cotas inferiores. ⇐). Suponha por absurdo que fosse c < inf(A), poder´ıamos tomar inf(A)− c = ε da´ı x < c+ inf(A)− c = inf(A) o que e´ absurdo. 1.3.31 Questa˜o 32 Exemplo 16. Seja A = { 1 n | n ∈ N} . Mostre que inf A = 0. Sabemos que 0 e´ uma cota inferior, agora vamos mostrar que 0 e´ a menor delas. Dado 0 < x, x na˜o pode ser cota inferior, pois existe n natural tal que 1 n < x, logo 0 e´ o ı´nfimo. 1.3.32 Questa˜o 33 Propriedade 64. Se A e´ limitado inferiormente e B ⊂ A enta˜o inf(A) ≤ inf(B). Demonstrac¸a˜o. infA e´ cota inferior de A, logo tambe´m e´ cota inferior de B,sendo cota inferior de B vale infA ≤ infB, pois inf B e´ a maior cota inferior de B. Propriedade 65. Se A e´ limitado superiormente e B ⊂ A enta˜o sup(A) ≥ sup(B). Demonstrac¸a˜o. Toda cota superior de A e´ cota superior de B, logo o sup(A) e´ cota superior de B, como sup(B) e´ a menor das cotas superiores de B segue que sup(A) ≥ sup(B). CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 46 Corola´rio 10. Se A e B sa˜o conjuntos limitados com B ⊂ A enta˜o vale sup(A) ≥ sup(B) ≥ inf(B) ≥ inf(A) pois temos sup(A) ≥ sup(B) e inf(A) ≤ inf(B), tendo ainda que sup(B) ≥ inf(B). 1.3.33 Questa˜o 34 Propriedade 66. Sejam A,B ⊂ R tais que para todo x ∈ A e todo y ∈ B se tenha x ≤ y. Enta˜o supA ≤ inf B. Demonstrac¸a˜o. Todo y ∈ B e´ cota superior de A, logo supA ≤ y para cada y pois supA e´ a menor das cotas superiores, essa relac¸a˜o implica que supA e´ cota inferior de B logo supA ≤ inf B, pois inf B e´ a maior cota inferior. Propriedade 67. supA = inf B ⇔ para todo ε > 0 dado , existam x ∈ A e y ∈ B com y − x < ε. Demonstrac¸a˜o. ⇐, usamos a contrapositiva. Na˜o podemos ter inf B < supA pela propriedade anterior, enta˜o temos forc¸osamente que inf B > supA, tomamos enta˜o ε = inf B − supA > 0 e temos y − x ≥ ε para todo x ∈ A e y ∈ B pois y ≥ inf B e supA ≥ x de onde segue −x ≥ − supA, somando esta desigualdade com a de y tem-se y − x ≥ inf B − supA = ε. ⇒ , Se supA = inf B. Enta˜o sendo para qualquer ε > 0, supA− ε 2 na˜o e´ cota superior de A, pois e´ menor que o supA (que e´ a menor cota superior), da mesma maneira inf A+ ε 2 na˜o e´ cota inferior de B, enta˜o existem x ∈ A e y ∈ B tais que supA− ε 2 < x ≤ supA = inf B ≤ y < inf B + ε 2 inf B − ε 2 < x ≤ y < inf B + ε 2 de onde segue inf B − ε 2 < x, −x < ε 2 − inf B e y < inf B + ε 2 somando ambas tem-se y − x < ε. 1.3.34 Questa˜o 35 e 36 Propriedade 68. Se c > 0 enta˜o sup(c.A) = c. supA. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 47 Demonstrac¸a˜o. Seja a = supA. Para todo x ∈ A tem-se x ≤ a, de onde segue cx ≤ ca, assim ca e´ cota superior de cA. Seja d tal que d < ca enta˜o d c < a logo d c na˜o e´ cota superior de A, implicando a existeˆncia de pelo menos um x tal que d c < x, d < cx de onde segue que d na˜o e´ cota superior de cA, assim ca e´ a menor cota superior de cA logo o supremo. Propriedade 69. Se c > 0, inf cA = c inf A. Demonstrac¸a˜o. Seja a = inf A, enta˜o vale a ≤ x para todo x, multiplicando por c segue ca ≤ cx de onde conclu´ımos que ca e´ cota inferior de cA. Seja d tal que ca < d, enta˜o a < d c , implicando que d c na˜o e´ cota inferior de A assim existe x ∈ A tal que x < d c ⇒ cx < d, logo d na˜o e´ cota inferior de cA, implicando que c.a e´ a maior cota inferior, logo o ı´nfimo do conjunto. Propriedade 70. Se c < 0 enta˜o inf(cA) = c supA. Demonstrac¸a˜o. Seja a = supA . Tem-se x ≤ a para todo x ∈ A, multiplicando por c segue cx ≥ ca para todo x ∈ A. Enta˜o ca e´ uma cota inferior de cA. Se d > ca tem-se d c < a como a e´ supremo, isso significa que existe x ∈ A tal que d c < x logo d > cx, assim esse d na˜o e´ cota inferior, implicando que ca e´ a menor cota inferior, enta˜o ı´nfimo do conjunto. A questa˜o 35 segue da pro´xima propriedade com c = −1. Propriedade 71. Se c < 0 enta˜o sup(cA) = c inf A. Demonstrac¸a˜o. Seja b = inf A enta˜o vale b ≤ x para todo x ∈ A, multiplicando por c segue cb ≥ cx assim cb e´ cota superior de cA. Agora tome d tal que cb > d segue b < d c , como b e´ ı´nfimo existe x ∈ A tal que x < d c , cx > d assim esse d na˜o pode ser cota superior de cA, enta˜o cb e´ a menor cota superior, logo o ı´nfimo. 1.3.35 Questa˜o 37 Item I Sejam A,B ⊂ R, conjuntos limitados . CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 48 Propriedade 72. O conjunto A+B = {x+ y | x ∈ A, y ∈ B} tambe´m e´ limitado. Demonstrac¸a˜o. Se A e´ limitado , existe t tal que |x| < t para todo x ∈ A e se B e´ limitado existe u tal que |y| < u ∀y ∈ B. Somando as desigualdades e usando desigualdade triangular segue |x| + |y| < u + t e |x + y| ≤ |x| + |y| < u + t logo o conjunto A + B e´ limitado. Item II Propriedade 73 (Propriedade aditiva). Vale sup(A+B) = sup(A) + sup(B). Demonstrac¸a˜o. Como A,B sa˜o limitidados superiomente, temos supA := a e supB := b, como vale a ≥ x e b ≥ y para todos x, y ∈ A,B respectivamente segue que a+ b ≥ x+ y logo o conjunto A+B e´ limitado superiormente. Para todo e qualquer ε > 0 existem x, y tais que a < x+ ε 2 , b < y + ε 2 somando ambas desigualdades-segue-se que a+ b < x+ y + ε que mostra que a+ b e´ a menor cota superior, logo o supremo, fica valendo enta˜o sup(A+B) = sup(A) + sup(B). Item III Propriedade 74. inf(A+B) = inf A+ inf B. Demonstrac¸a˜o. Sejam a = infA e b = infB enta˜o ∀x, y ∈ A,B tem-se a ≤ x, b ≤ y de onde segue por adic¸a˜o a+ b ≤ x+ y, assim a+ b e´ cota inferior de A+B. ∃x, y ∈ A,B tal que ∀ε > 0 vale x < a + ε 2 e y < b + ε 2 pois a e b sa˜o as maiores cotas inferiores, somando os termos das desigualdades segue x+ y < a+ b+ ε, que implica que a+ b e´ a maior cota inferior logo o ı´nfimo. 1.3.36 Questa˜o 38 Definic¸a˜o 5 (Func¸a˜o limitada). Seja A ⊂ R, f : A → R e´ dita limitada quando o conjunto f(A) = {f(x) | x ∈ A}, se f(A) e´ limitado superiormente enta˜o dizemos que f e´ CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 49 limitada superiormente e caso f(A) seja limitado inferiormente dizemos que A e´ limitado inferiormente. Seja uma func¸a˜o limitada f : V → R. Definic¸a˜o 6. sup f := sup f(V ) = sup{f(x) | x ∈ V } Definic¸a˜o 7. inf f := inf f(V ) = inf{f(x) | x ∈ V } Propriedade 75. A func¸a˜o soma de duas func¸o˜es limitadas e´ limitada. Demonstrac¸a˜o. Vale |f(x)| ≤M1 e |g(x)| ≤M2 ∀x ∈ A enta˜o |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤M1 +M2 = M portando a func¸a˜o soma f + g de duas func¸o˜es limitadas e´ tambe´m uma func¸a˜o limitada. Sejam f, g : V → R func¸o˜es limitadas e c ∈ R. Propriedade 76. sup(f + g) ≤ sup f + sup g. Demonstrac¸a˜o. Sejam A = {f(x) | x ∈ V }, B = {g(y) | y ∈ V }, C = {g(x) + f(x) | x ∈ V } temos que C ⊂ A+B, pois basta tomar x = y nos conjuntos, logo sup(A+B) ≥ sup(f + g) sup(A) + sup(B) = sup f + sup g ≥ sup(f + g) Propriedade 77. inf(f + g) ≥ inf(f) + inf(g). Demonstrac¸a˜o. De C ⊂ A+B segue tomando o ı´nfimo inf(A+B) = inf(A) + inf(B) = inf(f) + inf(g) ≤ inf(C) = inf(f + g). CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 50 Exemplo 17. Sejam f, g : [0, 1]→ R dadas por f(x) = x e g(x) = −x Vale sup f = 1, sup g = 0, f + g = 0 logo sup(f + g) = 0 vale enta˜o sup f + sup g = 1 > sup(f + g) = 0. Temos ainda inf f = 0, inf g = −1, f + g = 0, inf(f + g) = 0 logo inf f + inf g = −1 < inf(f + g) = 0. As desigualdades estritas tambe´m valem se consideramos as func¸o˜es definidas em [−1, 1], nesse caso sup f + sup g = 2 e inf f + inf g = −2 e sup(f + g) = 0 = inf(f + g). 1.3.37 Questa˜o 39 Definic¸a˜o 8. Sejam A e B conjuntos na˜o vazios, definimos A.B = {x.y | x ∈ A, y ∈ B}. Propriedade 78. Sejam A e B conjuntos limitados de nu´meros positivos, enta˜o vale sup(A.B) = sup(A). sup(B). Demonstrac¸a˜o. Sejam a = sup(A) e b = sup(B) enta˜o valem x ≤ a e y ≤ b, ∀x ∈ A, y ∈ B da´ı x.y ≤ a.b, logo a.b e´ cota superior de A.B. Tomando t < a.b segue que t a < b logo existe y ∈ B tal que t a < y da´ı t y < a logo existe x ∈ A tal que t y < x logo t < x.y enta˜o t na˜o pode ser uma cota superior, implicando que a.b e´ o supremo do conjunto. Propriedade 79. Sejam A e B conjuntos limitados de nu´meros positivos, enta˜o vale inf(A.B) = inf(A). inf(B). Demonstrac¸a˜o. Sejam a = inf(A) e b = inf(B) enta˜o valem x ≥ a e y ≥ b, ∀x ∈ A, y ∈ B da´ı x.y ≥ a.b, logo a.b e´ cota inferior de A.B. Tomando t > a.b segue que t a > b logo existe y ∈ B tal que t a > y da´ı t y > a logo existe x ∈ A tal que t y > x logo t < x.y enta˜o t na˜o pode ser uma cota inferior, implicando que a.b e´ o ı´nfimo do conjunto. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 51 1.3.38 Questa˜o 40 Propriedade 80. Sejam f, g : A→ R func¸o˜es limitadasenta˜o f.g : A→ R e´ limitada. Demonstrac¸a˜o. Vale que |f(x)| < M1 e |g(x)| < M2 enta˜o |f(x)g(x)| < M1M2 = M ∀ x ∈ A , portanto f.g : A→ R e´ limitada. Propriedade 81. Sejam f, g : A→ R+ limitadas superiormente, enta˜o sup(f.g) ≤ sup(f) sup(g). Demonstrac¸a˜o. Sejam C = {g(x).f(x) | x ∈ A} , B = {g(y). | y ∈ A} e A = {f(x) | x ∈ A} . Vale que C ⊂ A.B para ver isso basta tomar x = y nas definic¸o˜es acima, da´ı sup(A.B) ≥ sup(C) sup(A) sup(B) ≥ sup(C) sup(f) sup(g) ≥ sup(f.g). Propriedade 82. Sejam f, g : A→ R+ limitadas inferiormente, enta˜o inf(f.g) ≥ inf(f) inf(g). Demonstrac¸a˜o. Sejam C = {g(x).f(x) | x ∈ A} , B = {g(y). | y ∈ A} e A = {f(x) | x ∈ A} . Vale que C ⊂ A.B, da´ı inf(A.B) ≤ inf(C) inf(A) inf(B) ≤ inf(C) inf(f) inf(g) ≤ inf(f.g). Exemplo 18. Sejam f, g : [1, 2] → R dadas por f(x) = x e g(x) = 1 x , vale sup f = 2, sup g = 1 sup f. sup g = 2 e sup(f.g) = 1, pois f.g = 1 logo sup f sup g > sup(f.g). Da mesma maneira inf f = 1, inf g = 1 2 vale inf f. inf g = 1 2 e inf(f.g) = 1 portanto inf f. inf g < inf(f.g). CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 52 Propriedade 83. Seja f : A→ R+ limitada superiormente enta˜o sup(f 2) = (sup f)2. Demonstrac¸a˜o. Seja a = sup f tem-se f(x) ≤ a ∀x da´ı f(x)2 ≤ a2 enta˜o a2 e´ cota superior de f 2, e e´ a menor cota superior pois se 0 < c < a2 enta˜o √ c < a logo existe x tal que √ c < f(x) < a e da´ı c < f(x)2 < a2 logo a2 e´ a menor cota superior sup(f 2) = sup(f)2. Propriedade 84. Seja f : A→ R+ enta˜o inf(f 2) = (inf f)2. Demonstrac¸a˜o. Seja a = inf f tem-se f(x) ≥ a ∀x da´ı f(x)2 ≥ a2 enta˜o a2 e´ cota inferior de f 2, e e´ a maior cota inferior pois se a2 < c enta˜o a < √ c logo existe x tal que a < f(x) < √ c e da´ı a2 < f(x)2 < c logo a2 e´ a maior cota inferior inf(f 2) = inf(f)2. 1.3.39 Questa˜o 42 Teorema 1 (Teorema das ra´ızes racionais). Se o polinoˆmio f(x) = n∑ k=0 akx k de coeficientes inteiros, tem uma raiz racional x = r s tal que mdc(r, s) = 1 enta˜o s|an e r|a0. Demonstrac¸a˜o. Se x = r s e´ raiz de f(x) = n∑ k=0 akx k, enta˜o temos f ( r s ) = n∑ k=0 ak ( r s )k = 0 multiplicando por sn em ambos os lados temos n∑ k=0 akr k.sn−k = 0 como s|0 enta˜o s| n∑ k=0 akr k.sn−k , na soma s na˜o aparece como fator apenas quando n− k = 0, n = k, logo abrindo o limite superior do somato´rio temos n−1∑ k=0 akr k.sn−k + anrn.sn−n = n−1∑ k=0 akr k.sn−k + anrn = 0 CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 53 da´ı s deve dividir anr n, como s e´ primo com r implica que tambe´m e´ primo com rn, portanto s deve dividir an. Pelo mesmo argumento, temos que r|0 logo r deve dividir n∑ k=0 akr k.sn−k, como o u´nico fator onde r na˜o aparece e´ quando k = 0, abrimos o limite inferior do somato´rio a0r 0.sn−0 + n∑ k=1 akr k.sn−k = a0.sn + n∑ k=1 akr k.sn−k = 0 logo r deve dividir a0.s n, mas como r e´ primo com sn, ele deve dividir a0. Corola´rio 11. Se o polinoˆmio de coeficientes inteiros n∑ k=0 akx k possui ra´ızes racionais enta˜o elas devem pertencer ao conjunto A = {p q | p|a0 q|an}. Corola´rio 12. Se an = 1 em um polinoˆmio de coeficientes inteiros P (x) = n∑ k=0 akx k enta˜o suas ra´ızes racionais devem ser inteiras, pois A = {p q | p|a0 q|1} enta˜o q = 1 ou q = −1, e de qualquer forma implica que as soluc¸o˜es sa˜o da forma x = p para algum p ∈ Z. Enta˜o , nessas condic¸o˜es, as ra´ızes do polinoˆmio P (x) sa˜o inteiras ou irracionais. Propriedade 85. Seja P (x) = xn − a, a > 0 ∈ Z, se a na˜o e´ n-e´sima poteˆncia de um nu´mero natural enta˜o a u´nica raiz positiva de P , que e´ n √ a , e´ irracional. Demonstrac¸a˜o. Como P possui coeficiente an = 1 enta˜o ele possui raiz irracional ou inteira, se a raiz positiva m fosse inteira (logo natural) ter´ıamos mn − a = 0 e da´ı a = mn e´ poteˆncia de um nu´mero natural, o que contraria a hipo´tese de a na˜o ser n-e´sima poteˆncia de um nu´mero natural, logo n √ a e´ irracional. 1.3.40 Questa˜o 43 Propriedade 86. Sejam I um intervalo na˜o degenerado e k > 1 natural. O conjunto A = {m kn ∈ I | m,n ∈ Z} e´ denso em I. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 54 Demonstrac¸a˜o. Dado ε > 0 existe n ∈ N tal que kn > 1 ε , da´ı os intervalos [ m kn , m+ 1 kn ] tem comprimento m+ 1 kn − m kn = 1 kn < ε. Existe um menor inteiro m + 1 tal que x + ε ≤ m+ 1 kn da´ı m kn ∈ (x − ε, x + ε) pois se fosse x + ε < m kn iria contrariar a minimalidade de m + 1 e se fosse m kn < x− ε enta˜o [ m kn , m+ 1 kn ] teria comprimento maior do que de (x− ε, x + ε), que e´ ε, uma contradic¸a˜o com a suposic¸a˜o feita anteriormente. 1.3.41 Questa˜o 44 Propriedade 87. O conjunto dos polinoˆmios com coeficientes racionais e´ enumera´vel. Demonstrac¸a˜o. Seja Pn o conjunto dos polinoˆmios com coeficientes racionais de grau ≤ n a func¸a˜o f : Pn → Qn+1 tal que P ( n∑ k=0 akx k) = (ak) n 1 e´ uma bijec¸a˜o. Como Qn+1 e´ enumera´vel por ser produto cartesiano finito de conjuntos enumera´veis, segue que Pn e´ enumera´vel. Sendo A o conjunto dos polinoˆmios de coeficientes racionais, vale que A = ∞⋃ k=1 Pk portanto A e´ unia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis , sendo assim A e´ enumera´vel. Definic¸a˜o 9 (Nu´mero alge´brico). Um nu´mero real (complexo) x e´ dito alge´brico quando e´ raiz de um polinoˆmio com coeficientes inteiros. Propriedade 88. O conjunto dos nu´meros alge´bricos e´ enumera´vel. Demonstrac¸a˜o.[1] EnumeramosA = {P1, P2, · · · , Pn, · · · }, o conjunto dos polinoˆmios com coeficientes inteiros, definimos Bk como conjunto das ra´ızes reais de fk, enta˜o vale que B = ∞⋃ k=1 Bk como cada Bk e´ finito B fica sendo unia˜o enumera´vel de conjuntos finitos, enta˜o B e´ enumera´vel. CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 55 Demonstrac¸a˜o.[2] Seja B o conjunto dos alge´bricos e A o conjunto dos polinoˆmios com coeficientes inteiros. Para cada alge´brico x escolhemos um polinoˆmio Px tal que Px(x) = 0. Definimos a func¸a˜o f : B → A tal que F (x) = Px. Dado Px ∈ F (B), temos que o conjunto g−1(Px) dos valores x ∈ B tal que f(x) = Px e´ finito pois Px︸︷︷︸ =y possui um nu´mero finito de ra´ızes e da´ı tem-se B = ⋃ y∈f(B) g−1(y) logo B e´ unia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis ( no caso finitos), enta˜o B e´ enu- mera´vel. Corola´rio 13. Existem nu´meros reais que na˜o sa˜o alge´bricos, pois se todos fossem alge´bricos R seria enumera´vel. Definic¸a˜o 10 (Nu´meros transcendentes). Os nu´meros reais que na˜o sa˜o alge´bricos sa˜o ditos transcendentais Propriedade 89. O conjunto dos nu´meros alge´bricos e´ denso em R, pois todo racional e´ alge´brico, o racional b a e´ raiz do polinoˆmio com coeficientes inteiros ax− b = P (x) ax− b = 0⇔ ax = b⇔ x = b a . E Q e´ denso em R. 1.3.42 Questa˜o 45 Propriedade 90. Seja A enumera´vel e B = R \ A, enta˜o para cada intervalo (a, b), (a, b) ∩B e´ na˜o enumera´vel, em especial B e´ denso em R. Com esse resultado garantimos que o complementar de um conjunto enumera´vel e´ denso em R. Demonstrac¸a˜o. Sabemos que (a, b) e´ na˜o enumera´vel, escrevemos (a, b) = [(a, b) ∩ A] ∪ [(a, b) ∩ (R \ A)] = [(a, b) ∩ A] ∪ [(a, b) ∩B], CAPI´TULO 1. SOLUC¸O˜ES-CURSO DE ANA´LISE VOL.1 56 sabemos que (a, b)∩A e´ enumera´vel se (a, b)∩B tambe´m o fosse, chegar´ıamos no absurdo de (a, b) ser enumera´vel, por ser unia˜o finita de conjuntos enumera´veis , portanto (a, b)∩B e´ na˜o enumera´vel e B e´ denso em R. Exemplo 19. Um conjunto pode na˜o ser enumera´vel e tambe´m na˜o ser denso em R, como (a, b). 1.3.43 Questa˜o 46 Corola´rio 14. O conjunto T dos nu´meros transcedentais e´ na˜o enumera´vel e denso em R. Pois A o conjunto dos nu´meros alge´bricos e´ enumera´vel, T = R \A, como complementar dos nu´meros alge´bricos T e´ na˜o enumera´vel e denso em R. 1.3.44 Questa˜o 47 Propriedade 91. Seja L|K uma extensa˜o de corpo. Se α, β ∈ L sa˜o alge´bricos sobre K, enta˜o α± β, α.β e α β com β 6= 0 sa˜o alge´bricos sobre K, Desse modo {α ∈ L|α e´ alge´brico sobre K} e´ um subcorpo de L que conte´m K. Demonstrac¸a˜o.
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