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CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL REAL 
Plácido Zoega Táboas 
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 P-IEOI-PIE-SS-Sl6 NaS! 
CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL REAL 
Reitora 
Vice-reitor 
Diretor-presidente 
Presidente 
Vice-presidente 
Diretora Editorial 
Edito ras -assistentes 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Suely Vilela 
Franco Maria Lajolo 
EDITORA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Plinio Martins Filho 
COMISSÃO EDITORIAL 
José Mindlin 
Carlos Alberto Barbosa Dantas 
Benjamin Abdala Júnior 
Carlos Augusto Monteiro 
Maria Arminda do Nascimento Arruda 
Nélio Marco Vincenzo Bizzo 
Ricardo Toledo Silva 
Silvana Biral 
Marilena Vizentin 
Carla Fernanda Fontana 
CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL REAL 
Plácido Zoega Táboas 
Copyright © 2008 by Plácido Zoega Táboas 
Ficha catalográfica elaborada pelo Departamento 
Técnico do Sistema Integrado de Bibliotecas da USP 
Táboas, Plácido Zoega. 
Cálculo em uma Variável Real/Plácido Zoega Táboas.­
São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2008. 
344 p.; 19,5 x 27 em. - (Acadêmica; 70). 
Inclui referências bibliográficas. 
Inclui índice remissivo. 
ISBN 978-85-314-1031-4 
I. Cálculo absoluto. 2. Cálculo de variações. 3. Mate­
mática. I. Título. 
Direitos em reservados à 
Edusp - Editora da Universidade de São Paulo 
Av. Prof. Luciano Gualberto, Travessa J, 374 
6° andar - Ed. da Antiga Reitoria - Cidade Universitária 
05508-900 - São Paulo - SP - Brasil 
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www.edusp.com.br- e-mail: edusp@usp.br 
Printed in Brazil 2008 
Foi feito o depósito legal 
CDD-5 1 5.3 
À memória de Mário Tourasse Teixeira, 
amigo e mestre inspirador. 
PREFÁCIO 
1 FATOS BÁSICOS 
1. 1 A reta real . 
1. 2 Funções . 
1. 3 Exercícios . 
2 LIMITE E CONTINUIDADE 
2. 1 Limites . . . . . . . . 
SUMÁRIO 
2. 2 Propriedades dos limites . . . . . . . 
2. 3 Limites no infinito e limites infinitos 
2. 3 . 1 Seqüências convergentes 
2.4 Continuidade 
2 . 5 Exercícios 
3 A DERIVADA 
3 . 1 O conceito d e derivada 
3.2 Diferenciabilidade e continuidade 
3 . 3 Regras de derivação . 
3 .4 Velocidade . . . . . . . . . . 
3 . 5 A Regra da Cadeia . . . . . 
3 . 6 Derivada da função inversa . 
3 . 7 Derivadas de ordem superior 
3.8 Derivadas de funções definidas implicitamente 
7 
1 1 
11 
21 
38 
41 
41 
48 
56 
66 
69 
80 
87 
87 
92 
97 
100 
102 
105 
109 
111 
4 • Sumário 
3 . 9 O Teorema do Valor Médio . 1 13 
3 . 10 A Regra de L 'Hópital . 121 
3 . 1 1 Funções convexas e pontos de inflexão . 1 23 
3 . 1 1 . 1 Funções convexas deriváveis 128 
3 . 1 2 Máximos e mínimos . 1 33 
3 . 1 2. 1 Esboço do gráfico de funções . 1 39 
3 . 1 3 A diferencial e a fórmula de Taylor 142 
3 . 1 3 . 1 A diferencial . 143 
3 . 1 3 . 2 A Fórmula de Taylor 147 
3 . 14 Exercícios 152 
4 A INTEGRAL 161 
4 . 1 Integrabilidade e definição de integral 162 
4 .2 Propriedades da integral 1 73 
4 .3 Teoremas clássicos 1 76 
4 .4 O logaritmo e a exponencial 1 88 
4 .4 . 1 A função logaritmo 1 90 
4 .4 .2 A função exponencial . 1 92 
4 .4 . 3 As funções hiperbólicas . 202 
4 . 5 Algumas técnicas do Cálculo Integral 206 
4 . 5 . 1 Substituições trigonométricas 207 
4 . 5 . 2 Completamento do quadrado 209 
4 . 5 . 3 Potências de funções trigonométricas 213 
4 . 5 . 4 Funções racionais 214 
4 .6 Definição alternativa de integral 21 8 
4 . 7 Algumas aplicações da integral . . 219 
4 . 7 . 1 Área de conjuntos planos . 219 
4 . 7 .2 Comprimento de arco . 227 
4 . 7 . 3 Volume de um sólido de revolução . 234 
4 .7 .4 Área de uma superfície de revolução 236 
4 .7 . 5 Massa de um líquido , conhecida a função densidade 241 
4 . 8 Integrais impróprias 242 
4 . 8 . 1 Integrais em intervalos não-limitados 243 
4 . 8 . 2 Convergência absoluta 254 
4 . 8 . 3 Integrais com integrandos não-limitados 255 
4 .9 Exercícios 263 
5 SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 271 
5 . 1 Seqüências . 271 
5 . 2 Séries 28 1 
5 . 3 Séries de termos não-negativos . 286 
5 .4 Séries alternadas . . . . . . . . . . . 
5 . 5 Convergências absoluta e condicional 
5 . 6 Séries de potências 
5 . 7 Exercícios . . . . . . . . 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ÍNDICE REMISSIVO 
RESPOSTAS DE ALGUNS EXERcícIOS 
Sumário • 5 
292 
295 
30 1 
3 1 3 
319 
321 
325 
PREFÁCIO 
Até meados da década de 1960 , os cursos de Cálculo no Brasil , em geral di­
rigidos à formação de engenheiros , superavam no rigor e na extensão grande 
parte dos de hoje em dia, proporcionando aos alunos boa compreensão dos 
conceitos e habilidade em calcular . Tanto a precisão quanto a abrangência 
foram sendo relegadas ao longo dos anos , dando lugar a alguns cursos extre­
mamente informais . Entre as crenças que muito fortaleceram essa tendência 
está a de que conceitos como ponto de acumulação e até mesmo os argumen­
tos dos epsilons e deltas são muito sofisticados ou desprovidos de interesse 
para a média dos alunos de engenharia, o que , convenhamos , não se ajusta 
à verdade. 
Mesmo admitindo a necessidade de realizar adequações naqueles cursos , 
é preciso reconhecer que eles proporcionavam uma boa formação ao estu­
dante . Também não se pode negar que um profissional das ciências exatas , 
mesmo as mais voltadas às aplicações, necessita bom domínio dos conceitos 
fundamentais do Cálculo e esta necessidade não tem diminuído com o passar 
dos anos . 
Estas ponderações nos levaram a escrever esta introdução ao Cálculo , 
que procuramos situar mais próxima do rigor que do informalismo. Foi pla­
nejada inicialmente como texto para disciplinas do campus de São Carlos , da 
Universidade de São Paulo, mas , considerando as semelhanças curriculares 
de nossas universidades , pensamos que pode ser útil além dos limites deste 
campus. Cobre o que entendemos necessário no tocante às funções de uma 
variável real . Incluímos , entretanto , trechos em caracteres diferenciados , en­
tre barras horizontais , ocasionalmente descartáveis , mas indispensáveis a 
8 • Prefácio 
estudantes que vão se dedicar profissionalmente à matemática. Referindo-se 
a aspectos interessantes ou a fatos mais refinados da teoria, esses apêndices 
estão longe de tornar exaustivo o texto, nem mesmo chegam a representar 
substancial acréscimo de conteúdo . Esperamos apenas que possam estimular 
o estudante a ir mais longe nesta sua primeira incursão pelo Cálculo . 
Este livro deve ser um ponto de partida para iniciativas pessoais do es­
tudante . Acreditamos que os textos didáticos , assim como as aulas , não se 
esgotam em si mesmos e nem devem ter essa pretensão . Aulas são boas não 
só pelo conhecimento que transmitem, mas , principalmente , pelo despertar 
da curiosidade , o acender da motivação para o estudo . Pode ser muito o que 
se aprende em sala de aula, mas isso nem se compara ao que podem ser as 
conquistas do esforço persistente e solitário do trabalho individual . O pro­
cesso de aprendizagem que se inicia nas aulas depende fundamentalmente do 
esforço pessoal do estudante e deve envolver outras leituras . Alguns títulos 
da bibliografia apresentada no final podem ser um bom começo dessa prá­
tica; observamos que livros de Cálculo não comportam os requintes de obras 
sobre análise real , mas há exceções , como o livro Calculus, de M . Spivak, ou 
o antigo livro Advanced Calculus, de D. Widder , por exemplo. 
Ultimamente , algumas escolas têm envidado esforços para implantar o 
uso dos computadores no ensino do Cálculo . Este recurso pode ser útil na 
busca de caminhos para soluções de um ou outro problema ou para a compre­
ensão de algum fato . Na verdade tornou-se indispensável em praticamente 
todas as áreas da atividade humana. Pensamos, entretanto , que as práticas 
computacionais devem ser paralelas às disciplinas de Cálculo e não parte 
delas , mesmo porque o uso dos computadores deve ser estimulado não só 
como apoio ao Cálculo , mas também a outras áreas da matemática e, em 
geral , do conhecimento. 
Sendo o primeiro curso de Cálculo , em poucas palavras , uma introdução 
a processos- limite para funções reais de uma variável real , o mais natural 
seria iniciarmos com as funções mais elementares: as seqüências . Ao es­
colhermos aqui uma outra ordem estamos nos rendendo a uma razão de 
natureza puramente curricular: muito cedo o aluno precisa aplicar as deri­
vadas e as integrais em outras disciplinas ; convém, portanto , não retardar 
a apresentação desses assuntos. 
O capítulo 1 é pré-requisito para os que se seguem. Visa, principalmente , 
delinear uma linguagem e deixar estabelecidos alguns conceitos básicos . En­
tendemos que partes dele podem ser tratadas de modo ligeiro , mas , dado seu 
caráter fundamental , o capítulo como um todo deve permanecer como refe­
rência durante todo o desenvolvimento do Cálculo . Conhecimentos básicos 
de geometria analítica plana são admitidos . 
O Cálculo propriamente tem início no capítulo 2, com o estudo dos 
Prefácio • 9 
conceitos de limite e continuidade . O capítulo 3 é dedicado ao cálculo dife­
rencial e algumas de suas aplicações . No capítulo 4, apresentamos a integral 
de Riemann , introduzimos algumas técnicas do cálculo integral e fazemos 
algumas aplicações. Nele também definimos as funções logaritmo e expo­
nencial . No capítulo 5 , apresentamos as seqüências e séries numéricas e as 
séries de potências . No final de cada capítulo há uma lista de exercícios e no 
final do livro , uma lista de respostas de boa parte deles . Uns , mais práticos, 
visam treinar a manipulação de técnicas ; outros , mais conceituais, firmar 
os fundamentos e idéias da teoria. O estudante deve se sentir desafiado por 
qualquer um que lhe provoque dificuldades . 
No desenvolvimento do livro pudemos manter alguns diálogos extre­
mamente profícuos , em especial com os colegas José Luis Arraut Vergara , 
Alexandre Nolasco de Carvalho , Janey Antonio Daccach , Luiz Augusto da 
Costa Ladeira, Selma Helena de Jesus Nicola e Miguel Vinícius Santini 
Frasson que , na fase de diagramação , também colocou a nosso dispor seu 
bom gosto e seu conhecimento do programa �TEX. É um prazer deixar-lhes 
aqui registrado o nosso agradecimento. Agradecemos ainda a Vanda Biazi , 
Ires Dias e Benito Pires Frazão , por contribuições numa versão preliminar e 
por fim, mas não menos , ao Departamento Editorial da Edusp nas pessoas de 
Marilena Vizentin , editora assistente , e Silvana I3iral , diretora editorial , por 
sua disponibilidade, profissionalismo e simpatia. Obviamente , nenhuma das 
pessoas aqui mencionadas é responsável pelas imperfeições remanescentes . 
1 
FATOS BÁSICOS 
Neste capítulo acertamos alguns pontos de linguagem e introduzimos alguns 
conceitos fundamentais . Seu conteúdo é referência para os subseqüentes . 
Deve-se dar especial atenção ao Axioma da Completeza, página 1 8 , e não 
seguir em frente sem entender o que vem a ser um ponto de acumulação, 
definição 1 . 1 . 2 1 , página 1 9 . Estes assuntos são cruciais no desenvolvimento 
do Cálculo e envolvem certa sutileza, mas não chegam a ser complicados . 
1 . 1 A RETA REAL 
o conjunto dos números reais será denotado por ]R. e, como pode ser re­
presentado por uma reta orientada, será também chamado de reta real ou, 
simplesmente , reta. Em ]R. consideramos conhecida a relação de ordem " � " , 
menor ou igual. A notação a < b significa a � b e a =1= b . A notação a > b é 
a negação de a � b e a ;? b é a negação de a < b. 
Dados a , b , c E ]R., a relação " � ", por ser de ordem, goza das três pro-
priedades a seguir: 
( 1 ) a � a, [reflexiva] 
(2) Se a � b e b � a, então a = b , 
(3 ) Se a � b e b � c, então a � c. 
[ anti-simétrica] 
[transitiva 1 
Valem também: 
(4) Para quaisquer a , b E ]R., tem-se a � b ou b � a , 
(5 ) Se a � b e c � d, então a + c � b + d, 
(6) { ca � cb , quando c> O , a � b =? cb � ca , quando c < o. 
1 2 • Fatos Básicos 
Em outras palavras , (4) quer dizer que dois elementos , a, b E IR, são sem­
pre comparáveis . Diz-se que a ordem " � " é total por valer essa propriedade . 
A propriedade (5 ) é chamada invariância por translação. 
Como conseqüência de (6) , se a, b E IR temos : 
a < b ::::} -a > -b. 
Agregam-se à reta real dois símbolos : +00 [a breviado por 00] e -00, 
que não são números. Isto é, fica definida por IR* = IR U { -00, +oo} a reta 
real estendida. Neste caso , para qualquer x E IR está satisfeita a relação 
-00 < x < 00. 
DEFINIÇÃO 1.1.1. Dados a, b E IR, a � b e -00 < c � 00, os seguintes 
subconjuntos de IR são chamados intervalos: 
(a, b) = {x E IR I a < x < b} 
[a, b] = {x E IR I a � x � b} 
[a, b) = {x E IR I a � x < b} 
(a, b] = {x E IR I a < x � b} 
(-00, a] = {x E IR I x � a} 
(-00, c) = {x E IR I x < c} 
[a, 00) = {x E IR I x ;? a} 
(a, 00) = {x E IR I x > a} 
Observe que , ao admitirmos a possibilidade a = b, estamos considerando 
que o conjunto vazio é um intervalo [(a, a] = 0] e que qualquer subconjunto 
unitário da reta é um intervalo [ [a, a] = {a}] , chamado intervalo degenerado. 
Note também que , se c = 00, temos o intervalo (-00,00) = IR. 
DEFINIÇÃO 1.1.2. Para todo x E IR, o módulo, ou valor absoluto, de x é o 
número I x l definido por 
I x l = { x , -x , 
se x ;? O 
se x < O . 
A definição 1 . 1 . 2 implica as seguintes propriedades : 
1.Ixl=l-xl, VxElR, 
2 . I x l ;? O , V x E IR, 
3 . x � I x l , 'í/x E IR, 
4 . Ixy l = I x l l y l , 'í/ x , y E IR, 
cujas demonstrações são deixadas como exercício. 
A reta real • 1 3 
------<011111111111111111111111111111111111111111111111IIO>-------+-
-a O a 
Figura 1.1.1: {x E IR Ilxl < a} = (-a,a) 
EXEMPLO 1 . 1 . 3. ( 1 ) Dado a E IR, temos : 
I x l < a {:} -a < x < a , 
como está indicado na figura 1 . 1 . 1 . 
( 1 . 1 . 1 ) 
De fato , multiplicando a desigualdade -a < x < a por - 1 , obtemos a 
equivalência -a < x < a {:} -a < -x < a . Logo 
-a < x < a :::::} -a < -x < a e -a < x < a :::::} I x l < a , 
uma vez que , sempre , I x l = x ou I x l = -x. Reciprocamente , de acordo com 
as propriedades 1 e 3, acima, podemos escrever 
Ix l < a :::::} l -x l < a e I x l < a :::::} -x < a e x < a :::::} -a < x < a . 
(2) Dado a E IR, temos 
I x l > a {:} x < -a ou x > a . 
De fato , como I x l = x ou I x l = -x, temos 
I x l > a {:} -x > a ou x > a . 
Faça uma figura do tipo da figura 1 . 1 . 1 para este caso . 
(3) Resolver uma desigualdade como , por exemplo, 
I x - 31 < 2, 
é descrever o conjunto dos x E IR que a satisfazem. Vamos resolvê-la . Do 
item anterior temos -2 < x - 3 < 2, logo 
1 < x < 5 . 
---....,If---------<OlllllllllllllllllllllllllllllllllllllllIIIIIIIIIIO>-----____+_ 
O a-E a a+E 
Figura 1.1. 2: {x E IR I I x - a I < E} = (a -E, a + E) 
De um modo geral , se c é um número positivo e a E IR é dado , temos : 
I x - a i < c {:} a - c < x < a + c, 
1 4 • Fatos Básicos 
isto é, X E (a - c, a + c) , veja a figura 1. 1.2. 
(4) Se c é um número positivo e a E lR é dado , temos : 
I x - a i > c {::} x < a - c ou x > a + c. 
Isto é, x E ( -00, a - c) U (a + c, 00) = lR \ [a - c, a + c] Use o item (2) para 
justificar esta afirmação e faça uma figura análoga à figura 1. 1.2 para este 
caso . [Se A e B são dois subconjuntos de um conjunto U, a notação A \ B, 
lê-se "A menos B ", tem o significado A \ B = {x E U I x E A e x ti:- B}]. 
Cada um dos ítens de (1) a (4) do exemplo 1. 1. 3 tem uma versão óbvia 
com "::;;" e " ;? " em vez de " < " e "> ", respectivamente . 
DESIGUALDADE TRIANGULAR. Para quaisquer a, bE lR: 
l a + bl ::;; la l + I bl· (1. 1.2) 
Demonstração. Pela propriedade 3 subseqüente à definição 1. 1.2, página 12, 
valem as seguintes desigualdades : 
-I a l ::;; a::;; la l , 
-I b l ::;; b::;; I b l . 
Somando membro a membro vem 
-(I al + I b l ) ::;; a + b ::;; l a l + I b l 
e , d e acordo com a equivalência (1.1.1) com "::;;" em vez de " < ", temos 
la + bl ::;; l a l + I bl· O 
A razão do nome desigualdade triangular é que , no cálculo vetorial , se 
a e b são vetores e se as barras I . I denotam o módulo de vetores , então , 
em geral , o s números l a l , I b l e l a + b l são os comprimentos dos lados de um 
triângulo e vale a desigualdade (1.1.2) . Nesse contexto , ela significa que o 
comprimento de um lado de um triângulo é sempre menor ou igual à soma 
dos comprimentos dos outros dois [a igualdade ocorre apenas em casos de 
triângulos degenerados, quando o vetor b é múltiplo de a]. 
A desigualdade triangular tem a seguinte conseqüência: 
PROPOSIÇÃO 1.1.4. Para quaisquer a, b E lR: 
l a l - I bl ::;; l a - b l · (1. 1. 3) 
A reta real • 1 5 
Demonstração. Dados a , b E IR, pela desigualdade triangular , temos 
10,1 = I (a - b) + b l � l a - b l + I b l , 
ou sej a, 1 0,1 - I b l � l a - b l · D 
Trocando os papéis de a e b em ( 1 . 1 . 3) , temos I b l - I a l � I b - 0,1 , ou sej a, 
- ( I a l - I b l ) � l a - b l · (1. 1. 4) 
Assim, pela definição de módulo , juntando (1. 1. 3) e (1. 1. 4) , temos o seguinte 
melhoramento da proposição 1. 1. 4: 
I l a l - l b l l � l a - b l , \j a , b E ]R. (1.1. 5) 
DEFINIÇÃO 1.1. 5. Diz-se que um subconjunto A de IR é limitado, se existe 
um número L > ° de modo que 
x E A:::} I x l � L. 
Se vale a condição mais fraca: 
x E A :::} x � L, 
diz-se que o conjunto A é limitado superiormente e o número L é chamado 
cota superior ou limitante superior de A. Analogamente , diz-se que o con­
junto A é limitado inferiormente quando existe um número fJ tal que 
e neste caso fJ é chamado cota inferior ou limitante inferior de A. 
Observação 1.1.6. Um conjunto A C IR é limitado se e somente se A for 
limitado superior e inferiormente. O conjunto vazio, 0, é limitado . 
EXEMPLO 1.1.7. (1) A = (0, 1] é um conjunto limitado , portanto limitado 
superior e inferiormente. 
(2) O conjunto dos números naturais N = {O, 1, 2, . . . } não é limitado , 
mas é limitado inferiormente. Qualquer número real não positivo é uma cota 
inferior de N. O conjunto Z = { . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . } dos números inteiros 
não é limitado inferiormente nem superiormente . 
(3) B = {(2n -1)/2n I n E N} é limitado , pois para todo n E N, tem-se: 
[ O que ocorre quando tomamos n muito grande ?] 
(4) C = {(2n-l)/n I n = 1, 2, . . . } é limitado. Justifique esta afirmação. 
1 6 • Fatos Bás'lco8 
DEFINIÇÃO 1.1.8. Seja A C IR, A i=- 0, um conjunto limitado superior­
mente . Diz-se que um número L é o supremo de A se L é urna cota superior 
de A e, para toda cota superior !v! de A, tem-se L � !v!. Denota-se 
L = supA. 
Por exemplo, 1 é o supremo do conjunto B = { (2T! - 1 ) /2T! I n E N}, 
considerado no item (3) do exemplo 1.1.7. Portanto qualquer número maior 
ou igual a 1 é urna cota superior de B. 
Em outras palavras, a definição 1.1.8 diz que o supremo de A é a sua 
menor cota superior . Isto sugere a seguinte reformulação da definição 1. 1.8 
que, embora sej a apenas urna reformulação, vamos adotar corno definição 
alternativa por ser, em rrmitas situações, a mais adequada: 
DEFINIÇÃO 1.1. 9. Seja A C IR, A i=- 0, um conjunto limitado superior­
mente. Diz-se que o número L é o supremo de A se estiverem satisfeitas as 
seguintes condições : 
( a) L é uma cota superior. 
(b) Dado é > ° qualquer, existe a E A tal que a > L - é. 
Observação 1.1.10. O item (b) da definição 1.1. 9 diz que, subtraindo-se de 
L um número positivo qualquer, por menor que ele sej a, o número obtido 
não será urna cota superior de A. 
O supremo de um conjunto A não necessariamente pertence a A . Este é 
o caso nos exemplos 1.1.7 - (3) , (4) e no exemplo 1. 1. 13 a seguir . 
DEFINIÇÃO 1.1.11. Se o supremo AI de um conjunto A C IR pertence a A, 
ele é chamado máximo de A, e denota-se M = max A. 
EXEMPLO 1.1.12. Em relação aos conjuntos A = (0, 1], N = {O , 1 , 2 , . . . }, 
B = { (2T! - 1 ) /2T! I n E N} e C = { (2n - 1 ) /n I n = 1 , 2 , . . . }, dados no 
exemplo 1.1.7, página 15, valem as seguintes afirmações : 1 = max A; não 
existe sup N; 1 = sup B e 2 = sup C [Na verdade a gamntia da inexistência 
de sup N é o teorema 1.1.18, apresentado mais adiante, conhecido como 
"propriedade arquimediana dos números reais", e as duas últimas afirmações 
seguem do corolário 1.1.19 desse teorema]. 
EXEMPLO 1.1.13. Sempre denotaremos com Q o conjunto dos números 
racionais . Sej a A = Q n [O , J2]. O número L = J2 satisfaz as condições (a) 
e (b) da definição 1. 1. 9 e é, portanto, ° supremo de A, mas J2 ti:- A. 
A reta real • 1 7 
É imediato que a condição (a) está satisfeita . Para verificar (b ) , podemos 
aplicar um algoritmo da raiz quadrada para obter aproximações sucessivas 
de v'2 por falta: ro = 1, rI = 1,4, r2 = 1,41, . . . , rn , . . . , que , por terem 
expansão decimal finita, são números racionais . Essas aproximações satisfa­
zem: v'2 - lO-n < rn < v'2, n = 0 , 1 , 2 , . . . . Dado E > 0 , existe n tal que 
lO-n < E. Assim, rn > v'2 - lO-n > v'2 - E e, como r n E A, a condição (b ) 
está satisfeita [Aqui, uma vez que lO-n < l/n, n = 1 , 2 , . . . , voltamos a usar 
um argumento que depende da propriedade arquimediana, mais exatamente, 
de seu corolário 1.1.19]. 
Estamos rondando um ponto muito delicado. De nossas considerações deve ter ficado, 
ao menos inconscientemente, a impressão de que todo subconjunto da reta não vazio 
e limitado superiormente tem um supremo. Por exemplo, na discussão do exemplo 
1.1.13, acima, admitimos tacitamente que o número real J2 existe. Isto não é óbvio. 
É conseqüência do fato da reta real ser completa, o que quer dizer, grosso modo, 
que ela não tem furos. Este fato só foi estabelecido rigorosamente com a definição 
precisa dos números reais, no final do século XIX. Admitimos também que o número 
J2 não está no conjunto Q dos racionais. Isto é, que a reta racional não é completa. 
Já a descoberta deste fato é bem antiga, tem mais de dois milênios. 
Na Grécia antiga, antes do século V a.c., os números conhecidos eram os racionais 
e aceitava-se que dois segmentos quaisquer eram sempre comensuráveis. Isto é, dados 
dois segmentos, U e r, U podia ser dividido em q segmentos congruentes, UI, U2, ... , 
uq, de modo que cada um destes coubesse exatamente p vezes em r. Assim, tomando­
se U como unidade de comprimento, os segmentos Ui C U, i = 1, 2, . . . , q, teriam 
comprimento l /q e o comprimento de r seria o número racional p/q. Por exemplo, 
na figura 1.1.3 temos q = 3, p = 5. Em outras palavras, dados dois segmentos 
quaisquer, acreditava-se que o comprimento de um era sempre múltiplo racional do 
comprimento do outro. 
U 
UI 
Figura l . l . 3 : Segmentos comensuráveis 
Atribui-se a Pitágoras a descoberta de que o comprimento J2 da diagonal de um 
quadrado de lado unitário não se exprime como uma fração p/q, isto é, a diagonal 
e o lado de um quadrado são incomensuráveis. O ponto correspondente ao número 
J2 na reta real não tem representante na reta racional. Diz-se que J2 é um número 
irracional, isto é, J2 E IR \ Q. Vejamos uma prova simples e pouco conhecida desta 
afi rmação, extra ída do I ivro de G. H. Hardy [3J. 
1 8 • Fatos Básicos 
"Suponhamos temporariamente que exista uma fração positiva p/q, irredutível, 
de modo que (p/q? = 2, isto é, p2 = 2q2. Isto implica (2q - p) 2 = 2 (p - q) 2. Logo 
2q - p 
p-q 
também é a raiz quadrada de 2. Mas, claramente, q < p < 2q, logo p- q < q. Assim, 
encontramos uma outra fração igual ao número p/q com um denominador menor, o 
que contraria a hipótese de p/q ser irredutível e encerra a prova." 
Além desta prova, encontram-se no livro de Hardy outros fatos interessantes, 
como a seguinte generalização: "Se a fração m/n é irredutível e ao menos um dos 
números m e n não é um quadrado perfeito, então Jm/n é irracional. Por conse­
guinte, dado um número inteiro positivo k, ou k é um quadrado perfeito ou Jk é 
um número irracional." 
Como não vamos nos aprofundar nas fascinantes questões relativas ao 
texto entre barras , acima, encerramos o assunto com o seguinte axioma: 
AXIOMA DA COMPLETEZA. Se A C � é um conjunto não vazio e limitado 
superiormente, então existe L = sup A E K 
Por exemplo , J2 é o supremo do conjunto A = {r E Q I r 2 < 2 } . 
S e A C �, A =1= 0 é limitado inferiormente , seu ínfimo, denotado por 
inf A, é a maior cota inferior de A. Em outros termos , 
DEFINIÇÃO 1.1.14. Seja A C �, A =1= 0, limitado inferiormente. O número 
f é chamado ínfimo de A se goza das duas seguintes propriedades : 
( a) f é uma cota inferior . 
(b) Dado um número c > O qualquer , existe a E A tal que a < f + c. 
Adaptações óbvias podem ser feitas no que foi apresentado sobre o supremo 
para se estabelecerem propriedades e conceitos análogos relat ivos ao ínfimo 
de um conjunto A. 
DEFINIÇÃO 1.1.15. Se o Ínfimo fi. de um conjunto A C � pertencer a A, 
diz-se que fi. é o mínimo de A e se denota fi. = min A. 
Do axioma da completeza decorre que todo conjunto A C � não vazio e 
limitado inferiormente tem Ínfimo . 
As duas proposições seguintes estabelecem relações importantes entre os 
números racionais e irracionais : 
A reta real • 1 9 
PROPOSIÇÃO 1.1.16. O produto de um número racional r #- O por um 
irracional é um número irracional. 
Demonstração. De fato , suponhamos por um momento que existam núme­
ros r E Q, r #-O, e x E � \ Q tais que rx = q E Q. Então :r: = q/r é racional , 
uma contradição . O 
PROPOSIÇÃO 1.1.17. A soma de um número racional p com um irracional 
é um número irracional. 
Demonstração. Suponhamos temporariamente que existam números p E Q 
e x E � \ Q de modo que p + x = q E Q. Este fato nos leva à contradição 
x = (q � p) E Q. O 
o teorema abaixo é chamado propriedade arquimediana de R 
TEOREMA 1.1.18. Se x, y E �, x > O, então existe n E N tal que 
nx > y. 
Demonstração. Consideremos o conjunto A = {nx I n = 0,1, . . . } e supo­
nhamos temporariamente que o teorema sej a falso. Então y é uma cota supe­
rior de A. Como A#-0, pelo axioma da completeza existe L = sup A. Pelo 
item (b) da definição 1.1. 9, página 16, existe mx E A tal que L � x < mx. 
Então L < (m + l ) x E A, uma contradição . O 
Denotando x = E e tomando y = 1, temos imediatamente o corolário 
COROLÁRIO 1.1.19. Para todo número E> O, existe n E N tal que l /n < E. 
DEFINIÇÃO 1.1.20. Uma vizinhança de a E � é qualquer intervalo aberto 
contendo a. Se a vizinhança for da forma (a � 5, a + 5) , 5 > O, é chamada 
vizinhança de raio 5 de a e denotada por Vb (a) . 
DEFINIÇÃO 1.1.21. Diz-se que a E � é um ponto de acumulação de B C � 
se toda vizinhança de a contém um ponto de B distinto de a . 
Analisando o exemplo a seguir, vemos que um ponto de acumulação 
de um conjunto não precisa pertencer a ele . Pontos que pertencem a um 
conjunto também não são necessariamente pontos de acumulação . 
20 • Fatos Básicos 
EXEMPLO 1.1.22. (1) A = (a, b) , a < b. O conjunto dos pontos de acumu­
lação de A é o intervalo fechado [a , b]. 
(2) B = Z, o conjunto dos números inteiros. Não existem pontos de 
acumulação de B. 
(3) C = Q. Todo número real é ponto de acumulação de C [veja o 
corolário 1. 1. 24 a seguir]. 
(4) D = { l/n I n = 1, 2, . . . }. O número O é o único ponto de acumula­
ção do conjunto D. 
Qualquer vizinhança de um ponto de acumulação de um conjunto B C IR 
contém infinitos pontos de B [por que ?]. Conseqüentemente , os subconjuntos 
finitos de IR não podem ter pontos de acumulação . 
Observação 1. 1. 23. Dizer que a é ponto de acumulação de B C IR significa 
que a pode ser aproximado por pontos de B. Precisamente , dado um número 
6 > O , por menor que seja, sempre existe x E B, x -# a, tal que I x - a i < 6. 
Costuma-se dizer que os pontos de B podem tender a a . 
O seguinte corolário da propriedade arquimediana de IR, revela como os 
números racionais se espalham por toda a reta IR: 
COROLÁRIO 1.1.24. Qualquer intervalo (a, b) C R, a < b, contém um nú­
mero racional. 
Demonstração. Seja a � O com a < b. Pelo corolário 1.1. 19 da propriedade 
arquimediana, existe n E N tal que O < l/n < b - a. Sej am q = l/n 
e A = {m E N I mq > a} e tomemos k = min A [existe k, pois A -# 0 é 
limitado inferiormente e, como A não tem pontos de acumulação, inf A E A. 
Veja o exercício 18. ] Afirmamos que o número racional kq pertence a (a, b) . 
De fato , kq > a e , pela escolha de k, (k - l )q :::;; a logo kq - a :::;; q < b - a, 
ou seja , kq < b. Portanto kq E (a, b) . 
Suponhamos agora a < o. Pela propriedade arquimediana podemos es­
colher n E N de modo que - a < n. Como a + n > O, pela primeira parte 
da prova existe um racional p E (a + n, b + n) . Então p - n é um racional 
pertencente a (a, b) . O 
Uma conseqüência do corolário 1.1.24 é que todo intervalo aberto (a, b) , 
a < b, contém infinitos números racionais [por que ?]. 
Pelo fato de Q ter a propriedade estabelecida no corolário 1. 1.24 diz-se , 
numa linguagem mais técnica, que o conjunto Q dos números racionais é 
denso na reta IR. 
Os números irracionais gozam da mesma propriedade : todo intervalo 
(a, b) , a < b, contém um irracional . De fato , tomemos (a, b) , a < b. Se a ti:- Q, 
Funções • 21 
sej a n E N tal que n(b - a) > l al . Neste caso , a + ( I al /n) = a(n ± 1)/n é um 
irracional pertencente a (a , b) . Se a E Q, sej am x > ° um irracional e n E N 
tal que n ( b - a) > x. Então a + (x / n) é um irracional pertencente a (a, b) . 
1.2 FUNÇOES 
DEFINIÇÃO 1.2.1. Dados dois conjuntos A, B #-0, uma função f definida 
em A com valores em B ou, simplesmente , de A em B, que se denota 
f : A -----+ B, é uma lei que associa a cada x E A um único elemento de 
B, indicado por f (x) . 
Às vezes uma função f : A -----+ B é denotada por x E A 1-----+ f(x) E B. 
DEFINIÇÃO 1.2.2. Dada uma função f : A -----+ B, os conjuntos A e B são 
chamados , respectivamente , domínio e contm-domínio de f . Os elementos 
x do domínio são chamados variáveis independentes e os elementos y do 
contra-domínio , variáveis dependentes. Se Yo = f(xo ) , então Yo é chamado 
imagem de Xo por f. Para quaisquer D C A e C C B definem-se f (D) C B 
e f-1(C) C A por 
f(D) = {y E B I y = f(x) , para algum x E D}, 
f-1(C) = {x E A I f (x) E C}. 
o conjunto f(D) é chamado imagem de D por f e f-1(C) é chamado 
imagem inversa de C por f. 
EXEMPLO 1.2.3. Denotaremos sempre com �+, o conjunto dos números 
reais não negativos , isto é, �+ = [0, 00) . 
(1) Se A = B, um exemplo simples de função é f : A -----+ A tal que 
f (x) = x, para todo x E A. Esta função é chamada identidade de A e é 
usualmente denotada por I, ou IA. Assim, I(x) = x, '\Ix E A. 
( 2 ) Se 2Z C Z é o conjunto dos números inteiros pares , isto é , 
2Z = { . . . , -6, -4, -2 , 0, 2 , 4, 6 , ... }, 
podemos definir a função f : 2Z -----+ Z por f(n) = n/2 , para todo n E 2Z. 
(3) Seja c E � um número fixado. A função f : � -----+ � dada por 
f (x) = c, para todo x E �, é chamada função constante. 
(4) Podemos definir f: � -----+ �+ por f(x) = x2 , para todo x E R 
(5) Um exemplo relacionado com o anterior é a função g : �+ -----+ �, 
dada por g (x) = Vi, '\Ix E �+. 
(6 ) Observe que a lei que associa a cada número real positivo x as suas 
raízes quadradas ±Vi não define uma função , pois a cadaelemento do 
22 • Fatos Básicos 
domínio deveria ser associado um único elemento do contra-domínio , o que 
não é o caso aqui. Pode ocorrer , entretanto, de um ponto Yo do contra­
domínio de uma função ser imagem de dois ou mais elementos distintos do 
domínio , como em (4) , onde , por exemplo, f(-l) = 1 = f(l) . 
(7) h: IR \ {I, -I} � IR, dada por h(x) = 1/(x2 - 1) . 
(8) Se a função f : IR � [1, (0 ) é dada por f(x) = 2X2 + 1, para todo 
x E IR, se D = (-1, 2) e C = (2, 9], então 
f(D) = [1, 9) e f-1(C) = [-2 , -V2/2) U (V2/2 , 2]. 
(9) As funções f : IR � IR da forma f(x) = cx , para todo x E IR, onde 
c E IR é uma constante , são chamadas funções lineares. 
Observação 1.2.4 . Como vimos , para definir uma função é preciso especi­
ficar três entes : o domínio , o contra-domínio e uma lei que associa a cada 
elemento do domínio um único do contra-domínio. As funções aqui consi­
deradas , com poucas exceções , serão definidas em subconjuntos de IR com 
valores em IR [funções reais de uma variável real ]. Assim , vamos adotar a 
atitude simplificadora de especificar somente a lei de associação. Numa lin­
guagem um tanto imprecisa, corriqueiramente podemos dizer "função f" ou 
"função y = f(x)" ou ainda "x 1---+ f (x)". A menos de menção explícita em 
contrário , ficará subentendido que o domínio é o maior subconjunto de IR 
onde a lei faz sentido. Assim, por exemplo, para a função f (x) = V2 - x2 , 
entendemos que o domínio é [- y2, y2 ]. Para g (x) = 1/ (2x - x:{) , o domí-
nio é IR \ {O , ±y2}. 
DEFINIÇÃO 1.2.5. Dados uma função f : A � B e D C A, a restrição de 
f a D é urna função de D em B, denotada por f I D e definida por 
\:Ix E D. 
Ou sej a, a restrição de f ao conjunto D é a função dada pela mesma lei de 
associação f, só que o seu domínio é o subconjunto D de A. 
DEFINIÇÃO 1.2.6. Dadas duas funções f : A � B e 9 : D � B , com 
e A C D, diz-se que 9 é urna extensão de f ou, mais precisamente , urna 
extensão de f a D, se 
Dada urna função f : A � B e um conjunto D C IR, com A C D, a frase 
estender a função f ao conjunto D significa especificar urna função 9 nas 
condições da definição 1.2.6. Neste caso, para todo x E D \ A, costuma-se 
definir f(x) = g (x) . 
Funçôes • 23 
EXEMPLO 1 . 2 .7 . As funções gl : ffi. -----+ ffi. e g2 : ffi. -----+ ffi., definidas por 
g1 (x) = x e g2(X) = Ixl , são extensões da função f dada por f(x) = �, 
cujo domínio é [0, (0) . 
Em geral , os domínios das funções estudadas até o capítulo 4 são reuniões 
de intervalos não-degenerados [isto é, corn extr-ernos distintos ]. No entanto , 
há uma classe de funções importantes no Cálculo que não se enquadram 
nessa categoria. Elas têm como domínio o conjunto N = { O , 1, 2 , . . . } ; são as 
seqüências . Mais exatamente, temos a seguinte definição : 
DEFINIÇÃO 1 . 2 .8 . Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto 
N dos números naturais , f : N -----+ R 
Há uma terminologia própria associada às seqüências f. A imagem f (n) de 
n E N é denotada por Xn [ou anJ YnJ etc. ] e se chama ter-rno da seqüência, 
enquanto a própria seqüência f é denotada por 
{ xrJ , ou {xn} nEN' ou {xn} n=O,1,2 , ... · 
A variável independente n é chamada índice e diz-se que a sequencia é 
indexada em n E N. Também se usa a expressão : a seqüência xo, Xl, X2 , . . . , 
ou ainda: a seqüência Xn E ffi., n = 0, 1, . . . . Talvez por influência das 
notações , é comum pensar-se erroneamente que uma seqüência é o conjunto 
formado por seus termos , { xn E ffi. I n = 0, 1, . . . } . Note-se , entretanto , que 
a seqüência { ( - l )n} , por exemplo , é diferente da seqüência { (_l )n+l} e , 
apesar disso , ambas têm o mesmo conjunto de termos , { 1, -1} . 
EXEMPLO 1 . 2 . 9 . ( 1) Se 
1 
f(n) = n + l ' n E N, 
denota-se 
(2) Podemos usar 0, 1, 4, 9, . . . , n2 , . . . , para denotar {n2 } nEN' 
(3) Para 
{ n + 2 } pode-se usar : 2, 3/2, 4/3, . . . . n + 1 nEN' 
DEFINIÇÃO 1.2.10. Dadas f : A -----+ ffi. e 9 : A -----+ ffi., definem-se a função 
sorna, f + g, a função pmduto, fg, e a função q uociente, f /g , por : 
(f + g)(x) = f (x) + g(x), x E A 
(fg)(x) = f(x)g(x) , x E A 
L(x) = 
f(x) x E A com g(x) =/: O. 
9 g(x)' 
24 • Fatos Básicos 
EXEMPLO 1 . 2 . 11 . Se f(x) = .yx e g(x) = x tem-se , para todo x E ]R., 
f .yx 
(f + g)(x) = .yx + x, (fg)(x) = x.yx e , para x -I- 0, -(x) = -. 
9 x 
DEFINIÇÃO 1 . 2 . 12 . O gráfico de uma função f : A -----+ B , A, B C ]R., é o 
subconjunto C(f) de A x B C ]R.2 dado por: 
C(f) = {(x, f(x)) E]R.2 I x E A}. 
As figuras 1. 2 . 1, 1. 2 . 2 e 1. 2 . 3 mostram gráficos de algumas funções conheci­
das . Se x E ]R., o símbolo [xl indica o maior número inteiro menor ou igual 
a x que é chamado parte inteira de x. 
Figura 1 . 2 . 1 : f (x) = x2 e f (x) 
= Vx 
c 
Figura 1 . 2 . 2 : f (x) = Ixl e f (x) = c (constante ) 
Figura 1 . 2 . 3 : y = [xl 
Em geral , ao traçar o gráfico de uma função não se busca a precisão , 
mas um desenho qualitativo contendo características essenciais da função . 
Isso facilita o entendimento de muitos problemas . 
Observação 1.2.13. A cada elemento de A uma função f : A -----+ ]R. associa 
um único número . Assim , cada reta vertical x = c, com c E A, cruza o 
gráfico de f em um único ponto. Por exemplo , o conjunto mostrado na 
figura 1. 2 . 4 não pode ser gráfico de uma função . 
Funções • 25 
c 
Figura 1 . 2.4 : Um conjunto que não é gráfico de função 
DEFINIÇÃO 1.2.14. Quando f(A) = B, a função f : A -----+ B se diz sobreje­
tom ou sobre. Quando a elementos distintos de A estão associados elementos 
distintos de B, isto é, 
a função f se diz injetom ou biunívoca ou , ainda, um-a-um. Quando f for 
biunívoca e sobre , também será chamada bijetom. 
Observação 1.2. 15. Seja f : A -----+ B, com A, B C R Se f é inj etora, toda 
reta horizontal y = d, com d E B, tem no máximo um ponto em comum 
com o gráfico de f. Se f é sobrejetora, toda reta horizontal y = d, com 
d E B, cruza o gráfico de f. Se f é bijetora, toda reta horizontal y = d, com 
d E B, tem um único ponto em comum com o gráfico de f. 
Esboçando os gráficos das funções do exemplo 1. 2. 3 podemos conferir as 
observações acima. A função do item (2) e as funções do item (9) com c i- O 
[em particular, a função identidade 1 são bijetoras. No item (4) , a função f 
é sobrejetora e não injetora, mas a restrição f l [o,oo) é bij etora. No item (5) , 
9 é injetora, mas não sobre . No item (7) , h não é biunívoca nem sobre . 
DEFINIÇÃO 1.2.16. Dadas f : A -----+ B e 9 : B -----+ C, define-se a função 
composta, 9 o f : A -----+ C, por (g o 1) (x ) = 9 (J (x ) ) , para todo x E A. 
Em outras palavras , obtém-se a imagem de x por 9 o f aplicando-se f a 
x e , depois , 9 a f(x). 
Nem sempre se pode definir a função composta 9 o f. Para se definir a 
função 9 o f : A -----+ C foi necessário que a imagem de A por f estivesse 
contida no domínio de g. 
Dadas funções f : A -----+ B, 9 : B -----+ C e h : C -----+ D , tem-se 
(f o g) o h = f o (g o h), 
26 • Fatos Básicos 
gof 
Figura 1 . 2 . 5 : Composição de f e 9 
isto é , vale a propriedade associativa para a composição . Qualquer dos mem­
bros da igualdade acima é denotado por fogo h. Sob convenientes condições , 
pode-se aplicar sucessivamente a associatividade para definir a composição 
de um número finito qualquer de funções. 
EXEMPLO 1 . 2 . 17 . ( 1 ) Sej am f : IR. � ( 0 , 1 ] , 9 : (O, 1] � [1, (0 ) , tais que 
f (x) = 1/( 1 + x2 ) e g(x) = l/x. Então , (g o f) (x) = 1 + x2 . Daria para 
definir f o g7 Em caso afirmativo , defina-a. 
(2 ) Se f : IR. � IR. e 9 : [- 1 , (0 ) � IR. são dadas por f (x) = x2 + 2x - 2 
e g(x) = Vx+1, então a composição 9 o f não pode ser definida porque 
f (IR.) = [- 3, (0 ) não está contido no domínio [- 1 , (0 ) de g. 
(3) Se f : IR.� [O , (0 ) , 9 : IR. � IR. e h : IR. � IR. são dadas por f (x) = x2 , 
g(x) = X + 1 e h(x) = ex, e E IR. constante , temos h o 9 o f (x) = e(x2 + 1 ) . 
DEFINIÇÃO 1 . 2 . 18 . Diz-se que f : A � B é invertível se existe uma função 
f-I: B � A tal que f-I o f = IA e f o f-I = IB. Neste caso , diz-se que 
f-I é a inversa de f . 
Em outros termos , f-Io f (x) = X e f o f-I(y) = y, para quaisquer x E A 
e y E B. É claro que , se a definição 1 . 2 . 1 8 está satisfeita , então a função 
f-I também é invertível e (f-I rI = f . 
. 
Figura 1 . 2 .6: Simetria dos gráficos de funções inversas 
Funções • 27 
Uma conseqüência da definição 1 . 2 . 18 é que f : A -'> B será invertível se 
e somente se for bij etora. Ou sej a, f será invertível se e só se cada reta y = d, 
com d E B, t iver exatamente um ponto em comum com o gráfico de f . Para 
visualizar o gráfico de f-I podemos considerar o gráfico de f e imaginar o 
eixo y como o da variável independente. Para representá-lo da forma usual 
basta considerar a reflexão do gráfico de f em relação à diagonal y = x, 
como representa a figura 1 . 2 . 6 , pois 
C(j-l) = { (y, f-1(y) ) 1 y E B} = { (j(x) , x) 1 x E A}. 
EXEMPLO 1.2.19. ( 1 ) Sej am a =I- O e b E � dados . Se f(x) = ax + b, então 
f é invertível e 9 = f-I é dada por g(x) = (x - b)ja . 
(2 ) Se tivermos f : � -'> �+ tal que f(x) = x2 , para todo x E �, como 
no item (4) do exemplo 1 . 2 . 3 , página 2 1 , e considerarmos a restrição f l [o,oo) 
e se para 9 : �+ -'> �, dada por g(x) = y'x, Vx E �+, como no item (5) 
daquele exemplo , for tornado �+ corno contra-domínio de g, teremos dois 
exemplos de funções invertíveis , sendo cada uma a inversa da outra. 
DEFINIÇÃO 1.2.20. Uma função f : A -'> � se diz monotônica, ou mo­
nótona, se puder ser classificada corno crescente , estritamente crescente , 
decrescente ou estritamente decrescente, segundo as definições abaixo: 
Crescente, se x, y E A x < y � f (x) � f (y) . 
Estritamente crescente, se x, y E A x < y � f (x) < f(y) . 
Decrescente, se x, y E A x < y � f (x) � f(y) . 
Estritamente decrescente, se x, y E A x < y � f(x) > f (y) . 
Uma função constante , g(x) = c, para todo x E � é crescente e de­
crescente ao mesmo tempo. Se f (x) = x2 , então função f não é crescente 
nem decrescente , mas a função fl[o,oo) é estritamente crescente . A função 
h(x) = y'x é estritamente crescente . Se k(x) = 2 (x - I? + 3 , a função 
kl[l.oo) 
é estritamente crescente . As funções lineares u(x) = cx, onde c E � é 
uma constante , são estritamente crescentes se c > O e estritamente decres­
centes se c < O. A função v(x) = [xl é crescente . 
As funções lineares , f : � -'> �, definidas na página 22 , no item (9) do 
exemplo 1 . 2 . 3 , são aquelas que têm a propriedade ilf (ax) = af(x) , x E �, 
para todo a E � li. Veja o exercício 29. Se f for estritamente crescente , a 
condição de f satisfazer esta propriedade apenas nos a inteiros é suficiente 
para que ela sej a linear , como garante a proposição a seguir . 
PROPOSIÇÃO 1.2.21. Seja f : � -'> � estritamente crescente e suponhamos 
que f (nx) = nf (x) , para quaisquer x E � e n E Z. Então existe c > O tal 
que f (x) = cx, x E �. 
28 • Fatos Básicos 
Demonstração. Se f satisfaz as hipóteses , tomando n = O vem f (O ) = O . 
Dado q = (m/n) E Q, temos nf (qx) = f(nqx) = f (mx) = mf(x) , para 
todo x E IR, portanto 
m f (qx) = -f (x) = qf(x) , n x E IR, q E Q. 
Sej a e = f ( l ) > f (O) = O . Se q E Q, temos f (q) = f (q . 1 ) = qf ( l ) = eq. 
Suponhamos temporariamente que exista x E IR com f(x) i- ex, digamos, 
f (x) < ex [o caso f (x) > cx é análogo]. Tomemos um racional q tal que 
f(x) 
< q < x, e 
donde f (x) < eq = f (q) , uma contradição , pois f é estritamente crescente . 
Logo f (x) = cx, para todo x E IR. O 
COROLÁRIO 1.2.22. Seja f : [O , ()() ) -----+ IR uma função estritamente cres­
cente com f (nx) = nf (x) , para x � O, n E N. Então existe e > O tal que 
f (x) = ex, para todo x � O . 
Uma prova pode ser feita definindo a função g : IR -----+ IR por g(x) = f(x), 
para x � O , e g(x) = -g( -x) , para x < O, e aplicando a proposição 1 . 2 . 2 1 . 
EXEMPLO 1.2.23. Dada uma circunferência de raio r , um seu arco d e com­
primento s determina um setor circular cuja área gf é 
1 gf = -sr. 2 ( 1 . 2 . 1 ) 
Para fixar um contexto , seja uma circunferência de centro n a origem O e 
raio r, A = (r, O ) e o arco AB de comprimento s de acordo com a figura 1 . 2 . 7 
[na seção 4.7.2, página 227, definiremos o que vem a ser o comprimento de 
um arco]. 
Antes de tudo, é preciso entender bem a fórmula ( 1 . 2 . 1 ) . Se s > 27fT, 
partes do setor se sobrepõem. Neste caso , as áreas dessas partes são con­
tadas multiplamente , dependendo de quantas vezes elas se sobrepõem. Por 
exemplo , se s = 57f /2 , a área do primeiro quadrante é computada duas 
vezes . Segundo (1. 2 .1) , sz1 = (57f)4)r2, ou seja, sz1 é 5/4 da área do círculo . 
Provemos a fórmula ( 1 . 2 . 1 ) . A área gf = gf(s) é função não negativa 
estritamente crescente de s e gf(ns) = ngf(s) , para n E N. Logo , pelo 
corolário 1 . 2 . 22 , existe c > O tal que 
gf(s) = es, s � O . 
Admitindo que a área do círculo é 7fT 2 , podemos escrever gf (27fr) = 7fT 2 , 
ou seja , e27fT = 7fT2 , donde e = 1'/2 . O 
Funções • 29 
o 
Figura 1 . 2 .7: O setor circular OAB 
Vamos definir agora as funções trigonométricas . Como o conceito de 
comprimento de arco é preponderante em nossa abordagem, ela é intuitiva , 
mas aceitável neste momento . Na página 261, damos definições precisas das 
funções seno e cosseno . 
Seja C a circunferência de raio 1 e centro na origem do plano xy, a 
chamada circunferência unitária. Definamos a função c : IR -+ C de modo 
que o ponto O E IR seja levado no ponto A = (1, O) E C e cada t E IR, 
t > O, no ponto c(t) E C, extremo do arco de C de extremo inicial A e 
comprimento t, medido no sentido anti-horário . Se t < O a construção de 
c( t) E C é análoga, tomando c( t) o extremo do arco de extremo inicial A 
e comprimento I tl medido no sentido horário . Veja a figura 1. 2 . 8 a seguir . 
Como o comprimento da circunferência C é 27f, temos para todo t E IR, 
c(t + 2n7f) = c(t) , n E Z. 
t 
o 
Figura 1 . 2 .8: A função t E � f--+ c(t) E C 
30 • Fatos Básicos 
DEFINIÇÃO 1.2.24. Para cada número real t, cos t e sen t são as coordena­
das de c( t) , isto é , 
c(t ) = (cost, sent) , t E IR. 
As funções cos e sen são chamadas , respectivamente , cosseno e seno. 
Seguem imediatamente desta definição a identidade fundamental , 
cos2 t + sen2 t = 1, t E lFt, 
e as propriedades 
cos (t + 2mr) = cost e sen (t + 2mr) = sent, t E lFt, n E Z, 
cos -t = cos t e sen -t = - sen t, t E lFt. 
Figura 1 . 2 .9: Gráficos do seno [acima] e do cosseno [abaixo] 
Deixamos como exercício a tarefa de determinar os valores que cos e sen 
assumem nos pontos t + 7r, t + �, 7r - t e � -t em termos de cos t ou sen t, 
t E IR. A figura 1.2.9 apresenta esboços do gráficos do seno e do cosseno . 
Dados x, y E lFt, valem as seguintes fórmulas : 
sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y, 
cos (x + y) = cos x cos y - sen x sen y, 
em particular , para todo x E lFt ternos 
sen 2x = 2 sen x cos x, 
cos 2x = cos2 X - sen2 x 
e esta, combinada com a identidade fundamental fornece , para todo x E lFt, 
2 cos2 X = (1 + cos 2x) , 
2 sen 2 x = (1 - cos 2x) . 
Funçôes • 31 
Figura 1 . 2 . 10: Gráficos da tangente e da secante 
Observação 1.2.25. Um radiano é o ângulo central determinado por um 
arco de C de comprimento 1. Assim, o arco de extremos A e c ( t) define um 
ângulo central e de t radianos [figura 1.2.8]. Por isso , o seno e o cosseno são 
às vazes entendidos como funções do ângulo e em vez da variável real t. 
Definem-se as funções tangente, cotangentc, sccantcc cossccante , res­
pectivamente , por 
sen t tant = 
-- , cost 
cos t 
cott = -- , 
sen t 
1 
sect = -­
cos t ' 
1 
csct = -- , 
sen t 
para todo t E IR onde os denominadores não se anulam. Os gráficos da 
cotangente e da cossecante são análogos aos da tangente e da secante , res­
pectivamente , apresentados na figura 1.2. 10 [e podem ser obtidos por uma 
translação horizontal destes]. 
DEFINIÇÃO 1.2.26. Diz-se que f : A � IR é par se f ( -x) = f (x) , para 
todo x E A e que é ímpar se f( -x) = -f(x) , para todo x E A. 
A definição 1.2.26 presume que A tem a seguinte propriedade de simetria: 
x E A =} -x E A. 
Por exemplo , os conjuntos IR , [-1,1], Z e IR \ Z têm essa propriedade. 
Como conseqüência direta da definição 1.2.26, o gráfico de uma função 
par , y = f (x) , é simétrico com relação ao eixo y e o gráfico de uma função 
ímpar é simétrico com relação à origem do plano xy. Vej a a figura 1.2. 11. 
EXEMPLO 1.2.27. A função seno e a função y = x3 são ímpares . A função 
cosseno e a função y = Ixl são pares . 
32 • Fatos Básicos 
Figura 1.2 . 1 1 : Simetrias de funções pares e ímpares 
Examine os exemplos anteriores desta seção , procurando classificar as fun­
ções como pares ou ímpares , quando isto for possível . 
DEFINIÇÃO 1.2.28. Sej am f : A ---+ IR e w > O. Diz-se que f é uma função 
periódica de período w ou, abreviadamente , w-periódica, se 
f(x) = f(x + w) , x E A. 
Dado w > O, a definição 1 . 2 . 28 presume que A satisfaz 
x E A =} (X±W) E A. 
Os conjuntos IR, wíZ = {wn I ±n = 0 , I , 2 , . . . } e IR \ wíZ, por exemplo , 
possuem essa propriedade. 
Se uma função é w-periódica, então ela é nw-periódica, n = 1 , 2 , 3 , . . . . 
Se f é periódica e se existe Wo = min { w > O I w é período de f }, então Wo 
é chamado período mínimo de f . 
EXEMPLO 1.2.29. ( 1 ) As funções f(x) = sen x e g(x) = cos x são 27r­
periódicas e 27r é seu período mínimo. 
(2 ) A função g(x) = cos 27rX é l-periódica. Mais geralmente , pode-se 
verificar que se f : IR ---+ IR é w-periódica e c > O é um número real dado , 
então a função 9 dada por g(x) = f(cx) , x E IR, é (wjc)-periódica. 
(3 ) As funções tan x e cot x são 7r-periódicas . Ambas são quocientes de 
funções 27r-periódicas , mas 27r não é seu período mínimo . 
(4) Sejam f : IR ---+ IR uma função w-periódica e p/ q um número racional , 
com p, q E íZ+ . A função g: IR ---+ IR dada por g(x) = f((p/q) x), para todo 
x E IR, é qw-periódica. De fato, para todo x E IR temos 
g(x + qw) = f((p/q) (x + qw) ) = f((p/q)x + pw) = f((p/q)x) = g(x) . 
Funções • 33 
Conseqüentemente , a função cos [ (3/5)x] é 107r-periódica [qual é seu período 
mínimo? Compare com o item (2)]. 
(5 ) Para todo x E lR, lembrando que [x] indica o maior número inteiro 
menor ou igual a x, a função f dada por f(x) = x - [x] é l-periódica. A 
figura 1 . 2 . 1 2 mostra o gráfico desta função . 
Figura 1 . 2 . 1 2 : f (x) = x - [xl 
(6) A função 
f(x ) = { I , 
O , 
s e x E Q 
se x E lR \ Q 
é periódica de período q , para qualquer racional q > O , portanto não tem 
período mínimo. 
DEFINIÇÃO 1.2.30. Uma função f : A ----7 lR se diz limitada se o conjunto 
f(A) for limitado ou, equivalentemente, se existirem números f e L tais que 
f � f(x) � L, 
para todo x E A. Neste caso, f é chamado uma cota inferior , ou limitante 
inferior , de f e L, uma cota superior , ou limitante superior . Diz-se que 
f : A ----7 lR é limitada superiormente se f(A) for limitado superiormente e 
que f é limitada inferiormente se f (A) for limitado inferiormente . 
Observe que f : A ----7 lR ser limitada é equivalente a dizer-se que existe 
um número K > O tal que I f(x) 1 � K, para todo x E A . 
DEFINIÇÃO 1.2.31. Sej am f : A ----7 lR e B C A. Diz-se que a função f é 
limitada em B se a restrição f I B for uma função limitada. 
EXEMPLO 1.2.32. ( 1 ) A função f(x) = x/ ( l + I x l ) , cujo gráfico é esboçado 
na figura 1 . 2 . 1 3 , é limitada. 
(2 ) É claro que uma função limitada f : A ----7 lR é limitada em qualquer 
subconjunto B de A. A função f(x) = l /x , definida em lR \ { O } , não é 
limitada, mas é limitada em ( 1 /2 , 3] , pois 1/3 � f (x) � 2 , se 1 /2 < x � 3 . 
34 • Fatos Básicos 
1 
- 1 
Figura 1 . 2 . 13: f (x) = x/ ( l + I x l ) 
DEFINIÇÃO 1.2.33. Se f : A ---+ ffi. é limitada superiormente e L é a menor 
cota superior de f, isto é, L = sup f (A) , então L é chamado supremo da 
função f e escreve-se 
L = sup f (x) . 
xE A 
Se existir Xo E A de modo que L = f(xo ) , isto é , L 
diz-se que L é o máximo de f e se escreve 
L = max f(x) . 
XE A 
max f (A) , então 
Se L = f (xo ) = maxA, então f(xo ) é chamado o valor máximo de f e 
Xo é chamado um ponto de máximo. 
Para uma função f : A ---+ ffi. limitada inferiormente , definem-se ana­
logamente o seu ínfimo e o seu mínimo, bem como o seu valor mínimo 
e o seu ponto de mínimo. Esta tarefa consiste basicamente em inverter as 
desigualdades e é deixada como exercício . 
Observe que , se f : A ---+ ffi. é limitada inferiormente , 
inf f (x) = - sup (-f (x) ) . 
xE A xE A 
Por exemplo , se f (x) = x2 - 1 , então f é limitada inferiormente e 
inf f (x) = - sup ( -f(x)) = - sup{ _x2 + I } = - 1 . 
Assim, f : A ---+ ffi. tem mínimo se -f tem máximo e 
Por exemplo , 
min f (x) = - max(-f (x) ) . 
x E A x E A 
min ( cos x - I ) = - max ( - cos x + 1 ) = - 2 . 
x E � xE� 
Funções • 35 
1 
Figura 1.2.14 : y = ( Ixl - l ) / lxl 
EXEMPLO 1 . 2 . 34 . ( 1 ) A função f (x) = cos x é uma função limitada, sendo 
os valores de máximo e de mínimo: 
1 = max f (x) , -oo<x<oo - 1 = min f (x) . -oo<x<oo 
Os números Xk = 2br, ±k = 0 , 1 , . . . , são os pontos de máximo . Quais são 
os pontos de mínimo? 
(2) Usualmente se define a função arco tangente , denotada por arctan , 
como a inversa da função tangente restrita ao intervalo (-1["/2 , 1["/2 ) . Assim, 
a função f (x) = arctan x é limitada, com 
1[" 
2 sup f (x) , -oo<x<oo 2 
inf f(x) , -oo<x<oo 
mas não existem máximo ou mínimo de f. 
(3) f (x) = l/x não é limitada, mas podemos escrever 
sup f (x) = O = inf f (x) . 
x<ü x>ü 
Veja a figura 2 . 2 . 1 do próximo capítulo , página 5 1 . 
(4) f (x) = x2 não é limitada, mas é limitada inferiormente com valor de 
mínimo O =
 
mÜLoo<x<oo f (x) . 
(5 ) A função f(x) = ( I x l - l)/ l x l é limitada superiormente e 
I xl - 1 sup I x l 
=
 
1 . 
Mas não existe o máximo . A figura l . 2 . 14 mostra o gráfico desta função . 
36 • Fatos Básicos 
1f 
"2 
� 2 
Figura 1 . 2 . 1 5 : y = I tan x l e y = I x2 - 2 1 
Para esboçar o gráfico de y = I f (x) I , uma boa estratégia é esboçar o 
gráfico de y = f (x) e depois , lembrando que Iy l = -y, se y < 0 , refletir em 
torno do eixo x da parte do gráfico que fica abaixo do eixo x. A figura 1 . 2 . 1 5 
mostra os gráficos de y = I tan x l , para -1f/2 < x < 1f/2 , e y = I x2 - 2 1 . 
EXEMPLO 1 . 2 . 35 . ( 1 ) Vamos resolver a desigualdade 
x2 - 2 � I x - 1 1 . 
Considerando os gráficos das funções f (x) = x2 - 2 e g (x) = I x - 1 1 
sobrepostos como na figura 1 . 2 . 1 6 , fica fácil visualizar o conjunto S dos 
x E ffi. tais que f (x) � g (x) . Este conjunto é a solução do nosso problema. 
Assim , S = [a , b] , onde a é a raiz negativa de x2 - 2 = - (x - 1 ) e b é a raiz 
positiva de x2 - 2 = x - 1 , ou seja, 
S = 
[
- ( 1 + V13)/2 , ( 1 + )5)/2] . 
Figura 1 . 2 . 16: x2 - 2 :s; I x - 1 1 
Funções • 3 7 
( 2 ) Vejamos agora um outro exemplo mais envolvente . Resolvamos a 
seguinte desigualdade: 
1 + v'Í7 -2 - 3 + v'Í7 -2 -
Figura 1 . 2 . 17: I x2 - 2x - 3 1 ::::; I x - 1 1 
Procedendo analogamente ao item ( 1 ) , sobrepondo os gráficos das fun­
ções f (x) = I x2 - 2x - 3 1 e g(x) = I x - 1 1 , como na figura 1 . 2 . 1 7 , vê-se 
facilmente o conjunto S dos x E ffi. para os quais f (x) � g (x) 
x E 
[
( 1 - vl7)/2 , (3 - vl7)/2] U [ ( 1 + vl7)/2 , (3 + vl7)/2] . 
Os extremos dos intervalos envolvidos na expressão acima são determinados 
na análise da figura 1 . 2 . 1 7 para definir o conjunto dos pontos x onde o 
gráfico da função y = I x2 - 2x - 3 1 está abaixo do gráfico de y = I x - 1 1 , ou 
seja , os extremos dos intervalos são dados pelas interseções dos gráficos das 
funções f e g , 
(a) ( 1 - V17)/2 é a raiz negativa de x2 - 2x - 3 = -x + 1 ; 
(b) (3 - V17)/2 é a raiz negativa de -x2 + 2x + 3 = -x + 1 ; 
(c) ( 1 + V17)/2 é a raiz positiva de -x2 + 2x + 4 = x - 1 ; 
(d) (3 + v'I7)/2 é a raiz positiva de x2 - 2x - 3 = x - 1 . 
38 • Fatos Básicos 
1.3 EXERCÍCIOS 
Resolva as desigualdades 1) - 12) 
1) 12 - 13xl � 39 7) Ix + 1 1 � l x - 2 1 
2 ) 1 20x - 3 1 > 5 8) I x I < 1 2x - 1 1 
3 ) 1 (5 - 2x)/3 1 � 3 9) I x2 - 4x - 5 1 � 1 
4) I (x + 3 )/4 1 < 5 10 ) 1 36x - 27 1 > 5 
5) 1 2x - 5 1 < I x + 3 1 1 1 ) I x2 - 4x - 5 1 � Ix - 1 1 
6 ) 1 3x + 5 1 > 1 2x - 1 1 1 2 ) I x2 - 4x - 5 1 � 1 2x + 1 1 
13 ) Dê exemplo em que a , b E ]R. e l a + b l < l al + I bl . O que dizer dos sinais 
de a e b? Se a , b , c E ]R., mostre que l a + b + cl � l al + Ib l + l e i -
14) Se r é um número racional , r i=- O , e x um irracional , mostre que rx é 
irracional e , por conseqüência, não existe racional cujo quadrado sej a 32 . 
1 5 ) Indique sup , inf , max e min dos seguintes conjuntos , s e existirem : 
A = {n E Z I I nl < l O } , 
B = {n E Z I l n l � l O } , 
C = {x E Q I l xl � y'3} , 
D = [- 1 , 1 ) U (y'3, 4) , 
E = {x E ]R. I x2 - 4x + 4 > O e x2 - 3x < O } , 
F = { x E ]R. I I x l = m + ( l/n) , m, n = 1 , 2 . . . } , 
G = { x E ]R. I x = l/(m + n) ; m, n = 1 , 2 , . . . } , 
H = {x E ]R. I x = ( l/m) + ( l/n) ; m, n = 1 , 2 , . . . } , 
I = { x E Q I l x - )21 < 2 } , 
16 ) Se A, B C ]R. e a E ]R., defina 
A + B = {z I z = x + y, x E A, y E B} , 
I A I = { z I z = I x l , x E A} , 
aA = { z I z = ax, x E A} . 
o que se pode dizer de sup(A + B) , sup IA I , sup aA, em termos de sup ou 
inf de A e B? Considere separadamente os casos , a > O, a < O e a = O . 
1 7) Dado um conjunto P C ]R., denota-se com P' o conjunto de todos os 
seus pontos de acumulação . Considerando os conjuntos abaixo : 
A = [- 1 , 1 ) U (y'3, 4) , 
B 
= {n E Z I I nl < lO } , 
C = {n E Z I Inl � l O } , 
D = {x E Q I I x I � y'3} , 
E = {x E � I I x l = m + � , m, n = 1 , 2 . . . } , 
F = {x E � 1 x = m�n ' m, n = 1 , 2 , . . . } , 
G = {x E � 1 x = � + � , m, n = 1 , 2 , . . . } , 
Exer"CÍcios • 39 
indique quais são os conjuntos A' , B' , C' , D' , E' , F' e G' 
18 ) Sejam A C �, A #- 0, limitado superiormente , e L = sup A . Mostre que 
L = max A ou L é ponto de acumulação de A. Formule uma propriedade 
análoga para o caso em que A é limitado inferiormente . 
19 ) Em cada caso abaixo , qual é o domínio da função f? 
( a) f ( x) = J x2 / (x - 2) 
(b) f (x) = J2x/(x + 1 ) 
(c) f (x) = J( 1 + 3x) ( 2 - x) 
(d) f (x) = vx=--I/ (x + 2 ) 
20 ) Verifique que qualquer função monotônica definida num intervalo fe­
chado e limitado é limitada. O intervalo precisa ser fechado? 
2 1 ) Se fl , h : A � � são duas funções limitadas , demonstre que 
sup [fl (x) + 12 (x) ] :(: sup fl (x) + sup h (x) 
x E A x E A xE A 
e inf [Jl (x) + 12 (x) ] ?: inf fl (x) + inf 12 (x) . 
xE A x E A x E A 
Mostre através de exemplos que as desigualdades estritas podem ocorrer . 
22) A função seno não é monotônica, mas a sua restrição a convenientes 
intervalos é . Quais são os maiores intervalos onde sen x é estritamente decres­
cente? [o termo "maiores " significa que esses intervalos não estão contidos 
propriamente em intervalos onde o seno é estritamente decrescente]. 
23) Esboce o gráfico das seguintes funções : 
( a) f ( x) = sen ( 1 / x ) 
(b) f (x) = x sen ( l /x) 
( c) f ( x) = x2 sen ( l /x) 
(d) f (x) = x + x/ l x l 
(e) f (x) =-- V1=X 
(f) f (x) = [x2 ] . 
24) Classificar as funções abaixo , quando possível , quanto a serem monotô­
nicas , limitadas , pares ou ímpares , sobrejetoras , injetoras , ou bijetoras : 
(a) f : � � � tal que f (x) = I x l . Considerar também o caso em que o 
contra-domínio é �+ . 
(b) f ( x) = x + l/x . 
(c) f : ( -7r/2 , 7r/2) � � tal que f (x) = tan x . 
( d) f (x) = sen 2 x + cos x . 
( e ) f ( x) = sen ( 1 / x4 ) . 
40 • Fatos Básicos 
25) O produto de duas funções pares , f, 9 : A � lR, é par? O que se pode 
dizer do produto de duas funções ímpares? E do produto de uma par por 
uma ímpar? 
26) Suponha que a função f (x ) dependa somente de potências de x com 
expoentes pares . Mostre que f é uma função par . E se depender apenas de 
potências de x com expoentes ímpares? A função f (x ) = cos (x3 + x7 ) é par 
ou ímpar? E a função f (x ) = x3 + I ? 
27 ) Se f , 9 : lR � lR são ambas pares , verifique que f o 9 e 9 o f são funções 
pares. Mostre também que se f e 9 são ambas ímpares , então f o 9 e 9 o f 
são ímpares . O que se pode dizer das composições f o 9 e 9 o f se f é par e 
9 é ímpar? 
28) Sej a f : A � B (A , B C lR) uma função sobrej etora. Mostre que se f 
é estritamente crescente (ou estritamente decrescente) , então f é invertível . 
Vale a recíproca? Isto é : se f é invertível , então poder-se-ia afirmar que ou 
f é estritamente crescente ou f é estritamente decrescente? 
29) Nos termos do exemplo 1 . 2 . 3 em seu item (9) , página 22, mostre que 
uma condição necessária e suficiente para que uma função f : lR � lR sej a 
linear é que , dada qualquer constante a E ]R, tenhamos f (ax ) = af (x ) , 
qualquer que sej a x E ]R. 
2 
LIMITE E CONTINUIDADE 
o conceito de limite é o mais fundamental do Cálculo ; a derivada e a integral, 
seus principais objetos de estudo , às quais se dedicam os capítulos 3 e 4 , 
são , ambas , formas de limite . Além disso , a idéia de limite permeia nossos 
argumentos em todo o transcorrer dos cursos de Cálculo e de suas aplicações . 
2.1 LIMITES 
Antes de entrarmos no assunto propriamente , vamos fazer uma pequena 
digressão bem informal . Tomemos uma função f : B ---+ IR. , B C IR. , e sej a 
a E IR. não necessariamente pertencente a B. Suponhamos que exista I! E IR. 
tal que f (x) se aproxima de I! , quando fazemos x se aproximar de a, embora 
x #-a . Quando isto ocorre , dizemos que I! é o limite de f em a [ou o limite 
de f (x) quando x tende a a] e escrevemos 
lim f (x) = t 
x -+ a 
Por exemplo, suponhamos que f sej a dada por 
2X2 � 4x f (x) = 
x2 � 3x + 2 ' 
logo o domínio é B = IR. \ { I , 2 } . Vemos que f coincide em seu domínio com 
a função g (x) = 2xj (x � 1) , definida em IR. \ { I } . Observamos que f (x ) pode 
ficar arbitrariamente próximo de 4 = g (2 ) tomando-se x suficientemente 
42 • Limite e Continuidade 
próximo de 2. Então escrevemos 
2X2 � 4x lim = 4 . x-->2 x2 � 3x + 2 
Note que , ao considerar o limite de f em a, estamos vendo se é possível saber 
para onde vai f(x) , quando x se aproxima de a. Não estamos interessados 
em quanto vale f (a ) , nem mesmo em saber se f (a) existe . 
Estando por trás dos conceitos centrais do Cálculo , a noção de limite 
está por trás de muitos conceitos das ciências . Não podemos nos conformar , 
portanto , com uma "definição" tão precária como a que temos até aqui . Não 
é claro , por exemplo , o significado de uma variável aproximar-se de a E ]R.. 
É necessário colocar as coisas em termos precisos . 
DEFINIÇÃO 2.1.1. Dados f : B � ]R. e um ponto de acumulação a do 
conjunto B, diz-se que g E ]R. é o limite de f em a se está satisfeita a 
seguinte condição : 
Para todo E > O , existe um número 6 = 6 (E) > O tal quex E B , O < I x � a i < 6 => I f(x) � gl < E . 
Escreve-se : lim f(x) = g ou f(x) � g , com x � a . x-->a 
Damos preferência à primeira notação . 
(2. 1. 1) 
Observação 2.1.2. (1) A definição 2.1.1 traduz a idéia de pontos próximos , 
mas distintos, de a serem levados por f a pontos próximos de g . 
(2) No contexto da definição 2.1.1 não importa quão pequeno seja E > O ; 
é possível encontrar 6 > O tal que a frase (2. 1. 1) sej a verdadeira. 
(3 ) Dada f : B � ]R., a notação limx-->a f(x) = g presume que a é ponto 
de acumulação de B. Mesmo que este fato não esteja mencionado , não se 
abre mão de a ser ponto de acumulação de B, pois (2. 1. 1) é imposta sob a 
condição de existir x E B tal que O < I x � a i < 6 . 
Analisemos a definição 2.1. 1 num caso concreto . Seja , por exemplo, 
f (x) = 
2 (x2 � 1) 
. 
(x � 1) 
Note que f não está definida em x = 1. No entanto , para x =1= 1 temos 
f(x) = 2(x + 1) , o que sugere limx-->l f(x) = 4. Mostremos que este é o caso 
[veja a figura 2.1.1.]. Se x =1= 1 podemos escrever 
I f(x) � 4 1 = 1 2(x + 1) � 4 1 = 2 1 x � 1 1 -
= 4 
a 
= 1 
Figura 2.1 .1 : lirnx-tl 2 (x2 - l ) / (x - 1) = 4 [ o = c/2] 
Assim, dado c > O, se escolhermos 6 = c/2 obtemos 
Limites • 43 
O < Ix - 1 1 < 6 =? 2 1 x - 1 1 < 26 =? I f (x) - 4 1 < 26 = c . 
Com esta discussão e o s exemplos que damos a seguir , visamos exclusiva­
mente aclarar a definição de limite . Logo veremos , por exemplo , que algumas 
propriedades permitem mostrar que limx-t2 (x2 + 1 ) = 5 de um modo muito 
mais direto do que o apresentado no item (4) do exemplo a seguir . 
EXEMPLO 2 . l . 3 . ( 1 ) Se considerarmos f (x) = c (constante) , temos talvez 
o exemplo mais simples deste capítulo : 
lim c = c. x-ta 
Conferindo com a definição 2 . 1 . 1 , dado c > O , qualquer 6 > O nos serve , 
pois sempre ternos I f (x) - cl = O < c . 
(2 ) Se f (x ) = x , temos limx-ta x = a. De fato , dado c > O , se tornarmos 
6 = c temos 
O < I x - a i < 6 =? I f (x) 
-
a i = I x - a i < 6 = c . 
( 3 ) limx-t2 (3x + 4) = 10 . 
Antes de iniciar , é útil observar que nos termos da definição 2.1.1 , acima, 
a = 2 e I f (x) - fi = 1 ( 3x + 4) - 10 1 = 3 1 x - 2 1 . Sej a c > O dado , tornando 
6 = c/3 , ternos : 
O < I x - 2 1 < 6 =? I f (x) - f I = 3 1 x - 2 1 < 36 = c . 
( 4 ) limx-t2 (x2 + 1 ) = 5 . 
44 • Limite e Continuidade 
De fato , dado e > O qualquer , vamos procurar um 6 > O sob a restrição 
6 � 1 . Assim, I x - 2 1 < 6 implica 1 < x < 3 e, portanto , I x + 2 1 < 5 , ou seja 
I (x2 + 1 ) - 5 1 = I x + 2 1 1 x - 2 1 < 5 1 x - 2 1 · 
Logo , tomando O < 6 � min{ l , e/5 } , 
O < I x - 2 1 < 6 =? I (x2 + 1 ) - 5 1 < 5 1 x - 2 1 < 56 � e . 
( 5 ) limx--->a cos x = cos a . 
Observe inicialmente que I COS Xl - cos x2 1 < I X l - x2 1 , s e X l , X2 E IR, 
Xl #-X2 , pois I X l - x2 1 é o comprimento do arco de extremos Xl e X2 ; vej a 
a figura 2 . 1 . 2 [estamos admitindo que o comprimento do arco XlX2 é maior 
do que o da corda Xl X2 ] . 
Dado e > O , tomando 6 = e vem 
O < I X - a I < 6 =? I cos x - cos a I < I x - a I < 6 = e . 
( 6 ) limx--->a sen x = sen a . 
Pode ser provado de modo análogo ao caso do cosseno. 
PROPOSIÇÃO 2.1.4. Suponhamos que exista o limite de f : B ----+ IR em um 
ponto a . Então ele é único. 
Demonstração. Suponhamos que limx--->a f (x) = fI , limx--->a f (x) = f2 e sej a 
e > O dado . Tomando c/2 no papel de e , de acordo com a definição 2 . 1 . 1 , 
página 42 , existem 61 , 62 > O de modo que , se x E B : 
O < I x - a i < 61 =? 
O < I x - a i < 62 =? 
I f (x) - fl l < e/2 , 
I f (x) - f2 1 < e/2 . 
Limites • 45 
Escolhendo 6 = min{ 61 , 62 } , se x E B e O < I x - a i < 6 , temos 
O � I l \ - R2 1 = I R l - f (x) + f (x) - R2 1 � 
I f (x) - Rl l + I f (x) - R2 1 < c/2 + c/2 = c . 
Assim , O � I R1 - R2 1 < c , qualquer que seja c > 0 , o que equivale a I Rl - R2 1 = O 
portanto RI = R2 . O 
Observação 2.1.5. Dados f : B -----+ 1Ft e D C B , sej a a um ponto de acu­
mulação do conjunto D. Se limx---+a f (x) = R, é claro que também para a 
restrição de f a D temos 
pois na definição 2 . 1 . 1 , página 42 , se vale a implicação ( 2 . 1 . 1 ) , ela tem de 
valer com a variável x restrita a D . 
Para s e compreender um conceito é bom entender sua negação . Damos 
a seguir dois exemplos em que não existe o limite . 
. x FIgura 2 . 1 . 3 : f (x) = 
R 
x EXEMPLO 2 . 1 . 6 . ( 1 ) limx---+o � não existe . 
De fato , sej a f (x) = x/ l x l , x E 1Ft \ { O } . Veja a figura 2 . 1 . 3 . Como 
f (x) = 1 , para x > O, e f (x) = - 1 , para x < 0, se existisse limx---+o f (x) , de 
acordo com a observação 2 . 1 . 5 , acima, teríamos 
lim f (x) = limf l (o ) (x) = 1 , x---+o x---+o , 00 
l im f (x) = limfl(� O) (x) = - 1 , x---+O x---+O 00 , 
o que leva à contradição 1 = limx---+o f (x) = - 1 . 
46 • Limite e Continuidade 
1 
(2 ) limx--+() sen - não existe . x 
1 De fato , suponhamos , por contradição , que exista f! = limx--+o sen - . x 
Dado qualquer [ > O , digamos , [ = 1 , deve existir 6 > O tal que 
O < I x I < 6 =? I sen l - f! I < 1 . ( 2 . 1 . 2 ) 
Considerando Xn = 2/ (4n + 1 )1f e Yn = 2/ (4n - 1 )1f , n = 1 , 2 . . . , temos 
. 1 FIgura 2 . l .4 : Y = sen ­
x 
sen ( l /xr J = 1 e sen ( l /Yn ) = - 1 . Se n é suficientemente grande , temos 
O < Xn , Yn < 6 e de (2 . 1 . 2 ) segue a contradição 
2 = I sen � - seu � I = I sen � - f! + f! - sen � I � Xn Yn Xn Yn 
� I sen � - E I + I f! - sen � I < 1 + 1 = 2 . Xn Yn 
Por inspiração do item ( 1 ) do exemplo 2 . 1 . 6 , vamos tratar agora dos 
limites laterais. Necessitamos da seguinte definição : 
DEFINIÇÃO 2 . 1 . 7. Um número a é chamado ponto de acumulação à direita 
para B C IR se a é ponto de acumulação de B n (a, (0). O número a é ponto 
de acumulação à esquerda para B, se é ponto de acumulação de B n ( - 00 , a) . 
EXEMPLO 2 . 1 . 8 . O ponto a é ponto de acumulação à direita para o in­
tervalo [a, b) , a < b, [embora ele se localize à esquerda de [a, b) ; é que os 
pontos de [a, b) se acumulam em a pela direita de al o O ponto b é ponto de 
acumulação à esquerda para [a, b) . Os pontos c, a < c < b, são tanto pontos 
de acumulação à esquerda como à direita para [a, b) . 
Limites • 4 7 
DEFINIÇÃO 2.1.9. Consideremos uma função f : B -----+ IR, B C IR, e a um 
ponto de acumulação à esquerda para B. Diz-se que € E IR é o limite lateral 
à esquerda de f em a se limx--+a f I Bn( -oo
,
a
) 
(x) = € e denota-se: 
lim f (x) = € ou f(a- ) = t 
x----+
a
-
o encargo de definir limite lateral à direita de f , quando x tende a a , 
em termos de f I Bn (a
,
oo
)
' é deixado como exercício . Neste caso a notação é 
lim f (x) = € ou f (a+) = t x--+a+ 
Às vezes , ao nos referirmos a limites do tipo acima, omitimos , por brevi­
dade , o adjetivo lateral. A figura 2 . 1 . 5 mostra como é tipicamente o gráfico 
de uma função que tem limites laterais distintos num ponto a . 
f (a+ ) 
f (a- ) 
a 
Figura 2 . 1 . 5 : Limites laterais distintos 
Observação 2. 1. 10. Suponhamos que a sej a ponto de acumulação à esquerda 
e à direita para o domínio de f. Neste caso, existe o limite € de f em a a se 
e somente se existem os dois limites laterais e ambos são iguais a € , isto é , 
lim f (x) = € {::} lim f(x) = € = lim f (x) . 
x --+ a x --+ a - x--+a+ 
Embora possa ser considerada óbvia, a observação 2 . 1 . 1 0 é um bom 
recurso em muitas situações. No item ( 1 ) do exemplo 2 . 1 . 6 temos 
x x lim - = - 1 e lim -I I 
= 1 , x--+o- I x I x--+o+ x 
por isso concluímos que o limite em questão não existe . 
EXEMPLO 2.1 . 1 1. A função 
f (x) = max{O , x2 + (xl l x l ) } , 
definida em IR \ {O } , cujo gráfico émostrado na figura 2 . 1 . 6 , tem limites 
laterais em O distintos , limx--+o- f (x) = O e limx--+o+ f (x) = 1 , portanto não 
existe limx--+o f (.T ) . 
48 • Limite e Continuidade 
Figura 2 . 1 . 6 : f (x ) = max{O, x2 + (x/ l x l ) } , x i- O 
2.2 PROPRIEDADES DOS LIMITES 
Veremos a partir de agora algumas propriedades que , em muitos casos , tor­
nam desnecessário recorrer-se à definição de limite para o cálculo . São pro­
priedades muito úteis , uma vez que freqüentemente a definição de limite não 
é muito manej ável . 
N a seguinte proposição está subentendido que as funções f e 9 têm o 
mesmo domínio e que a variável independente x sempre pertence a esse 
domínio . Adotamos essa prática em geral para não carregar os enunciados 
com condições óbvias . 
PROPOSIÇÃO 2.2.1. Se limx->a f (x) = e e limx->a g (x) = m, então 
1. limx->a (J (x) + g (x) ) = e + m, 
2. limx->a f (x)g (x) = em, 
3. limx->a f(x )/g (x) = e/m, se m -I o. 
Demonstração. Seja c > O dado e tomemos 61 , 62 > O tais que 
O < I x - a i < 61 ==? 
O < I x - a I < 62 ==? 
Tomando 6 = min { 61 , 62 } > O , temos 
I f (x) - el < c/2 , 
I g (x) - m l < c/2 . 
O < I x - a i < 6 ==? I f (x) + g (x) - (e + m) 1 � 
I f (x) - e l + I g (x) - m l < c/2 + c/2 = c, 
o que prova o item 1 . 
Tomemos agora k max{ l e l , Im l } e suponhamos k > O , isto é , pelo 
menos um dos números e e m é não nulo. Usaremos a identidade 
f (x)g (x) - em 
= (J (x) - e) (g (x) - m) + e (g (x) - m) + m ( .t (x) - e) . ( 2 . 2 . 1 ) 
Propriedades dos limites • 49 
Seja c > O dado e tomemos 61 , 62 > O de modo que 
O < Ix - a i < 61 =? 
O < I x - a i < 62 =? 
I f (x) - R I < min{ v03, c/3k} , 
I g (x) - m l < min{ v03, c/3k} . 
Em ( 2 . 2 . 1 ) , a condição O < I x - a i < 6 = min{ 61 , 6d implica 
J f (x)g (x) - Rm l � I f (x) - R l l g (x) - m J + k l g (x) - m l + 
+ k l f (x) - R I < v03v03 + kc/3k + kc/3k = c , 
o que prova o item 2 a menos do caso R = m = O , que é muito mais simples 
e deixamos como exercício . 
Para provar o item 3 é suficiente mostrar que limx-->a ( l /g (x ) ) = l/m e 
usar o item 2 , com f (x) /g (x) = f (x) ( l/g(x) ) . 
Vem da definição 2 . 1 . 1 , de limite, página 42 , que existe 61 > O tal que 
O < I x - a i < 61 =? I g (x) - m J < Im l / 2 , 
portanto Im l - l g (x) 1 � Im - g (x) 1 < Im l /2 , ou sej a, 
I g (x) l > Im l /2 . ( 2 . 2 . 2 ) 
Dado c > O , existe 6 > O , que pode ser tomado menor do que 61 , tal que 
O < I x - a i < 6 =? I g (x) - m l < I m I 2c/2 . 
Portanto, de acordo com ( 2 . 2 . 2) e ( 2 . 2 . 3) , O < I x - a i < 6 implica 
1 1 /g (x) - l /m l = I (g (x) - m) /mg(x) 1 < 2 I g (x) - m l / lm J 2 < c . 
Ou seja , limx-->a ( l /g (x ) ) = l /m. 
( 2 . 2 . 3 ) 
o 
Observação 2.2.2. ( 1 ) O item 1 e o item 2 da proposição 2 . 2 . 1 , acima, se 
estendem para um número qualquer de funções . Assim , por exemplo , se 
limx-->a f (x) = R , tem-se limx-->a [f(x)r = Rn , n E N. 
( 2 ) Dado um polinômio P(x) = anxn + an_ 1xn-
1 + . . . + ao , notando que 
limx-->a x = a e combinando o item ( 1 ) acima com as propriedades enuncia­
das na proposição 2 . 2 . 1 , tem-se 
lim P(x) = P(a) . x-->a 
50 • Limite e Continuidade 
Mais ainda, os ítens (5) e (6) do exemplo 2.1.3 nos dão: 
lim P ( cos x) = P ( cos a) , x----+a 
lim P(sen x) = P(sen a), x---+a 
lim tan x = tan a, se cos a =I- O, x-+a 
lim cot x = cot a, se sen a =I- O, x-+a 
lim sec x = sec a, se cos a =I- O e x-+a 
lim csc x = csc a, se sen a =I- o. x-+a 
o item (4) do exemplo 2.1.3, página 43, onde o limite limx-+2(x2+1) = 5 é 
calculado, decorre imediatamente da observação 2.2.2, não sendo necessário 
o uso direto da definição de limite. 
PROPOSIÇÃO 2.2.3. Seja 1 : B � ]R tal que exista f = limx-+a 1(x) . Então 
existe uma vizinhança V (a) de a tal que 1 é limitada em V (a) n B. 
Demonstração. Seja E = 1. Como limx-+a 1(x) = f, existe 6 > O tal que 
x E B, O < Ix - 0,1 < 6 :::} 11(x) - fi < I 
:::} 11(x) I - lfl < 1 :::} 1 1(x) 1 < I fl + 1. 
Logo, se V(a) = (a - 6, 0, + 6) , x E V(a) n B \ {a} implica 1 1(x) 1 < Ifl + 1. 
Assim, 11(x) 1 :S; Ifl + I + 11(0,) 1 , para todo x E V(a) n B. Ou seja, 1 é 
limitada em V(a) n B. D 
Seja 1 : B � ]R uma função, e seja a um ponto de B ou um ponto de 
acumulação de B. Se existe uma vizinhança V (a) de a tal que 1 é l imitada 
em V (a) n B [ou seja, vale a conc lusão da proposição 2.2.3], diz-se que 
1 é localmente limitada no ponto a. Diz-se que uma função é localmente 
limitada em um conjunto B C ]R se for localmente limitada em cada ponto 
de B. Neste contexto, a proposição 2.2.3 poderia ser enunciada: 
"Seja 1 : B � ]R e suponhamos que exista fi = limx-+a 1 (x). Então 1 é 
localmente limitada em a. " 
Observação 2.2.4. Obviamente, qualquer função limitada 1 : A � ]R é lo­
calmente limitada em A. Entretanto, não vale a recíproca desta afirmação 
pois, pelo que já sabemos, a função identidade !(x) = x, x E ]R, é local­
mente limitada em ]R [pois existe o limite em cada ponto de ]R], mas é claro 
que a função identidade não é uma função limitada. A função 1(x) = l/x é 
localmente limitada em B = (0, 00) [pois O � B], mas não é limitada em B. 
Propriedades dos limites • 51 
;ti = l/x 
Figura 2.2.1: Não existem os limites para x ---t O 
A proposição 2.2.3, acima, pode ser vista como um critério de não exis­
tência do limite: "Se uma função não é localmente limitada num ponto a, 
então não existe limx---+a f (x) . " 
EXEMPLO 2.2.5. (1) Não existem limx---+o(l/x) e limx---+o(1/x2 ) , pois l/x e 
1/x2 não são funções localmente limitadas em O. Veja as figuras 2 . 2 . 1. 
(2) Com o mesmo argumento vê-se que as funções csc x e cot x não têm 
limite nos pontos a = k7r, ±k: = 0, 1, . . . . 
(3) A função f(x) = sen(l/x) é localmente limitada no ponto x = O, 
mas, como já vimos, não existe limx---+o sen(l/x) . Isto é, não vale a recíproca 
da proposição 2.2.3. 
Quando uma função f satisfaz limx---+a f(x) = O, usa-se dizer que f é 
um infinitésimo em a. A proposição abaixo diz, em outros termos, que o 
produto de uma função limitada por um infinitésimo é um infinitésimo. 
PROPOSIÇÃO 2.2.6. Sejam f, h : B --+ IR, limx---+a f(x) = O e h localmente 
limitada em a, então limx---+a h(x) f(x) = O. 
Demonstração. Sejam 61 > O tal que h é limitada em V'h (a) n B e K > O 
tal que Ih(x) 1 � K, para todo x E 1181 (a) n B. 
Seja c > O qualquer e tomemos 6, 61 > 6 > O, tal que 
x E B, O < Ix - a i < 6 =} If(x) 1 < c/ K. 
Assim, se x E B, 
O < Ix - a i < 6 
c 
=} Ih(x)f(x)1 = Ih(x) llf(x) 1 < K 
K 
= c. 
Isto é, limx---+a h(x) f(x) = O. D 
52 • Limite e Continuidade 
1 
Figura 2.2.2: g(x) = x sen­
x 
EXEMPLO 2.2.7. (1) limx-->ox sen � = 0, pois este é o limite do produto de 
uma função limitada, h(x) = sen � , por um infinitésimo em 0, f(x) = x. A 
figura 2.2.2 mostra o gráfico da função par g(x) = x sen � . 
(2) limx-->o x2 sec x cos3 � = 0, pois a função considerada é o produto de 
uma função localmente limitada em 0, h(x) = secx cos3 � , por um infinité­
simo em 0, f(x) = x2 . 
(3) A hipótese de h ser localmente limitada na proposição 2.2.6 é es­
sencial. Por exemplo, se tivermos f(x) = x [portanto limx-->o f(x) = O] e 
h(x) = l/x, que não é localmente limitada em 0, será inválida a conclusão 
da proposição 2.2.6, pois limx-->o f(x) h(x) = 1. Na verdade, quando essa hi­
pótese não é imposta nada se pode dizer, pois se tomarmos agora f(x) = x2 
e mantivermos h( x) = l/x, teremos limx-->o f(x) h(x) = O. 
TEOREMA DA COMPARAÇÃO. Sejam f,g : B -----t IR com f(x) � g(x) , para 
todo x E B . Se existem limx-->a f (x) e limx-->a 9 (x) , então 
lim f (x) � lim 9 ( x ) . x----+a x----+a 
Demonstração. Suponhamos por contradição que 
Se fi = fil - fi2 , temos 
fil = lim f(x) > lim g(x) =