Operações com Números Inteiros

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CORREIOS
Empresa Brasileira de Correios e Telégrafos
Agente de Correios – Carteiro
Matemática
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Obra
CORREIOS – Empresa Brasileira de Correios e Telégrafos
Agente de Correios – Carteiro
Autores
MATEMÁTICA • Kairton Batista (Prof. Kaká) 
Edição: Outubro/2024
ISBN: 978-65-5451-403-3
SUMÁRIO
MATEMÁTICA .........................................................................................................................5
NÚMEROS INTEIROS: OPERAÇÕES E PROPRIEDADES ................................................................... 5
MÚLTIPLOS E DIVISORES: PROBLEMAS ........................................................................................................10
NÚMEROS RACIONAIS: OPERAÇÕES E PROPRIEDADES .............................................................. 14
PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES NA FORMA FRACIONÁRIA E DECIMAL ...............16
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: RAZÕES E PROPORÇÕES .................................... 18
DIVISÃO PROPORCIONAL ................................................................................................................................21
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA ........................................................................................ 26
PORCENTAGEM .................................................................................................................................. 35
JUROS E DESCONTO SIMPLES: JURO, CAPITAL, TEMPO, TAXA E MONTANTE .......................... 40
FUNÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAUS: PROBLEMAS ........................................................ 44
SISTEMA DE MEDIDAS: DECIMAIS E NÃO DECIMAIS .................................................................... 49
SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO: PROBLEMAS ....................................................................... 54
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MATEMÁTICA
NÚMEROS INTEIROS: OPERAÇÕES E PROPRIEDADES
Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Veja:
Z = {..., -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
O símbolo desse conjunto é a letra Z. Uma coisa importante é saber que todos os números 
naturais são inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Logo, podemos repre-
sentar através de diagramas e afirmar que o conjunto de números naturais está contido no 
conjunto de números inteiros ou ainda que N é um subconjunto de Z. Observe: 
Z N
Podemos destacar alguns subconjuntos de números. Veja:
 z Números inteiros não negativos = {4,5,6...}. Veja que são os números naturais;
 z Números inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}; Veja que o zero também faz parte deste 
conjunto, pois ele não é positivo nem negativo;
 z Números inteiros negativos = {… -3, -2, -1}. O zero não faz parte;
 z Números inteiros positivos = {5, 6, 7...}. Novamente, o zero não faz parte.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
Há quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números. São elas: adição, 
subtração, multiplicação e divisão.
Adição
É dada pela soma de dois números. Ou seja, a adição de 20 e 5 é: 20 + 5 = 25
Veja mais alguns exemplos: 
Adição de 15 e 3: 15 + 3 = 18
Adição de 55 e 30: 55 + 30 = 85
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Principais propriedades da operação de adição:
 z Propriedade comutativa: a ordem dos números não altera a soma. 
Ex.: 115 + 35 é igual a 35 + 115. 
 z Propriedade associativa: quando é feita a adição de 3 ou mais números, podemos somar 
2 deles, primeiramente, e depois somar o outro, em qualquer ordem, que vamos obter o 
mesmo resultado. 
Ex.: 2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = 10
 z Elemento neutro: o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a 
zero é igual a ele mesmo. 
Ex.: 27 + 0 = 27; 55 + 0 = 55.
 z Propriedade do fechamento: a soma de dois números inteiros sempre gera outro número 
inteiro. 
Ex.: a soma dos números inteiros 8 e 2 gera o número inteiro 10 (8 + 2 = 10).
Subtração
Subtrair dois números é o mesmo que diminuir, de um deles, o valor do outro. Ou seja, 
subtrair 7 de 20 significa retirar 7 de 20, restando 13: 20 – 7 = 13.
Veja mais alguns exemplos: 
Subtrair 5 de 16: 16 -5 = 11
30 subtraído de 10: 30 – 10 = 20
Principais propriedades da operação de subtração:
 z Propriedade comutativa: como a ordem dos números altera o resultado, a subtração de 
números não possui a propriedade comutativa.
Ex.: 250 – 120 = 130 e 120 – 250 = -130. 
 z Propriedade associativa: não há essa propriedade na subtração.
 z Elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qual-
quer número, este número permanecerá inalterado. 
Ex.: 13 – 0 = 13.
 z Propriedade do fechamento: a subtração de dois números inteiros sempre gera outro 
número inteiro.
Ex.: 33 – 10 = 23.
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Multiplicação
A multiplicação funciona como se fosse uma repetição de adições. Veja: 
A multiplicação 20 x 3 é igual à soma do número 20 três vezes (20 + 20 + 20), ou à soma do 
número 3 vinte vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). 
Algo que é muito importante e você deve lembrar sempre são as regras de sinais na mul-
tiplicação de números.
SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO
Operações Resultados
+ + +
- - +
+ - -
- + -
Dica
z A multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
Ex.: 51 × 2 = 102; (-33) × (-3) = 99 
z A multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Ex.: 25 × (-4) = -100; (-15) × 5 = -75
Principais propriedades da operação de multiplicação:
 z Propriedade comutativa: A x B é igual a B x A, ou seja, a ordem não altera o resultado.
Ex.: 8 x 5 = 5 x 8 = 40.
 z Propriedade associativa: (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B.
Ex.: (3 x 4) x 2 = 3 x (4 x 2) = (3 x 2) x 4 = 24.
 z Elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 
1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. 
Ex.: 15 x 1 = 15.
 z Propriedade do fechamento: a multiplicação de números inteiros sempre gera um número 
inteiro.
Ex.: 9 x 5 = 45
 z Propriedade distributiva: essa propriedade é exclusiva da multiplicação. Veja como fica: 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)
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Ex.: 3x(5+7) = 3x(12) = 36
Usando a propriedade:
3x(5+7) = 3x5 + 3x7 = 15+21 = 36
Divisão
Quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, 
sendo um total de B partes. 
Ex.: Ao dividirmos 50 por 10, queremos dividir 50 em 10 partes de mesmo valor. Ou seja, 
nesse caso teremos 10 partes de 5 unidades, pois se multiplicarmos 10 x 5 = 50. Ou ainda 
podemos somar 5 unidades 10 vezes consecutivas, ou seja, 5+5+5+5+5+5+5+5+5+5=50.
Algo que é muito importante e você deve lembrar sempre são as regras de sinais na divi-
são de números.
SINAIS NA DIVISÃO
Operações Resultados
+ + +
- - +
+ - -
- + -
Dica
z A divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
Ex.: 60 ÷ 3 = 20; (-45) ÷ (-15) = 3 
z A divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Ex.: 25 ÷ (-5) = -5; (-120) ÷ 5 = -24
Esquematizando:
30
0
5
6
Dividendo Divisor
Resto Quociente
Dividendo = Divisor × Quociente + Resto 
30 = 5 · 6 + 0
Principais propriedades da operação de divisão: 
 z Propriedade comutativa: a divisão não possui essa propriedade.
 z Propriedade associativa:z 1 g = 1000 mg (uma grama tem mil miligramas).
Observe o exemplo a seguir de uma conversão:
Vamos transformar 3,5 kg em gramas.
Sabemos que 1 kg equivale a 1000 gramas, logo:
1 kg — 1000 g
3,5 Kg — x
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x = 3,5 × 1000
x = 3500 g
Então, podemos dizer que 3,5 kg equivalem a 3500g.
MEDIDAS DE TEMPERATURA
O instrumento para a medição de temperatura é o termômetro, que é um tubo graduado 
com um líquido em seu interior (mercúrio ou álcool). As escalas mais comuns para medir 
temperatura são:
 z Celsius: medida em graus centígrados;
 z Kelvin: medido em Kelvin;
 z Fahrenheit: medida em graus Fahrenheit.
As conversões entre essas escalas termométricas são dadas pelas fórmulas a seguir:
 � de graus Celsius para Kelvin: TK = To
C + 273;
 � de graus Celsius para Fahrenheit: To
C / 5 = (To
F-32) / 9.
Veja os exemplos a seguir:
Exemplo 1: transformar 250 K para °C:
TK = To
C + 273
250 = To
C + 273
To
C = 273 – 250
To
C = –23°
Exemplo 2: transformar 85 oC para oF:
To
C / 5 = (To
F-32) / 9
85/5 = (To
F-32) / 9
17 = (To
F-32) / 9
17 × 9 = To
F-32
153 + 32 = To
F
To
F = 185°
Veja, agora, algumas relações que você precisar ter em mente para resolver diversas 
questões:
UNIDADE RELAÇÃO DE UNIDADE
1 quilograma (kg) 1000 gramas (g)
1 tonelada (t) 1000 quilogramas (kg)
1 litro (l) 1 decímetro cúbico (dm3)
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UNIDADE RELAÇÃO DE UNIDADE
1 mililitro (ml) 1centímetro cúbico (cm3)
1 hectare (ha) 1 hectômetro quadrado (hm2)
1 hectare (ha) 10000 metros quadrados (m2)
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO GRANDEZAS
Após olharmos toda a parte teórica, vamos resolver algumas questões de diversas bancas 
que envolvem as grandezas de comprimento, volume, capacidade, tempo, massa, tempera-
tura e área.
1. (ENCCEJA – 2019) Tonel é um recipiente utilizado para armazenar líquidos. Uma vinícola utiliza 
tonéis com capacidade de 1 000 litros cada um, para armazenar sua produção de 50 m3 de vinho.
 Quantos tonéis serão necessários para armazenar toda a produção dessa vinícola?
a) 50.
b) 20.
c) 5.
d) 2.
Para responder à questão, é necessário que lembremos da seguinte relação:
1 m³ = 1000 l. Logo, 50 m³ = 50000 l. Então, a quantidade de tonéis é de: 50000 / 1000 = 50 
tonéis. Resposta: Letra A.
2. (ENCCEJA – 2019) De acordo com dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), 
a produção brasileira de café, no segundo semestre de 2014, foi estimada em 47 milhões de 
sacas de 60 kg cada.
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 20 jul. 2014 (adaptado).
 A produção brasileira de café, em milhão de quilogramas, segundo essa estimativa, foi de:
a) 107.
b) 282.
c) 2 420.
d) 2 820.
Para responder à questão, basta fazermos a seguinte multiplicação: 47 milhões × 60 kg.
Como a resposta é pedida em milhão de quilogramas, faremos uma multiplicação direta:
47 × 60 = 2820 milhões de quilogramas. Resposta: Letra D.
3. (ENCCEJA – 2018) Uma comunidade rural de um estado brasileiro possui 4 hectares de terra, em 
forma quadrada, para plantação de cana. Sabe-se que 1 hectare equivale a uma área de 10 000 m2.
 Dessa forma, a medida do lado, em metro, das terras dessa comunidade é:
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a) 200.
b) 400.
c) 20 000.
d) 40 000.
Extraindo os dados, temos:
1ha ------ 10 000m2
4ha ------- x
x = 4 × 10000
x = 40 000 m2
Como o terreno é quadrado, então sabemos que sua área é calculada elevando um lado ao 
quadrado, ou seja:
l2 = 40000
l = √40000
l = 200 metros.
Logo, a medida do lado é de 200 metros. Resposta: Letra A.
4. (ENEM – 2020) É comum as cooperativas venderem seus produtos a diversos estabelecimentos. 
Uma cooperativa láctea destinou 4 m3 de leite, do total produzido, para análise em um laborató-
rio da região, separados igualmente em 4 000 embalagens de mesma capacidade.
 Qual o volume de leite, em mililitro, contido em cada embalagem?
a) 0,1
b) 1,0
c) 10,0
d) 100,0
e) 1 000,0
Vamos fazer as devidas conversões: 4 m3 = 4 × 103 dm3 = 4 000 dm3 = 4 000 litros
O volume de leite, em litros, contido em cada embalagem é (4000 litros) ÷ 4000 = 1 litro.
Logo, 1 litro = 1000 ml. Resposta: Letra E.
SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO: PROBLEMAS
No Brasil, o dinheiro é chamado de Real (sua simbologia é reconhecida por R$) no sistema 
monetário e serve para estabelecer relações de compra e venda. Cada moeda ou cédula pos-
sui um valor determinado. 
É importante ter um sistema monetário forte para o desenvolvimento de um país, pois isso 
cria um ciclo virtuoso em que a população se qualifica para estabelecer alto poder aquisitivo, 
receber instrução e consumir de forma considerável, não sendo necessário exportar.
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COMPOSIÇÃO DE MOEDAS E CÉDULAS DO SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO
As moedas utilizadas no sistema monetário do Brasil são as de um centavo, cinco centa-
vos, dez centavos, vinte e cinco centavos, cinquenta centavos e um real, conforme a figura a 
seguir:
R$ 0,01 - UM 
CENTAVO
R$ 0,25 
VINTE E 
CINCO 
CENTAVOS
R$ 0,50 
CINQUENTA 
CENTAVO
R$ 1,00 UM 
REAL
R$ 0,05 - CINCO 
CENTAVOS
R$ 0,10 - DEZ 
CENTAVOS
Já quando falamos das cédulas usadas, temos as de dois reais, cinco reais, dez reais, vinte 
reais, cinquenta reais, cem reais e duzentos reais.
R$ 2,00 - DOIS 
REAIS
R$ 20,00 - VINTE 
REAIS
R$ 50,00 - CINQUENTA 
REAIS
R$ 100,00 - CEM 
REAIS
R$ 200,00 - DUZENTOS 
REAIS
R$ 5,00 - CINCO 
REAIS
R$ 10,00 - DEZ 
REAIS
FABRICAÇÃO DE PAPEL-MOEDA
O dinheiro que gira e circula diariamente na economia, também conhecido como pape-
l-moeda, tem sua fabricação de responsabilidade da Casa da Moeda do Brasil (CMB). Além 
da fabricação de papel-moeda, moeda metálica e medalhas comemorativas, a CMB possui 
outras funções importantes como: imprimir selos postais, fiscais e federais e de títulos da 
dívida pública federal; fabricação de passaportes para fornecimento ao Governo; atividades 
de controle fiscal sobre a produção de cigarros e outros documentos que necessitam de pro-
teção contra falsificação, tais como certidões e bilhetes de metrô. Assim, a existência dessa 
instituição fornece ao Brasil autossuficiência para a produção de suas notas e moedas.
A quantidade de cédulas e moedas que devem ser produzidas anualmente é definida pelo 
Banco Central junto com a Casa da Moeda do Brasil, ou seja, a CMB fabrica o dinheiro e o 
Bacen emite, distribui e controla os meios circulantes. A CMB não tem a autonomia para 
decidir quanto de dinheiro vai emitir: é necessária uma autorização do presidente do Banco 
Central que, orientado pelo governo, define a quantidade de dinheiro a ser impresso.
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Utilizando recursos específicos da tecnologia que vem avançando atualmente, é possível 
continuar garantindo a segurança do dinheiro brasileiro a partir da implementação de recur-
sos gráficos e elementos anti-falsificação mais modernos. 
Veja a seguir uma imagem com o modelo de uma cédula atual:
FIO DE SEGURANÇA 
No local indicado 
passa um fio escuro, 
que serve para leitura 
por equipamentos de 
contagem de dinheiro
FAIXA HOLOGRÁFICA
A tarja metálica tem imagens 
com características que 
simulam movimento 
e alternância de cores 
conforme o ângulo observado
QUEBRA-CABEÇA
O número 50 tem partes 
complementares na frente e 
no verso da nota. Ao segurar 
contra a luz, é possível ver o 
número 50 completo
MARCA D’ÁGUA
Ao segurar a nota contra 
a luz, você verá uma 
figura sombreada da 
onça pintada
Na frente e no verso 
da nota é possível ver 
imagens e fibras quando 
iluminadas com luz 
ultravioleta
ELEMENTOS FLUORESCENTES
MICROIMPRESSÕES
Com ajuda de uma lente de aumento 
é possível ver em partes da frente 
da nota as legendas “50 reais” e em 
alguns lugares do verso números “50”
NÚMERO ESCONDIDO
Coloque a nota deitada na altura 
dos olhos, sob a luz, e você verá o 
número “50”na frente e no verso 
da cédula
Na parte indicada é possível 
sentir com o tato que a 
tinta é mais grossa que no 
restante da cédula
IMPRESSÃO EM ALTORRELEVO
CARACTERÍSTICAS DA NOTA VERDADEIRA
Frente
Verso
Vamos exercitar um pouco!
1. (ÁPICE – 2021) Ricardo, que adora guardar moedas, têm 60 moedas de R$ 0,05, 15 moedas de 
R$ 0,10, 10 moedas de R$ 0,25, 10 moedas de R$ 1,00 e algumas moedas de R$ 0,50, totalizando 
R$50,00. Quantas moedas de R$ 0,50 o Ricardo possui?
a) 17.
b) 33.
c) 66.
d) 50.
60 moedas de R$ 0,05 = 60 · 0,05 = 3,00
15 moedas de R$ 0,10 = 15 · 0,10 = 1,50
10 moedas de R$ 0,25 = 10 · 0,25 = 2,50
10 moedas de R$ 1,00 = 10,00
X moedas de 0,50.
Dinheiro total = 50,00
Logo, Ricardo já tem:
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10,00 + 3,00 + 2,50 + 1,50 = 17,00
Quanto falta para Ricardo completar os 50,00? 50 – 17 = 33,00. 
Agora basta dividir 33,00 por 0,50 para saber a quantidade de moedas:
33/0,5 = 66 moedas de 0,50. Resposta: Letra C.
2. (FGV — 2024) Em uma lanchonete, Anaxágoras consumiu um suco e um salgado. Ele pagou com 
uma nota de R$ 20,00 e recebeu R$ 7,20 de troco. Se tivesse comido um salgado amais, teria 
recebido R$ 2,30 de troco.
 Pode-se afirmar que o suco custou
a) R$ 4,90.
b) R$ 5,90
c) R$ 6,90
d) R$ 7,90
e) R$ 8,90.
Para o cálculo do nosso resultado, o preço do salgado será xx e o preço do suco, yy. Sabemos 
que o salgado e o suco custaram R$ 12,80, uma vez que Anaxágoras pagou com uma nota de 
R$ 20 e recebeu, de troco, R$ 7,20 (20 – 7,20 = 12,80). Então:
Se Anaxágoras tivesse consumido mais um salgado, seu troco seria de R$ 2,30. Então: 
x = 7,20 – 2,30
x = 4,90
Para descobrirmos o preço do suco, basta substituor o valor de x na equação (i): 
4,90 + y = 12,80
y = 12,80 – 4,90
y = 7,90
Temos nossa resposta. Resposta: Letra D. 
3. (FGV — 2024) Renata comprou uma garrafa d’água por R$3,00 e para pagar usou uma cédula de 
R$20,00. Como troco, Renata recebeu o valor correto somente em cédulas deR$2,00 e R$5,00. 
Nesse caso, é correto afirmar que Renata recebeu
a) mais cédulas de R$2,00 e do que de R$5,00.
b) mais cédulas de R$5,00 e do que de R$2,00.
c) uma quantidade ímpar de cédulas.
d) pelo menos 4 cédulas.
Para receber R$ 17 de troco, Renata teve que pagar uma água de R$ 3 com uma nota de R$ 20 
(2 – 3 = 17). Sabemos que ela recebeu o troco somente em notas de R$ 5 e de R$ 2, portanto, 
para ela rececer os R$ 17:
Três cédulas de R$ 5 e uma de R$ 2: 
3 · 5 + 1 · 2 
17 + 2 = 17.
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Sabendo disso, tomamos consciência de que Renata pode receber quatro cédulas, sendo três 
de R$ 5 e uma de R$ 2, ou sete notas, sendo uma de R$ 5 e seis de R$ 2. Resposta: Letra D. 
 HORA DE PRATICAR!
1. (IBFC – 2022) Uma gráfica recebeu 2400 pacotes de papel. Sabendo que cada pacote pesa o equiva-
lente a 4kg (quilogramas), o peso total desses 2400 pacotes será de:
a)	600 kg
b)	9600 kg
c)	2400 kg
d)	6000 kg
2. (IBFC – 2023) Os divisores positivos do número 6, se somados geram o número:
a)	16
b)	11
c)	15
d)	10
e)	12
3. (IBFC – 2019) Dentre as alternativas, a única incorreta é:
a)	o elemento neutro da multiplicação de números inteiros é o número 1
b)	o elemento simétrico da adição de números inteiros é o número 0
c)	o conjunto {-4, -2, -1, +1, +2, +4} representa o conjunto de todos os divisores inteiros do número 4
d)	o conjunto de todos os múltiplos inteiros do número 4 é infinito
4. (IBFC – 2022) Paula saiu com certa quantia na carteira e gastou 1/3 no cabeleireiro e 1/5 com 
roupas. Se ainda lhe sobraram R$ 400,00 após esses dois gastos, então a quantia com que Pau-
la saiu foi de:
a)	R$ 1.500,00
b)	R$ 1.800,00
c)	R$ 2.000,00
d)	R$ 1.200,00
5. (IBFC – 2021) Uma loja está ofertando um jogo de sofá de R$ 799,90 por R$ 763,90. Se uma fronha 
custa R$ 4,50, então com a economia na compra de um jogo de sofá, o total de fronhas possíveis de 
serem compradas é:
a)	6
b)	7
c)	8
d)	10
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6. (IBFC – 2021) José Paulo contrata um advogado para tentar receber 80% de uma causa ava-
liada em R$350.000,00. O advogado cobra 15% da quantia recebida pelo cliente, para suas 
despesas com processo e serviço prestado. Assinale a alternativa que apresenta a quantia, em 
reais, que José Paulo receberá, já descontado a parte do advogado.
a)	R$ 238.000,00
b)	R$ 42.000,00
c)	R$ 280.000,00
d)	R$ 322.000,00
7. (IBFC – 2019) Maria comprou uma televisão nova que custava R$ 1.300,00 e conseguiu com o 
vendedor um desconto de 15% pagando à vista. Isto acabou comprometendo metade de seu 
salário. Com base nessas informações podemos afirmar que o salário de Maria é de:
a)	R$ 2.080,00
b)	R$ 2.520,00
c)	R$ 2.210,00
d)	R$ 2.990,00
8. (IBFC – 2023) Marcos vai dividir a quantia de R$ 5.600,00 entre seus três filhos de forma 
diretamente proporcional a idade de cada um. Se as idades de seus filhos são 5, 7 e 8 anos, 
então a quantia que o filho mais novo vai receber é igual a:
a)	R$ 1.960,00
b)	R$ 2.240,00
c)	R$ 1.400,00
d)	R$ 1.280,00
e)	R$ 1.440,00
9. (IBFC – 2022) Uma herança no valor de R$ 128.000,00 será deixada para três irmãos. A divisão 
será feita em partes diretamente proporcionais aos números 8, 5 e 7. O irmão que receberá a 
menor parte desta herança terá o valor de:
a)	R$ 25.600,00
b)	R$ 51.200,00
c)	R$ 44.800,00
d)	R$ 32.000,00
10. (IBFC – 2023) Um pintor leva 12 dias para pintar uma casa, trabalhando 6 horas por dia. Se ele 
trabalhar apenas 4 horas por dia, ele levará para pintar a mesma casa:
a)	 8,0 dias
b)	 14,4 dias
c)	 15,0 dias
d)	 18,0 dias
e)	 20,0 dias
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11. (IBFC – 2019) Um entregador ganha R$ 10 por entrega. Cada entrega demora cerca de 20 
minutos em média para ser completada e ele receber o dinheiro correspondente. Ele já está 
trabalhando por 5 horas e pretende fazer neste dia R$ 250. Assinale a alternativa que indica cor-
retamente a expectativa de quanto tempo mais ele deve trabalhar.
a)	 3 horas e 20 minutos
b)	 4 horas
c)	 5 horas e 20 minutos
d)	 6 horas
12. (IBFC – 2023) Para a realização de um serviço de alvenaria, 6 pedreiros trabalharam 8 horas 
por dia durante 5 dias. Se esse mesmo serviço fosse realizado por 4 pedreiros trabalhando 12 
horas por dia no mesmo ritmo, então o total de dias necessários para completar a obra seria 
igual a:
a) 6
b) 4
c) 3
d) 8
e) 5
13. (IBFC – 2022) Uma padaria vende suco natural de goiaba em pequenas garrafas de 350 ml. 
Se uma pessoa compra 11 garrafas deste suco, está levando para casa XX litros de suco. O 
valor de XX é:
a)	 0,35 L
b)	 2,75 L
c)	 3,85 L
d)	 3,50 L
14. (IBFC – 2023) Ana está guardando dinheiro para comprar um sapato novo. Ela precisa economi-
zar três notas de R$ 20,00, quatro de R$ 5,00 e oito moedas de R$ 0,50 para comprar o produto. O 
preço do sapato é:
a)	 R$ 84,00
b)	 R$ 48,00
c)	 R$ 60,00
d)	 R$ 80,00
15. (IBFC – 2023) O gráfico de uma função de primeiro grau passa pelos pontos (2,3) e (3,5). Nes-
sas condições, a raiz dessa função é igual a:
a)	 1
b)	 1,5
c)	 0,5
d)	 2
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16. (IBFC – 2021) A função quadrática dada por f(x) = x2 − 2mx + m possui duas raízes reais e 
iguais quando os valores do número m forem iguais a:
a)	 {−4, 4}
b)	 {−1,0}
c)	 {−1, 1}
d)	 {0, 1}
17. (IBFC – 2024) Um investidor aplicou um capital de R$ 150.000,00 a uma taxa de juros simples por 
um período de 90 dias, resultando em um ganho de R$ 6.750,00.
 A taxa de juros anual dessa aplicação é:
a)	 15%
b)	 18%
c)	 16%
d)	 11%
e)	 12 %
18. (IBFC – 2022) O Investidor Antônio José fez uma aplicação no regime de juros simples que lhe 
rendeu um montante igual a R$14.000,00 após 12 meses, a uma taxa de 2%a.m.
 Assinale a alternativa que apresenta qual o valor dos juros desta operação.
a)	 R$ 3.906,98
b)	 R$ 3.755,39
c)	 R$ 2.947,56
d)	 R$ 2.709,68
19. (IBFC – 2021) Paulo terá que pagar daqui 6 meses umadívida no valor de R$ 2.500,00. Se pagar 
dois meses antes do vencimento terá um desconto simples de 6% ao mês. Nessas condições, 
o valor da dívida de Paulo seria de:
a)	 R$ 2.000,00
b)	 R$ 2.125,00
c)	 R$ 1.900,00
d)	 R$ 2.200,00
20. (IBFC – 2019) Se Ana antecipasse o pagamento de uma dívida de R$ 3.200,00 teria um des-
conto simples proporcional (prórata) de 4% ao mês. Ana então pagou a dívida 75 dias antes 
do vencimento. Nessas condições, o valor que Ana pagou pela dívida foi:
a)	 R$ 2.760,00
b)	 R$ 2.800,00
c)	 R$ 3.008,00
d)	 R$ 2.880,00
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 9 GABARITO
1 B
2 E
3 B
4 A
5 C
6 A
7 C
8 C
9 D
10 D
11 A
12 E
13 C
14 A
15 C
16 D
17 B
18 D
19 D
20 Da divisão não possui essa propriedade.
 z Elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer 
número por 1, o resultado será o próprio número. 
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Ex.: 15 / 1 = 15.
 z Propriedade do fechamento: aqui chegamos em uma diferença enorme dentro das ope-
rações de números inteiros, pois a divisão não possui essa propriedade, uma vez que ao 
dividir números inteiros podemos obter resultados fracionários ou decimais.
Ex.: 2 / 10 = 0,2 (não pertence ao conjunto dos números inteiros).
Vamos a alguns exercícios comentados para treinar o conteúdo visto até aqui.
1. (VUNESP – 2015) Dividindo-se um determinado número por 18, obtém-se quociente n e resto 
15. Dividindo-se o mesmo número por 17, obtém-se quociente (n + 2) e resto 1. Desse modo, é 
correto afirmar que n(n + 2) é igual a
a) 440.
b) 420.
c) 400.
d) 380.
e) 340.
Dividendo = 18 x n + 15
Dividendo = 17 x (n+2) + 1
18 x n + 15 = 17 x (n+2) + 1
18n + 15 = 17n + 34 + 1
18n – 17n = 35 – 15
n = 20
Logo, n.(n+2) = 20.(20+2) = 20.22 = 440. Resposta: Letra A. 
2. (FGV – 2019) O resultado da operação 2+3×4−1 é
a) 13.
b) 15.
c) 19.
d) 22.
e) 23. 
Primeiro vamos fazer a multiplicação e depois as demais operações: 
2 + 3 × 4 − 1 = 2 + 12 − 1 = 13
Resposta: Letra A
3. (INSTITUTO AOCP – 2018) O total de números que estão entre o dobro de 140 e o triplo de 100 
é igual a
a) 17.
b) 19.
10
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c) 21.
d) 23.
e) 25.
Dobro de 140 = 280
Triplo de 100 = 300
Total de números entre 280 e 300:
281 até 291 = 10 números
291 até 299 = 9 números
10 + 9 = 19 números.
Resposta: Letra B. 
4. (INSTITUTO CONSULPLAN – 2019) Os símbolos das operações que deverão ser inseridos nos 
quadrados para que o cálculo seja verdadeiro são, respectivamente: 4_3_2_1 = 10
a) + / x / +
b) x / – / ÷
c) + / ÷ / –
d) x / + / +
4 * 3 – 2/1=
4 * 3 = 12
–2/1= –2 =
12 – 2 = 10
Resposta: Letra B. 
MÚLTIPLOS E DIVISORES: PROBLEMAS
Sejam dois números naturais x e y, temos que x é múltiplo de y quando existe um número 
natural z tal que x = y · z.
Dessa maneira, temos que 30 é múltiplo de 3, uma vez que 3 · z = 30, onde z = 10. De mesma 
forma, 30 é múltiplo de 10, uma vez que 10 · z = 30, onde z = 3.
Vamos calcular alguns dos múltiplos de 2 multiplicando o 2 por todos os números naturais 
de 0 a 10.
2 · 0 = 0
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
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Assim, temos que o conjunto N dos múltiplos de 2 é N = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...}.
Lembre-se de que o conjunto dos múltiplos é infinito!
Sejam dois números naturais x e y, temos que x é divisor de y quando existe um número 
natural z tal que z = 
x
y de maneira que não haja resto na divisão.
Dessa maneira, temos que 5 é divisor de 300, uma vez que 300 ÷ 5 = z, tal que z = 60.
Para encontrarmos os divisores de um número, verificamos se o resultado da divisão é intei-
ro. Vejamos os divisores de 30:
30 ÷ 30 = 1
30 ÷ 15 = 2
30 ÷ 10 = 3
30 ÷ 6 = 5
30 ÷ 5 = 6
30 ÷ 3 = 10
30 ÷ 2 = 15
30 ÷ 1 = 30
Temos, então, que o conjunto D dos divisores de 30 é dado por D = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30}.
Perceba que, ao contrário do conjunto dos múltiplos, o conjunto dos divisores é finito!
MDC
O Máximo Divisor Comum de dois ou mais números é o maior número que é divisor 
comum de todos os números dados.
Exemplo: encontrar o MDC entre 18 e 24.
 z Divisores naturais de 18: D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18};
 z Divisores naturais de 24: D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Pode-se escrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24: D (18) ∩ D (24) = {1, 2, 3, 6}.
Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos núme-
ros 18 e 24, ou seja: MDC (18,24) = 6.
Outra técnica para o cálculo do MDC é a decomposição em fatores primos. Para obter o 
MDC de dois ou mais números por este processo, decompõe-se cada número dado em fatores 
primos. O MDC é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um deles elevado ao seu menor 
expoente.
Vamos, então, achar o MDC entre 300 e 504.
300 2
150 2
75 3
25 5
5 5
1
504 2
252 2
126 2
63 3
21 3
7 7
1
300 = 2² · 3 · 5² 504 = 2³ · 3² · 7
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Veja que o 2 e o 3 se repetem em ambas as fatorações, então pegaremos eles com seus 
menores expoentes para calcular o MDC, ou seja, 2² e 3.
MDC (300, 504) = 2² · 3 = 4 · 3 = 12
MMC
O Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números é o menor número positivo que é 
múltiplo comum de todos os números dados.
Exemplo: encontrar o MMC entre 8 e 6.
 z Múltiplos positivos de 6: M (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,...};
 z Múltiplos positivos de 8: M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,...}.
Podem-se escrever, agora, os múltiplos positivos comuns: M(6) ∩ M(8) = {24, 48, 72,...}
Observando os múltiplos comuns, pode-se identificar o Mínimo Múltiplo Comum dos 
números 6 e 8, ou seja: MMC(6,8) = 24.
Temos outra técnica para o cálculo do MMC, que é a decomposição isolada em fatores 
primos. Para obter o MMC de dois ou mais números por este processo, é necessário decom-
pormos cada número dado em fatores primos.
O MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns, cada um deles elevado ao seu maior 
expoente.
Vamos, então, achar o MMC entre 18 e 120.
18 2
9 3
3 3
1
120 2
60 3
30 3
15 3
5 5
1
18 = 2 · 3² 120 = 2 · 33 · 5
Vamos, agora, multiplicar os fatores comuns e não comuns elevados ao seu maior expoente:
MMC (18,120) = 2³ · 3² · 5 = 8 · 9 · 5 = 360
Para fixar o conteúdo visto, resolva, a seguir, os exercícios comentados.
1. (FEPESE — 2016) João trabalha 5 dias e folga 1, enquanto Maria trabalha 3 dias e folga 1. Se 
João e Maria folgam no mesmo dia, então quantos dias, no mínimo, passarão para que eles fol-
guem no mesmo dia novamente?
a) 8.
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b) 10.
c) 12.
d) 15.
e) 24.
O período em que João trabalha e folga corresponde a 6 dias, enquanto o mesmo período, para 
Maria, corresponde a 4 dias. Assim, o problema consiste em encontrar o MMC entre 6 e 4. Decom-
pondo o 6 e o 4, temos que 6 = 2 · 3 e 4 = 2², logo MMC (6,4) = 2² · 3 = 4 · 3 = 12. Resposta: Letra C.
2. (FGV — 2024) Seja p/q = 1/3 + 2/5 – 3/8, em que p e q são primos entre si, isto é, a fração p/q está 
em sua forma irredutível. O valor de p + q é
a) 0.
b) 11.
c) 77.
d) 85.
e) 163.
Primeiro, vamos realizar a soma do enunciado para descobrirmos a fração. 
Após calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) entre 3, 5 e 8, teremos o seguinte:
Sabendo que o MMC entre 3, 5 e 8 consiste na multiplicação de todos os fatores resultados da 
decomposição dos números, temos que:
Se aplicarmos o MMC na soma das frações, teremos:
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Não é possível simplificar essa fração, uma vez que 43 é um número primo, não dividindo, por-
tanto, 120. Sendo assim, o valor de p + q é:
Resposta: Letra E.
3. (FGV — 2024) Um número N é tal que dividido por 6 deixa resto 2 e dividido por 8 também deixa resto 
2.
 A soma dos algarismos do menor número N que satisfaz essas condições é
a) 8.
b) 7.
c) 6.
d) 5.
e) 4.
Seria possível testar utilizando as tabuadas de 6 e 8, no entanto isso deixaria a tarefa mais com-
plexa se os números fossem maiores. Diante disso, faremos o seguinte: o menor número que 
deixará resto 2 na divisão por 6 e por 8 ao mesmo tempo será o menor múltiplo comum (MMC) 
entre 6 e 8 + 2 unidades. Então, decompondo ao mesmo tempo:
Sabendo que o MMC entre 6 e 8 consiste na multiplicação de todos os fatores resultados da 
decomposição de forma simultânea desses algarismos, temos que:
Portanto, o menor número dividido por 6 e 8 com resto 2 é: 24 + 2 = 26. A soma dos algarismos 
desse número é 8 (2 + 6 = 8). Temos nosso resultado. Resposta: Letra A.
NÚMEROS RACIONAIS: OPERAÇÕES E PROPRIEDADESSão aqueles que podem ser escritos na forma da divisão (fração) de dois números inteiros. 
Ou seja, escritos na forma A/B (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. 
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Exemplos: 7/4 e -15/9 são racionais. Veja, também, que os números 87, 321 e 1221 são racio-
nais, pois são divididos pelo número 1. 
Dica
Qualquer número natural é também inteiro e todo número inteiro é também racional.
O símbolo desse conjunto é a letra Q e podemos representar por meio de diagramas a rela-
ção entre os conjuntos naturais, inteiros e racionais, veja: 
Z N
Q
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA E DECIMAL
Há 3 tipos de números no conjunto dos números racionais:
 z Frações:
Ex.: 
3
8
, 5
3
, 11
7 etc.
 z Números decimais. 
Ex.: 1,75 
 z Dízimas periódicas. 
Ex.: 0,33333... 
OPERAÇÕES E PROPRIEDADES DOS NÚMEROS RACIONAIS
 z Adição de números decimais: segue a mesma lógica da adição comum. 
Ex.: 15,25 + 5,15 = 20,4
 z Subtração de números decimais: segue a mesma lógica da subtração comum.
Ex.: 57,3 – 0,12 = 57,18
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 z Multiplicação de números decimais: aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação 
comum.
Ex.: 4,6 × 1,75 = 8,05
 z Divisão de números decimais: devemos multiplicar ambos os números (divisor e dividen-
do) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas 
decimais presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente.
Ex.: 5,7 ÷ 1,3
5,7 × 100 = 570
1,3 × 100 = 130
570 ÷ 130 = 4,38
PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES NA FORMA FRACIONÁRIA E DECIMAL
1. (FGV– 2010) Julgue as afirmativas a seguir:
a) 0,555... é um número racional.
( ) CERTO  ( ) ERRADO
Repare que o número 0,555... é uma dízima periódica. Vimos na teoria que as dízimas perió-
dicas são um tipo de número racional. Resposta: Certo.
b) Todo número inteiro tem antecessor. 
( ) CERTO  ( ) ERRADO
Qualquer número inteiro é possível obter o seu antecessor. Basta subtrair 1 unidade. Veja: 
o antecessor de 35 é o 34. O antecessor de 0 é -1. E o antecessor de -299 é o -300. Resposta: 
Certo.
2. (FCC – 2018) Os canos de PVC são classificados de acordo com a medida de seu diâmetro em 
polegadas. Dentre as alternativas, aquela que indica o cano de maior diâmetro é 
a) 1/2. 
b) 1 ¼. 
c) 3/4. 
d) 1 ½. 
e) 5/8. 
Vamos deixar todos na forma decimal. Ou seja, vamos dividir o numerador pelo denomina-
dor da fração. Veja:
5/8 = 0,625
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½ = 0,5
1 ¼ = 1 + 0,25 = 1,25 
¾ = 0,75
1 ½ = 1 + 0,5 = 1,5
Logo, o maior diâmetro será 1 ½ polegadas, que corresponde a 1,5 polegadas. Resposta: 
Letra D. 
3. (FCC – 2017) Sabendo que o número decimal F é 0,8666 . . . , que o número decimal G é 0,7111 . 
. . e que o número decimal H é 0,4222 . . . , então, o triplo da soma desses três números decimais, 
F, G e H, é igual a 
a) 6,111 . . . 
b) 5,888 . . . 
c) 6 
d) 3 
e) 5,98
Podemos resolver de forma aproximada, somando:
0,8666 + 0,7111 + 0,4222 = 1,9999 (aproximadamente 2)
A soma é aproximadamente 3×2 = 6. Resposta: Letra C. 
4. (FGV – 2016) Durante três dias, o capitão de um navio atracado em um porto anotou a altura das 
marés alta (A) e baixa (B), formando a tabela a seguir. 
A B A B A B A B A B A
1,0 0,3 1,1 0,2 1,3 0,4 1,4 0,5 1,2 0,4 1,0
 A maior diferença entre as alturas de duas marés consecutivas foi 
a) 1,0.
b) 1,1.
c) 1,2.
d) 1,3.
e) 1,4.
Vamos calcular as diferenças entre os valores da tabela. Veja:
0,3 – 1 = -0,7
1,1 – 0,3 = 0,8
0,2 – 1,1 = -0,9
1,3 – 0,2 = 1,1
0,4 – 1,3 = -0,9
1,4 – 0,4 = 1
0,5 – 1,4 = -0,9
1,2 – 0,5 = 0,7
0,4 – 1,2 = -0,8
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1,0 – 0,4 = 0,6
Note que a maior diferença é 1,1. Resposta: Letra B. 
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: RAZÕES E PROPORÇÕES
A razão entre duas grandezas é igual à divisão entre elas. Veja: 
5
2
Ou podemos representar por 2 ÷ 5 (lê-se 2 está para 5).
Já a proporção é a igualdade entre razões. Veja:
3
2
6
4
=
Ou podemos representar por 2 ÷ 3 = 4 ÷ 6 (lê-se 2 está para 3 assim como 4 está para 6).
Os problemas mais comuns que envolvem razão e proporção é quando se aplica uma 
variável qualquer dentro da proporcionalidade e se deseja saber o valor dela. Veja o exemplo:
3
2
6
x
=
 
ou 2 ÷ 3 = x ÷ 6
Para resolvermos esse tipo de problema devemos usar a Propriedade Fundamental da 
razão e proporção: produto dos meios pelos extremos. 
Meio: 3 e x;
Extremos: 2 e 6.
Logo, devemos fazer a multiplicação entre eles numa igualdade. Observe:
3 · X = 2 . 6
3X = 12
X = 12 ÷ 3
X = 4
Lembre-se de que a maioria dos problemas envolvendo esse tema são resolvidos utilizan-
do essa propriedade fundamental. Porém, algumas questões acabam sendo um pouco mais 
complexas e pode ser útil conhecer algumas propriedades para facilitar. Vamos a elas!
PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES
Somas Externas
b
a
d
c
b d
a c
= =
+
+
M
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Vamos entender um pouco melhor resolvendo uma questão-exemplo:
Suponha que uma fábrica vai distribuir um prêmio de R$ 10.000 para seus dois emprega-
dos (Carlos e Diego). Esse prêmio vai ser dividido de forma proporcional ao tempo de serviço 
deles na fábrica. Carlos está há 3 anos na fábrica e Diego está há 2 anos. Quanto cada um vai 
receber?
Resolução:
Primeiro, devemos montar a proporção. Sejam C a quantia que Carlos vai receber e D a 
quantia que Diego vai receber, temos:
3
C
2
D
=
Utilizando a propriedade das somas externas:
3
C
2
D
= = 2
D
3
C
+
+
Perceba que C + D = 10.000 (as partes somadas), então podemos substituir na proporção:
3
C
2
D
3 2
C D
= =
+
+
 
=
 5
10.000 = 2.000
Aqui cabe uma observação importante!
Esse valor 2.000, que chamamos de “Constante de Proporcionalidade”, é que nos mostra o 
valor real das partes dentro da proporção. Veja:
3
C
 = 2.000
C = 2000 · 3
C = 6.000 (esse é o valor de Carlos)
2
D = 2.000
D = 2.000 · 2
D = 4.000 (esse é o valor de Diego)
Assim, Carlos vai receber R$6.000 e Diego vai receber R$ 4.000.
Somas Internas
b
a
d
c
b
a b
= =
+
 
=
 d
c d+
É possível, ainda, trocar o numerador pelo denominador ao efetuar essa soma interna, 
desde que o mesmo procedimento seja feito do outro lado da proporção.
b
a
d
c
a
a b
= =
+
 
=
 c
c d+
20
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Vejamos um exemplo:
14 x
x
5
2
-
=
x
x 14 x+ -
 
=
 2
2 5+
x
14
2
7
=
7 · x = 2 · 14
x = 
7
14 · 2 = 4
Portanto, encontramos que x = 4.
Importante!
Vale lembrar que essa propriedade também serve para subtrações internas.
Soma com Produto por Escalar
b
a
d
c
b
a 2b
= =
+
 
=
 d
c 2d+
Vejamos um exemplo para melhor entendimento:
Uma empresa vai dividir o prêmio de R$ 13.000 proporcionalmente ao número de anos 
trabalhados. 
São dois funcionários que trabalham há 2 anos na empresa e três funcionários que traba-
lham há 3 anos.
Resolução:
Seja A o prêmio dos funcionários com 2 anos e B o prêmio dos funcionários com 3 anos de 
empresa, temos: 
2
A
3
B
=
Porém, como são 2 funcionários na categoria A e 3 funcionários na categoria B, podemos 
escrever que a soma total dos prêmios é igual a R$ 13.000.
2A + 3B = 13.000
Agora multiplicando em cima e embaixo de um lado por 2 e do outro lado por 3, temos: 
4
2A
9
3B
=
M
AT
EM
ÁT
IC
A
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Aplicando a propriedade das somas externas, podemos escrever o seguinte:
4
2A
9
3B
=
 
=
 4 9
2A 3B
+
+
Substituindo o valor da equação 2A + 3B na proporção, temos: 
4
2A
9
3B
=
 
=
 4 9
2A 3B
+
+
 
=
 13
13.000
 
= 1.000
Logo, 
4
2A
 = 1.000
2A = 4 · 1.000
2A = 4.000
A = 2.000
Fazendo a mesma resolução em B:
9
3B
 = 1.000
3B = 9 · 1.000
3B = 9.000
B = 3.000
Sendo assim, os funcionários com 2 anos de casa receberão R$ 2.000 de bônus. Já osfun-
cionários com 3 anos de casa receberão R$ 3.000 de bônus.
O total pago pela empresa será:
Total = 2 · 2.000 + 3 · 3.000 = 4000 + 9.000 = 13.000.
DIVISÃO PROPORCIONAL
Diretamente Proporcional
Um dos tópicos mais comuns em questões de prova é “dividir uma determinada quantia 
em partes proporcionais a determinados números. Vejamos um exemplo para entendermos 
melhor como esse assunto é cobrado:
A quantia de 900 mil reais deve ser dividida em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6. 
A menor dessas partes corresponde a:
Primeiro vamos chamar de X, Y e Z as partes proporcionais, respectivamente a 4, 5 e 6. 
Sendo assim, X é proporcional a 4, Y é proporcional a 5 e Z é proporcional a 6, ou seja, pode-
mos representar na forma de razão. Veja:
4
X
5
Y
6
Z
= = = constante de proporcionalidade.
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Usando uma das propriedades da proporção, somas externas, temos:
4 5 6
X Y Z
+ +
+ +
 15
900.000
 = 60.000
A menor dessas partes é aquela que é proporcional a 4, logo:
4
X
 = 60.000
X = 60.000 · 4
X = 240.000
Inversamente Proporcional
É um tipo de questão menos recorrente, mas, não menos importante. Consiste em distri-
buir uma quantia X a três pessoas, de modo que cada uma receba um quinhão inversamente 
proporcional a três números. Vejamos um exemplo:
Suponha que queiramos dividir 740 mil em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6.
Vamos chamar de X as quantias que devem ser distribuídas inversamente proporcionais a 
4, 5 e 6, respectivamente. Devemos somar as razões e igualar ao total que deve ser distribuí-
do para facilitar o nosso cálculo, veja:
4
X
 + 5
X
 + 6
X
 = 740.000
Agora vamos precisar tirar o M.M.C. (mínimo múltiplo comum) entre os denominadores 
para resolvermos a fração.
4 – 5 – 6 | 2
2 – 5 – 3 | 2
1 – 5 – 3 | 3
1 – 5 – 1 | 5
1 – 1 – 1 | 2 · 2 · 3 · 5 = 60
Assim, dividindo o M.M.C. pelo denominador e multiplicando o resultado pelo numerador 
temos: 
60
15x
60
12x
+ + 60
10x
 = 740.000
60
37x
 = 740.000
X = 1.200.000
Agora, basta substituir o valor de X nas razões para achar cada parte da divisão inversa. 
4
x
 = 4
1.200.000
 = 300.000
M
AT
EM
ÁT
IC
A
23
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5
x
 = 5
1.200.000
 = 240.000
6
x
 = 6
1.200.000
 = 200.000
Logo, as partes divididas inversamente proporcionais aos números 4, 5 e 6 são, respectiva-
mente, 300.000, 240.000 e 200.000. 
Agora vamos treinar o que aprendemos na teoria com exercícios comentados de diversas 
bancas. Vamos lá!
1. (FAEPESUL – 2016) Em uma turma de graduação em Matemática Licenciatura, de forma fictícia, 
temos que a razão entre o número de mulheres e o número total de alunos é de 5/8. Determine a 
quantidade de homens desta sala, sabendo que esta turma tem 120 alunos.
a) 43 homens.
b) 45 homens.
c) 44 homens.
d) 46 homens.
e) 47 homens.
A razão entre o número de mulheres e o número total de alunos é de 5/8:
T
M
8
5
=
A turma tem 120 alunos, então: T = 120
Fazendo os cálculos:
T
M
8
5
=
120
M
8
5
=
8 · M = 5 · 120
8M = 600
M = 
8
600
M = 75
A quantidade de homens da sala: 120 – 75 = 45 homens. Resposta: Letra B.
2. (VUNESP – 2020) Em um grupo com somente pessoas com idades de 20 e 21 anos, a razão 
entre o número de pessoas com 20 anos e o número de pessoas com 21 anos, atualmente, é 4/5. 
No próximo mês, duas pessoas com 20 anos farão aniversário, assim como uma pessoa com 21 
anos, e a razão em questão passará a ser de 5/8. O número total de pessoas nesse grupo é
a) 30.
b) 29.
c) 28.
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d) 27.
e) 26.
A razão entre o número de pessoas com 20 anos e o número de pessoas com 21 anos, atual-
mente, é 4/5.
121
120
5x
4x
= Total de 9x
No próximo mês, duas pessoas com 20 anos farão aniversário, assim como uma pessoa com 
21 anos, e a razão em questão passará a ser de 5/8.
121
120
5x 2 1
4x 2
=
+ -
-
 
=
 8
5
5x 1
4x 2
8
5
+
-
=
8 (4x - 2) = 5 (5x + 1)
32x – 16 = 25x + 5
7x = 21
x = 3
Para sabermos o total de pessoas, basta substituir o valor de X na primeira equação: 9x = 9 
x 3 = 27 é o número total de pessoas nesse grupo. Resposta: Letra D.
3. (IBADE - 2018) Três agentes penitenciários de um país qualquer, Darlan, Arley e Wanderson, 
recebem juntos, por dia, R$ 721,00. Arley recebe R$ 36,00 mais que o Darlan, Wanderson recebe 
R$ 44,00 menos que o Arley. Assinale a alternativa que representa a diária de cada um, em ordem 
crescente de valores.
a) R$ 249,00, R$ 213,00 e R$ 169,00.
b) R$ 169,00, R$ 213,00 e R$ 249,00.
c) R$ 145,00, R$ 228,00 e R$ 348,00.
d) R$ 223,00, R$ 231,00 e R$ 267,00
e) R$ 267,00, R$ 231,00 e R$ 223,00.
D + A + W = 721
A = D + 36
W = A – 44
Substituímos Arley em Wanderson:
W= A – 44
W= 36+D – 44
W= D – 8
Substituímos na fórmula principal:
D + A + W = 721
D + 36 + D + D – 8 = 721
3D + 28 = 721
3D = 721 – 28
D = 693 ÷ 3
M
AT
EM
ÁT
IC
A
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D = 231
Substituímos o valor de D nas outras:
A = D + 36
A= 231+36= 267
W = A – 44
W= 267 – 44
W = 223
Logo, os valores em ordem crescente que Wanderson, Darlan, Arley recebem são, respectiva-
mente, R$ 223,00, R$ 231,00 e R$ 267,00. Resposta: Letra D.
4. (CESPE-CEBRASPE – 2018) A respeito de razões, proporções e inequações, julgue o item 
seguinte.
 Situação hipotética: Vanda, Sandra e Maura receberam R$ 7.900 do gerente do departamento 
onde trabalham, para ser divido entre elas, de forma inversamente proporcional a 1/6, 2/9 e 3/8, 
respectivamente. 
 Assertiva: Nessa situação, Sandra deverá receber menos de R$ 2.500.
( ) CERTO  ( ) ERRADO
1
6x
2
9x
3
8x
+ + = 7.900
Tirando o MMC entre 1, 2 e 3 vamos achar 6. Temos: 
6
36x
6
27x
+ + 6
16x = 7.900
6
79x = 7.900
x = 600
Sendo assim, Sandra está inversamente proporcional a:
2
9x
Basta substituirmos o valor de X na proporção. 
2
9x
2
9 600$
=
 = 2.700
(Valor que Sandra irá receber é maior que 2.500). Resposta: Errado.
5. (IESES – 2019) Uma escola possui 396 alunos matriculados. Se a razão entre meninos e meni-
nas foi de 5/7, determine o número de meninos matriculados.
a) 183
b) 225
c) 165
d) 154
Total de alunos = 396
Meninos = H
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Meninas = M
Razão: 
M
H
7x
5x
+
Agora vamos somar 5x com 7x = 12x
12x é igual ao total que é 396
12x = 396
x = 33
Portanto o número de meninos será:
Meninos = 5X = 5 x 33 = 165. Resposta: Letra C.
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três simples envolve apenas duas grandezas. São elas:
 z Grandeza dependente: é aquela cujo valor se deseja calcular a partir da grandeza 
explicativa;
 z Grandeza explicativa ou independente: é aquela utilizada para calcular a variação da 
grandeza dependente.
Existem dois tipos principais de proporcionalidades que aparecem frequentemente em 
provas de concursos públicos. Veja a seguir:
 z Grandezas diretamente proporcionais: o aumento de uma grandeza implica o aumento 
da outra;
 z Grandezas inversamente proporcionais: o aumento de uma grandeza implica a redução 
da outra;
Vamos esquematizar para sabermos quando será direta ou inversamente proporcionais:
DIRETAMENTE 
PROPORCIONAL + / + OU - / -
Aqui, as grandezas aumentam ou diminuem juntas (sinais iguais).
INVERSAMENTE
PROPORCIONAL
+ / - OU - / +
Aqui, uma grandeza aumenta e a outra diminui (sinais diferentes).
Agora, vamos esquematizar a maneira que iremos resolver os diversos problemas:
M
AT
EM
ÁT
IC
A
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DIRETAMENTE 
PROPORCIONAL
INVERSAMENTE 
PROPORCIONAL
Multiplica cruzado
Multiplica na horizontal
Vejamos alguns exemplos para fixarmos um pouco mais como funciona.
 z Um muro de 12 metros foi construído utilizando 2.160 tijolos. Caso queira construir um 
muro de 30 metros nas mesmas condições do anterior, quantos tijolos serão necessários?
Primeiro vamos montara relação entre as grandezas e depois identificar se é direta ou 
inversamente proporcional. 
12 m -------- 2160 (tijolos)
30 m -------- X (tijolos)
Veja que de 12m para 30m tivemos um aumento (+) e que para fazermos um muro maior 
vamos precisar de mais tijolos, ou seja, também deverá ser aumentado (+). Logo, as grande-
zas são diretamente proporcionais e vamos resolver multiplicando cruzado. Observe:
12 m -------- 2.160 (tijolos)
30 m -------- X (tijolos)
12 · X = 30 · 2160
12X = 64.800
X = 5.400 tijolos
Assim, comprovamos que realmente são necessários mais tijolos. 
 z Uma equipe de 5 professores gastou 12 dias para corrigir as provas de um vestibular. 
Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30 professores para corrigir as 
provas?
Do mesmo jeito que no exemplo anterior, vamos montar a relação e analisar:
5 (prof.) --------- 12 (dias)
30 (prof.) -------- X (dias)
Veja que de 5 (prof.) para 30 (prof.) tivemos um aumento (+), mas, como agora estamos 
com uma equipe maior, o trabalho será realizado de forma mais rápida. Logo, a quantidade 
de dias deverá diminuir (-). Desta forma, as grandezas são inversamente proporcionais e 
vamos resolver multiplicando na horizontal. Observe:
5 (prof.) 12 (dias)
30 (prof.) X (dias)
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30 · X = 5 · 12
30X = 60
X = 2
A equipe de 30 professores levará apenas 2 dias para corrigir as provas.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta envolve mais de duas variáveis. As análises sobre se as grandezas 
são diretamente e inversamente proporcionais devem ser feitas cautelosamente levando em 
conta alguns princípios:
 z as análises devem sempre partir da variável dependente em relação às outras variáveis;
 z as análises devem ser feitas individualmente, ou seja, deve-se comparar as grandezas duas 
a duas, mantendo as demais constantes;
 z a variável dependente fica isolada em um dos lados da proporção.
Vamos analisar alguns exemplos e ver na prática como isso tudo funciona:
 z Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 des-
sas impressoras produziriam 2000 desses panfletos?
Da mesma forma que na regra de três simples, vamos montar a relação entre as grandezas 
e analisar cada uma delas isoladamente duas a duas. 
6 (imp.) -------- 1.000 (panf.) -------- 40 (min)
3 (imp.) -------- 2.000 (panf.) -------- X (min)
Vamos escrever a proporcionalidade isolando a parte dependente de um lado e igualando 
as razões da seguinte forma — se for direta, vamos manter a razão, agora, se for inversa, 
vamos inverter a razão. Observe:
X
40
?
?
·
?
?
=
Analisando isoladamente duas a duas:
6 (imp.) -------- 40 (min)
3 (imp.) ---- ---- X (min)
Perceba que de 6 impressoras para 3 impressoras o valor diminui (-) e que o tempo irá 
aumentar (+), pois agora teremos menos impressoras para realizar a tarefa. Logo, as grande-
zas são inversas e devemos inverter a razão. 
X
40
6
3
·
?
?
=
M
AT
EM
ÁT
IC
A
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Analisando isoladamente duas a duas:
1.000 (panf.) -------- 40 (min)
2.000 (panf.) ------ -- X (min)
Perceba que de 1.000 panfletos para 2.000 panfletos o valor aumenta (+) e que o tempo 
também irá aumentar (+). Logo, as grandezas são diretas e devemos manter a razão. 
X
40
6
3
·
2000
1000
=
Agora, basta resolver a proporção para acharmos o valor de X. 
X
40
12000
3000=
3X = 40 · 12 
3X = 480
X = 160
As três impressoras produziriam 2.000 panfletos em 160 minutos, que correspondem a 2 
horas e 40 minutos.
Para fixarmos mais ainda nosso conhecimento, vamos analisar mais um exemplo.
 � Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada 
linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e 
para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, 
determine o número de páginas ocupadas. 
Já aprendemos o passo a passo no exemplo anterior. Aqui vamos resolver de maneira mais 
rápida. 
6 (pág.) -------- 45 (linhas) -------- 80 (letras)
X (pág.) -------- 30 (linhas) -------- 40 (letras)
X
6
?
?
?
?
·=
Analisando isoladamente duas a duas:
6 (pág.) -------- 45 (linhas)
X (pág.) -- ----- 30 (linhas)
Perceba que de 45 linhas para 30 linhas o valor diminui (–) e que o número de páginas irá 
aumentar (+). Logo, as grandezas são inversas e devemos inverter a razão. 
X
6
45
30
·
?
?
=
30
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Analisando isoladamente duas a duas:
6 (pág.) -------- 80 (letras)
X (pág.) ------- 40 (letras)
Veja que de 80 letras para 40 letras o valor diminui (–) e que o número de páginas irá 
aumentar (+). Logo, as grandezas são inversas e devemos inverter a razão. 
X
6
45
30
80
40
·=
X
6
3
2
·
2
1
=
X
6
6
2
=
2X = 36
X = 18
O número de páginas a serem ocupadas pelo texto respeitando as novas condições é igual 
a 18.
Agora vamos treinar o que aprendemos na teoria com exercícios comentados de diversas 
bancas. Vamos lá!
1. (CEBRASPE-CESPE – 2019) No item seguinte apresenta uma situação hipotética, seguida de 
uma assertiva a ser julgada, a respeito de proporcionalidade, porcentagens e descontos.
 No primeiro dia de abril, o casal Marcos e Paula comprou alimentos em quantidades suficientes 
para que eles e seus dois filhos consumissem durante os 30 dias do mês. No dia 7 desse mês, 
um casal de amigos chegou de surpresa para passar o restante do mês com a família. 
 Nessa situação, se cada uma dessas seis pessoas consumir diariamente a mesma quantidade 
de alimentos, os alimentos comprados pelo casal acabarão antes do dia 20 do mesmo mês.
( ) CERTO  ( ) ERRADO
4 pessoas ------- 24 dias
6 pessoas ------- x dias
Temos grandezas inversas, então é só multiplicar na horizontal:
6x = 4 · 24
6x = 96
x = 96 ÷ 6
x = 16
Como já haviam comido por 6 dias é só somar:
6 dias (consumidos por 4) + 16 dias (consumidos por 6) = 22 dias (a comida acabará no dia 
22 de abril). 
Resposta: Errado.
2. (CEBRASPE-CESPE – 2018) O motorista de uma empresa transportadora de produtos hospi-
talares deve viajar de São Paulo a Brasília para uma entrega de mercadorias. Sabendo que irá 
percorrer aproximadamente 1.100 km, ele estimou, para controlar as despesas com a viagem, o 
M
AT
EM
ÁT
IC
A
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consumo de gasolina do seu veículo em 10 km/L. Para efeito de cálculos, considerou que esse 
consumo é constante.
 Considerando essas informações, julgue o item que segue.
 Nessa viagem, o veículo consumirá 110.000 dm3 de gasolina.
( ) CERTO  ( ) ERRADO
Com 1 litro ele faz 10 km. 
Sabendo que 1 L é igual a 1dm³, então podemos dizer que com 1dm³ ele faz 10km. 
Portanto,
10 km -------- 1dc³
1.100 km --------- x 
10x = 1.100
x = 110dm³ (a gasolina que será consumida). 
Resposta: Errado.
3. (VUNESP – 2020) Uma pessoa comprou determinada quantidade de guardanapos de papel. Se 
ela utilizar 2 guardanapos por dia, a quantidade comprada irá durar 15 dias a mais do que duraria 
se ela utilizasse 3 guardanapos por dia. O número de guardanapos comprados foi
a) 60.
b) 70.
c) 80.
d) 90.
e) 100.
x = dias
3 guardanapos por dia -------- x
2 guardanapos por dia -------- x+15
São valores inversamente proporcionais, quanto mais guardanapos por dia, menos dias 
durarão. Assim, multiplicamos na horizontal:
3x = 2 · (x+15)
3x = 30+2x
3x – 2x = 30
x = 30
Podemos substituir em qualquer uma das duas situações:
3 guardanapos · 30 dias = 90
2 guardanapos · 45 (30+15) dias = 90. Resposta: Letra D.
4. (FUNDATEC – 2017) Cinco mecânicos levaram 27 minutos para consertar um caminhão. Supon-
do que fossem três mecânicos, com a mesma capacidade e ritmo de trabalho para realizar o 
mesmo serviço, quantos minutos levariam para concluir o conserto desse mesmo caminhão?
a) 20 minutos.
b) 35 minutos.
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c) 45 minutos.
d) 50 minutos.
e) 55 minutos.
Mecânicos------ Minutos
5 ---------------- 27
3 ---------------- x
Quanto menos mecânicos, mais minutos eles gastarão para finalizar o trabalho; logo a gran-
deza é inversamente proporcional. Multiplica na horizontal:
3x = 27 · 5
3x = 135
x = 135 ÷ 3
x = 45 minutos. Resposta: Letra C.
5. (IESES – 2019) Cinco pedreiros construíram uma casa em 28 dias. Se o número de pedreiros 
fosse aumentado para sete, em quantos dias essa mesma casa ficaria pronta?
a) 18 dias.
b) 16 dias.
c) 20 dias.
d) 22 dias.
5 (pedreiros) ---------- 28 (dias)
7 (pedreiros) ------------- X (dias)
Perceba que as grandezas são inversamente proporcionais, então basta multiplicar na 
horizontal.
5 . 28 = 7 · X 
7X = 140
X = 140 ÷ 7
X = 20 dias. Resposta: Letra C.
6. (CEBRASPE-CESPE – 2020) Determinado equipamento é capaz de digitalizar 1.800 páginas em 
4 dias, funcionando 5 horas diárias para esse fim. Nessa situação, a quantidade de páginas que 
esse mesmo equipamento é capaz de digitalizar em 3 dias, operando 4 horas e 30 minutos diá-
rios para esse fim, é igual a
a) 2.666.
b) 2.160.
c) 1.215.
d) 1.500.
e) 1.161.
Primeiro vamos passar para minutos:
5h = 300min.
4h30min= 270min.
M
AT
EM
ÁT
IC
A
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min.-----Dias-----Pag.
300 -------4-------1800
270 -------3-------X
Resolvendo, temos:
X
1800
 = 3
4
·
300 (Simplifica por 30)
270 (Simplifica por 30)
X
1800
 = 3
4
9
10
·
4 · X · 10 = 1800 · 3 · 9
X = 1215 páginas que esse mesmo equipamento é capaz de digitalizar. Resposta: Letra C.
7. (VUNESP – 2016) Em uma fábrica, 5 máquinas, todas operando com a mesma capacidade de 
produção, fabricam um lote de peças em 8 dias, trabalhando 6 horas por dia. O número de dias 
necessários para que 4 dessas máquinas, trabalhando 8 horas por dia, fabriquem dois lotes des-
sas peças é
a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 15.
5 máquinas -------1 lote --------- 8 dias ------------ 6 horas
4 máquinas -------2 lotes --------x dias -------------8 horas
Quanto mais dias para entrega do lote, menos horas trabalhadas por dia (inversa), menos 
máquinas para fazer o serviço (inversa) e mais lotes para serem entregues (direta). 
Resolvendo:
8/x = 1/2 · 8/6 · 4/5 (simplifique 8/6 por 2)
8/x = 1/2 · 4/3 · 4/5
8/x = 16/30 (simplifique 16/30 por 2)
8/x = 8/15
8x = 120
x = 120/8
x = 15 dias. Resposta: Letra E.
8. (CEBRASPE-CESPE – 2018) No item a seguir é apresentada uma situação hipotética, seguida 
de uma assertiva a ser julgada, a respeito de proporcionalidade, divisão proporcional, média e 
porcentagem.
 Todos os caixas de uma agência bancária trabalham com a mesma eficiência: 3 desses caixas 
atendem 12 clientes em 10 minutos. Nessa situação, 5 desses caixas atenderão 20 clientes em 
menos de 10 minutos.
( ) CERTO  ( ) ERRADO
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3 caixas – 12 clientes – 10 minutos
5 caixas – 20 clientes – x minutos.
X
10
3
5
20
12
#= 
5 · 12 · X = 10 · 3 · 20
60x = 600
X = 10.
Os 5 caixas atenderão em exatamente 10 minutos, não em menos de 10, como a questão afir-
ma. Resposta: Errado.
9. (VUNESP - 2020) Das 9 horas às 15 horas, de trabalho ininterrupto, 5 máquinas, todas idênticas e 
trabalhando com a mesma produtividade, fabricam 600 unidades de determinado produto. Para 
a fabricação de 400 unidades do mesmo produto por 3 dessas máquinas, trabalhando nas mes-
mas condições, o tempo estimado para a realização do serviço é de
a) 5 horas e 54 minutos
b) 6 horas e 06 minutos.
c) 6 horas e 20 minutos.
d) 6 horas e 40 minutos.
e) 7 horas e 06 minutos.
Das 9h às 15h = 6 horas = 360 min
360 min ------ 5 máquinas ----- 600 unidades (corta os zeros iguais)
x ------------- 3 máquinas ---- 400 unidades (corta os zeros iguais)
X
360
5
3
· 4
6=
x · 3 · 6 = 360 · 5 · 4
x · 18 = 7.200
x = 7.200 ÷ 18
x = 400
Logo, transformando minutos para horas novamente, temos:
X = 400min 
X = 6h40min. Resposta: Letra D.
10. (VUNESP - 2020) Em uma fábrica de refrigerantes, 3 máquinas iguais, trabalhando com capaci-
dade máxima, ligadas ao mesmo tempo, engarrafam 5 mil unidades de refrigerante, em 4 horas. 
Se apenas 2 dessas máquinas trabalharem, nas mesmas condições, no engarrafamento de 6 mil 
unidades do refrigerante, o tempo esperado para a realização desse trabalho será de
a) 6 horas e 40 minutos.
b) 6 horas e 58 minutos.
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c) 7 horas e 12 minutos.
d) 7 horas e 20 minutos.
e) 7 horas e 35 minutos.
3 máquinas ------------ 5 mil garrafas ------------ 4 horas
2 máquinas ------------ 6 mil garrafas ------------ x
Veja que se aumentar o tempo de trabalho quer dizer que serão engarrafados mais refri-
gerantes (direta) e se aumentar o tempo de trabalho quer dizer que são menos máquinas 
trabalhando (inversa). 
X
4
6000
5000
·
3
2
=
2 · X · 5 = 4 · 6 · 3
10X = 72
x = 7, 2 horas (7 horas + 0,2 horas = 7 horas + 0,2 · 60 min = 7 horas e 12 minutos)
Obs.: para transformar horas em minutos, basta multiplicarmos o número por 60 min. Logo, 
0,2 horas = 0,2 · 60 = 120 ÷ 10 = 12 min. Resposta: Letra C.
PORCENTAGEM
A porcentagem é uma medida de razão com base 100. Ou seja, corresponde a uma fração 
cujo denominador é 100. Vamos observar alguns exemplos e notar como podemos represen-
tar um número porcentual.
30% = 
100
30
 (forma de fração)
30% = 
100
30
 = 0,3 (forma decimal)
30% = 
100
30
 = 10
3
 (forma de fração simplificada)
Sendo assim, a razão 30% pode ser escrita de várias maneiras:
30% = 
100
30
 = 0,3 = 10
3
Também é possível fazer a conversão inversa, isto é, transformar um número qualquer 
em porcentual. Para isso, basta multiplicar por 100. Veja:
25 · 100 = 2500%
0,35 · 100 = 35%
0,586 · 100 = 58,6%
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NÚMERO RELATIVO
A porcentagem traz uma relação entre uma parte e um todo. Quando dizemos 10% de 
1000, o 1000 corresponde ao todo. Já o 10% corresponde à fração do todo que estamos especi-
ficando. Para descobrir a quanto isso corresponde, basta multiplicar 10% por 1000.
10% de 1.000 = 
100
10
 
x 1.000 = 100
Dessa maneira, 1.000 é todo, enquanto 100 é a parte que corresponde a 10% de 1.000.
Dica
Quando o todo varia, a porcentagem também varia!
Veja um exemplo:
Roberto assistiu 2 aulas de Matemática Financeira. Sabendo que o curso que ele comprou 
possui um total de 8 aulas, qual é o percentual de aulas já assistidas por Roberto?
O todo de aulas é 8. Para descobrir o percentual, devemos dividir a parte pelo todo e obter 
uma fração.
8
2
4
1
=
Precisamos transformar em porcentagem, ou seja, vamos multiplicar a fração por 100:
4
1
 
× 100 = 25%
SOMA E SUBTRAÇÃO DE PORCENTAGEM
As operações de soma e subtração de porcentagem são as mais comuns. É o que acontece 
quando se diz que um número excede, reduziu, é inferior ou é superior ao outro em tantos 
por cento. A grandeza inicial corresponderá sempre a 100%. Então, basta somar ou subtrair 
o percentual fornecido dos 100% e multiplicar pelo valor da grandeza. 
Exemplo 1:
Paulinho comprou um curso de 200 horas-aula. Porém, com a publicação do edital, a esco-
la precisou aumentar a carga horária em 15%. Qual o total de horas-aula do curso ao final?
Inicialmente, o curso de Paulinho tinha um total de 200 horas-aula que correspondiam a 
100%. Com o aumento porcentual, o novo curso passou a ter 100% + 15% das aulas inicial-
mente previstas. Portanto, o total de horas-aula do curso será:
(1 + 0,15) · 200 = 1,15 · 200 = 230 horas-aula
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Dica
A avaliação do crescimento ou da redução percentual deve ser feita sempre em relação ao 
valor inicial da grandeza.
Variação percentual = 
Inicial
Final Inicial-
Veja mais um exemplo para podermos fixar melhor.
Exemplo 2:
Juliano percebeu que ainda não assistiu a 200 aulas do seu curso. Ele deseja reduzir o 
número de aulas não assistidas a 180. É correto afirmar que, se Juliano chegaràs 180 aulas 
almejadas, o número terá caído 20%?
A variação percentual de uma grandeza corresponde ao índice:
Variação percentual =
 Inicial
Final Inicial-
 
=
 200
180 200-
 
= 
–
 
20
200 
= - 0,10
Como o resultado foi negativo, podemos afirmar que houve uma redução percentual de 
10% nas aulas ainda não assistidas por Juliano. O enunciado está errado ao afirmar que essa 
redução foi de 20%.
Agora vamos treinar o que aprendemos na teoria com exercícios comentados de diversas 
bancas. Vamos lá!
1. (CEBRASPE-CESPE – 2020) Em determinada loja, uma bicicleta é vendida por R$ 1.720 à vista 
ou em duas vezes, com uma entrada de R$ 920 e uma parcela de R$ 920 com vencimento para o 
mês seguinte. Caso queira antecipar o crédito correspondente ao valor da parcela, a lojista paga 
para a financeira uma taxa de antecipação correspondente a 5% do valor da parcela.
 Com base nessas informações, julgue o item a seguir.
 Na compra a prazo, o custo efetivo da operação de financiamento pago pelo cliente será inferior 
a 14% ao mês.
( ) CERTO  ( ) ERRADO
Valor da bicicleta = 1.720,00
Parcelado = 920,00 (entrada) + 920,00 (parcela)
Na compra a prazo, o agente vai pagar 920,00 (entrada), logo vai sobrar (1720-920 = 800,00)
No próximo mês é preciso pagar 920,00 ou seja 800,00 + 120,00 de juros. Agora é pegar 
120,00 (juros) e dividir por 800,00 resultado: 
120,00/800,00 = 0,15% ao mês.
A questão diz que seria inferior a 0,14%, ou seja, está errada. Resposta: Errado.
2. (CEBRASPE-CESPE – 2019) Na assembleia legislativa de um estado da Federação, há 50 par-
lamentares, entre homens e mulheres. Em determinada sessão plenária estavam presentes 
somente 20% das deputadas e 10% dos deputados, perfazendo-se um total de 7 parlamentares 
presentes à sessão.
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 Infere-se da situação apresentada que, nessa assembleia legislativa, havia
a) 10 deputadas.
b) 14 deputadas.
c) 15 deputadas.
d) 20 deputadas.
e) 25 deputadas.
50 parlamentares
Deputadas = X 
Deputados = 50-X
Compareceram 20% x e 10% (50-x), totalizando 7 parlamentares. Não sabemos a quantidade 
exata de cada sexo. Vamos montar uma equação e achar o valor de X.
20% x + 10% (50 – x) = 7
20/100 · x + 10/100 . (50 – x) = 7
2/10 · x + 1/10 · (50 – x) = 7
2x/10 + 50 – x/10 = 7 (faz o MMC)
2x + 50 – x = 70
2x – x = 70 – 50
x = 20 deputadas fazem parte da Assembleia Legislativa. Resposta: Letra D.
3. (VUNESP – 2016) Um concurso recebeu 1500 inscrições, porém 12% dos inscritos faltaram no 
dia da prova. Dos candidatos que fizeram a prova, 45% eram mulheres. Em relação ao número 
total de inscritos, o número de homens que fizeram a prova corresponde a uma porcentagem de
a) 45,2%.
b) 46,5%.
c) 47,8%.
d) 48,4%.
e) 49,3%.
Veja que se 12% faltaram, então 88% fizeram a prova. 
Pessoas presentes (88%) e dessas 45% eram mulheres e 55% eram homens. Portanto, basta 
multiplicar o percentual dos homens pelo total:
55% de 88% das pessoas que fizeram a prova; ou
0,55 · 0,88 = 0,484.
Transformando em porcentagem: 0,484 · 100 = 48,4%. Resposta: Letra D.
4. (FCC - 2018) Em uma pesquisa 60% dos entrevistados preferem suco de graviola e 50% suco de 
açaí. Se 15% dos entrevistados gostam dos dois sabores, então, a porcentagem de entrevistados 
que não gostam de nenhum dos dois é de
a) 80%.
b) 61%.
c) 20%.
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d) 10%.
e) 5%.
Vamos dispor as informações em forma de conjuntos para facilitar nossa resolução:
Graviola
Nenhum = X
Açai
60% – 15% = 50% – 15% =
45%
15%
35%
Vamos somar todos os valores e igualar ao total que é 100%: 45% + 15% + 35% + X = 100%
95% + X = 100%
X = 5%. 
Resposta: Letra E.
5. (FUNCAB - 2015) Adriana e Leonardo investiram R$ 20.000,00, sendo o 3/5 desse valor em uma 
aplicação que gerou lucro mensal de 4% ao mês durante dez meses. O restante foi investido em 
uma aplicação, que gerou um prejuízo mensal de 5% ao mês, durante o mesmo período. Ambas 
as aplicações foram feitas no sistema de juros simples.
 Pode-se concluir que, no final desses dez meses, eles tiveram:
a) prejuízo de R$800,00.
b) lucro de R$3.200,00.
c) lucro de R$800,00.
d) prejuízo de R$6.000,00
e) lucro de R$5.000,00.
3/5 de 20.000,00 = 12.000,00
12.000,00 · 4% = 12.000 · 0,04 = 480,00
480 · 10 (meses) = 4.800 (lucro)
O que sobrou 20.000,00 - 12.000,00 = 8.000,00. Aplicação que foi investida e gerou prejuízo de 
5% ao mês, durante 10 meses:
8.000,00 · 5% = 8.000,00·0,05 = 400,00
400 · 10 meses= 4.000 (prejuízo)
Logo a aplicação que gerou lucro menos a aplicação que geral prejuízo:
4.800,00 - 4.000,00 = 800,00 (lucro)
Resposta: Letra C.
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JUROS E DESCONTO SIMPLES: JURO, CAPITAL, TEMPO, TAXA E 
MONTANTE
A premissa que é a base da matemática financeira é a seguinte: as pessoas e as institui-
ções do mercado preferem adiantar os seus recebimentos e retardar os seus pagamentos. 
Do ponto de vista estritamente racional, é melhor pagar o mais tarde possível caso não haja 
incidência de juros (ou caso esses juros sejam inferiores ao que você pode ganhar aplicando 
o dinheiro).
“Juros” é o termo utilizado para designar o “preço do dinheiro no tempo”. Quando você 
pega certa quantia emprestada no banco, o banco te cobrará uma remuneração em cima do 
valor que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar na posse desse dinheiro por um 
certo tempo. Esta remuneração é expressa pela taxa de juros.
Nos juros simples a incidência recorre sempre sobre o valor original. Veja um exemplo para 
melhor entender. 
Exemplo 1:
Digamos que você emprestou 1000,00 reais, em um regime de juros simples de 5% ao mês, para 
um amigo e que o mesmo ficou de quitar o empréstimo após 5 meses. Então temos o seguinte:
CAPITAL EMPRESTADO (1000,00) VALOR REAJUSTADO
1° mês = 1.000,00 1000,00 + (5% de 1.000,00) = 1050,00
2° mês = 1.050,00 1050,00 + (5% de 1.000,00) = 1100,00
3° mês = 1.100,00 1100,00 + (5% de 1.000,00) = 1150,00
4° mês = 1.150,00 1150,00 + (5% de 1.000,00) = 1200,00
5° mês = 1.200,00 1200,00 + (5% de 1.000,00) = 1250,00
Ao final do 5° mês você terá recebido 250,00 reais de juros.
Fórmulas utilizadas em juros simples
J = C · i · t
M = C + J
M = C · (1 + i ·J)
Onde,
J = juros
C = capital
i = taxa em percentual (%)
t = tempo
M = montante
AUMENTO E DESCONTO
Como clientes, buscamos negociar preços de mercadorias ou produtos, com a intenção de 
ganhar um desconto no valor final. Já como empresários, o objetivo é movimentar o comér-
cio, fazer inúmeras promoções com desconto nos produtos oferecendo diversas taxas ou 
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porcentagem de desconto. Pode-se também ter a intenção de aumento, devido algum reajuste 
nos valores de insumos utilizados para produção. Essas são situações possíveis para uso de 
métodos percentuais de correção numérica.
Vamos analisar as seguintes situações hipotéticas para melhor fixarmos a teoria:
Um empresário precisa reajustar uma mercadoria que, de acordo com a inflação do perío-
do, sofreu um reajuste de 11% e sua mercadoria atualmente tem um custo para o cliente de 
R$ 500,00 reais. Então o custo atual tem uma referência em porcentagem de 100%. Se o ajuste 
será para aumentar o valor do produto em 11%, desta forma, o novo valor do produto cor-
responderá em: 100%+11%=111%, onde 111%=11÷100=1,11, assim basta multiplicar o valor 
de referência da mercadoria por 1,11 e obtenha o valor dela corrigida com um aumento de 
11% inflacionário. Logo: R$ 500,00 · 1,11= R$ 555,00, ou seja, um aumento de R$ 55,00 reais.
Com o mesmo raciocínio podemos fazer a aplicação de um desconto nessa mercadoria, 
sendo que agora o empresário fará uma promoção para alavancar as vendas desse produto, 
assim dando um desconto de 10% no valor dessa mercadoria de R$ 500,00 reais, temos então 
que o valor de referência dela continua sendo 100%. Se vai dar desconto, então a ideia agora 
não é desoma, mas sim de subtração. Desta forma temos: 100%–0%=90%, então o valor a ser 
pago pelo produto é 90% do valor original, 90%=90÷100=0,90, assim basta multiplicar o valor 
de referência da mercadoria por 0,90 e obtenha o valor dela corrigida com um desconto de 
10% promocional. 
Logo: R$ 500,00 ÷ 0,90=R$ 450,00, ou seja, um desconto de R$ 50,00 reais.
Dica
Perceba que o raciocínio para essas questões foi a regra de três. Se 100% representam R$ 
500,00, quantos reais 111% representam?
TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES
Para aplicar corretamente uma taxa de juros, é importante saber a unidade de tempo 
sobre a qual a taxa de juros é definida. Isto é, não adianta saber apenas que a taxa de juros é 
de “5%”. É preciso saber se essa taxa é mensal, bimestral, anual etc. Dizemos que duas taxas 
de juros são proporcionais quando guardam a mesma proporção em relação ao prazo. Por 
exemplo, 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre, e também é proporcional a 1% ao mês.
Basta efetuar uma regra de três simples. Para obtermos a taxa de juros bimestral, por 
exemplo, que é proporcional à taxa de 12% ao ano:
12% ao ano ----------------------- 1 ano
Taxa bimestral ------------------ 2 meses
Podemos substituir 1 ano por 12 meses, para deixar os valores da coluna da direita na 
mesma unidade temporal, temos:
12% ao ano ---------------------- 12 meses
Taxa bimestral ------------------ 2 meses
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Efetuando a multiplicação cruzada, temos:
12% · 2 = Taxa bimestral · 12
Taxa bimestral = 2% ao bimestre
Duas taxas de juros são equivalentes quando são capazes de levar o mesmo capital inicial 
C ao montante final M, após o mesmo intervalo de tempo.
Uma outra informação muito importante e que você deve memorizar é que o cálculo de 
taxas equivalentes quando estamos no regime de juros simples pode ser entendido assim: 
1% ao mês equivale a 6% ao semestre ou 12% ao ano, e levarão o mesmo capital inicial C ao 
mesmo montante M após o mesmo período de tempo.
Importante!
No regime de juros simples, taxas de juros proporcionais são também taxas de juros 
equivalentes.
Agora vamos treinar o que aprendemos na teoria com exercícios comentados de diversas 
bancas. Vamos lá!
1. (FEPESE – 2018) Uma TV é anunciada pelo preço de R$ 1.908,00 para pagamento em 12 parce-
las de 159,00. A mesma TV custa R$ 1.410,00 para pagamento à vista. Portanto o juro simples 
mensal incluído na opção parcelada é:
a) Menor que 2%.
b) Maior que 2% e menor que 2,5%.
c) Maior que 2,5% e menor que 2,75%.
d) Maior que 2,75% e menor que 3%.
e) Maior que 3%.
1.908 – 1.410 = 498 (juros durante 12 meses)
J = C · i · t
498 = 1410 · 12 · i / 100
49.800 = 16.920i
i = 49.800/16.920
i = 2,94%. Resposta: Letra D.
2. (CEBRASPE-CESPE – 2018) Uma pessoa atrasou em 15 dias o pagamento de uma dívida de R$ 
20.000, cuja taxa de juros de mora é de 21% ao mês no regime de juros simples.
 Acerca dessa situação hipotética, e considerando o mês comercial de 30 dias, julgue o item 
subsequente.
 No regime de juros simples, a taxa de 21% ao mês é equivalente à taxa de 252% ao ano.
( ) CERTO  ( ) ERRADO
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No regime simples, sabemos que taxas proporcionais são também equivalentes. Como temos 
12 meses no ano, a taxa anual proporcional a 21%am é, simplesmente:
21% · 12 = 252% ao ano
Esta taxa de 252% ao ano é proporcional e também é equivalente a 21% ao mês. Portanto, o 
item está certo. Resposta: Certo.
3. (FUNDATEC – 2020) Qual foi a taxa mensal de uma aplicação, sob regime de juros simples, de 
um capital de R$ 3.000,00, durante 4 bimestres, para gerar juros de R$ 240,00?
a) 8%.
b) 5%.
c) 3%.
d) 2%.
e) 1%.
J = 240
C = 3.000
i = ?
t = 4 bimestres, ou seja, 4 · 2 = 8 meses.
Substituindo:
J = C · i · t
240 = 3.000 · i · 8
240 = 24.000 · i
i = 240 / 24.000
i = 0,01 ou 1%
Resposta: Letra E.
4. (VUNESP – 2020) Um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples, rendeu R$ 
65,00 de juros. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 2,5% ao ano, é correto afirmar 
que o período da aplicação foi de
a) 20 meses.
b) 22 meses.
c) 24 meses.
d) 26 meses.
e) 30 meses.
J = c. i. t/100
65 = 1.200 · 2,5 · t/100
65 = 30t
t = 65/30 · 12
t = 26 meses. Resposta: Letra D.
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5. (IBADE – 2019) Juliana investiu R$ 5.000,00, a juros simples, em uma aplicação que rende 3% 
ao mês, durante 8 meses. Passados 8 meses, Juliana retirou todo o dinheiro e investiu somente 
metade em uma outra aplicação, a juros simples, a uma taxa de 5% ao mês por mais 4 meses. O 
total de juros arrecadado por Juliana após os 12 meses foi:
a) R$ 1.200,00.
b) R$ 1440,00.
c) R$ 620,00.
d) R$ 1820,00.
e) R$ 240,00.
J = C · i · t
J= 5.000 · 0,03 · 8
J= 150 · 8
J = 1.200 de lucro
Montante do aplicado com lucro M= C + J
M = 5.000 + 1.200
M = 6.200 montante inicial e lucro
Nova aplicação de metade que lucrou 6.200 / 2 = 3.100
J = C · i · t
J = 3.100 · 0,05 · 4
J = 155 · 4
J = 620 lucro da nova aplicação
Somatório dos lucros:
M = 1.200 + 620 = 1.820 dos lucros. Resposta: Letra D.
FUNÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAUS: PROBLEMAS
FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
A forma geral de uma função do primeiro grau é: ax + b = 0. 
O termo “a” é o coeficiente de “x” e o termo “b” é chamado de termo independente.
Para resolver uma equação do 1º grau, devemos isolar todas as partes que possuem incóg-
nitas de um lado igual e, do outro, os termos independentes. Veja um exemplo:
10x = 5x + 20 (vamos achar o valor de “x”)
10x – 5x = 20 (passamos o “5x” para o outro lado do igual com o sinal trocado)
5x = 20 
x = 
5
20 (isolamos o “x” transferindo o seu coeficiente “5” dividindo)
x = 4
O valor de x que torna a igualdade correta é chamado de “raiz da equação”. Uma equação 
de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz. Veja que se substituirmos o valor encontrado de 
“x” na equação ela ficará igual a zero em ambos os lados. Observe:
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Para x = 4
10x = 5x + 20
10 · 4 = 5 · 4 + 20
40 = 40
40 – 40 = 0
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Funções do segundo grau são funções nas quais o maior expoente de x é igual a 2. 
Sua forma geral é expressa por: ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes da 
equação.
 � a é sempre o coeficiente do termo em x²;
 � b é sempre o coeficiente do termo em x;
 � c é sempre o coeficiente ou termo independente.
As funções de segundo grau têm 2 raízes, isto é, existem 2 valores de x que tornam a igualdade 
verdadeira.
Cálculo das Raízes da Equação
Vamos achar as raízes por meio da fórmula de Bhaskara. Basta identificar os coeficientes 
a, b e c e colocá-los na seguinte expressão:
x = 
2a
–b b – 4ac
2
!
Veja o sinal ± presente na expressão. É ele que permitirá obtermos dois valores para as 
raízes, um valor utilizando o sinal positivo (+) e outro valor utilizando o sinal negativo (–).
Vamos aplicar em um exemplo:
Calcular as raízes da equação x2 – 3x + 2 = 0.
Identificando os valores de a, b e c:
a = 1
b = –3
c = 2
Substituindo na fórmula:
x = 
2a
b b 4ac
2
!- -
x =
 
–(–3) ± √(–3)2 – 4 · 1 · 2
2 · 1
x = 
2
3 9 8! -
x = 
2
3 1!
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x1 = 
2
3 1+ = 2
x2 = 
2
3 1- = 1
Na fórmula de Bhaskara, podemos usar um discriminante que é representado por “”. Seu 
valor é igual a:
Δ = b2 – 4ac
Assim, podemos escrever a fórmula de Bhaskara: 
x = 
2a
b !- D
O discriminante fornece importantes informações de uma equação do 2º grau:
Se Δ > 0 → a equação possui duas raízes reais e distintas.
Se Δ = 0 → a equação possui duas raízes reais e idênticas.
Se Δa
c
1
2
= = 2 
Quais são os dois números que somados resultam “3” e multiplicados, “2”?
Soma: 3 = (2 + 1)
Produto 2 = (2 · 1)
Logo, 2 e 1 são as raízes dessa equação, exatamente igual como achamos usando a fórmula 
de Bhaskara.
Para tornar essa explicação menos abstrata, observe os exercícios comentados a seguir:
1. (CEBRASPE-CESPE – 2018) Os indivíduos S1, S2, S3 e S4, suspeitos da prática de um ilícito 
penal, foram interrogados, isoladamente, nessa mesma ordem. No depoimento, com relação à 
responsabilização pela prática do ilícito, S1 disse que S2 mentiria; S2 disse que S3 mentiria; S3 
disse que S4 mentiria.
A partir dessa situação, julgue o item a seguir.
M
AT
EM
ÁT
IC
A
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Caso S3 complete 40 anos de idade em 2020, S1 seja 8 anos mais novo que S3 e S2 seja 2 anos 
mais velho que S4, se em 2020 a soma de suas idades for igual a 140 anos, então é correto afir-
mar que S2 nasceu antes de 1984.
( ) CERTO  ( ) ERRADO
S3 tem 40 anos em 2020. S1 é 8 anos mais novo que S3, ou seja, em 2020 sabemos que S1 terá 
32 anos de idade. Como S2 é 2 anos mais velho que S4, podemos dizer que:
Idade de S2 = Idade de S4 + 2
Chamando de X1, X2, X3 e X4 para designar as respectivas idades no ano de 2020, podemos 
escrever que: X2 = X4 + 2
Sabemos que a soma das idades, em 2020, é igual a 140 anos:
X1 + X2 + X3 + X4 = 140
32 + (X4 + 2) + 40 + X4 = 140
74 + 2 · X4 = 140
2 · X4 = 66
X4 = 33
Logo, X2 = X4 + 2 = 33 + 2 = 35 anos em 2020. 
Assim, S2 deve ter nascido em 2020 – 35 = 1985. Resposta: Errado.
2. (CEBRASPE-CESPE – 2017) Em um tanque A, há uma mistura homogênea de 240 L de gasolina 
e 60 L de álcool; em outro tanque B, 150 L de gasolina estão misturados homogeneamente com 
50 L de álcool.
 A respeito dessas misturas, julgue o item subsequente.
 Para que a proporção álcool/gasolina no tanque A fique igual à do tanque B é suficiente acres-
centar no tanque A uma quantidade de álcool que é inferior a 25 L.
( ) CERTO  ( ) ERRADO
A proporção álcool/gasolina do tanque B é de 150
50
3
1= .
A quantidade X de álcool precisa ser acrescentada no tanque A para ele chegar nesta mesma 
proporção. A quantidade de álcool passará a ser de 60 + X, e a de gasolina será 240, de modo 
que ficaremos com a razão:
3
1
240
60 x=
+^ h
240 x 3
1 = 60 + X
80 = 60 + X
60 + X = 80
X = 80 – 60
X = 20 litros. Resposta: Certo.
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3. (FUNDATEC – 2011) Qual deve ser o valor de m para que a equação x2 + 6x + m = 0 tenha raízes 
reais iguais? 
a) 3
b) 9
c) 6
d) –9
e) –3
Para que a equação do segundo grau tenha raízes iguais, é preciso que o delta (discriminan-
te) seja igual a zero. Isto é, ∆ = b2 – 4ac.
0 = 62 – 4 · 1 · m
0 = 36 – 4m
4m = 36
m = 9. Resposta: Letra B.
4. (CONSULPLAN – 2016) Julgue a afirmativa:
 A soma das raízes da equação x2 – 5x + 6 = 0 é um número ímpar.
( ) CERTO  ( ) ERRADO
A soma das raízes é:
S = a
–b
S = 1
– (–5) = 5. Resposta: Certo.
5. (IBFC – 2018) José perguntou ao seu avô Pedro, que é professor de matemática, com que idade 
ele se formou na faculdade. Pedro disse ao neto que sua idade era o produto entre as raízes da 
equação x² – 10x + 21 = 0. Nessas condições, assinale a alternativa que apresenta a idade que 
Pedro se formou na faculdade:
a) 18
b) 21
c) 24
d) 27 
Achando as raízes da equação:
x² – 10x + 21 = 0
x = 
–(–10) ± √(–10)2 – 4 · 1 · 21
2 · 1
x = 2
10 100 84! -
M
AT
EM
ÁT
IC
A
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x = 2
10 16!
x1 = 2
10 4+ = 7
x2 = 2
10 4- = 3
O produto das raízes é igual a 7 · 3 = 21 anos. Resposta: Letra B.
SISTEMA DE MEDIDAS: DECIMAIS E NÃO DECIMAIS
Quando estudamos o sistema de medidas, nos atentamos ao fato de que ele serve para 
quantificar dimensões que podem ter uma variação gigantesca. Porém, existem as conver-
sões entre as unidades para uma melhor interpretação e leitura.
MEDIDAS DE COMPRIMENTO
A unidade principal tomada como referência é o metro. Além dele, temos outras seis uni-
dades diferentes que servem para medir dimensões maiores ou menores. A conversão de 
unidades de comprimento segue potências de 10. Veja o esquema abaixo:
km
(quilômetro)
hm
(hectômetro)
dam
(decâmetro)
m
(metro)
dm
(decímetro)
cm
(centímetro)
mm
(milímetro)
Km hm dam m dm cm mm
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10
:10 :10 :10 :10 :10 :10
Exemplo: Converter 5,3 metros para centímetros:
Para sair do metro e chegar no centímetro devemos multiplicar por 100 (10x10), pois 
“andamos” duas casas até chegar em centímetro. Logo, 
5,3m = 5,3 x 100 = 530 cm.
MEDIDAS DE ÁREA (SUPERFÍCIE)
A unidade principal tomada como referência é o metro quadrado. Além dele, temos outras 
seis unidades diferentes que servem para medir dimensões maiores ou menores. A conversão 
de unidades de superfície segue potências de 100. Veja o esquema a seguir:
km2
(quilômetro
quadrado)
hm2
(hectômetro
quadrado)
dam2
(decâmetro
quadrado)
m2
(metro
quadrado)
dm2
(decímetro
quadrado)
cm2
(centímetro
quadrado)
mm2
(milímetro
quadrado)
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Km² hm² dam² m² dm² cm2 mm²
×100 ×100 ×100 ×100 ×100 ×100
:100 :100 :100 :100 :100 :100
Exemplo: Converter 5,3 m2 para cm2:
Para sair do metro quadrado e chegar no centímetro quadrado devemos multiplicar por 
10000 (100x100), pois “andamos” duas casas até chegar em centímetro quadrado. Logo, 5,3m2 
= 5,3 x 10000 = 53000 cm2.
MEDIDAS DE VOLUME (CAPACIDADE)
A unidade principal tomada como referência é o metro cúbico. Além dele, temos outras 
seis unidades diferentes que servem para medir dimensões maiores ou menores. A conver-
são de unidades de superfície segue potências de 1000. Veja o esquema a seguir
km3
(quilômetro
cúbico)
hm3
(hectômetro
cúbico)
dam3
(decâmetro
cúbico)
m3
(metro
cúbico)
dm3
(decímetro
cúbico)
cm3
(centímetro
cúbico)
mm3
(milímetro
cúbico)
Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
×1.000
:1.000
×1.000 ×1.000 ×1.000 ×1.000 ×1.000
:1.000 :1.000 :1.000 :1.000 :1.000
Exemplo: Converter 5,3 m3 para cm3:
Para sair do metro cúbico e chegar no centímetro cúbico devemos multiplicar por 1000000 
(1000x1000), pois “andamos” duas casas até chegar em centímetro cúbico. Logo, 
5,3m3 = 5,3 x 1000000 = 5300000 cm3.
Veja, agora, algumas relações interessantes e que você precisa ter em mente para resolver 
a diversas questões. 
UNIDADE RELAÇÃO DE UNIDADE
1 quilograma (kg) 1000 gramas (g)
1 tonelada (t) 1000 quilogramas (kg)
1 litro (l) 1 decímetro cúbico (dm3)
1 mililitro (ml) 1centímetro cúbico (cm3)
1 hectare (ha) 1 hectômetro quadrado (hm2)
1 hectare (ha) 10000 metros quadrados (m2)
MEDIDAS DE TEMPO
Medindo intervalos de tempos temos (hora – minuto – segundo) que são os mais conheci-
dos. Veja como se faz a relação nessa unidade.
M
AT
EM
ÁT
IC
A
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Para transformar de uma unidade maior para a unidade menor, multiplica-se por 60. Veja:
1 hora = 60 minutos
h = 4 x 60 = 240 minutos
Para transformar de uma unidade menor para a unidade maior, divide-se por 60. Veja:
20 minutos = 20 / 60 = 2/6 = 1/3 da hora ou 1/3h.
Para medir ângulos a unidade básica é o grau. Temos as seguintes relações:
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)
Aqui vale fazer uma observação que os minutos e os segundos dos ângulos não são os mes-
mos do sistema (hora – minuto – segundo). Os nomes são semelhantes, mas os símbolos que 
os indicam são diferentes, veja:
1h32min24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia.
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.
MEDIDAS DE MASSA
As unidades a seguir são as mais utilizadas quando estamos trabalhando a massa de uma 
matéria. Veja quais são:
 z tonelada (t);
 z quilograma (kg);
 z grama (g) e;
 z miligrama (mg).
Vamos tomar como base as relações a seguir para converter uma unidade em outra. 
Observe:
 z 1 t = 1000 kg (uma tonelada tem mil quilogramas);
 z 1 kg = 1000 g (um quilograma tem mil gramas);