Progressão Aritmética: Conceito e Cálculos

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O que é Progressão
Aritmética?
Prof. Leonardo Serruya
Raciocínio Lógico Matemático
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
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RESPOSTA
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PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Uma Progressão Aritmética é uma sequência de
números na qual, a partir do segundo, cada
termo é igual ao anterior somado a uma
constante.
Ou seja, a diferença entre o número seguinte da
sequência e o número anterior sempre será igual
(constante rs)
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Como calcular os termos de
uma P.A?
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Formalmente, se “a ” representa o n-ésimo termo
da PA, então:
n
onde:
a1 é o primeiro termo da sequência,
n é a posição do termo na sequência (por
exemplo, n=2 para o segundo termo),
r é a razão da PA.
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Vamos fazer uma conta
simples de PA
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Como calcular a soma dos
termos de uma PA?
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A primeira fórmula para calcular a soma dos n primeiros
termos de uma PA quando conhecemos o primeiro termo (a1 )
e o último termo (an ) é:
onde:
Sn é a soma dos n primeiros termos,
n é o número de termos,
a1 é o primeiro termo da PA,
an é o n-ésimo (último) termo da PA.
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A segunda fórmula é útil quando conhecemos o primeiro termo (a1 ) e a
razão (r) da PA, mas não necessariamente conhecemos o último termo
diretamente. A fórmula é:
onde:
Sn é a soma dos n primeiros termos,
n é o número de termos,
a1 é o primeiro termo da PA,
r é a razão da PA. Prof. Leonardo Serruya
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Vamos fazer um exemplo de
soma de PA.
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Suponha que você tem uma PA onde o primeiro termo (a1 ) é 4, a razão
(r) é 3, e você quer encontrar a soma dos primeiros 10 termos (S10 ).
Usando a segunda fórmula, temos:
S10 = 10 . (4 + 9 . 3/2)
S10 = 10 . (4+ 27/2)
S10 = 10 . (4 + 13,5)
S10 = 10 . 17,5
S10 = 175
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Vamos fazer um exemplo
prático de PA.
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Suponha que você está planejando economizar dinheiro ao longo dos próximos 5 meses.
Você decide que vai começar economizando R$100 no primeiro mês e aumentar o valor
economizado em R$20 a cada mês subsequente. Vamos usar o conceito de PA para
determinar quanto você economizará em cada mês e o total economizado ao final dos 5
meses.
Passo 1: Identificar os elementos da PA
O primeiro termo (a1 ) é R$100, pois é o valor que você começa economizando.
A razão (r) é R$20, que é o quanto você planeja aumentar sua economia a cada mês.
Passo 2: Calcular os termos da PA
Vamos calcular o valor economizado em cada um dos 5 meses, que são os primeiros 5 termos
da PA.
Para o mês 1 (a1 ): Já sabemos que é R$100.
Para o mês 2 (a2 ): a2 =a1 +r=100+20=120
Para o mês 3 (a3 ): a3 =a1 +2r=100+2⋅20=140
Para o mês 4 (a4 ): a4 =a1 +3r=100+3⋅20=160
Para o mês 5 (a5 ): a5 =a1 +4r=100+4⋅20=180
Portanto, você economizará R$100, R$120, R$140, R$160, e R$180 nos meses 1 a 5,
respectivamente.
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Passo 3: Calcular a soma dos termos da PA
A soma dos primeiros n termos de uma PA pode ser calculada pela fórmula:
Sn = n⋅(a1 +an ) /2
onde Sn é a soma dos n termos, a1 é o primeiro termo, an é o n-ésimo termo, e n é o número de
termos.
Neste caso, queremos a soma dos primeiros 5 termos, então:
n=5,
a1 =100,
a5 =180.
Vamos calcular a soma:
S5 = 5 . 280/2
S5 = 5 . 140
S5= 700
Ao final dos 5 meses, com o aumento planejado de R$20 por mês na quantia economizada, você
terá economizado um total de R$700.
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