Capítulo 4

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Capítulo 4: Distribuições
discretas de probabilidade
© 2016 Pearson. Todos os direitos reservados.
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Objetivos de aprendizagem
Como diferenciar variáveis aleatórias discretas e contínuas.
Como construir e representar graficamente uma distribuição discreta de probabilidade.
Como determinar se uma distribuição é uma distribuição de probabilidade.
Como calcular a média, a variância e o desvio padrão de uma distribuição discreta de probabilidade.
Como determinar o valor esperado de uma distribuição discreta de probabilidade.
Como determinar se um experimento probabilístico é um experimento binomial.
Como determinar probabilidades binomiais usando a fórmula, a tabela e tecnologia.
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Objetivos de aprendizagem
Como construir e representar graficamente uma distribuição binomial.
Como achar a média, a variância e o desvio padrão de uma distribuição de probabilidade binomial.
Como determinar probabilidades usando a distribuição geométrica.
Como determinar probabilidades usando a distribuição de Poisson.
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Variáveis aleatórias
O resultado de um experimento probabilístico geralmente é uma contagem ou uma medida. Quando isso ocorre, esse resultado é um possível valor de uma variável aleatória. Uma variável aleatória x representa um valor numérico associado a cada resultado de um experimento probabilístico (ou aleatório).
A palavra aleatória indica que x é determinado em função de um objeto escolhido ao acaso. Há dois tipos de variáveis aleatórias: discreta e contínua.
Uma variável aleatória e discreta quando tem um numero finito ou contável de resultados possíveis que podem ser enumerados.
Uma variável aleatória é contínua quando tem um número incontável de resultados possíveis, representados por um intervalo na reta numérica.
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Variáveis aleatórias
Você conduz um estudo sobre o número de ligações que um vendedor faz em um único dia. Os valores possíveis da variável aleatória x são 0, 1, 2, 3, 4 e assim por diante. Uma vez que o conjunto de resultados possíveis {0, 1, 2, 3, ...} pode ser listado, x é uma variável aleatória discreta. Você pode representar esses valores como pontos na reta numérica, como mostra a figura:
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Variáveis aleatórias
Uma forma diferente de conduzir o estudo seria medir o tempo diário (em horas) que um vendedor passa fazendo ligações. O tempo gasto fazendo ligações pode ser qualquer número real de 0 a 24 (incluindo frações e decimais), então x é uma variável aleatória contínua. Você pode representar esses valores em um intervalo na reta, mas você não poderá enumerar todos os valores possíveis, veja a figura:
Quando uma variável aleatória é discreta, você pode listar ou enumerar os valores possíveis que ela pode assumir. Porém, é impossível listar todos os valores para uma variável aleatória contínua.
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Distribuições discretas de 
probabilidade
Para cada valor de uma variável aleatória discreta pode ser atribuída uma probabilidade. Ao listar cada valor da variável aleatória com sua probabilidade correspondente, você estará formando uma distribuição discreta de probabilidade.
Ela lista cada valor possível que a variável aleatória pode assumir, com sua respectiva probabilidade. Uma distribuição de probabilidade discreta deve satisfazer as seguintes condições:
EM PALAVRAS
EM SÍMBOLOS
0 ≤ P (x) ≤ 1
ΣP (x) = 1
1. A probabilidade de cada valor da variável aleatória discreta esta entre 0 e 1, inclusive.
2. A soma de todas as probabilidades e 1.
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Média, variância e desvio padrão
Você pode indicar o centro de uma distribuição de probabilidades com sua média e medir a variabilidade com sua variância e desvio padrão. A média de uma variável aleatória discreta é definida como segue.
A média de uma variável aleatória discreta é dada por: m = ΣxP(x).
Cada valor de x é multiplicado por sua correspondente probabilidade e os produtos são adicionados.
A média de uma variável aleatória representa a “média teórica” de um experimento probabilístico que, quando realizado, não resulta necessariamente nesse valor de média. Se o experimento fosse repetido milhares de vezes, a média de todos os resultados, provavelmente, seria próxima à média da variável aleatória.
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Variância e desvio padrão de
uma variável aleatória discreta
Embora a média da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória descreva um resultado típico, ela não dá informações sobre a maneira como os resultados variam. Para estudar a variação dos resultados, você pode usar a variância e o desvio padrão da distribuição de probabilidades de uma variável aleatória.
A variância de uma variável aleatória discreta é:
O desvio padrão é:
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Valor esperado
A média de uma variável aleatória representa o que você esperaria acontecer com a média de milhares de testes (população). Ela também é chamada de valor esperado.
O valor esperado de uma variável aleatória discreta é igual à média da variável aleatória.
Valor esperado = E(x) = m = ΣxP(x).
Embora as probabilidades nunca possam ser negativas, o valor esperado de uma variável aleatória pode ser negativo.
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Experimentos binomiais
Há muitos experimentos probabilísticos para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos a dois resultados: sucesso e fracasso. Por exemplo, quando um jogador de basquete tenta um lance livre, ele pode fazer a cesta ou não. Experimentos de probabilidade como esses são chamados de experimentos binomiais.
É um experimento probabilístico que satisfaz as seguintes condições:
O experimento tem um número fixo de tentativas, em que cada tentativa é independente das outras.
Há apenas dois resultados possíveis para cada tentativa, que podem ser classificados como sucesso (S) ou fracasso (F).
A probabilidade de um sucesso é a mesma para cada tentativa.
A variável aleatória x conta o número de tentativas com sucesso.
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Experimentos binomiais
Vamos ver um exemplo de experimento binomial. De um baralho comum de cartas, você escolhe ao acaso uma carta, verifica se é de paus ou não, e devolve a carta ao baralho. Você repete o experimento cinco vezes, então n = 5. O resultado para cada tentativa pode ser classificado em duas categorias: S = tirar uma carta de paus e F = tirar uma carta de outro naipe. As probabilidades de sucesso e fracasso são:
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Experimentos binomiais
A variável aleatória x representa o número de cartas de paus selecionadas nas cinco tentativas. 
Portanto, os valores possíveis da variável aleatória são: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Se x = 2, por exemplo, então exatamente duas das cinco cartas são de paus, e as outras três não são. 
Note que x é uma variável aleatória discreta porque seus valores possíveis são obtidos por meio de contagem.
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Função de probabilidade 
binomial
Há várias formas de encontrar a probabilidade de x sucessos em n tentativas de um experimento binomial. Uma forma é usar um diagrama de árvore e a regra da multiplicação. Outra, é usar a fórmula da probabilidade binomial.
Em um experimento binomial, a probabilidade de exatamente x sucessos em n tentativas é:
Note que o número de fracassos é n – x. 
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Média, variância e desvio
padrão
Embora você possa usar as fórmulas aprendidas para média, variância e desvio padrão de uma distribuição discreta de probabilidade, as propriedades de uma distribuição binomial permitem que você use fórmulas muito mais simples.Parâmetros populacionais de uma distribuição binomial
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Mais distribuições discretas
de probabilidade
Muitas ações na vida são repetidas até que um sucesso ocorra. Por exemplo, você pode ter que enviar um e-mail diversas vezes antes de ser enviado com sucesso. Uma situação como essa pode ser representada por uma distribuição geométrica.
Em outras palavras, quando o primeiro sucesso ocorre na terceira tentativa, o resultado é FFS (Fracasso, Fracasso e Sucesso), e a probabilidade desse evento ocorrer é P(3) = q . q . p ou P(3) = p . q2.
Ainda que teoricamente um sucesso possa nunca ocorrer, a distribuição geométrica é uma distribuição discreta de probabilidade porque os valores e x podem ser enumerados: 1, 2, 3, ... Perceba que, conforme x se torna maior, P(x) se aproxima de zero. Por exemplo: 
P(15) = 0,75(0,25)15–1 = 0,75(0,25)14 ≈ 0,0000000028.
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A distribuição de Poisson
Em um experimento binomial, você está interessado em determinar a probabilidade de um número específico de sucessos em um dado número de tentativas.
 Suponha que, em vez disso, você queira saber a probabilidade de que um número específico de ocorrências aconteça dentro de uma dada unidade de tempo, área ou volume. 
Por exemplo, para determinar a probabilidade de que um funcionário fique doente por 15 dias dentro de um ano, você pode usar a distribuição de Poisson.
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A distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade de
uma variável aleatória x que satisfaz as seguintes condições:
O experimento consiste em contar o número de vezes, x, que um evento ocorre em um dado intervalo contínuo. O intervalo pode ser de tempo, área, volume ou outro intervalo contínuo.
A probabilidade de um evento acontecer é a mesma para intervalos de
mesmo tamanho.
O número de ocorrências em um intervalo é independente do número de ocorrências em outros intervalos não sobrepostos.
A probabilidade de haver exatamente x ocorrências em um intervalo é:
Em que e é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828 e µ é o número médio de ocorrências por intervalo unitário de referência.
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