distribuição de probabilidades

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<p>Distribuição de probabilidades</p><p>Em diversas situações práticas, não estamos interessados num resultado específico de um evento aleatório, mas nas probabilidades associadas a cada um dos resultados possíveis.</p><p>Por exemplo, se considerarmos o lançamento de duas moedas (não viciadas), podem ocorrer os quatro resultados a seguir:</p><p>Moeda 1</p><p>Moeda 2</p><p>Resultado</p><p>cara</p><p>cara</p><p>(cara, cara)</p><p>cara</p><p>coroa</p><p>(cara, coroa)</p><p>coroa</p><p>cara</p><p>(coroa, cara)</p><p>coroa</p><p>coroa</p><p>(coroa, coroa)</p><p>Se considerarmos X a quantidade de caras obtidas nesses dois lançamentos, os valores possíveis para X são: 0, 1, ou 2. Ao associarmos esses valores aos eventos correspondentes, temos:</p><p>X</p><p>Significado</p><p>Evento correspondente</p><p>Quantidade de resultados</p><p>0</p><p>Nenhuma ocorrência de cara</p><p>A1={(coroa,coroa)}</p><p>1</p><p>1</p><p>Uma ocorrência de cara</p><p>A2={(cara,coroa),(coroa,cara)}</p><p>2</p><p>2</p><p>Duas ocorrências de cara</p><p>A3={(cara,cara)}</p><p>1</p><p>O conjunto de todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral, e costumamos denotá-lo por Ω. Desta maneira, Ω={A1∪A2∪A3 }.</p><p>Note que cada evento pertencente a esse espaço amostral está associado a um único número real, representado por um valor de X. Desta maneira, dizemos que X é uma “variável aleatória”.</p><p>Podemos associar a probabilidade de X assumir cada um dos valores possíveis às probabilidades dos eventos correspondentes. Assim, teremos:</p><p>Colocando numa tabela, teremos:</p><p>X</p><p>P(X)</p><p>0</p><p>0,25</p><p>1</p><p>0,5</p><p>2</p><p>0,25</p><p>Com isso, associamos cada valor de X à sua probabilidade. Essa associação é chamada de “distribuição de probabilidade” da variável aleatória X. Sendo assim, uma distribuição de probabilidade descreve os possíveis valores da variável aleatória a ela relacionada, assim como suas probabilidades.</p><p>Vamos rever e aprofundar alguns conceitos já vistos na unidade anterior. Como vimos, existem dois tipos de variáveis aleatórias: discretas e contínuas.</p><p>Variáveis aleatórias discretas</p><p>Uma variável aleatória é classificada como “discreta” quando possui um conjunto enumerável (finito ou infinito) de valores possíveis. Como vimos anteriormente, no caso do lançamento de duas moedas, temos quatro possíveis valores para a variável aleatória X=quantidade de caras. Como o conjunto de valores possíveis é enumerável (e, neste caso, finito), X é uma variável discreta.</p><p>Imaginemos, agora, que haja interesse em estudar a chegada de carros a uma praça de pedágio numa rodovia, num intervalo de uma hora. Sendo X = quantidade de carros que chegam em um intervalo de uma hora, essa variável aleatória pode assumir qualquer valor inteiro não negativo. Não sabemos, a priori, qual é o maior valor possível, mas podemos enumerar facilmente esse conjunto.</p><p>Assim, a variável aleatória X, descrita desta maneira, é infinita, porém enumerável, logo, também é uma variável discreta.</p><p>Variáveis aleatórias contínuas</p><p>Por sua vez, uma variável aleatória é chamada de contínua quando o conjunto de valores possíveis é infinito, não enumerável. Por exemplo, se nos interessa estudar a performance de atletas olímpicos da modalidade de lançamento de dardos, a variável X = distância alcançada pelo dardo em um lançamento pode assumir uma infinidade de valores, e, por isso, dizemos que X é uma variável aleatória contínua.</p><p>Para ilustrar essa diferença entre os dois tipos de variáveis aleatórias, vamos considerar uma pesquisa nos domicílios de uma região. Uma das perguntas poderia ser a respeito da idade do chefe da família, enquanto outra poderia ser relativa à renda familiar. Por mais que seja possível encontrar pessoas com mais de cem anos de idade, os valores possíveis para a primeira variável aleatória X=idade do chefe da família são enumeráveis. Por sua vez, os valores possíveis para a segunda variável aleatória Y=renda familiar são inúmeros, não enumeráveis, o que justifica que ela seja considerada contínua.</p><p>Cálculo de probabilidades com variáveis aleatórias</p><p>A partir do conhecimento da distribuição de probabilidades da variável aleatória analisada, é possível fazer cálculos de probabilidades. Esses cálculos são um pouco diferentes, caso a variável seja discreta ou contínua. Vamos começar com as variáveis discretas.</p><p>Para complementar o conteúdo apresentado, sugerimos leitura do capítulo 3 (pp. 32-36) do livro MONTGOMERY, Douglas. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2021. ISBN 978-8-521-63743-1. Disponível no acervo da Minha Biblioteca.</p><p>Função de probabilidade – variáveis discretas</p><p>Para explicarmos o conceito de função de probabilidade, considerando variáveis discretas, vamos usar um exemplo simples.</p><p>Uma universidade fez uma pesquisa com alunos do primeiro período de um curso, na qual, entre outras informações, buscou saber a quantidade de disciplinas em que estavam matriculados. Sendo assim, teremos a variável aleatória discreta X=quantidade de disciplinas em que está matriculado. Após receber os formulários preenchidos, foi possível elaborar a seguinte tabela com os resultados, chamada de tabela de distribuição de frequências:</p><p>X</p><p>Frequência</p><p>1</p><p>15</p><p>2</p><p>20</p><p>3</p><p>45</p><p>4</p><p>50</p><p>5</p><p>60</p><p>Total</p><p>190</p><p>Notamos que os valores possíveis da variável X são {0,1,2,3,4 e 5}, conforme observamos na primeira coluna da tabela. Na segunda coluna, temos a contagem da quantidade de vezes que cada valor ocorreu na pesquisa.</p><p>A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta é chamada de “função (massa) de probabilidade”. Nesse caso, podemos especificar a probabilidade de a variável X ser igual a um determinado valor x, que representamos por pX (x) ou P(X=x). Calculando para cada um dos valores possíveis da variável X, podemos construir a tabela de distribuição de probabilidades:</p><p>Clique na tabela para ver os cálculos feitos para se chegar aos valores da coluna P(X = x).</p><p>Nessa tabela, a terceira coluna, também chamada de frequência relativa, é o resultado da divisão da frequência de cada valor pelo total de casos contados (190). Sendo assim, representa a probabilidade de que, sorteando-se um aluno qualquer que tenha respondido à pesquisa, sua resposta tenha sido cada um dos valores da variável X.</p><p>Além da probabilidade associada a cada um dos valores da variável aleatória, também é possível calcular probabilidades para intervalos ou expressões lógicas que representem combinações dos eventos associados a cada valor de X. Por exemplo, se quisermos saber qual a probabilidade de sortearmos aleatoriamente um aluno que tenha se matriculado em menos de três disciplinas, isso corresponderia a:</p><p>P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)=0,08 + 0,11 = 0,19</p><p>Poderíamos estar interessados em avaliar a probabilidade de sortear aleatoriamente um aluno que tenha se matriculado em mais de uma disciplina. Ou seja:</p><p>P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)</p><p>P(X > 1) = 0,11 + 0,24 + 0,26 + 0,31 = 0,92</p><p>Porém, poderíamos ter pensado que:</p><p>P(X > 1) = 1-P(X ≤ 1) = 1-[P(X = 0) + P(X = 1)] = 1-0,08 = 0,92</p><p>Que é o mesmo resultado encontrado anteriormente.</p><p>Função densidade de probabilidade – variáveis contínuas</p><p>A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua é chamada de “função densidade de probabilidade”. Como a quantidade de valores possíveis de uma variável aleatória contínua é infinita (ou, pelo menos, não enumerável), não faz sentido calcular a probabilidade de um valor específico.</p><p>Sendo assim, no caso de variáveis aleatórias contínuas, calculamos a probabilidade de a variável X estar num intervalo, como acima de um valor a, representado por P(a < X), abaixo de um valor b, representado por P(X < b), ou entre os valores a e b, que representamos por P(a < X < b). Como não faz sentido calcular P(X = a) ou P(X = b), a probabilidade de X estar no intervalo entre a e b pode, também, ser expressa por P(a≤ X ≤b).</p><p>Sendo b > a, teremos que P(X < b) = P(a < X) + P(a ≤ X ≤ b). Ou seja, a probabilidade de X ser menor que b é a soma da probabilidade de X ser maior que a somada à probabilidade de X estar no intervalo entre a e b. Resolvendo para a probabilidade de X estar no intervalo entre a e b, teremos:</p><p>P(a≤ X ≤b) = P(a < X</p><p>< b) = P(X < b) - P(X < a) =P(X ≤ b) - P(X ≤ a)</p><p>Chamamos a probabilidade de X ser menor ou igual a um determinado valor a de “função de distribuição acumulada” até a, e representamos por F(a). Assim, podemos reescrever a probabilidade de X estar no intervalo entre a e b:</p><p>P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = F(b) - F(a)</p><p>Em termos matemáticos mais explícitos, dizemos que:</p><p>Isso corresponde à área sob a curva da função densidade de probabilidade, conforme vemos na figura a seguir:</p><p>Com a distribuição de probabilidade definida, podemos calcular algumas estatísticas de resumo, tais como a média e a variância.</p><p>Média ou valor esperado</p><p>A “média” (ou “valor esperado”, ou ainda “esperança” matemática) de uma variável aleatória X, denotada por E(X), é uma medida que dá uma ideia de qual valor de X que seria esperado, caso o experimento ao qual a variável está associada fosse repetido inúmeras vezes.</p><p>Em termos matemáticos, para uma variável aleatória discreta, o valor esperado E(X) é a média ponderada de todos os possíveis valores de X com pesos iguais às respectivas probabilidades desses valores.</p><p>Já para o caso de variáveis aleatórias contínuas, o valor esperado é calculado pela seguinte fórmula:</p><p>Felizmente, as principais distribuições contínuas apresentam cálculos bem simplificados para o valor esperado. Assim, não precisamos ficar resolvendo integrais quando as utilizamos.</p><p>Retomando o exemplo da pesquisa feita pela universidade com seus alunos do primeiro período, podemos calcular o valor esperado da variável X=quantidade de disciplinas em que está matriculado, com o auxílio de mais uma coluna na tabela de distribuição de probabilidades construída anteriormente.</p><p>Clique na tabela para ver os cálculos feitos para se chegar aos valores da coluna x.P(X = x).</p><p>Cada célula na quarta coluna dessa nova tabela corresponde à multiplicação do valor de X pela sua probabilidade P(X=x). Portanto, o valor de 3,61, correspondente à soma dos valores da quarta coluna, é exatamente o valor esperado da variável X.</p><p>Vale observar que 3,61 é o valor esperado (ou seja, a média), da quantidade de disciplinas em que um aluno se matriculou, porém, esse nem é um valor possível para a variável X. Se sortearmos um aluno da amostra que respondeu à pesquisa, jamais encontraremos um que tenha sido matriculado em 3.61 disciplinas. No entanto, se sorteássemos muitos alunos e calculássemos a média da quantidade de disciplinas em que eles estavam matriculados, o valor obtido seria muito próximo a 3,61.</p><p>Variância</p><p>A “variância” de uma variável aleatória X é uma medida de sua dispersão estatística, e corresponde ao valor esperado do quadrado de quanto ela se afasta de seu valor esperado. O valor dado por X-E(X) corresponde ao desvio de X em relação a sua média. Logo, para calcular a variância, usamos as seguintes fórmulas:</p><p>Var(X) = E [(X-E(X))2] = E (X2 ) - [E(X)]2</p><p>Quando X é uma variável aleatória contínua, recorremos ao cálculo integral:</p><p>Também no caso da variância, as principais distribuições contínuas apresentam cálculos bem simplificados, o que evita a necessidade de ficarmos resolvendo integrais quando as utilizamos.</p><p>Novamente, voltando ao exemplo da pesquisa feita pela universidade, vamos incluir algumas colunas na tabela anterior para auxílio no cálculo da variância da quantidade de disciplinas em que os alunos se matricularam.</p><p>Clique na tabela para saber os cálculos feitos para se chegar aos valores das colunas (x – E(X))2 e (x – E(X)2 . P(X – x).</p><p>Na quinta coluna dessa tabela, calculamos o quadrado da diferença entre cada valor assumido pela variável X e o valor esperado de X. Na sexta coluna, multiplicamos esse resultado pela probabilidade associada a cada um desses itens, que é exatamente a mesma probabilidade associada a cada valor de X. O valor de 1,56, correspondente à soma dos valores da sexta coluna é exatamente a variância da variável X.</p><p>Vamos fazer um exercício para fixar os conceitos?</p><p>Exercício</p><p>Suponha que o gerente de uma revendedora de motores elétricos de alta potência tenha contratado você para ajudá-lo a analisar as vendas de sua equipe. Então, seguindo sua orientação, ele levantou os dados históricos de vendas e construiu uma tabela de frequências para a variável aleatória X=quantidade de motores vendidos por dia, como apresentado na tabela a seguir:</p><p>Ele quer saber, primeiramente, o valor esperado e o desvio padrão das vendas por dia. Adicionalmente, ele gostaria de saber a probabilidade de que, num dia, sua equipe consiga vender exatamente quatro motores. Finalmente, ele também quer saber qual a probabilidade da equipe realize vendas de no máximo dois motores.</p><p>Para responder ao gerente da loja que o contratou, você deve inicialmente elaborar a seguinte tabela:</p><p>Com isso, concluir que o valor esperado da quantidade de vendas por dia é de 1,55 unidades, a variância é de 1,25 e o desvio padrão é de =1,12 unidades.</p><p>A probabilidade de que a equipe venda exatamente quatro motores em um dia corresponde ao valor calculado na terceira coluna desta tabela, para a linha correspondente ao valor X=4. Ou seja, P(X = 4) = 0,05.</p><p>Para o último caso, devemos pensar que “vender no máximo dois motores” significa “vender um motor” ou “vender dois motores”. A probabilidade procurada, então, é a soma das probabilidades correspondentes às linhas de X=1 e X=2. Ou seja, P(X = 0 ou X=1 ou X=2) = P (X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,20 + 0,30 + 0,30 =0,80.</p><p>image6.png</p><p>image.png</p><p>imageb.png</p><p>image3.png</p><p>image5.png</p><p>image8.png</p><p>image.jpg</p><p>image9.png</p><p>image2.png</p><p>image4.png</p><p>imagea.png</p><p>image7.png</p><p>imaged.png</p><p>imagec.png</p>