Números Reais e Operações

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1. NÚMEROS REAIS 
1.1. Introdução 
Em geral, os cursos de Cálculo começam por um breve estudo dos números 
reais. A razão é simples. No Cálculo, estuda-se o comportamento de funções 
reais. 
Nosso objetivo é a apresentação das principais propriedades dos números reais, 
para compreender as funções de uma variável real. 
 
1.2. Conjuntos Numéricos 
1.2.1. Números Naturais (ℕ) 
Os números naturais são: 
0,1,2,3,4,5, … 
O conjunto de todos os naturais é representado pela letra ℕ, ou seja, 
ℕ = {0,1, 2, 3, 4, 5,...} 
1.2.2 Números inteiros ( ℤ) 
Os números inteiros são: 
… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … 
O conjunto de todos os inteiros é representado pela letra ℤ, ou seja, 
ℤ = {… , −𝟓, −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, … } 
 
1.2.2.1. Representação dos números inteiros na reta 
 
Destacam-se os subconjuntos dos números inteiros: 
 
(1) ℤ∗ = {𝑥 ∈ ℤ/ 𝑥 ≠ 0} = {… , −5, −4, −3, −2, −1,1, 2, 3, 4, 5, … } 
(2) ℤ+ = {𝑥 ∈ ℤ/ 𝑥 ≥ 0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … } 
(3) ℤ− = {𝑥 ∈ ℤ/ 𝑥 ≤ 0} = {0, −1, −2, −3, − 4, −5, … } 
(4) ℤ+
∗ = {𝑥 ∈ ℤ/𝑥 > 0} = {1, 2, 3, 4, 5, … } = ℕ 
(5) ℤ−
∗ = {𝑥 ∈ ℤ/ 𝑥 𝑥) 
se existe um real positivo 𝑡 tal que 𝑦 = 𝑥 + 𝑡. A notação 𝑥 ≤ 𝑦 (leia: 𝑥 menor ou 
igual a 𝑦) é usada para indicar a afirmação 𝑥 0. Se 𝑥os 15 
axiomas listados acima. 
EXERCÍCIO 4. Quaisquer que sejam os reais 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 e {
𝑥 ≤ 𝑦
𝑧 ≤ 𝑤
, mostre que: 
𝑥 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑤. 
EXERCÍCIO 5. Quaisquer que sejam os reais 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 e {
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦
0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑤
. Mostre que: 
𝑥𝑧 ≤ 𝑦𝑤 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: Se 𝑥 ≤ 𝑦 então, para todo 𝑧 ≤ 0, então: 
𝒙𝒛 ≥ 𝒚𝒛 
1º caso: Se 𝑥 = 𝑦 em ℝ a relação é verdadeira. 
2º caso: Se 𝑧 = 0, a relação é verdadeira. 
3º caso: Se considerarmos 𝑥 0 
Pela propriedade OM, temos: 
𝑥. (−𝑧) 𝑦𝑧 
 
OUTRAS PROPRIEDADES 
a) 𝒛 > 𝟎 ⇔ 𝒛−𝟏 > 𝟎 
b) 𝒛 > 𝟎 ⇔ −𝒛 0. 
 
8. Verifique se cada passo na solução das inequações abaixo está correto: 
 
a) 
5𝑥+3
2𝑥+1
> 2 ⇒ 5𝑥 + 3 > 2(2𝑥 + 1) ⇒ 5𝑥 + 3 > 4𝑥 + 2 ⇒ 𝑥 > −1. 
 
b) 
2𝑥2+𝑥
𝑥2+1
 5. 
 
1.2.5.5. Módulo de um número real 
O módulo (valor absoluto) de um número real 𝑥,indicado pela notação |𝑥|, é 
definido como sendo o maior valor entre 𝑥 e −𝑥, isto é: 
|𝑥| = 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 {𝑥, −𝑥} 
ou ainda por: 
|𝑥| = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 0, resolva a equação |𝑥| = 𝑎. 
 
EXERCÍCIO 2. Resolva a equação |2𝑥 − 1| = 1. 
 
1.2.5.6. Distância entre números reais 
O conceito de módulo de um número real permite introduzir o conceito 
de distância entre dois números reais e caracterizar o conceito de proximidade 
entre dois números reais. 
Dados 𝑥 e 𝑦 ∈ ℝ, define-se a distância entre 𝑥 e 𝑦 como: 
𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| 
 
De |𝑥| = |𝑥 − 0|, segue que |𝑥| é a distância de 𝑥 a 0. 
 
EXEMPLO: 𝑑(−3; 7) = |−3 − 7| = |−10| = 10. 
EXEMPLO: A igualdade |𝑥 − 2| = 3 significa que o número 𝑥 está a uma distância 3 
do número 2. Logo, deve ser 𝑥 = 5 (se 𝑥 estiver à direita de 2) ou 𝑥 = −1 (se 𝑥 estiver 
à esquerda de 2). 
 
EXERCÍCIO 3. Suponha 𝑎 > 0. Mostre que |𝑥| 0. Mostre que |𝑥| > 𝑎 ⇔ 𝑥 𝑎. 
 
EXERCÍCIO 5. Elimine o módulo em |𝑥 − 𝑝| 0) 
 
PROPRIEDADES: Quaisquer que sejam 𝑥 e 𝑦 ∈ ℝ, tem-se que: 
1. |𝑥| = |−𝑥| 
2. |𝑥| = |𝑦| ⇔ 𝑥 = 𝑦 ou 𝑥 = −𝑦 
3. |𝑥 − 𝑦| = |𝑦 − 𝑥| 
4. |𝑥. 𝑦| = |𝑥| . |𝑦| 
5. −|𝑥| ≤ 𝑥 ≤ |𝑥| 
6. |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| (Desigualdade triangular) 
7. |𝑥 − 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| 
8. |𝑥| − |𝑦| ≤ |𝑥 − 𝑦| 
EXERCÍCIO 6. Demonstre as propriedades (4), (6) e (8). 
EXERCÍCIO 7. Elimine o módulo da expressão |𝑥 − 2| − |𝑥 + 1|. 
 
1.2.5.7. Intervalos reais 
 
1.2.5.7.1. Intervalos finitos: 
 
(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑎 𝑎} 
[𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 ≥ 𝑎} 
(−∞, 𝑏) ={𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥