Algebra 15

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Algebra 15
Vamos Praticar
A dimensão de um espaço vetorial dependerá da sua base vetorial. Dessa forma, determine a base e a dimensão do espaço vetorial descrito a seguir:
S={(x, y, z, w)∈R4 / x+2y−z+w=0}
Parte superior do formulário
a) (1, 0, 0, −1), (0, 1, 0, −2) e (0, 0, 1, 1) dim=3.Feedback: alternativa correta , pois:
Você deve ter, inicialmente, isolado w, e teremos:
w=−x−2y+z
Poderíamos ter isolado qualquer uma das quatro variáveis acima e chegaremos a dim=3.
b) (1, 0, 0, −1), e (0, 0, 1, 1)  dim=2.
c) (1, 0, 0, −1) e (0, 1, 0, −2) dim=2.Feedback: alternativa incorreta , pois você deveria ter feito:
Inicialmente, vamos isolar w e teremos:
w=−x−2y+z 
Poderíamos ter isolado qualquer uma das quatro variáveis.
Poderíamos chegar a bases diferentes para o mesmo problema.
(x, y, z, w)=(z, y, z, −x−2y+z)
x=1, y=0, z=0 ⇒(1, 0, 0, −1)
x=0, y=1, z=0 ⇒( 0, 1, 0, −2)
x=0, y=0, z=1 ⇒(0, 0, 1, 1)
(x, y, z, w)=(x, 0, 0, 1)+(0, y, 0, −2y)+(0, 0, z, z)
(x, y, z, w)=x(1, 0, 0, −1)+y(0, 1, 0, −2)+z(0, 0, 1, 1)
Como os vetores (1, 0, 0, −1), (0, 1, 0, −2) e (0, 0, 1, 1) são LI, eles formam uma base de dimensão 3.
d) (1, 0, 0, −1), (0, 1, 0, −2), (1, 1, 0, −3) e (0, 0, 1, 1) dim=4.
e) (1, 0, 0, −1), (0, 1, 0, −2) e (1, 1, 0, −3) dim=3.
Parte inferior do formulário
image1.wmf