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MODELAGEM MATEMÁTICA 
APLICADA ÀS FINANÇAS 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Aline Purcote 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
A matemática financeira é a base para analisar alternativas de aplicação 
e obtenção de recursos financeiros, como a quantidade que devemos depositar 
para acumular um determinado valor ou o valor que devemos pagar a mais por 
estar realizando um empréstimo. 
Segundo Camargo (2007), a matemática financeira estuda a evolução do 
valor do dinheiro no tempo, por meio da capitalização ou do desconto. A 
capitalização se refere à incorporação de juros a uma quantia principal para 
determinar seu valor futuro, ao passo que o desconto se refere à 
descapitalização de um montante para encontrar seu valor presente. 
Na definição acima são apresentados vários conceitos como 
capitalização, juro, montante, principal, valor futuro e valor presente, assim, 
nesta aula, abordaremos os principais conceitos financeiros, a diferença entre 
capitalização simples e composta e as diferentes taxas envolvidas nas 
operações financeiras. 
CONTEXTUALIZANDO 
No nosso dia a dia realizamos várias operações, como compras utilizando 
o cartão de crédito, empréstimos bancários e aplicações financeiras, mas quais 
são os principais conceitos que devemos considerar para analisar as alternativas 
que são ofertadas? 
As movimentações financeiras são baseadas na definição de uma taxa de 
juros. Assim, quando realizarmos um empréstimo para pagarmos em prestações 
mensais, o valor final é superior ao valor inicial. Dessa forma, é importante 
avaliarmos as opções para saber em qual local é mais vantajoso realizar o 
empréstimo e qual a taxa que iremos pagar em cada alternativa. 
Portanto, temos que a matemática financeira faz parte do nosso cotidiano, 
logo precisamos entender os principais conceitos que estão envolvidos nas 
operações financeiras para tomar decisões mais assertivas e vantajosas. 
Saiba mais 
Para entendermos um pouco mais como a matemática financeira é muito 
útil na nossa vida pessoal, profissional e sobretudo nas organizações, vamos ler 
os seguintes artigos: 
 
 
3 
1. ENTENDA por que a matemática financeira pode ser útil para você. 
CapitalNow, 4 set. 2019. Disponível em: 
. Acesso em: 16 mar. 2021. 
2. ALMEIDA, G. O que é a matemática financeira e qual a sua importância? 
Certifiquei, 23 out. 2020. Disponível em: 
. Acesso em: 16 
mar. 2021. 
3. SEM CRISE: entenda a importância da matemática financeira. Onze, 
2020. Disponível em: . Acesso em: 16 mar. 2021. 
TEMA 1 – CONCEITOS FINANCEIROS 
Figura 1 – Conceitos financeiros 
 
Créditos: Kan_Chana/Shutterstock. 
Uma pessoa aplica certa quantia, também chamada de capital, na 
poupança por um determinado período. Essa aplicação é como se ela fizesse 
um empréstimo para o banco, logo, no final do período, receberá uma quantia 
de juros a mais como compensação sendo este valor estabelecido por uma 
porcentagem que chamamos de taxa de juros. Dessa forma, no final do período, 
a pessoa terá na poupança a quantia correspondente ao capital mais o juro. 
O capital (C) é o valor aplicado por meio de alguma operação financeira e 
também é conhecido como principal, valor atual, valor presente ou valor aplicado. 
Ao rendimento em dinheiro decorrente da utilização de uma quantia por 
certo período de tempo damos o nome de juros (J) e a incorporação do juro ao 
capital é denominada de capitalização. Ao prazo durante o qual alguém paga ou 
 
 
4 
recebe juros chamamos de tempo e o representamos pela letra n. Assim, n indica 
o número de vezes que o capital será acrescido de juro. Consideramos os juros 
mediante uma taxa percentual de juro (i) que se refere a uma unidade de tempo, 
que pode ser, por exemplo, ano, semestre, mês ou dia. 
O valor disponível no final do período recebe o nome de montante ou valor 
futuro. Dessa forma, o montante é obtido pela soma do capital ao juro e 
representado pela letra M. 
Exemplo: 
O valor de R$ 1.000 foi aplicado à taxa de 20% ao ano, durante 4 anos, 
produzindo R$ 800 de juros no período. 
Nesse exemplo foram apresentados os seguintes dados: 
• Capital (C) = R$ 1.000 
• Taxa de juros (i) = 20% ao ano 
• Tempo (n) = 4 anos 
• Juro (J) = R$ 800 
Sabemos que montante (M) é obtido pela soma do capital ao juro, assim: 
M = C + J 
M = 1000 + 800 
M = 1.800 
Logo, no final dos 4 anos, teremos um montante de R$ 1.800. 
TEMA 2 – JUROS 
Figura 2 – Juros 
 
Fonte: Vector Knight/Shutterstock. 
 
 
5 
 Pagamos juros quando financiamos a compra de um bem ou realizamos 
um empréstimo e recebemos sempre que aplicamos dinheiro em um 
investimento. Segundo Castanheira (2016), podemos utilizar as seguintes 
expressões como conceito de juros: 
• dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital 
de terceiros colocado à nossa disposição; 
• remuneração do capital empregado em atividades produtivas; 
• remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas 
aplicado; 
• aluguel pago pelo uso do dinheiro. 
De acordo com Francisco (1991), juro é uma compensação em dinheiro 
pelo uso de um capital financeiro, por determinado tempo, a uma taxa 
previamente combinada. 
Para o cálculo do juro utilizamos uma taxa percentual aplicada sobre o 
capital que se refere a uma unidade de tempo. No exemplo apresentado no tema 
1, temos uma taxa de juros de 20% ao ano, assim a taxa e o tempo estão na 
mesma unidade, ou seja, a taxa é apresentada ao ano, o tempo expresso em 
ano. Caso isso não ocorra, devemos transformar a taxa ou o tempo para a 
obtenção da homogeneidade entre ambos. Outro ponto que devemos observar 
ao utilizar a taxa é a capitalização do juro, que pode ser, por exemplo, mensal, 
anual, diária, semestral, entre outras. 
Exemplo: 
Considere um empréstimo de R$ 1.000 a taxa de 24% ao ano durante 
quatro meses. 
Nesse exemplo, temos uma taxa de 24% anual, mas o período é 
apresentado em meses. Dessa forma, devemos transformar e deixar taxa e 
tempo na mesma unidade. Para realizar esse processo lembramos que um ano 
possui 12 meses, logo devemos dividir a taxa por 12 para transformar a taxa 
anual em taxa mensal: 
 24% / 12 = 2% ao mês 
Podemos também transformar a taxa percentual em uma fração decimal 
dividindo o valor encontrado por 100, assim: 
2% / 100 = 0,02 ao mês. 
 
 
6 
Segundo Castanheira (2016), o regime de capitalização é que determina 
a forma de se acumularem os juros. Caso estes incidam somente sobre o capital 
inicial, trata-se de juros simples ou capitalização simples; se incidirem sobre o 
capital mais os juros acumulados anteriormente, são juros compostos, também 
chamados de capitalização composta. 
TEMA 3 – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
Figura 3 – Capitalização simples 
 
Créditos: Monster Ztudio/Shutterstock. 
Na capitalização simples, o juro é calculado sempre sobre o capital inicial, 
ou seja, é calculado sobre o capital emprestado ou aplicado sendo produzido 
unicamente por este capital. 
Vamos considerar como exemplo um empréstimo de R$ 1.000 durante 4 
anos, à taxa de 20% ao ano. Teremos em cada ano um valor de R$ 200 de juro, 
ou seja, aplicamos a taxa de 20% sobre o capital de R$ 1.000: 
20% de 1.000 
1000
100
20
 
200100020,0 = 
Como estamos trabalhando com juro simples, o valor do juro, para cada 
período será o mesmo, pois são calculados sobre o mesmo capital de R$ 1.000, 
que é o capital inicial. Assim, podemos representar esse exemplo considerando 
o seguinte fluxo em que temos no momento zero ou inicial o valor de R$ 1.000. 
Passando do período inicial para o período 1, temos a incidência dos 20% de 
 
 
7 
juros, produzindo o valor de R$ 200, quesomamos ao valor inicial, obtendo o 
valor atualizado de R$ 1.200 (1.000 + 200 = 1.200). O mesmo ocorre para o 
período 2, em que temos o juro de R$ 200 que produz um valor atualizado de R$ 
1.400 (1.200 + 200 = 1.400). O mesmo raciocínio aplicamos nos demais períodos 
obtendo um montante final de R$ 1.800. 
Figura 4 – Relação entre montantes e juros (1) 
 
No exemplo acima, cada intervalo produz o mesmo valor de juro, ou seja, 
para cada período consideramos uma taxa de 20% sobre o capital inicial de R$ 
1.000 que produz um juro de R$ 200 por período. Assim, para saber o total de 
juros pago, multiplicamos o valor de cada intervalo pelo número total de 
intervalos, ou seja: 
20% de 1.000 = 200 
R$ 200 x 4 = R$ 800 
De acordo com Castanheira (2016), para o cálculo dos juros simples (J) 
sobre o capital (C), aplicamos a taxa de juros (i) e consideramos o tempo (n) 
sobre o qual eles incidem. Com isso, chegamos à fórmula: 
J = C . i . n 
Vimos no tema 1 que montante (M) é obtido pela soma do capital ao juro 
e representado pela fórmula: 
M = C + J 
 
 
8 
Sabendo que J = C.i.n, podemos substituir na fórmula do montante o juro 
(J): 
M = C + J 
M = C + (C . i . n) 
Na expressão acima temos em comum o C, então podemos colocar em 
evidência e obter a fórmula para o cálculo do montante considerando juros 
simples: 
M = C (1 + i . n) 
Vamos resolver o exemplo apresentado utilizando as fórmulas, assim 
temos: 
C = 1.000 
n = 4 anos 
i = 20% = 20/100 = 0,20 ao ano 
J = C . i . n 
J = 1000 . 0,20 . 4 
J = 800 
Para o montante temos: 
M = C (1 + i . n) 
M = 1000 ( 1 + 0,20 . 4) 
Resolvendo a multiplicação do parêntese, obtemos: 
M = 1000 (1 + 0,8) 
Realizando a soma e após a multiplicação, obtemos o valor do montante: 
M = 1000 . 1,8 
M = 1800 
Encontramos os mesmos valores do fluxo apresentado, ou seja, para um 
empréstimo de R$ 1.000 durante 4 anos pagamos um montante de R$ 1.800 
sendo R$ 800 de juros. 
 
 
 
9 
Saiba mais 
Para encontrarmos os valores acima podemos também utilizar a 
calculadora HP 12C, sendo que para o cálculo de juros simples será necessário 
utilizar o período em dias e a taxa de juros em ano, assim resolvemos o exemplo 
da seguinte forma: 
f REG (limpa os registros (memórias) financeiros) 
f 2 (duas casas decimais no visor) 
1440 n (período em dias, considerando ano comercial, 360 
dias) 
20 i (define a taxa de juro anual) 
1000 CHS PV (capital inicial) 
f INT (valor do juro simples) 
+ (valor do montante) Exemplo 1: 
Uma pessoa realiza um empréstimo de R$ 2.000,00, a juros simples, pelo 
prazo de 3 meses, à taxa de 3% ao mês. Quanto pagará de juros? 
Antes de iniciarmos a resolução deste problema, vamos identificar os 
dados apresentados no enunciado: 
C = R$ 2.000,00 
n = 3 meses 
i = 3% = 0,03 ao mês (a.m.) 
J= ? 
Com os dados acima vamos aplicar a fórmula do juro simples: 
J = C . i . n 
J = 2.000 x 0,03 x 3 
J = 180 
Saiba mais 
Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de juros. Para utilizar 
a HP12C, precisamos transformar a taxa em ano e o período em dias, assim: 
f REG 
f 2 
 
 
10 
90 n (período em dias, considerando 30 dias por mês) 
36 i (taxa anual 3% x 12) 
2000 CHS PV (capital inicial) 
f INT (valor do juro simples) 
Exemplo 2: 
Determine o montante ao final de 8 meses de um capital de R$ 1.500,00 
aplicados à taxa de juro simples de 40% ao ano (a.a). 
O enunciado fornece os seguintes dados: 
C = 1500 
n = 8 meses 
i = 40% ao ano 
M = ? 
Analisando os dados, percebemos que a taxa e o período não estão na 
mesma unidade, pois a taxa é apresentada em ano e o período em meses. 
Dessa forma, será necessário transformar a taxa para meses, lembrando que 1 
ano possui 12 meses, logo dividimos a taxa por 12: 
i = 40% ao ano 
40% / 12 = 3,33333333% ao mês / 100 = 0,03333333 
Agora aplicamos a fórmula do montante: 
M = C (1 + i . n) 
M = 1500 (1+ 0,03333333. 8) 
M = 1500 (1 + 0,26666664) 
M = 1500 . 1,2666666 
M = 1900 
Logo um capital de R$ 1.500 aplicados à taxa de 40% ao ano em 8 meses 
produzirá um montante de R$ 1.900,00. 
Saiba mais 
Para utilizar a HP12C, precisamos transformar o período em dias, assim: 
 
 
11 
f REG 
f 2 
240 n (período em dias, considerando 30 dias por mês) 
40 i (taxa anual) 
1500 CHS PV (capital inicial) 
f INT (valor do juro simples) 
+ (valor do montante) 
Exemplo 3: 
Qual é o capital inicial que devemos depositar para obter um montante de 
R$ 148.000 daqui a 18 meses a uma taxa de juro simples de 48% ao ano? 
Neste exercício, o objetivo é calcular o valor do capital inicial (C) e o 
enunciado fornece os seguintes dados: 
M = 148000 
n = 18 meses 
i = 48% a.a 
Como temos o montante e precisamos encontrar o capital, vamos aplicar 
a fórmula do montante, mas precisamos primeiramente transformar a taxa, pois 
ela está anual e o período em meses: 
i = 48% a.a / 12 = 4% a.m / 100 = 0,04 
M = C (1 + i . n) 
148000 = C (1+0,04 . 18) 
148000 = C (1 + 0,72) 
148000 = C (1,72) 
Precisamos isolar o valor de C então vamos passar o valor 1,72 que está 
multiplicando para o outro membro dividindo: 
148000 / 1,72 = C 
C = 86046,51 
Logo para termos um montante de R$ 148.000 no final de 18 meses a 
taxa de 48% ao ano precisamos depositar inicialmente R$ 86.046,51. 
 
 
12 
Exemplo 4: 
Qual é a taxa que devemos aplicado o capital de R$ 3.200 para produzir 
R$ 4.184 no final de 10 meses? 
Neste exemplo, temos o capital, o montante e o tempo, sendo necessário 
calcular a taxa de juros, assim: 
C = 3200 
M = 4184 
n = 10 
i = ? 
M = C (1 + i . n) 
4184 = 3200 (1 + i. 10) 
Precisamos isolar a variável i, então vamos passar o 3.200 que está 
multiplicando para o outro membro, dividindo: 
4184 / 3200 = 1 + i. 10 
1,3075 = 1 + i. 10 
Agora vamos passar o 1 que está somando para o outro membro, 
subtraindo: 
1,3075 – 1 = i. 10 
0,3075 = i.10 
Por fim, passando o 10 que está multiplicando para o outro membro, 
dividindo: 
0,3075 / 10 = i 
i = 0,0308 x 100 = 3,08% ao mês 
Como temos o nosso tempo em meses, a resposta final da taxa será 
apresentada em meses. Logo, para obter R$ 4.184 no final de 10 meses com 
um capital de R$ 3.200, precisamos aplicar com uma taxa de 3,08% ao mês. 
 
 
 
13 
TEMA 4 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Figura 5 – Capitalização composta 
 
Créditos: Doubletree Studio/Shutterstock. 
A maioria das operações utiliza juros compostos, por ser mais lucrativo, 
por exemplo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, aplicações 
financeiras na poupança e aplicações em fundos de renda fixa. 
No juro composto, no fim de cada período, o juro é somado ao capital 
constituído no início, para produzirem novos juros no período seguinte, ou seja, 
o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render 
juros também. 
De acordo com Castanheira (2016), na capitalização composta, os juros 
do primeiro período são somados ao capital inicial e, sobre os dois, serão 
calculados os juros do segundo período, e assim sucessivamente, daí de os juros 
compostos serem chamados de juros sobre juros. 
 Considerando o exemplo de um capital de R$ 1.000 colocado a 20% ao 
ano durante 4 anos a juro composto, temos no fim do primeiro ano que o juro é 
igual a R$ 200 (20% de R$ 1.000), que é somado ao capital de R$ 1.000 
produzindo o novo capital de R$ 1.200. Esse novo valor produzirá juros no 
segundo ano, conformefluxo mostrado na Figura 6: 
 
 
 
 
14 
Figura 6 – Relação entre montantes e juros (2) 
 
 
No segundo ano, o juro será de R$ 240, ou seja, a taxa de 20% será 
calculada considerando o novo valor de R$ 1.200, produzindo um novo saldo de 
R$ 1440 (1200 + 240). Já no terceiro ano o juro será R$ 288, pois aplicamos a 
taxa de 20% no saldo anterior que é de R$ 1440, produzindo um valor de R$ 
1728 (1440 + 288). No quarto ano, o juro será de 20% sobre o capital R$ 1.728, 
ou seja, 345,60. Dessa forma, o montante no fim do quarto ano será de R$ 
2.073,60 sendo o juro total de R$1.073,60. 
M = C + J 
2073,60 = 1000 + J 
J = 2073,60 – 1000 
J = 1073,60 
Comparando os valores obtidos em juros compostos com os juros 
simples, apresentados no tema 3, verificamos que em juros simples temos um 
montante de R$ 1.800 com juro de R$ 800 e em juro composto temos um juro 
de R$ 1.073,60. Essa diferença ocorre, pois em juro simples o juro é calculado 
sempre sobre o capital inicial. No exemplo temos uma diferença de R$ 273,60 
(1073,60 – 800) no montante final comparando juros simples e compostos. A 
tabela e o gráfico abaixo apresentam a evolução dos montantes considerando 
juros simples e composto: 
 
 
 
 
15 
Tabela 1 – Evolução dos montantes 
Anos 0 1 2 3 4 
Montante Juro 
Simples 
1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 
Montante Juro 
Composto 
1.000 1.200 1.440 1.728 2.073,60 
Figura 7 – Relação entre juros simples e composto 
 
Para calcular os juros aplicamos a fórmula J = C.i, sendo assim, para obter 
o montante de cada período, é necessário multiplicar o capital por (1+i) tantas 
vezes quanto for o número de períodos envolvidos, assim o montante no primeiro 
período será: 
M1 = C (1+i) 
M1 = 1000 (1+0,20) 
M1 = 1000 . 1,20 
M1 = 1.200 
ou seja, 
J = C .i 
J = 1000 . 0,20 = 200 
M = C + J 
 
 
16 
M1 = 1000 + 200 = 1.200 
Para o segundo período utilizamos o novo valor encontrado (M1), assim: 
M2 = M1 (1+i) 
Sabemos que M1 = C (1+i), então substituímos na fórmula acima: 
M2 = C (1+i) (1+i) 
M2 = 1000 (1+0,20) (1+0,20) 
M2 = 1000. 1,20.1,20 
M2 =1.440 
Verificamos que o fator (1+i) varia de acordo com a quantidade de 
períodos, ou seja, ele aparece à quantidade de períodos da capitalização. Logo, 
a fórmula do montante para Juro Composto será: 
M = C. (1 + i)n 
Exemplo 1: 
Uma pessoa realiza um empréstimo de R$ 2.000,00, a juros compostos, 
pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3% ao mês. Quanto pagará no final do período? 
C = R$ 2.000,00 
n = 3 meses 
i = 3% ao mês / 100 = 0,03 
M = ? 
Aplicando a fórmula, temos: 
M = C. (1 + i)n 
M = 2.000 . (1 + 0,03)³ 
M = 2.000 . (1,03)³ 
M = R$ 2.185,45 
Saiba mais 
Para encontrarmos os valores acima podemos também utilizar a 
calculadora HP 12C, sendo que para o cálculo da capitalização composta 
 
 
17 
precisamos manter o período (n) na mesma unidade de tempo da taxa de juros 
(i), assim: 
f REG (limpa os registros (memórias) financeiros) 
f 2 (duas casas decimais no visor) 
3 n (período) 
3 i (define a taxa de juro) 
2000 CHS PV (capital inicial) 
FV 
Exemplo 2: 
Qual o valor dos juros compostos produzidos considerando um capital R$ 
500,00 que aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês? 
C = 500 
i = 5% / 100 = 0,05 
n = 8 
J = ? 
M = C  (1 + i)n 
M = 500  (1 + 0,05)8 
M = 500  (1,05)8 
M = R$ 738,73 
Encontramos o valor do montante e, para calcular o juro, utilizamos a 
seguinte fórmula: 
M = C + J 
Isolando o juro, temos: 
J = M – C 
J = 738,73 – 500 
J = R$ 238,73 
Outra alternativa para calcular o juro é aplicar a seguinte fórmula, que 
obtemos substituindo M = C + J na fórmula do montante: 
 
 
18 
M = C + J 
M = C  (1 + i)n 
C + J = C  (1 + i)n 
J = C  (1 + i)n - C 
Colocando C em evidência, obtemos: 
J = C [(1 + i)n – 1] 
Aplicando a fórmula obtida, obtemos o mesmo resultado: 
J = C [(1 + i)n – 1] 
J = 500 [(1+0,05)8 -1] 
J = 500 [(1,05)8 -1] 
J = 500 [1,477455 -1] 
J = 500 [0,477455] 
J = 238,73 
Saiba mais 
Pela calculadora HP 12C, temos: 
f REG 
f 2 
8 n (período) 
5 i (define a taxa de juro) 
500 CHS PV (capital inicial) 
FV 
RCL PV (RCL mostra uma posição de memória) 
+ 
Exemplo 3: 
Qual é o capital a ser aplicado à taxa de juros composto de 1,5% ao mês 
durante 8 meses que produzirá um montante de R$ 2.816,23? 
Nesse exercício, temos os seguintes dados: 
 
 
19 
M = 2.816,23 
i = 1,5% a.m / 100 = 0,015 
n = 8 meses 
C = ? 
Precisamos calcular o capital e temos o valor do montante, assim 
aplicamos a fórmula: 
M = C. (1 + i)n 
2816,23 = C (1 + 0,015)8 
2816,23 = C (1,015)8 
2816,23 = C . 1,126493 
Para isolar a variável C vamos passar o valor 1,1265 que está 
multiplicando para o outro membro dividindo: 
2816,23 / 1,126493 = C 
C = 2499,99 = 2500 
C = 2500 
Podemos isolar o capital na fórmula do montante e obter a seguinte 
fórmula, que resultará no mesmo valor encontrado no exemplo 3: 
M = C. (1 + i)n 
ni
M
C
)1( +
=
 
Saiba mais 
Outra alternativa para encontrar o capital é utilizar a calculadora HP 12C, 
assim: 
f REG 
f 2 
8 n 
1,5 i 
2816,23 CHS FV 
 
 
20 
PV 
Segundo Francisco (1991), na constituição do montante, os juros podem 
ser calculados no fim de cada ano, semestre, trimestre ou mês. Assim, os juros 
podem ser capitalizados anualmente, semestralmente, trimestralmente ou 
mensalmente. Geralmente, com referência ao período de capitalização, a taxa 
de juros é anual. Por exemplo, juros de 18% ao ano capitalizado semestralmente, 
assim a taxa semestral proporcional a 18% a.a é de 9% ao semestre. Vale 
lembrar que um ano possui dois semestres. Assim: 
18% ao ano / 2 = 9% ao semestre 
Exemplo 4: 
Qual é o montante que será produzido aplicando R$ 500 a taxa de juro 
composto de 24% ao ano capitalizados trimestralmente durante 2 anos? 
Neste exercício, temos os seguintes dados: 
C = 500 
i = 24% a.a 
n = 2 anos 
M = ? 
A taxa e o período estão em anos, mas o exercício indica que a 
capitalização é trimestral. Dessa forma, precisamos transformar taxa e período 
em trimestres, lembrando que um ano possui 4 trimestres. Assim: 
i = 24% a.a / 4 = 6% a.t / 100 = 0,06 
n = 2 anos = 8 trimestres 
Agora aplicamos a fórmula do montante: 
M = C. (1 + i)n 
M = 500 (1+0,06)8 
M = 500 (1,06)8 
M = 500 . 1,593848 
M = 796,92 
 
 
 
 
21 
Saiba mais 
Pela calculadora HP 12C temos: 
f REG 
f 2 
8 n 
6 i 
500 CHS PV 
FV 
Estudamos o cálculo do juro composto utilizando as fórmulas e a 
calculadora financeira HP 12C, mas podemos também utilizar o Excel. Para 
calcular o montante / valor futuro no Excel utilizamos a fórmula: 
VF = (taxa;períodos;valorpresente) 
Aplicando o fórmula acima no exemplo 4, temos: 
Quadro 1 – Cálculo de montante 
 A B 
1 Capital -500 
2 Taxa 6% 
3 Período 8 
4 Montante = VF (B2; B3; B1; 0) 
 
Saiba mais 
Para saber mais da utilização da HP 12C e o Excel, acesse o seguinte link 
e leia o capítulo indicado: 
1. FERREIRA, R. G. Juros compostos: a força mais poderosa do mundo em 
finanças pessoais – entenda o que é e aprenda a calcular no Excel e na 
HP12C. Clube do Valor, 23 nov. 2020. Disponível em: 
. Acesso em: 16 mar. 
2021. 
2. Capítulo 5 da seguinte obra: 
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12C e Excel: uma 
abordagem descomplicada. São Paulo: Pearson, 2006. 
 
 
22 
TEMA 5 – TAXAS 
Figura 8 – Taxas 
 
Créditos: Monster Ztudio/Shutterstock. 
Existem várias formasde identificar uma taxa de juro e podemos utilizar a 
taxa equivalente, taxa nominal, taxa efetiva, taxa aparente e taxa real. 
5.1 Taxa equivalente 
Segundo Castanheira (2008), duas ou mais taxas são equivalentes se, ao 
mantermos constantes o capital e o prazo de aplicação do capital, o montante 
resultante da aplicação for o mesmo, quaisquer que sejam os períodos de 
capitalização. Para a determinação da taxa equivalente, em capitalização 
composta, utilizamos a fórmula: 
1)1( −+= t
q
tq ii 
Em que: 
iq = taxa que eu quero 
it = taxa que eu tenho 
q = tempo da taxa que eu quero 
t = tempo da taxa que eu tenho 
 
 
23 
Exemplo 1: 
Qual é a taxa anual equivalente a 1,2% ao mês? 
Para obter a taxa equivalente, vamos analisar os dados fornecidos onde 
queremos calcular a taxa anual de uma taxa de 1,2% ao mês, logo a taxa que 
tenho é 1,2% e o tempo que tenho é 1 mês, pois a taxa é apresentada em mês 
(1,2% ao mês). O tempo que quero é 1 ano, pois queremos calcular a taxa anual. 
Percebemos que o tempo que tenho (1 mês) não está na mesma unidade do 
tempo que quero (1 ano), assim precisamos transformar, lembrando que 1 ano 
é igual a 12 meses. Assim: 
iq = taxa que eu quero = ? 
it = taxa que eu tenho = 1,2% /100 = 0,012 
q = tempo da taxa que eu quero = 1 ano = 12 meses 
t = tempo da taxa que eu tenho = 1 mês 
1)1( −+= t
q
tq ii 
1)012,01( 1
12
−+=qi 
1)012,1( 12 −=qi 
1153895,1 −=qi 
%3895,15153895,0 ==qi
 
Saiba mais 
Podemos utilizar também a calculadora HP 12C para encontrar a taxa 
equivalente, assim: 
f REG 
f 4 
STO EEX 
 
 
24 
100 CHS PV 
101,2 FV 
12 1/x n 
i 
O comando STO EEX indica que a taxa equivalente será calculada em 
capitalização composta. No comando PV, sempre informamos o valor 100 para 
encontrar a taxa em percentual. No FV informamos o resultado da soma entre o 
PV e a taxa conhecida que, nesse caso, é 1,2% (100 + 1,2 = 101,2). Já no n 
devemos informar o resultado da divisão do tempo da taxa que eu tenho pelo 
tempo da taxa que eu quero (t/q). 
Exemplo 2: 
Qual é a taxa equivalente ao bimestre de 24% a.a? 
iq = taxa que eu quero = ? 
it = taxa que eu tenho = 24% /100 = 0,24 
q = tempo da taxa que eu quero = 1 bimestre 
t = tempo da taxa que eu tenho = 1 ano = 6 bimestres 
1)1( −+= t
q
tq ii 
1)24,01( 6
1
−+=qi 
 
1)24,1( 1667,0 −=qi 
10365,1 −=qi 
%65,30365,0 ==qi 
Saiba mais 
Pela calculadora HP 12 C, temos: 
 
 
25 
f REG 
f 4 
STO EEX 
100 CHS PV 
124 FV 
6 ni 
5.2 Taxa nominal 
De acordo com Castanheira (2016), temos uma taxa nominal quando o 
prazo de formação e incorporação dos juros ao capital inicial não coincide com 
aquele a que ela se refere. Normalmente, é expressa para periodicidade anual e 
transformada em taxa para periodicidade menor, de forma proporcional. 
Exemplo 1: 
Taxa de 24% a.a, capitalização mensal. 
Temos uma taxa anual e queremos a taxa mensal, assim consideramos 
que um ano possui doze meses e realizamos a divisão, logo: 
24% a.a / 12 = 2% a.m 
Exemplo 2: 
Taxa nominal de 36% a.a, capitalização trimestral. 
Considerando que 1 ano possui 4 trimestres, temos: 
36% a.a / 4 = 9% a.t 
5.3 Taxa efetiva 
Segundo Castanheira (2008), quando o prazo a que se refere uma taxa 
que nos foi informada coincide com aquele de formação e incorporação do juro 
ao capital que o produziu, temos uma taxa efetiva. 
De acordo com Francisco (1991), quando uma taxa de juros anual é paga 
em parcelas proporcionais, os juros obtidos no fim de um ano são maiores do 
que a taxa oferecida. Por exemplo, um capital de R$ 100 colocados a 20% a.a, 
capitalizado semestralmente por um ano, produz o seguinte montante: 
M = C. (1 + i)n 
M = 100. (1 + 0,10)2 
 
 
26 
M = 100. (1,10)2 
M = 100 . 1,21 
M = 121 
Obs.: a taxa foi transformada de anual para semestral, assim: 
20% a.a / 2 = 10% a.s = 0,10 
Com o valor do montante obtido vamos encontrar a taxa anual: 
M = C. (1 + i)n 
121 = 100. (1 + i)1 
121 / 100 = 1 + i 
1,21 = 1 + i 
1,21 – 1 = i 
i = 0,21 x 100 = 21% a.a 
Logo, o juro pago no ano foi de 21%, assim a taxa de 20% a.a. é a taxa 
nominal e a taxa de 21% é a taxa efetiva. 
Saiba mais 
Pela calculadora HP 12C, temos: 
f REG 
f 2 
100 CHS PV 
2 n 
10 i 
FV 
1 n 
i 
 
 
 
27 
5.4 Taxa real e aparente 
De acordo com Castanheira (2008), a taxa aparente é a taxa que se utiliza 
sem se levar em conta a inflação do período. Já a taxa real é a taxa que se utiliza 
levando-se em consideração os efeitos inflacionários do período. 
Considere que uma empresa deu um aumento salarial de 20% para um 
determinado funcionário referente a um período em que houve inflação, então 
este valor de 20% não reflete um aumento real, pois não considerou a inflação 
do período, logo essa taxa é uma taxa aparente. Caso a correção efetuada no 
salário tenha sido menor que a inflação do período, podemos ter uma taxa real 
negativa. 
Considerando um capital C aplicado por um determinado tempo n e que 
resultou em um montante M, temos a fórmula do montante considerando a taxa 
aparente: 
M = C. (1 + ia) 
Se considerarmos que nesse período n ocorreu uma inflação I, devemos 
acrescentar a taxa real i e a taxa de inflação I no cálculo do montante, logo: 
M = C. (1 + i).(1+I) 
Agora vamos igualar a duas fórmulas do montante para encontrar a 
fórmula da taxa real i: 
C. (1 + ia) = C. (1 + i).(1+I) 
Passamos o C que está multiplicando no segundo membro dividindo e 
assim podemos eliminar essa variável: 
I)+i).(1 + (1 = 
C
)i + (1 C. a
 
(1 + ia) = (1 + i).(1+I) 
Para isolar o i passamos (1+I) que está multiplicando para o outro membro 
dividindo: 
(1 + ia) = (1 + i).(1+I) 
i) + (1 = 
I)+(1
)i + (1 a
 
Agora o 1 que está somando passa subtraindo: 
 
 
28 
1
I)+(1
)i + (1
 i a −= 
Exemplo 1: 
Qual é a taxa real de uma aplicação em que a taxa aparente foi de 8% ao 
mês, em um período em que a inflação foi de R$ 2,86%? 
O enunciado fornece os seguintes dados: 
ia = 8% /100 = 0,08 
I = 2,86% /100 = 0,0286 
1
I)+(1
)i + (1
 i a −=
 
1
0,0286)+(1
0,08) + (1
 i −=
 
1
(1,0286)
(1,08)
 i −=
 
11,05 i −=
 
%50,05 i == 
Exemplo 2: 
Qual é a taxa real de uma aplicação em que a taxa aparente foi de 4% ao 
mês, em um período em que a inflação foi de R$ 5%? 
1
I)+(1
)i + (1
 i a −=
 
1
0,05)+(1
0,04) + (1
 i −=
 
1
(1,05)
(1,04)
 i −=
 
10,9905 i −=
 
%9524,00095,0 i −=−= 
A taxa real encontrada foi negativa, ou seja, nessa aplicação ocorreu um 
prejuízo. 
 
 
29 
TROCANDO IDEIAS 
Nesta aula estudamos os principais conceitos envolvendo a matemática 
financeira e entendemos por que o juro composto é tão utilizado na prática. 
Provavelmente você já realizou ou conhece alguém que já fez um empréstimo, 
financiamento ou alguma aplicação financeira. Escolha uma operação financeira 
e avaliei os seguintes pontos: 
• Prazo da operação; 
• Taxa utilizada; 
• Capital inicial; 
• Montante. 
NA PRÁTICA 
Para praticar os conteúdos estudados, vamos resolver alguns exercícios: 
Exercício 1: 
Considerando uma aplicação de R$ 4.000, qual das situações terá maior 
rendimento e de quanto a mais será? 
1. Juro simples, à taxa de 3% ao mês durante 2 meses; 
2. Juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 3 meses. 
Vamos calcular o juro de cada situação e após comparar os resultados 
obtidos: 
1. Juro simples, à taxa de 3% ao mês durante 2 meses 
C = 4000 
i = 3% / 100 = 0,03 
n = 2 meses 
J = C .i.n 
J = 4000 . 0,03 . 2 
J = 240 
Saiba mais 
Utilizando a HP 12C, temos: 
 
 
30 
f REG 
f 2 
60 n (período em dias) 
36 i (taxa anual) 
4000 CHS PV 
f INT 
2. Juro composto, à taxa de 2% ao mêsdurante 3 meses. 
C = 4000 
i = 2% / 100 = 0,02 
n = 3 meses 
M = 4000 (1+0,02)3 
M = 4000 (1,02) 3 
M = 4000 1,0612 
M = 4244,80 
M = C + J 
4244,80 = 4000 + J 
J = 4244,80 – 4000 
J = 244,80 
Saiba mais 
Pela HP12C temos: 
f REG 
f 2 
3 n 
2 i 
4000 CHS PV 
FV 
RCL PV 
 
 
31 
+ 
Temos na primeira opção um juro de R$ 240 e na segunda um total de R$ 
244,80, logo a segunda opção terá o maior rendimento com uma diferença de 
R$ 4,80 a mais. 
Exercício 2: 
Qual o tempo que devemos aplicar um capital de R$ 800.000 à taxa de 
juro simples de 16% ao ano para obtermos um montante de R$ 832.000? 
Analisando o enunciado, temos: 
C = 800.000 
n = ? 
i = 16% ao ano 
M = 832.000 
Aplicando a fórmula do montante, temos: 
M = C (1 + i.n) 
832000 = 800000 (1 + 0,16 n) 
n16,01
800000
832000
+= 
1,04 = 1 + 0,16 n 
1,04 – 1 = 0,16 n 
0,04 = 0,16 n 
16,0
04,0
=n 
n = 0,25 
Como a taxa está em ano, temos a resposta também em ano, ou seja, 
0,25 do ano que corresponde a 3 meses: 
0,25 x 12 = 3 meses 
Exercício 3: 
Qual o juro de uma aplicação de R$ 1.000 colocado por 4 anos a uma 
taxa de juro composto de 20% a.a, capitalizados semestralmente? 
Analisando o enunciado, temos: 
 
 
32 
C = 1000 
n = 4 anos 
i = 20% a.a 
J = ? 
Nesse exercício, temos a capitalização semestral, assim precisamos 
transformar a taxa e o tempo para semestre, lembrando que em um ano temos 
2 semestres. Assim: 
n = 4 anos x 2 = 8 semestres 
i = 20% a.a / 2 = 10% a.s = 0,10 
Aplicando a fórmula do juro composto, temos: 
J = C [(1 + i)n – 1] 
J = 1000 [(1+0,10)8 – 1] 
J = 1000 [(1,10)8 – 1] 
J = 1000 [2,1436 – 1] 
J = 1000 . 1,1436 
J = 1143,60 
Saiba mais 
Utilizando a HP 12C, temos: 
f REG 
f 2 
8 n 
10 i 
1000 CHS PV 
FV 
RCL PV 
+ 
 
 
33 
FINALIZANDO 
Nesta aula, estudamos os principais conceitos envolvendo a matemática 
financeira, como juro, taxa, montante, capital; diferenciamos o juro simples do 
juro composto além de apresentar as diferenças entre as taxas nominal, efetiva, 
aparente e real. Vimos que nas operações financeiras temos a aplicação do juro 
composto e que esses conceitos ajudarão na análise de alternativas, tornando a 
tomada de decisão mais assertiva. 
 
 
 
 
34 
REFERÊNCIAS 
CAMARGO, C. Análise de investimentos e demonstrativos financeiros. 
Curitiba: Ibpex, 2007. 
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 
Curitiba: Ibpex, 2008. 
CASTANHEIRA, N. P. Cálculo aplicado à gestão e aos negócios. Curitiba: 
InterSaberes, 2016. 
FRANCISCO, W. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1991. 
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem 
descomplicada. São Paulo: Pearson Prentise Hall, 2006.