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MATEMÁTICA FINANCEIRA 2ª Edição 2022 Prof.ª Fernando Eduardo Cardoso GABARITO DAS AUTOATIVIDADES 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA UNIDADE 1 TÓPICO 1 1 No diagrama das operações financeiras, a compressão de uma situação que aborde valor presente, tempo, taxa de juro pode ser representada em forma de diagrama, chamado de fluxo de caixa, e é composto por: linha de tempo, valor de entrada e valores de saída. Conceitue diagrama das operações financeiras. R: O diagrama das operações financeiras nada mais é do que uma representação gráfica de uma operação simples que utiliza matemática financeira. 2 O valor presente refere-se ao ponto de partida da operação. Como exemplo, podemos citar o caso do dinheiro pego emprestado de um banco para financiar um carro ou casa. Esse valor pego no banco seria o valor presente, também chamado de capital. Conceitue valor presente. R: O Valor presente (PV) segundo Gimenes (2010), refere-se ao valor inicial de uma operação, e está representado no instante “zero”. 3 Toda e qualquer operação financeira, precisa estar estruturada em função do tempo e de da taxa de juros. Existem quatro compo- nentes fundamentais nas operações financeiras. Sobre os compo- nentes das operações financeira, analise as sentenças a seguir: I- Valor presente do capital (PV). II- Taxa de juros por período de capitalização (i). III- Valor de inflação (VI). IV- Número de períodos de capitalização (n), ou tempo (t). V- Valor futuro do capital (VF). IV- Taxa de desconto (TxD). 3 MATEMÁTICA FINANCEIRA Assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) As sentenças II, III e V estão corretas. b) ( ) As sentenças I, II e III estão corretas. c) ( ) As sentenças III, IV e V estão corretas. d) (X) As sentenças I, II, IV e V estão corretas. 4 Os negócios que envolvem juros são compostos por uma “entrada” e por uma “saída”, como no caso de um empréstimo bancário, em que de um lado está o cliente e, do outro lado, está a instituição financeira, que repassa o dinheiro. Com base nos componentes das operações financeiras, associe os itens, utilizando o código a seguir: I- Valor presente do capital (PV). II- Taxa de juros por período de capitalização (i). III- Número de períodos de capitalização (n), ou tempo (t). IV- Valor futuro do capital (VF). ( ) Vem do termo do inglês (interest rate), refere-se à taxa de juros cobrado por período de capitalização. ( ) Refere-se ao valor inicial de uma operação, e está representado no instante “zero”. ( ) O valor futuro é representado no instante n, sendo composto de amortização mais juros. ( ) Refere-se ao tempo que deve estar no mesmo período (em acordo) com a taxa de juros. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) (X) II – I – IV – III b) ( ) III – IV – II – I c) ( ) I – III – II – IV d) ( ) IV – I – III – II 5 Toda e qualquer operação financeira precisa estar estruturada em função do tempo e de da taxa de juros. As operações financeiras são compostas por quatro componentes: Valor presente do capital (PV); Taxa de juros (i); Número de períodos de capitalização 4 MATEMÁTICA FINANCEIRA (n), ou tempo (t); Valor futura do capital (VF). Relacionado ao valor futuro, ele recebe outras denominações. Sobre as outras denominações do valor futuro, assinale a alternativa CORRETA: a) (X) Valor de resgate, montante (M), e saldo futuro (S). b) ( ) Valor principal (P); capital (C); valor original (O). c) ( ) Número de período (n); tempo (t). d) ( ) “I” maiúsculo expressa a taxa em percentagem; “i” minúsculo expressa a taxa decimais. TÓPICO 2 1 Calcule a radiciação e apresente o resultado com 4 casas após a virgula: i) 1/13 = ii) 201/2 = iii) 2,611/5 = Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) (X) i= 0,0769; ii= 4,4721; iii= 1,2115. b) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351. b) ( ) i= 0,0076; ii= 3,2023; iii= 1,9452. b) ( ) i= 2,750; ii= 3,9931; iii= 0,5570. Resolução: a) 1/13 = 13 1/x = 0,0769 b) 201/2 = 20 ENTER 2 1/x YX = 4,4721 c) 2,611/5 = 2,61 ENTER 5 1/x YX = 1,2115 2 Calcule a raiz quadrada e apresente o resultado com 4 casas após a virgula: a) = b) = c) = 5 MATEMÁTICA FINANCEIRA Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351. b) ( ) i= 0,0076; ii= 3,2023; iii= 1,9452. c) ( ) i= 2,750; ii= 3,9931; iii= 0,5570. d) (X) i= 1,7321; ii= 5,000; iii= 2,8284 Resolução: a) = 3 g = 1,7321 b) = 25 g = 5,0000 c) = 8 g = 2,8284 3 Calcule o logaritmo neperiano e apresenta o resultado com 4 ca- sas após a virgula: i) ln30 = ii) ln7 = iii) ln15 = Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351. b) (X) i= 3,4012; ii= 1,9459; iii= 2,7081. c) ( ) i= 2,750; ii= 3,9931; iii= 0,5570. d) ( ) i= 1,7321; ii= 5,000; iii= 2,8284 Resolução: a) ln30 = 30 g LN = 3,4012 b) ln7 = 7 g LN = 1,9459 c) ln15 = 15 g LN = 2,7081 4 Calcule o logaritmo comum e apresente o resultado com 4 casas após a virgula: a) Log (30) = b) Log (7) = c) Log (15) = 6 MATEMÁTICA FINANCEIRA Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351. b) ( ) i= 3,4011; ii= 1,9459; iii= 2,7081. c) (X) i= 1,4771; ii= 0,8451; iii= 1,1761 d) ( ) i= 1,7321; ii= 5,000; iii= 2,8284 Resolução: a) Log (30) = 30 g LN 10 g LN = 1,4771 b) Log (7) = 7 g LN 10 g LN = 0,8451 c) Log (15) = 15 g LN 10 g LN = 1,1761 5 Calcule o logaritmo comum e apresente o resultado com 4 casas após a virgula: a) 73,8 = b) 7-3,8 = c) (-5)6 = Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) i= 1,254; ii= 7,8371; iii= 3,3351. b) (X) i= 1.626,9438; ii= 0,0006; iii= 15.625,0000 c) ( ) i= 3.872,4011; ii= 1.9023,9459; iii= 22.450,5082. d) ( ) i= 17.321,9788; ii= 0,0500; iii= 2.452,0001 Resolução: a) 73,8 = 7 ENTER 3,8 YX = 1.626,9438 b) 7-3,8 = 7 ENTER 3,8 CHS YX = 0,0006 c) (-5)6 = 5 CHS ENTER 6 YX = 15.625,0000 6 Normalmente, é necessário realizar mais de uma operação sequencial para realizar cálculos financeiros. De forma a facilitar os cálculos e desenvolvê-los sem o uso dos parênteses, a HP12C trabalha com o sistema RPN (Reverse Polish Notation) ou Notação Polenesa Reversa. Na versão Platium da HP12C, a calculadora apresenta a possibilidade de operações no sistema algébrico, denominado de ALG. Descreva a diferença entre os modos ALG e RPN. 7 MATEMÁTICA FINANCEIRA R: Para o modo de operação tradicional algébrico ALG, a sequência para realizar uma operação básica é: número, sinal da operação, outro número, e pressiona-se a tecla igual, enquanto no modo de operação RPN, a principal característica está em introduzir os números primeiro e depois o sinal da operação. 7 Para realizar o teste de automático de circuitos, siga os seguintes comandos: com a calculadora desligada, aperte a tecla com sinal de multiplicação X, mantenha a tecla pressionada enquanto liga a calculadora na tecla ON e, em seguida, solte a tecla X. Descreva para que serve o teste automático de circuitos. R: Um teste automático de circuitos indica se todas as funções e os circuitos da calculadora HP12C estão em perfeito funcionamento. É um bom teste para realizar no momento da compra da calculadora. TÓPICO 3 1 A calculadora HP12C disponibiliza três teclas para solucionar problemas com percentagens: %, ∆%, e %T. Com uso das teclas, não é preciso converter percentagens nos equivalentes decimais; isso é feito automaticamente ao apertar qualquer uma dessas te- clas. Disserte sobre a funcionalidade das teclas ∆% e %T . R.: A tecla ∆% é usada para achar a diferença percentual entre dois números. A tecla percentagem do total %T proporciona o cálculo para identificar qual percentagem um número é de um outro. 2 A HP12C fornece as funções de calendário nas teclas, DATAe ∆DYS, que trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046. Qualquer data fora desse período vai apresentar erro na calculadora HP12C. Disserte sobre a funciona- lidade das teclas DATE e ∆DYS . 8 MATEMÁTICA FINANCEIRA R.: Para o cálculo das datas futuras ou passadas, usamos a tecla DATE, proporcionando o cálculo para se identificar a data e dia da semana que é um certo número de dias depois ou antes de uma data fornecida. A tecla ∆DYS proporciona o cálculo do número de dias entra datas. 3 Calcule o valor que corresponde à 4,78% do valor R$500,00. Assi- nale a alternativa CORRETA: a) ( ) R$ 31,70. b) ( ) R$ 15,40. c) (X) R$ 23,90. d) ( ) R$ 47,71. Resolução: 500 ENTER 4,78 % Resposta no visor: 23,00 (ou seja, R$ 23,90) 4 Calcule o valor que corresponde a 20% do valor R$6.000,00. Assi- nale a alternativa CORRETA: a) ( ) R$ 800,00. b) ( ) R$ 1.000,00. c) (X) R$ 1.200,00. d) ( ) R$ 1.500,00. Resolução: 6.000 ENTER 20 % Resposta no visor: 1.200,00 (ou seja, R$ 1.200,00) 5 Calcule o valor que corresponde a 66% do valor R$700,00. Assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) R$ 392,00. b) (X) R$ 462,00. c) ( ) R$ 528,00. d) ( ) R$ 584,00. 9 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução: 700 ENTER 66 % Resposta no visor: 462,00 (ou seja, R$ 462,00) 6 Uma ação de investimentos caiu de R$ 32,47; para R$ 12,05. Qual é a diferença percentual? a) ( ) -10,11. b) (X) -62,89. c) ( ) -88,67. d) ( ) -13,10. Resolução: 32,47 ENTER 12,05 ∆% Resposta no visor: -62,89 (ou seja, uma queda de quase 63%) 7 Um produto custa R$ 400,00 na loja “A”, e na loja “B”, o mesmo pro- duto custa R$ 500,00. Qual a diferença percentual entre os valores? a) ( ) 15%. b) ( ) 20%. c) (X) 25%. d) ( ) 30%. Resolução: 400 ENTER 500 ∆% Resposta no visor: 25 (ou seja, 25%) 8 Quanto corresponde em percentual R$ 150,00 em relação a R$ 725,00? a) ( ) 47,91% b) ( ) 15,93% c) ( ) 60,24% d) (X) 20,69% 10 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução: 725 ENTER 150 %T Resposta no visor: 20,69 (ou seja, 20,69%). Comentário: a calculadora considera o valor de R$ 725,00 como sendo o 100% e verifica quanto o valor de R$ 150,00 representa em relação aos R$ 725,00 em percentual. 9 Um automóvel que é vendido à vista por R$ 60.000,00 tem R$ 18.000,00 de impostos embutidos no valor de venda. Quanto re- presentam esses impostos em percentual sobre o preço à vista do automóvel? a) ( ) 10% b) ( ) 20% c) (X) 30% d) ( ) 40% Resolução: 60.000 ENTER 18.000 %T Resposta no visor: 30,00 (ou seja, 30%) Comentário: a calculadora considera o valor de R$ 60.000,00 como sendo o 100% e verifica quanto o valor de 18.000,00 representa em relação aos R$ 60.000,00 em percentual. 10 Qual a data e qual dia da semana que será 1058 dias após o dia 10/06/2022? a) (X) 03.05.2025 6 (sábado). b) ( ) 10.10.2024 7 (domingo). c) ( ) 18.08.2028 1 (segunda-feira). d) ( ) 23.02.2026 3 (quarta-feira). Resolução: 10.062022 ENTER 1058 g DATE Resposta no visor: 03.05.2025 6 (ou seja, 3 de maio de 2025, sábado) 11 MATEMÁTICA FINANCEIRA 11 Se hoje é dia 22/05/2022, qual a data e qual dia da semana foi 200 dias antes de 22/05/2022? a) ( ) 28.04.2020 2 (terça-feira). b) (X) 03.11.2021 3 (quarta-feira). c) ( ) 12.02.2022 5 (sexta-feira). d) ( ) 09.09.2021 4 (quinta-feira). Resolução: 22.052022 ENTER 200 CHS g DATE Resposta no visor: 03.11.2021 3 (ou seja, 3 de novembro de 2021, quarta-feira). Número de dias entre datas 12 Calcule número de dias exatos entre 22/04/1600 e 01/08/2022. De- pois, calcule o número de dias com base calendário comercial, ou seja, com mês de 30 dias, entre 22/04/1500 e 01/08/2022. a) (X) 154.233 dias exatos e 152.019 dias no calendário comercial. b) ( ) 44.350 dias exatos e 44.210 dias no calendário comercial. c) ( ) 133.831 dias exatos e 130.903 dias no calendário comercial. d) ( ) 88.591 dias exatos e 88.037 dias no calendário comercial. Resolução: 22.041600 ENTER 01.082022 g ∆DYS Resposta no visor: 154.233 (número exato de dias). x><y Resposta no visor: 152.019 (número de dias baseado no calendário comercial). 13 Calcule o número de dias exatos entre 15/05/2022 e 11/12/2022. Depois, calcule o número de dias com base calendário comercial, ou seja, com mês de 30 dias, entre 22/04/1500 e 01/08/2022. a) ( ) 267 dias exatos e 255 dias no calendário comercial. b) ( ) 190 dias exatos e 177 dias no calendário comercial. 12 MATEMÁTICA FINANCEIRA TÓPICO 4 1 Mesmo considerando que a financeira seja uma disciplina da área de ciências exatas, é comum ela depender bastante da interpretação do leitor. Nesses termos, é importante que o leitor, ao realizar a leitura dos dados apresentados pela questão, realize a leitura e a interpretação para que seus dados sejam extraídos e trabalhados de forma correta. Dessa forma, a literatura apresenta um método de resolução de exercícios que envolve, essencialmente, quatro etapas. Sobre as etapas do método de resolução de exercícios, assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) Planejamento – execução - análise – feedback. b) (X) Coleta de dados – Terminologia – Diagrama – Cálculo. c) ( ) Pesquisa – tabulação – análise – execução. d) ( ) Controle – Gráfico – flexibilidade – métrica. 2 Capitalização refere-se ao processo de integração do juro ao capital que o gerou. Com base no sistema de capitalização simples e composto, quando a capitalização de juros simples será igual a capitalização de juros compostos? a) ( ) Quando o período de capitalização for negativo. b) ( ) Quando o período de capitalização for maior que 1. c) ( ) 322 dias exatos e 317 dias no calendário comercial. d) (X) 210 dias exatos e 206 dias no calendário comercial. Resolução: g D.MY 15.052022 ENTER 11.122022 g ∆DYS Resposta no visor: 210 (número exato de dias) x><y Resposta no visor: 206 (número de dias baseado no calendário comercial. 13 MATEMÁTICA FINANCEIRA c) (X) Quando o período de capitalização for igual a 1. d) ( ) Quando o período de capitalização for menor que 1. 3 O sistema de capitalização é que irá definir a forma de acúmulo dos juros. O sistema de capitalização apresenta dois tipos: sistema de capitalização simples e o sistema de capitalização composto. De acordo com os princípios do sistema de capitalização, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Capitalização refere-se ao processo de integração do juro ao capital que o gerou. ( ) O capital refere-se ao valor expresso na moeda corrente de uma determinado país e disponível para operações financeira denominada capital. ( ) Juros nada mais é do que a remuneração do capital. ( ) No sistema de capitalização composto, o juro incide somente sobre o capital inicial. ( ) No sistema de juros simples, os juros incidem sobre o capital mais o juro acumulado anteriormente. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) F – V – F – V – F. b) ( ) V – F – V – F – V. c) ( ) F – V – V – V – V. d) (X) V – V – V – F – F. 4 No sistema de capitalização simples, o juro incide somente sobre o capital inicial. Conceitue regime de juros simples. R.: O regime de juros simples refere ao sistema no qual a taxa de juros incide apenas sobre o valor principal, de forma que não há incidência de juros sobre os juros gerados a cada período. Em outras palavras, em um dado período, o cálculo dos juros incide sobre o valor inicial e nunca sobre o montante, que é o valor derivado soma dos juros mais capital inicial. 14 MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 No sistema de juros compostos, os juros incidem sobre o capital mais o juro acumulado anteriormente. Conceitue regime de juros compostos. R.: No regime de capitalização composto, o valor futuro é calculado sobre o capital do período anterior e não sobre o valor do capital inicial. O juro composto também pode ser chamado de juro sobre juro, ou seja, é a o resultado obtido após a incidênciados juros que serve de base para o cálculo do período seguinte. UNIDADE 2 TÓPICO 1 1 Normalmente, juros simples têm sua utilidade no curtíssimo prazo. O cálculo de juros simples apresenta basicamente três passos: igualar os períodos; transformar a taxa de percentual para decimal: calcular pela fórmula. Conceitue taxa proporcional. R.: Taxa proporcional, também chamada de taxa linear, refere-se às taxas nominais de acordo com uma fração do tempo ao qual elas se referem. Para realizar seu cálculo, basta dividir a taxa nominal de juros pela fração do tempo que se quer calcular. 2 Juros simples referem-se aos juros que são calculados sobre capital inicial, ou seja, em juros simples não existe juros sobre juros, dessa forma, o capital cresce de forma linear. A taxas podem ser apresentadas em diferentes períodos apresentado diferentes simbologia para representar cada um dos períodos. Qual a simbologia de cada período? R.: As simbologias são: - taxa ao ano, simbolizada por a.a.; - taxa ao semestre, simbolizada por a.s.; - taxa ao quadrimestre, simbolizada por a.q.; 15 MATEMÁTICA FINANCEIRA - taxa ao trimestre, simbolizada por a.t.; - taxa ao mês, simbolizada por a.m.; - taxa ao dia, simbolizada por a.d. 3 Uma característica importante de juros simples que é ele pode ser convertido para qualquer outro prazo com a simples base de multiplicação ou divisões, sem prejudicar seu valor intrínseco, mantendo a sua proporcionalidade. Quais são os diferentes tempos e sua relação com anos, semestres, quadrimestre, trimestre, bimestres, mês e dias? R.: - 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 6 bimestres = 12 meses = 360 dias - 1 semestre = 2 trimestres = 3 bimestres = 6 meses = 180 dias - 1 quadrimestre = 2 bimestres = 4 meses = 120 dias - 1 trimestre = 3 meses = 90 dias - 1 bimestre = 2 meses = 30 dias - 1 mês = 30 dias 4 As taxas proporcionais são taxas de juros que se baseiam nas quantidades de bens e serviços adquiridos. Normalmente, a proporção é uma porcentagem fixa aplicada ao preço de compra dos itens adquiridos pelos compradores. Qual a taxa proporcional de 6% a.s. para ao trimestre? a) (X) 1,5% a.m. b) ( ) 2,7% a.m. c) ( ) 1,0% a.m. d) ( ) 0,5% a.m. Resolução: 18 / 12 = 1,5 (ou seja 1,5% a.m.) Se temos uma taxa de 6% ao semestre e queremos saber o quanto ela representa a cada trimestre, basta dividir 6 por 2 e chegaremos a 3% de juros ao trimestre. O 2 representa a quantidade de trimestre que tem em um semestre, dessa forma, para descobrir a taxa de ao trimestre, basta dividir taxa de semestre por 2. 16 MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 A ideia por trás de uma taxa proporcional é estabelecer um padrão que se aplique a qualquer situação. Isso evita a necessidade de reconhecer e analisar uma ampla gama de variáveis, uma tarefa que pode consumir muito tempo e complicar significativamente o processo contábil. Qual a taxa proporcional de 6% a.a. para ao quadrimestre? a) ( ) 4,0% a.q. b) ( ) 3,0% a.q. c) (X) 2,0% a.q. d) ( ) 1,0% a.q. Resolução: 6 / 3 = 2 (ou seja 2% a.q.) Se temos uma taxa de 6% ao ano e queremos saber o quanto ela repre- senta a cada quadrimestre, basta dividir 6 por 3 e chegaremos a 2% de juros ao quadrimestre. O 3 representa a quantidade de quadrimestre que tem em um ano, dessa forma, para descobrir a taxa de ao quadri- mestre, basta dividir taxa de ano por 3. 6 A taxa proporcional, também chamada de taxa linear, refere-se às taxas nominais de acordo com uma fração do tempo à qual elas correspondem. Para realizar seu cálculo, basta dividir a taxa nominal de juros pela fração do tempo que se quer calcular. Qual a taxa proporcional de 30% a.t. para ao mês? a) (X) 10,0% a.m. b) ( ) 1,0% a.m. c) ( ) 15,0% a.m. d) ( ) 3,0% a.m. Resolução: 30 / 3 = 10 (ou seja 10% a.m.) Se temos uma taxa de 30% ao trimestre e queremos saber o quanto ela representa ao mês, basta dividir 30 por 3 e chegaremos a 10% de juros ao quadrimestre. O 3 representa a quantidade de meses que tem em um trimestre, dessa forma, para descobrir a taxa de ao mês, basta dividir taxa de trimestre por 3. 17 MATEMÁTICA FINANCEIRA 7 Com uma taxa proporcional, os juros aplicados permanecem os mesmos, mesmo quando outros fatores mudam. Qual a taxa proporcional de 11% a.b. para ao semestre? a) ( ) 15,0% a.s. b) ( ) 22,0% a.s. c) ( ) 30,0% a.s. d) (X) 33,0% a.s. Resolução: 11 * 3 = 33 (ou seja 33% a.s.) Se temos uma taxa de 11% ao bimestre e queremos saber o quanto ela representa ao semestre, basta multiplicar 11 por 3 e chegaremos a 33% de juros ao semestre. O 3 representa a quantidade de bimestre que tem em um semestre, dessa forma, para descobrir a taxa ao semestre, basta multiplicar taxa de bimestre por 4. 8 A taxa proporcional é diferente de outras formas de classificação, como as abordagens progressivas e regressivas que podem levar a uma mudança na taxa real com base em fatores relevantes. Qual a taxa proporcional de 0,2% a.d. para ao mês? Assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) 8,0% a.m. b) (X) 6,0% a.m. c) ( ) 3,0% a.m. d) ( ) 2,0% a.m. Resolução: 0,2 * 30 = 6 (ou seja 6% a.m.) Se temos uma taxa de 0,2% ao dia e queremos saber o quanto ela representa ao mês, basta multiplicar 0,2 por 30 e chegaremos a 6% de juros ao mês. O 30 representa a quantidade de dias (no calendário comercia) que tem em um mês, dessa forma, para descobrir a taxa ao mês, basta multiplicar taxa de dia por 30. 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA TÓPICO 2 1 Um investido precisa de um empréstimo para começar mais uma empresa e pediu R$ 5.000,00 emprestados por 180 dias. O banco empresta o dinheiro a juros simples ordinários de 12% a.a. Qual é o valor dos juros acumulados que ele deverá após 180 dias? a) (X) R$ 300,00. b) ( ) R$ 230,00. c) ( ) R$ 450,00. d) ( ) R$ 390,00. Resolução pela fórmula: Primeiro, igualar os períodos Optamos em igualar todos os períodos ao ano. A taxa já está ao ano, basta apenas transformar o tempo que está em dia para ano. Para isso, basta dividir tempo por 360, pois um ano tem 360 dias no calendário comercial. 180 / 360 = 0,5 Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal Para tanto, basta dividir a taxa por 100. 12 / 100 = 0,012 Terceiro, basta calcular pela fórmula J = C * i * n J = 5.000 * 0,12 * 0,5 J = 300,00 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 300,00) Resolução pela HP12C 180 n 12 i 5.000 CHS PV f INT = 300,00 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 300,00) 19 MATEMÁTICA FINANCEIRA 2 Tomou-se emprestada uma quantia de R$ 34.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 6% ao ano. Qual o valor dos juros simples ordinário a ser pago? a) ( ) R$ 7,530,00. b) ( ) R$ 3,390,00. c) ( ) R$ 5,620,00. d) (X) R$ 4,080,00. Resolução pela fórmula Primeiro, igualar os períodos Como a taxa e o tempo estão em ano, ou seja, no mesmo período, não precisa ajustar. Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal Para tanto, basta dividir a taxa por 100. 6 / 100 = 0,06 Terceiro, calcular pela fórmula J = C * i * n J = 34.000 * 0,06 * 2 J = 4.080,00 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 4,080,00) Resolução pela HP12C Ajuste do tempo: taxa sempre em ano; tempo sempre em dias 2 anos * 360 = 720 Cálculo na HP12C 720 n 6 i 34.000 CHS PV f INT = 4.080,00 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 4,080,00) 3 Mario realizou uma aplicação de R$ 43.000,00 a uma taxa de 0,9% ao mês em juros simples ordinário e gerou juros de R$ 5.000,00. Sabendo essas informações, calcule por quantos meses o capital ficou aplicado. 20 MATEMÁTICA FINANCEIRA a) ( ) 6,59 meses. b) ( ) 8,34 meses. c) ( ) 10,11 meses. d) (X) 12,92 meses. Resolução pela fórmula Primeiro, igualar os períodos Como a taxa está ao mês e a questão está pedindo o tempo ao mês, não precisa ajustar. Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal Para tanto, basta dividir a taxapor 100. 0,9 / 100 = 0,009 Terceiro, calcular pela fórmula J = C * i * n 5.000 = 43.000 * 0,009 * n 5.000 = 387 * n 5.000 / 387 = n n = 12,92 (ou seja 12,92 meses) Resolução pela HP12C A calculadora HP12C só apresenta uma programação para cálculos de juros simples quando se procura identificar a taxa ou o montante (valor futuro), para identificar a taxa ou o tempo, só é possível identificar via fórmula. 4 Considerando que um capital de R$ 39.000,00 é aplicado durante 44 meses e produz juros ordinário de R$ 3.000,00. Tendo conhecimento desses dados, calcule a taxa mensal dessa aplicação. a) ( ) 0,11% a.m. b) (X) 0,17% a.m. c) ( ) 0,48% a.m. d) ( ) 0,9% a.m. 21 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução pela fórmula Primeiro, igualar os períodos Como a taxa está ao mês e o enunciado da questão está pedindo o tempo ao mês, não precisa ajustar. Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal Para tanto, basta dividir a taxa por 100. A questão está justamente pedindo a taxa. Lembre-se de que, quando se busca a taxa como resposta, é preciso multiplicar o resultado encontrado por 100, isso ocorre porque a fórmula como padrão usa a taxa em números decimais e, ao multiplicar por 100, a taxa é transformada em percentual. Terceiro, calcular pela fórmula J = C * i * n 3.000 = 39.000 * i * 44 3.000 = 1.716.000 * i 3.000 / 1.716.000 = i i = 0,001748252 (em decimais) i = 0,001748252 * 100 i = 0,1748252 (em percentual ou seja 0,1748252% a.m.) Resolução pela HP12C A calculadora HP12C só apresenta uma programação para cálculos de juros simples quando se procura identificar a taxa ou o montante (valor futuro), para identificar a taxa ou o tempo, só é possível identificar via fórmula. 5 Um capital foi aplicado durante 120 meses e a uma taxa de 18% ao ano. Sabendo que os juros simples ordinário do período foram R$ 6.000,00, calcule o capital inicialmente aplicado. a) (X) R$ 3.333,33. b) ( ) R$ 5.500,10. c) ( ) R$ 7,616,16. d) ( ) R$ 9.000,00. 22 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução pela fórmula Primeiro, igualar os períodos Optamos em igualar todos os períodos ao mês. O tempo já está ao mês, basta transformar a taxa que está em ano para mês. Para isso, basta dividir a taxa por 12, pois um ano tem 12 meses. 18 / 12 = 1,5% a.a. Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal Para tanto, basta dividir a taxa por 100. 1,5 / 100 = 0,015 Terceiro, calcular pela fórmula J = C * i * n 6.000 = C * 0,015 * 120 6.000 = C * 1,8 C = 6.000 / 1,8 C = 3.333,33 (ou seja, R$ 3.333,33) Resolução pela HP12C A calculadora HP12C só apresenta uma programação para cálculos de juros simples quando se procura identificar a taxa ou o montante (valor futuro), para identificar a taxa ou o tempo, só é possível iden- tificar via fórmula. Autoatividade juros exatos e montante com base nos juros exatos 6 Tomou-se emprestada uma quantia de R$ 30.000,00 pelo prazo de 7 anos e à taxa de juros exatos de 17% ao ano. Qual o valor do juro simples exato a ser pago e qual o valor do montante com base nos juros exatos? a) ( ) Juros exatos: R$ 20.300,00; Montante: R$ 50.300,00 b) (X) Juros exatos: R$ 35.700,00; Montante: R$ 65.700,00 c) ( ) Juros exatos: R$ 42.400,00; Montante: R$ 72.400,00 d) ( ) Juros exatos: R$ 51.200,00; Montante: R$ 81.200,00 23 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução pela fórmula Primeiro, igualar os períodos. Para cálculos de juros simples exatos, tanto no cálculo pela fórmula como no cálculo na HP12C, SEMPRE deve deixar a taxa em ano e o tempo em dia. A taxa de 17% já foi informada em ano 7 anos * 365 dias = 2.555 dias Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal. Para tanto, basta dividir a taxa por 100. 17 / 100 = 0,17 Terceiro, calcular pela fórmula J = (C * i * n) / 365 J = (30.000 * 0,17 * 2.555) / 365 J = 13.030.500 / 365 J = 35.700 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 35.700,00) M = C + J M = 30.000 + 35.700 M = 65.700 (ou seja, montante de R$ 65.700,00) Resolução pela HP12C Ajuste do tempo: taxa sempre em ano; tempo sempre em dias 7 anos * 365 = 2.555 dias >> Cálculo na HP12C 2.555 n 17 i 30.000 CHS PV f INT R↓ X><Y = 35.700 (ou seja, o valor dos juros exatos acumulados é R$ 35.700,00) + 65.700 (ou seja, montante de R$ 65.700,00) ** ** Observação: Aperte + para calcular o total do principal mais os ju- ros acumulados exibidos no mostrador. 24 MATEMÁTICA FINANCEIRA 7 Tomou-se emprestada uma quantia de R$ 13.000,00 pelo prazo de 500 dias e à taxa de juros exatos de 6% ao ano. Qual o valor dos juros simples exatos a serem pagos e qual o valor do montante com base nos juros exatos? a) ( ) Juros exatos: R$ 800,00; Montante: R$ 13.800,00. b) ( ) Juros exatos: R$ 1.120.32; Montante: R$ 14.068,49. c) (X) Juros exatos: R$ 1.068,49; Montante: R$ 14.068,49. d) ( ) Juros exatos: R$ 1.120.32; Montante: R$ 2.560,00. Resolução pela fórmula Primeiro, igualar os períodos Para cálculos de juros simples exatos, tanto no cálculo pela fórmula como no cálculo na HP12C, SEMPRE deve deixar a taxa em ano e o tempo em dia. O enunciado já apresentou os dados neste período. Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal Para tanto, basta dividir a taxa por 100. 6 / 100 = 0,06 Terceiro, calcular pela fórmula J = (C * i * n) / 365 J = (13.000 * 0,06 * 500) / 365 J = 390.000 / 365 J = 1.068,49 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 1.068,49) M = C + J M = 13.000 + 1.068,49 M = 14.068,49 (ou seja, montante de R$ 14.068,49) Resolução pela HP12C Ajuste do tempo: taxa sempre em ano; tempo sempre em dias 500 dias >> Cálculo na HP12C 500 n 6 i 13.000 CHS PV 25 MATEMÁTICA FINANCEIRA f INT R↓ X><Y = 1.068,49 (ou seja, o valor dos juros exatos acumulados é R$ 1.068,49) + 14.068,49 (ou seja, montante de R$ 14.068,49) ** ** Observação: Aperte + para calcular o total do principal mais os ju- ros acumulados exibidos no mostrador. 8 O valor do empréstimo deve ser devolvido pela pessoa às autoridades no prazo com um valor extra, que geralmente é o juro que você paga pelo empréstimo. Disserte sobre a diferença de juros ordinário e juros exatos. R.: Em juros simples, trabalhamos com dois tipos de juros, o juro ordinário e o juro exato. O juro ordinário utiliza o calendário comercial onde todos os anos têm 360 dias e todos os meses têm 30 dias. Já o juro exato utiliza o calendário civil, onde o ano tem 365 ou 366 dias, quando for ano bissexto. 9 Quando investimos nosso dinheiro em qualquer banco, o banco nos fornece juros sobre o nosso valor. Os juros aplicados pelos bancos são de vários tipos, um deles é o juro simples. Disserte sobre o conceito de juros simples. R. Juros simples é um método rápido e fácil de calcular juros sobre o dinheiro, no método de juros simples, os juros sempre se aplicam ao valor do principal original, com a mesma taxa de juros para cada ciclo de tempo. TÓPICO 3 1 A matemática financeira faz parte da sua vida. Quanto maior for a compreensão de seus conceitos, melhor será o entendimento das possíveis oscilações nas finanças. Na prática, esses conceitos serão incorporados a uma série de fórmulas que, por sua vez, vão servir como poderosos instrumentos para a obtenção de informações estratégicas. Conceitue montante. 26 MATEMÁTICA FINANCEIRA R.: O montante, também chamado de valor total, é a soma do valor principal mais juros acumulados. O montante refere-se à soma do capital (valor presente) mais os juros referentes ao período de capitalização. 2 Qual o montante, de uma aplicação de R$ 85.000,00, durante 80 meses à taxa de 15% ao ano em juros simples ordinário? a) ( ) R$ 100.000,00. b) ( ) R$ 140.000,00. c) (X) R$ 170.000,00. d) ( ) R$ 190.000,00. Resolução pela fórmula Primeiro, igualar os períodos Optamos em igualar todos os períodos ao mês. O tempo já está ao mês, basta transformar a taxa que está em ano para mês. Para isso, basta dividir a taxa por 12, pois um ano tem 12 meses. 15 / 12 = 1,25% a.m. Segundo,transformar a taxa de percentual para decimal dividindo a taxa por 100 1,25 / 100 = 0,0125 Terceiro, calcular pela fórmula: M = C * (1 + i * n) M = 85.000 * (1 + 0,0125 * 80) M = 85.000 * (1 + 1) M = 85.000 * 2 M = 170.000 (ou seja, R$ 170.000,00) Resolução pela HP12C Ajuste do tempo 80 meses * 30 dias = 2.400 (multiplica 80 meses por 30 dias que tem um mês no calendário comercial). >> Cálculo na HP12C 2.400 n 15 i 27 MATEMÁTICA FINANCEIRA 85.000 CHS PV f INT = 85.000 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 85.000,00). + ** = 170.000 (ou seja, o valor do montante é R$ 170.000,00). ** Observação: Aperte + para calcular o total do principal mais os juros acumulados exibidos no mostrador. 3 Determine qual é o capital inicial necessário para obter um montante de R$ 27.000,00, em um período de 500 dias, a uma taxa de 1,7% ao mês, no regime de juros simples ordinário. a) (X) R$ 21.038,96. b) ( ) R$ 33.560,10. c) ( ) R$ 18.204,31. d) ( ) R$ 40.790,53. Resolução pela fórmula Primeiro, igualar os períodos. Optamos em igualar todos os períodos ao mês. A taxa já está em meses, basta transformar o tempo que está em dias para meses. Para isso, basta dividir o tempo por 30, pois um ano comercial o mês tem 30 dias. 500 / 30 = 16,666666667 (ou seja, 16,666666667 meses) Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal dividindo a taxa por 100 1,7 / 100 = 0,017 (1,7% dividido por 100 igual a 0,017 decimais). Terceiro, calcular pela fórmula M = C * (1 + i * n) 27.000 = C * (1 + 0,017 * 16,666666667) 27.000 = C * (1 + 0,283333333) 27.000 = C * (1,283333333) 27.000 / 1,283333333 = C C = 21.038,96 (ou seja, capital de R$ 21.038,96) 28 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução pela HP12C A calculadora HP12C só apresenta uma programação para cálculos de juros simples quando se procura identificar a taxa ou o montante (valor futuro), para identificar a taxa ou o tempo, só é possível identificar via fórmula. 4 Por quantos meses deve ser aplicado o capital de R$ 68.000,00 a uma taxa de juros ordinário de 19,4% ao ano para obter um mon- tante de R$ 200.000,00? a) ( ) 30 meses. b) ( ) 60 meses. c) ( ) 90 meses. d) (X) 120 meses. Resolução Primeiro, igualar os períodos Optamos em igualar todos os períodos ao mês, pois a questão pede a resposta em meses. Basta apenas transformar a taxa que está em anos para meses. Para isso, é preciso dividir a taxa por 12, pois um ano tem 12 meses. 19,4 / 12 = 1,616666667 (ou seja, 1,616666667% a.m.) Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal dividindo a taxa por 100 1,616666667 / 100 = 0,016166667 Terceiro, calcular pela fórmula M = C * (1 + i * n) 200.000 = 68.000 * (1 + 0,016166667 * n) 200.000 / 68.000 = (1 + 0,016166667 * n) 2,941176471 = 1 + 0,016166667 * n 2,941176471 - 1 = 0,016166667 * n 1,941176471 = 0,016166667 * n 1,941176471 / 0,016166667 = n n = 120,07 (ou seja, 120 meses) 29 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução pela HP12C A calculadora HP12C só apresenta uma programação para cálculos de juros simples quando se procura identificar a taxa ou o montante (valor futuro), para identificar a taxa ou o tempo, só é possível identificar via fórmula. 5 Calcule a taxa de juros mensal ordinário, que deve ser aplicado um capital de R$ 10.000,00, durante 18 meses, para obter um montante de R$ 20.000,00. a) ( ) 7,80% a.m. b) ( ) 4,29% a.m. c) (X) 5,56% a.m. d) ( ) 11,13% a.m. Resolução pela fórmula Primeiro, igualar os períodos Como o exercício pede a taxa em meses e o tempo já está em meses, não é preciso fazer ajustes no período. Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal dividindo a taxa por 100 A questão está justamente pedindo a taxa. Lembre-se de que, quando se busca a taxa como resposta, é preciso multiplicar o resultado encontrado por 100, isso ocorre porque a fórmula como padrão usa a taxa em números decimais e, ao multiplicar por 100, a taxa é transformada em percentual. Terceiro, calcular pela fórmula M = C * (1 + i * n) 20000 = 10.000 * (1 + i * 18) 20000 / 10.000 = (1 + i * 18) 2 = 1 + i * 18 2 - 1 = i * 18 1 = i * 18 1 / 18 = i 30 MATEMÁTICA FINANCEIRA i = 0,055555556 (em decimais) i = 0,055555556 * 100 i = 5,555555556 (em percentual ou seja 5,555555556% a.m.) Resolução pela HP12C A calculadora HP12C só apresenta uma programação para cálculos de juros simples quando se procura identificar a taxa ou o montante (valor futuro). Para identificar a taxa ou o tempo, só é possível identificar via fórmula. 6 Um investidor precisa de um empréstimo para conectar mais uma empresa e pediu R$ 5.000,00 emprestados por 180 dias. O banco empresta o dinheiro a juros simples ordinário de 12% a.a. Qual é o valor do montante que ele deverá após 180 dias? a) (X) R$ 5.300,00. b) ( ) R$ 5.230,00. c) ( ) R$ 5.450,00. d) ( ) R$ 5.390,00. Resolução Pela fórmula: Primeiro, igualar os períodos Optamos em igualar todos os períodos ao ano. A taxa já está ao ano, basta apenas transformar o tempo que está em dia para ano. Para isso, basta dividir tempo por 360, pois um ano tem 360 dias no calendário comercial. 180 / 360 = 0,5 Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal Para tanto, basta dividir a taxa por 100. 12 / 100 = 0,012 Terceiro, basta calcular pela fórmula M = C * (1 + i * n) M = 5.000 * (1 + 0,12 * 0,5) M = 5.000 * (1 + 0,06) M = 5.000 * 1,06 = 5.300,00 (ou seja, o montante é de R$ 5.300,00) 31 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução pela HP12C 180 n 12 i 5.000 CHS PV f INT = 300 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 300,00). + ** = 5.300,00 (ou seja, o montante é de R$ 5.300,00) ** Observação: Aperte + para calcular o total do principal mais os juros acumulados exibidos no mostrador. 7 Tomou-se emprestada uma quantia de R$ 34.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de juros simples ordinário de 6% ao ano. Qual o valor do montante a ser pago? a) ( ) R$ 40,530,00 b) ( ) R$ 37,390,00.. c) ( ) R$ 39,620,00. d) (X) R$ 38,080,00. Resolução pela fórmula Primeiro, igualar os períodos Como a taxa e o tempo estão em ano, ou seja, no mesmo período, não precisa ajustar. Segundo, transformar a taxa de percentual para decimal Para tanto, basta dividir a taxa por 100. 6 / 100 = 0,06 Terceiro, calcular pela fórmula J = C * i * n J = 34.000 * 0,06 * 2 J = 4.080,00 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 4,080,00) Resolução pela HP12C Ajuste do tempo: taxa sempre em ano; tempo sempre em dias 2 anos * 360 = 720 32 MATEMÁTICA FINANCEIRA >> Cálculo na HP12C 720 n 6 i 34.000 CHS PV f INT = 4.080 (ou seja, o valor dos juros acumulados é R$ 4.080,00). + ** = 38.080,00 (ou seja, um montante de R$ 38.080,00) ** Observação: Aperte + para calcular o total do principal mais os juros acumulados exibidos no mostrador. 8 O montante, também chamado de valor total, é a soma do valor principal mais juros acumulados. O montante refere-se à soma do capital (valor presente) mais os juros referentes ao período de capitalização. Disserte sobre montante. R.: O montante refere-se ao capital envolvido em uma operação financeira, somado ao juro, ou seja, representa o valor total de uma dívida ou valor futuro. É possível obter o valor do montante calculado juros simples, o período de capitalização a período de capitalização e incorporando-o ao capital inicial para o próximo período. 9 Quando se tratar de juros simples, na HP12C só é possível calcu- lar os juros e o montante. A taxa, o tempo e o valor presente (VP) não possuem uma programação na HP12C, para esses cálculos você terá que utilizar as fórmulas. R.: As fórmulas para cálculos do montante são basicamente duas. A primeira fórmula é “M = C + J”, onde: M = Montante; C = Capital; e J = Juros. A segunda formula é “M = C * (1 + i * n)”. 33 MATEMÁTICA FINANCEIRA TÓPICO 4 1 A prática demonstra que a operação de desconto é feita apenas em cima de títulos de crédito, que por sua vez, representam soma líquida e certa, portanto de fácil recuperaçãoao banco. De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em simples e composto, envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e exponencial no caso do desconto composto. Conceitue o termo desconto. R.: O desconto acontece quando o possuidor de um título (de valor nominal N) resgata-o antes do vencimento em um agente financeiro. 2 Os Títulos Bancários são uma modalidade de investimento em Renda Fixa, que como o nome já sugere, são emitidos por bancos. Sendo assim, os bancos captam recursos provenientes de empréstimos realizados por investidores, ou seja, a instituição financeira recolhe o dinheiro aplicado para oferecer a outras pessoas, que são os seus credores. Quais são os títulos mais comum que costumam sofrer operações de desconto? R.: Os títulos mais comuns que costumam sofrer operações de desconto são: Nota promissória; Letras de câmbio; Duplicatas; e Cheques pré-datados. 3 Uma empresa emitiu uma duplicata com valor nominal de R$ 20.000,00 e com vencimento para 25 de março de 2023. Porém, no dia 12 de setembro de 2022, efetuou uma operação de desconto do título. A instituição financeira aplicou uma taxa de 2% ao mês de desconto bancário. Tendo conhecimento destas informações, de- termine o valor do desconto e determine qual valor líquido (VL). a) ( ) Desconto: R$ 791,33; valor líquido: R$ 19.208,67. b) ( ) Desconto: R$ 1.344,10; valor líquido: R$18.655,90. c) (X) Desconto: R$ 2.586,67; valor líquido: R$17.413,33. d) ( ) Desconto: R$ 3.103,30; valor líquido: R$ 16.896,70. 34 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução pela fórmula Cálculos dos dias que o título foi antecipado Para resolução desta exercícios, teremos que calcular a quantidade de dias que o título foi antecipado. Para tanto, será necessário calcular a quantidade de dias exatos entre duas datas. g D.MY 12.092022 ENTER 25.032023 g ∆DYS Resposta no visor: 194 (ou seja, exatos 194 dias) Conversão da taxa Como o tempo está em dias, é preciso converter a taxa que está em meses para dias. 2 / 30 = 0,0666666666667 (ou seja 0,0666666666667%) * * (dividimos a taxa de 2% por 30 dias que tem um mês no calendário comercial) Transformar a taxa de percentual para decimal Para tanto, basta dividir a taxa por 100. 0,0666666666667 / 100 = 0,000666666666667 Cálculo do desconto comercial Agora que já identificamos a quantidade de dias que foi antecipado o título e transformamos a taxa, basta calcular o desconto. d = N * i * n d = 20.000 * 0,000666666666667 * 194 d = 2.586,67 (ou seja, R$ 2.586,67). Antecipando o título em 194 dias, obtemos um desconto de R$ 2.586,67) VL = N – d VL = 20.000 – 2.586,67 VL = 17.413,33 (ou seja, valor líquido (VL) de R$ 17.413,33) Resolução pela HP12C Primeiro precisamos converter a taxa para ano. Lembre-se: para cálculos de juros simples na HP12C, SEMPRE deve deixar a taxa em ano e o tempo em dia. 35 MATEMÁTICA FINANCEIRA 2%a.m * 12 (meses) = 24% a.a. 194 n 24 i 20.000 CHS PV f INT = 2.586,67 (ou seja, o valor do desconto acumulados é R$ 2.586,67) - ** = 17.413,33 (ou seja, valor líquido (VL) de R$ 17.413,33) ** Observação: Aperte - para calcular o valor líquido, ou seja, o valor nominal (N) menos os descontos acumulados exibidos no mostrador. 4 Um título com valor nominal de R$ 6.000,00 foi descontado em uma instituição financeira, faltando 96 dias para o seu vencimento. Sabendo que a taxa de desconto bancário ou comercial foi 30% ao ano, calcule o valor do desconto e determine qual valor líquido (VL). a) (X) Desconto: R$ 480,00; valor líquido: R$ 5.520,00. b) ( ) Desconto: R$ 720,00; valor líquido: R$ 5.280,00. c) ( ) Desconto: R$ 1.520,00; valor líquido: R$ 4.480,00. d) ( ) Desconto: R$ 1.906,00; valor líquido: R$ 4.094,00. Resolução pela fórmula Cálculos dos dias que o título foi antecipado O enunciado do exercício já forneceu que são 96 dias Conversão da taxa Como o tempo está em dias, é preciso converter a taxa que está em anos para dias. 30 / 360 = 0,08333333 (ou seja 0,08333333%) * * (dividimos a taxa de 30% por 360 dias que tem um ano no calendário comercial) Transformar a taxa de percentual para decimal Para tanto, basta dividir a taxa por 100. 0,08333333 / 100 = 0,0008333333 36 MATEMÁTICA FINANCEIRA d = N * i * n d = 6.0000 * 0,0008333333 * 96 d = 480,00 VL = N – d VL = 6.000 – 480 VL = 5.520,00 (ou seja, valor líquido (VL) de R$ 5.520,00) Resolução pela HP12C Como a taxa já está em ano e tempo já foi apresentado no enunciado da questão e está em dias, basta apenas realizar o cálculo. 96 n 30 i 6.000 CHS PV f INT = 480 (ou seja, o valor do desconto acumulados é R$ 480,00) - ** = 5.520,00 (ou seja, valor líquido (VL) de R$ 5.520,00) ** Observação: Aperte - para calcular o valor líquido, ou seja, o valor nominal (N) menos os descontos acumulados exibidos no mostrador. 5 Uma empresa emitiu uma duplicata com vencimento daqui a 300 dias. No entanto, hoje, a empresa deseja descontar o título em uma instituição financeira, que cobra uma taxa de 0,5% a.m. de desconto bancário ou comercial, cobrando um desconto de R$2.000,00. Sabendo essas informações, calcule o valor nominal da duplicata. a) ( ) R$ 15.000,00. b) ( ) R$ 18.000,00. c) (X) R$ 40.000,00. d) ( ) R$ 61.000,00. Resolução pela fórmula Cálculos dos dias que o título foi antecipado O enunciado do exercício já forneceu que são 300 dias Conversão da taxa Como o tempo está em dias, é preciso converter a taxa que está em meses para dias. 37 MATEMÁTICA FINANCEIRA 0,5 / 30 = 0,016666667 (ou seja 0,016666667%) * * (dividimos a taxa de 0,5% por 30 dias que tem um mês no calendário comercial) Transformar a taxa de percentual para decimal Para tanto, basta dividir a taxa por 100. 0,016666667 / 100 = 0,00016666667 d = N * i * n 2.000 = N * 0,00016666667 * 300 2.000 = N * 0,05 2.000 / 0,05 = N N = 40.000,00 (ou seja, R$ 40.000,00). O valor nominal da duplicata é de R$ 40.000,00 Resolução pela HP12C Quando se tratar de cálculo de desconto bancário ou comercial, na HP12C só é possível calcular os descontos. A taxa (i), o tempo (n) e o valor nominal (N) não possuem uma programação na HP12C, para esses cálculos terá que utilizar as fórmulas. 6 Uma empresa emitiu uma duplicata com o valor nominal de R$ 45.000,00 e 77 dias para o seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto foi R$ 770,00, calcule a taxa diária e qual é a taxa anual dessa operação de desconto. a) ( ) Taxa diária: 0,0111% a.d; Taxa anual: 4% a.a. b) (X) Taxa diária: 0,022% a.d; Taxa anual: 8% a.a. c) ( ) Taxa diária: 0,0361% a.d.; Taxa anual: 13% a.a. d) ( ) Taxa diária: 0,0472% a.d.; Taxa anual: 17% a.a. Resolução pela fórmula Cálculos dos dias que o título foi antecipado O enunciado do exercício já forneceu que são 77 dias d = N * i * n 770 = 45.000 * i * 77 770 = 3.465.000 * i 38 MATEMÁTICA FINANCEIRA 770 / 3.465.000 = i i = 0,00022222 (decimais) 0,00022222 * 100 = 0,022222% a.d Para obter taxa anual, basta multiplicar a taxa dia ria por 360 dias (quantidade de dais que tem um ano no calendário comercial) 0,022222 * 360 = 8% a.a (multiplicamos a taxa ao dia por 360 dias que tem um ano no calendário comercial) Resolução pela HP12C Quando se tratar de cálculo de desconto bancário ou comercial, na HP12C só é possível calcular os descontos. A taxa (i), o tempo (n) e o valor nominal (N) não possuem uma programação na HP12C, para esses cálculos terá que utilizar as fórmulas. 7 Uma empresa descontou um cheque com valor nominal de R$ 17.000,00 e o valor do desconto foi R$ 187,00. Sabendo que a taxa de desconto cobrada foi 0,02% ao dia, calcule quantos dias faltavam para o seu vencimento. a) ( ) 37 dias. b) (X) 55 dias. c) ( ) 70 dias. d) ( ) 93 dias. Resolução: Transformar a taxa de percentual para decimal. Para tanto, basta dividir a taxa por 100. 0,02 / 100 = 0,0002 d = N * i * n 187,00 = 17.000 * 0,0002 * n 187,00 = 3,4 * n 187,00 / 3,4 =n n = 55 (ou seja, 55 dias) 39 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução pela HP12C Quando se tratar de cálculo de desconto bancário ou comercial, na HP12C só é possível calcular os descontos. A taxa (i), o tempo (n) e o valor nominal (N) não possuem uma programação na HP12C, para esses cálculos terá que utilizar as fórmulas. Autoatividade sobre prazo médio 8 Calcule o prazo médio dos seguintes títulos, utilizando como peso de ponderação os valores: - Título de R$ 100,00 com prazo de 30 dias. - Título de R$ 200,00 com prazo de 60 dias. - Título de R$ 300,00 com prazo de 90 dias. Assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) 55 dias. b) ( ) 60 dias. c) ( ) 65 dias. d) (X) 70 dias. Resolução: Teclas Mostrador f Σ Zera os registros estatísticos. 30 ENTER 100 Σ+ 0 Primeiro item e peso 60 ENTER 200 Σ+ 1 Segundo item e peso 90 ENTER 300 Σ+ 2 Terceiro item e peso g 70 Ou seja, prazo médio de 70 dias 9 Calcule o prazo médio dos seguintes títulos, utilizando como peso de ponderação os valores: - Título de R$ 4.000,00 com prazo de 20 dias. - Título de R$ 13.000,00 com prazo de 77 dias. - Título de R$ 95.000,00 com prazo de 130 dias. - Título de R$ 400,00 com prazo de 210 dias. 40 MATEMÁTICA FINANCEIRA - Título de R$ 46.000,00 com prazo de 33 dias. - Título de R$ 10.000,00 com prazo de 30 dias. Assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) 47 dias. b) (X) 91 dias. c) ( ) 113 dias. d) ( ) 139 dias. Resolução: Teclas Mostrador f Σ 0 Zera os registros estatísticos. 20 ENTER 4.000 Σ+ 1 Primeiro item e peso 77 ENTER 13.000 Σ+ 2 Segundo item e peso 130 ENTER 95.000 Σ+ 3 Terceiro item e peso 210 ENTER 400 Σ+ 4 Terceiro item e peso 33 ENTER 46.000 Σ+ 5 Terceiro item e peso 30 ENTER 10.000 Σ+ 6 Terceiro item e peso g 91 Ou seja, prazo médio de 91 dias UNIDADE 3 TÓPICO 1 1 Calcule qual é a taxa semestral equivalente a uma taxa de 2% ao mês. a) ( ) 9,33% a.s. b) (X) 12,62% a.s. c) ( ) 15,10% a.s. d) ( ) 24,93% a.s. 41 MATEMÁTICA FINANCEIRA R. b ( ) 12,62% a.s. Resolução pela fórmula Ic = {(1 + i)n – 1} * 100 Ic = {(1 + 0,02)6 – 1} * 100 Ic = {(1,02)6 – 1} * 100 Ic = {1,126162419 – 1} * 100 Ic = 0,126162419 * 100 Ic = 12,6162419% ao semestre (ou seja, em juros compostos 2% ao mês é equivalente a 12,62% ao semestre). Resolução pela HP12C f REG 100 CHS PV 2 i 6 n FV 100 - No visor irá aparecer: ‘ 2 Calcule qual é a taxa bimestre equivalente a uma taxa de 10% ao semestre. a) ( ) 0,46% a.b. b) ( ) 1,34% a.b. c) (X) 3,23% a.b. d) ( ) 5,93% a.b. R. c ( ) 3,23% a.b. Resolução pela fórmula Id = {(1 + i)1/n – 1} * 100 Id = {(1 + 0,1)1/3 – 1} * 100 Id = {(1,1)0,33333333333 – 1} * 100 Id = {1,032280115 – 1} * 100 Id = 0,032280115 * 100 Id = 3,2280115% ao bimestre (ou seja, em juros compostos 10% ao semestre é equivalente a 3,23% ao bimestre). 42 MATEMÁTICA FINANCEIRA Observação: Foi utilizado o expoente 1/3, pois em um semestre tem 3 bimestres. Resolução pela HP12C f REG 100 CHS PV 10 i 3 1/x n FV 100 - . No visor irá aparecer: 3,2280115% ao bimestre (ou seja, em juros com- postos 10% ao semestre é equivalente a 3,23% ao bimestre). 3 Calcule o valor futuro (FV) que será produzido se aplicarmos o capital inicial de R$ 8.000,00 a uma taxa de 4% ao mês em Juros Compostos, durante o tempo de 5 meses. a) (X) R$ 8.733,22. b) ( ) R$ 4.190,52. c) ( ) R$ 5.945,30. d) ( ) R$ 6.274,91. R. a ( ) R$ 3.675,13 Resolução pela fórmula FV = PV * (1 + i)n FV = 8.000 * (1 + 0,04)5 FV = 8.000 * 1,216652902 FV = 9.733,22 (ou seja, o valor futuro é de R$ 9.733,22) Resolução pela HP12C f REG 8000 CHS PV 4 i 5 n FV = 9.733,22 (ou seja, o valor futuro é de R$ 9.733,22) 43 MATEMÁTICA FINANCEIRA 4 Calcule o valor futuro (FV) que será produzido se aplicarmos o valor presente (PV) de R$ 600,00 a uma taxa de 1,8% ao mês em juros compostos, durante o tempo de 1 semestre. a) ( ) R$ 679,15. b) ( ) R$ 780,31. c) ( ) R$ 961,10. d) (X) R$ 667,79. R. d ( ) R$ 667,79 Resolução Se preferir, pode usar a função capitalização e/ou descapitalização para calcular a taxa equivalente para igualar a taxa ao tempo, ou pode converter o tempo para mesmo período da taxa. Como a taxa está ao mês, optamos em transformar o tempo, que está em semestre para ao mês. O tempo de 1 semestre é igual a 6 meses (1 semestre * 6 meses = 6 meses) Resolução pela fórmula FV = PV * (1 + i)n FV = 600 * (1 + 0,018)6 FV = 600 * 1,112978226 FV = 667,79 (ou seja, o valor futuro é de R$ 667,79) Resolução pela HP12C f REG 600 CHS PV 1,8 i 6 n FV = 667,79 (ou seja, o valor futuro é de R$ 667,79) 5 Calcule o valor presente (PV) que, aplicado durante 18 meses e a uma taxa de 6% ao mês em juros compostos, produz o valor futu- ro (FV) de R$ 6.500,00. a) ( ) R$ 1.356,41. b) ( ) R$ 2.789,73. 44 MATEMÁTICA FINANCEIRA c) (X) R$ 2.277,23. d) ( ) R$ 3.738,44. R. c ( ) R$ 2.277,23 Resolução pela fórmula FV = PV • (1 + i)n 6500 = PV * (1 + 0,06)18 6500 = PV * 2,854339153 6500/ 2,854339153 = PV PV = 2.277,23 (ou seja, o valor presente é de R$ 2.277,23) Resolução pela HP12C f REG 6500 CHS FV 6 i 18 n PV = 2.277,23 (ou seja, o valor presente é de R$ 2.277,23) 6 Calcule o valor presente (PV) que, aplicado durante 120 meses, a uma taxa de 9% ao ano em juros compostos, produz o valor futuro (FV) de R$ 15.000,00. a) ( ) R$ 3.900,61. b) ( ) R$ 4.350,44. c) (X) R$ 6.336,16. d) ( ) R$ 8.520,10. R. c ( ) R$ 6.336,16 Resolução Se preferir, pode usar a função capitalização e/ou descapitalização para calcular a taxa equivalente para igualar a taxa ao tempo, ou pode converter o tempo para mesmo período da taxa. Como a taxa está ao ano, optamos em transformar o tempo, que está ao mês para ao ano. Como 1 ano tem 12 meses, então dividimos 120 meses por 12 e obtemos que 120 meses é igual a 10 anos. (120 meses / 12 meses = 10 anos) 45 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução pela fórmula FV = PV • (1 + i)n 15.000 = PV * (1 + 0,09)10 15.000 = PV * 2,36736375 15.000/ 2,36736375 = PV PV = 6.336,16 (ou seja, o valor presente é de R$ 6.336,16) Resolução pela HP12C f REG 15.000 CHS FV 9 i 10 n PV = 6.336,16 (ou seja, o valor presente é de R$ 6.336,16) 7 O valor presente de R$ 1.000,00 produziu um valor futuro de R$ 2.000,00 durante 10 meses. Calcule a taxa de aplicação mensal em juros compostos. a) (X) 7,18% a.m. b) ( ) 5,31% a.m. c) ( ) 4,56% a.m. d) ( ) 3,10% a.m. R. a ( ) 7,18% a.m. Resolução pela fórmula i = 0,071773463 * 100 i = 7,1773463 (ou seja, uma taxa de 7,18% ao mês) 46 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução pela HP12C f REG 1000 CHS PV 2000 FV 10 n i = 7,1773463 (ou seja, uma taxa de 7,18% ao mês) 8 Calcule em quantos meses um valor presente (PV) de R$ 3.000,00 produz um valor futuro (FV) de R$ 4.000,00 se a taxa de juros for 6% ao mês, em juros compostos. a) ( ) 8,32 meses b) ( ) 6,12 meses c) ( ) 2,82 meses d) (X) 4,94 meses R. d ( ) 4,94 meses Resolução pela fórmula n = 4,937145409 (ou seja, 4,94 meses) Como calcular o In() In(1,333333) = 1,333333 g LN In(1,333333) = 0,287682072 In (1,06) = 1,06 g LN In (1,06) = 0,058268908 47 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resolução pela HP12C f REG 3000 CHS PV 4000 FV 6 i n = 5,00 (ou seja, 5 meses) 9 O cálculo das taxas equivalentes é realizado quando se tem duas taxas com período de capitalização diferentes. O cálculo propor- ciona colocar a taxa no mesmo período e assim poder compará- -las. O cálculo das taxas equivalentes é realizado utilizando as fórmulas de capitalização e descapitalização. Disserte sobre o sis- tema de capitalização e de descapitalização. R. Capitalização de uma taxa refere-se ao processo realizado para identificar uma taxa equivalente a um período MAIOR em relação à taxa que temos. Por exemplo, converter uma taxa que está ao mês para ao ano. Descapitalização de uma taxa refere-se ao processo realizado para identificar uma taxa equivalente a um período MENOR em relação à taxa que temos. Por exemplo, converter uma taxa que está ao ano paraao mês. 10 O quão rentável um investimento pode ser, vai depender da inflação ou deflação acumulado no período. Tanto a inflação como a deflação são calculados sobre juros compostos, ou seja, juros sobre juros. O cálculo da inflação e da deflação são realizados por meio dos jutos compostos, proporcionando o cálculo perdas e ou ganhos ao longo do tempo. Conceitue inflação e deflação. R. A Inflação é uma medida quantitativa da rapidez com que o preço dos bens em uma economia está aumentando, podendo ser causada quando bens e serviços estão em alta demanda, criando assim uma queda na disponibilidade. A deflação ocorre quando há muitos bens disponíveis ou quando não há dinheiro suficiente circulando para comprar esses bens e, como resultado, o preço dos bens e serviços cai. 48 MATEMÁTICA FINANCEIRA TÓPICO 2 1 Um terreno que custa à vista R$ 100.000,00 pode ser adquirido em 90 prestações mensais e fixas, e a primeira prestação deve ser paga no ato do negócio. Considerando que o parcelamento foi efetuado com uma taxa de 1,5% ao mês, calcule o valor das prestações. a) ( ) R$ 2.080,34. b) (X) R$ 2.002,08. c) ( ) R$ 2.032,11. d) ( ) R$ 2.052,10. R. b ( ) R$ 2.002,08 Resolução pela fórmula 100.000 = PMT * 49,94800234 100.000/ 49,94800234 = PMT PMT => 2.002,08 (ou seja, as prestações são de R$ 2.002,08 mensais e fixas) Resolução pela HP12C Certifique-se de que o BEGIN está ativo ( g BEG) f REG 100.000 CHS PV 90 n 1,5 i PMT => 2.002,08 (ou seja, as prestações são de R$ 2.002,08 mensais e fixas). 49 MATEMÁTICA FINANCEIRA 2 Um terreno que custa à vista R$ 100.000,00 pode ser adquirido em 90 prestações mensais e fixas, e a primeira prestação deve ser paga 30 dias após o negócio. Considerando que o parcelamento foi efetuado com uma taxa de 1,5% ao mês, calcule o valor das prestações. a) ( ) R$ 2.080,34 b) ( ) R$ 2.002,08 c) (X) R$ 2.032,11 d) ( ) R$ 2.052,10 R. c ( ) R$ 2.032,11 Resolução pela fórmula 100.000 – PMT * 49,20985452 100.000/ 49,20985452 = PMT PMT => 2.032,11 (ou seja, as prestações são de R$ 2.032,11 mensais e fixas) Resolução pela HP12C Certifique-se de que o BEGIN está ativo ( g BEG) f REG 100.000 CHS PV 90 n 1,5 i PMT => 2.032,11 (ou seja, as prestações são de R$ 2.032,11 mensais e fixas). 50 MATEMÁTICA FINANCEIRA 3 Um empréstimo parcelado é um termo amplo e geral que se refere à esmagadora maioria dos empréstimos pessoais e comerciais concedidos aos mutuários. Os empréstimos parcelados incluem qualquer empréstimo que seja reembolsado com pagamentos ou prestações regulares. Os empréstimos parcelados podem ser classificados com relação à garantia de duas formas. Assinale a alternativa CORRETA sobre os dois tipos de classificação: a) (X) Garantidos – não garantidos. b) ( ) Capital próprio – capital terceiro. c) ( ) Tangível – intangível. d) ( ) Ativo – passivo. 4 Os empréstimos parcelados são flexíveis e podem ser facilmente adaptados às necessidades específicas do mutuário em termos do montante do empréstimo e do período que melhor corresponde à capacidade do mutuário de o reembolsar. Conceitue série de pagamento antecipada. R. Antecipadas: a série de pagamento antecipada ocorre quando o primeiro pagamento de uma negociação (compra) é pago no ato do negócio (compra). Antecipado é a prestação que será paga no mesmo dia da concretização de um negócio ou operação, ou seja, é chamado de forma de pagamento (1 + n), onde a negociação (compra) envolve valor de entrada iniciando o pagamento no dia do fechamento do negócio. Por exemplo, uma compra que será parcelada em 9 vezes sem que o primeiro pagamento ocorra no dia da compra (1 + 8). 5 Os empréstimos permitem que o mutuário obtenha financiamento a uma taxa de juros substancialmente mais baixa do que o normalmente disponível com financiamento de crédito rotativo, como cartões de crédito. Conceitue série de pagamento postecipada. R. Postecipada: é a série de pagamento postecipado ocorre quando o primeiro pagamento de uma negociação (compra) é realizado 30 dias após a compra. Postecipada é a prestação que será paga 30 dias após a concretização de um negócio ou operação, ou seja, é chamado de forma de pagamento (0 + n), onde a negociação (compra) não envolve 51 MATEMÁTICA FINANCEIRA valor de entrada e o início da série de pagamento ocorre após 30 dias do fechamento do negócio. Por exemplo, uma compra que será par- celada em 9 vezes sem entrada e o primeiro pagamento será daqui a 30 dias (0 + 9). TÓPICO 3 1 A amortização é uma técnica usada para reduzir periodicamente o valor de um empréstimo ou de um ativo intangível durante um determinado período. No caso de um empréstimo, a amortização concentra-se em distribuir os pagamentos do empréstimo ao longo do tempo. O termo “amortização” refere-se a duas situações de uso. Assinale a alternativa CORRETA sobre as duas situações de uso da amortização. a) ( ) Tangível – Intangível. b) (X) Empréstimo – Ativos intangíveis. c) ( ) Recursos – Bens. d) ( ) Ativo – Positivo. 2 Os empréstimos amortizados apresentam valores de pagamento nivelados ao longo da vida do empréstimo, mas com proporções variadas de juros e principal que compõem cada pagamento. Um cronograma de amortização pode ser gerado por uma calculadora de amortização, com as entradas do valor, prazos periódicos e taxa de juros do empréstimo. Conceitue cronograma de amortização. R. Um cronograma de amortização é uma tabela que fornece os detalhes dos pagamentos periódicos de um empréstimo amortizado. O principal de um empréstimo amortizado é pago ao longo da vida do empréstimo. Normalmente, um valor igual de pagamento é feito a cada período. 52 MATEMÁTICA FINANCEIRA 3 Um empréstimo amortizado no método de anuidade compreen- de uma série de pagamentos efetuados entre intervalos de tem- po iguais. Os pagamentos também são normalmente feitos em quantidades iguais. Existem dois tipos de anuidade. Assinale a alternativa CORRETA sobre os tipos de anuidades: a) ( ) Especial – Padrão. b) ( ) Própria – Terceiros. c) (X) Ordinária – Vencida. d) ( ) Primária – Secundária. 4 A amortização é o processo financeiro pelo qual uma dívida é ex- tinta gradativamente por meio de pagamentos periódicos que po- dem ser de valores iguais ou diferentes. Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor. Existem diversos sistemas de amorti- zação. Conceitue o sistema de amortização constante (SAC). R. Um dos métodos mais usados no Brasil, e, como o próprio nome de denota, esse sistema é caracterizado por uma amortização constante, em contrapartida, as prestações são decrescentes. 5 Existem diversos sistemas de amortização que afetam o valor e a composição das parcelas periódicas que o cliente terá que pagar, normalmente essas parcelas compreendem tanto o capital quanto parte dos juros da dívida. Um deles é caracterizado por uma prestação (pagamento) constante, em contrapartida a amortização é crescente. A qual sistema de amortização o conceito se refere? a) (X) Sistema Francês. b) ( ) Sistema americano. c) ( ) Sistema alemão. d) ( ) Sistema de amortização constante.
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