geometria analise 8L8

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**Resposta: c) \(\sqrt{\pi}\)** 
 **Explicação:** A integral de \(|\psi(x)|^2\) é: 
 \[\int_{-\infty}^{\infty} |A e^{-x^2/2}|^2 dx = |A|^2 \sqrt{\pi}.\] 
 Para normalização, definimos \(A\) tal que a integral seja 1. 
 
61. Um elétron em um poço de potencial infinito de largura \(L = 2 nm\) está em seu 
estado fundamental. Qual é a energia do elétron? 
 a) \(3.4 \times 10^{-19} J\) 
 b) \(6.8 \times 10^{-19} J\) 
 c) \(1.36 \times 10^{-18} J\) 
 d) \(2.72 \times 10^{-18} J\) 
 **Resposta: a) \(3.4 \times 10^{-19} J\)** 
 **Explicação:** A energia é dada por: 
 \[E_1 = \frac{h^2}{8mL^2} = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8(9.11 \times 10^{-31})(2 
\times 10^{-9})^2} \approx 3.4 \times 10^{-19} J.\] 
 
62. Um sistema quântico é descrito pela função de onda \(\psi(x) = A e^{-kx^2}\). Qual é a 
condição para que a função de onda seja normalizada? 
 a) \(|A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-kx^2} dx = 1\) 
 b) \(|A|^2 \int_{0}^{\infty} e^{-kx^2} dx = 1\) 
 c) \(|A|^2 \int_{-\infty}^{0} e^{-kx^2} dx = 1\) 
 d) \(|A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-kx^2} dx = 0\) 
 **Resposta: a) \(|A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-kx^2} dx = 1\)** 
 **Explicação:** Para normalização, a integral da função de onda ao quadrado deve ser 
igual a 1. 
 
63. Um elétron em um campo elétrico de \(E = 1000 V/m\) a uma distância de \(1 m\) tem 
uma energia potencial de: 
 a) \(1.6 \times 10^{-16} J\) 
 b) \(1.6 \times 10^{-18} J\) 
 c) \(1.6 \times 10^{-14} J\) 
 d) \(1.6 \times 10^{-20} J\) 
 **Resposta: a) \(1.6 \times 10^{-16} J\)** 
 **Explicação:** A energia potencial é dada por \(U = qEd\), onde \(q = 1.6 \times 10^{-19} 
C\), \(E = 1000 V/m\) e \(d = 1 m\): 
 \[U = (1.6 \times 10^{-19})(1000)(1) = 1.6 \times 10^{-16} J.\] 
 
64. Um sistema quântico é descrito pela função de onda \(\psi(x) = A e^{-kx^2}\). Qual é a 
condição para que a função de onda seja normalizada? 
 a) \(|A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-kx^2} dx = 1\) 
 b) \(|A|^2 \int_{0}^{\infty} e^{-kx^2} dx = 1\) 
 c) \(|A|^2 \int_{-\infty}^{0} e^{-kx^2} dx = 1\) 
 d) \(|A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-kx^2} dx = 0\) 
 **Resposta: a) \(|A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-kx^2} dx = 1\)** 
 **Explicação:** Para normalização, a integral da função de onda ao quadrado deve ser 
igual a 1. 
 
65. Um elétron em um poço de potencial infinito tem uma energia de \(E = 1 eV\). Qual é o 
comprimento da caixa? 
 a) \(1.22 nm\) 
 b) \(2.44 nm\) 
 c) \(0.61 nm\) 
 d) \(4.88 nm\) 
 **Resposta: a) \(1.22 nm\)** 
 **Explicação:** Usando \(E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}\), para \(n=1\): 
 \[L = \sqrt{\frac{n^2 h^2}{8mE}} = \sqrt{\frac{(1)^2 (6.626 \times 10^{-34})^2}{8(9.11 
\times 10^{-31})(1.6 \times 10^{-19})}} \approx 1.22 nm.\] 
 
66. Um sistema quântico é descrito pela função de onda \(\psi(x) = A e^{-x^2/2}\). Qual é a 
integral de \(|\psi(x)|^2\) de \(-\infty\) a \(\infty\)? 
 a) \(\sqrt{2\pi}\) 
 b) \(1\) 
 c) \(\sqrt{\pi}\) 
 d) \(2\) 
 **Resposta: c) \(\sqrt{\pi}\)** 
 **Explicação:** A integral de \(|\psi(x)|^2\) é: 
 \[\int_{-\infty}^{\infty} |A e^{-x^2/2}|^2 dx = |A|^2 \sqrt{\pi}.\] 
 Para normalização, definimos \(A\) tal que a integral seja 1. 
 
67. Um elétron em um poço de potencial infinito de largura \(L = 2 nm\) está em seu 
estado fundamental. Qual é a energia do elétron? 
 a) \(3.4 \times 10^{-19} J\) 
 b) \(6.8 \times 10^{-19} J\) 
 c) \(1.36 \times 10^{-18} J\) 
 d) \(2.72 \times 10^{-18} J\) 
 **Resposta: a) \(3.4 \times 10^{-19} J\)** 
 **Explicação:** A energia é dada por: 
 \[E_1 = \frac{h^2}{8mL^2} = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8(9.11 \times 10^{-31})(2 
\times 10^{-9})^2} \approx 3.4 \times 10^{-19} J.\] 
 
68. Um sistema quântico é descrito pela função de onda \(\psi(x) = A e^{-kx^2}\). Qual é a 
condição para que a função de onda seja normalizada? 
 a) \(|A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-kx^2} dx = 1\) 
 b) \(|A|^2 \int_{0}^{\infty} e^{-kx^2} dx = 1\) 
 c) \(|A|^2 \int_{-\infty}^{0} e^{-kx^2} dx = 1\) 
 d) \(|A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-kx^2} dx = 0\) 
 **Resposta: a) \(|A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-kx^2} dx = 1\)** 
 **Explicação:** Para normalização, a integral da função de onda ao quadrado deve ser 
igual a 1. 
 
69. Um elétron em um campo elétrico de \(E = 1000 V/m\) a uma distância de \(1 m\) tem 
uma energia potencial de: 
 a) \(1.6 \times 10^{-16} J\) 
 b) \(1.6 \times 10^{-18} J\) 
 c) \(1.6 \times 10^{-14} J\) 
 d) \(1.6 \times 10^{-20} J\) 
 **Resposta: a) \(1.6 \times 10^{-16} J\)** 
 **Explicação:** A energia potencial é dada por \(U = qEd\), onde \(q = 1.6 \times 10^{-19} 
C\), \(E = 1000 V/m\) e \(d = 1 m\):