AULA 7B

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18/03/2024
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Resistência dos Materiais III
Prof.ª Fernanda Lins Gonçalves Pereira
18/03/2024 Resistência dos Materiais III - Prof.ª Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 1
Membros Estaticamente Indeterminados
• D.C.L. → Reações nos apoios A (𝐹 ) e B (𝐹 ), e os 
respectivos esforços internos
• Equações de equilíbrio
• Como não temos cargas horizontais e como as cargas e 
reações são axiais, a primeira e a terceira equações são 
automaticamente satisfeitas
∑𝐹 = 0, ∑𝐹 = 0 e ∑𝑀 = 0
+↑ ∑𝐹 . = 0 ⇒𝐹 + 𝐹 − 𝑃 = 0 ∴ 𝐹 + 𝐹 = 𝑃
• Uma equação de equilíbrio disponível e duas
incógnitas 𝐹 e 𝐹
• Matematicamente, esse é um sistema indeterminado
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D.C.L.
Membros Estaticamente Indeterminados
• Estruturas estaticamente indeterminadas (hiperestáticas), são assim 
conhecidas, pelo fato das equações de equilíbrio não serem 
suficientes para resolvê-las.
• A grande maioria das estruturas reais é hiperestática.....
• Como resolver um sistema com mais incógnitas do que equações
disponíveis?
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Membros Estaticamente Indeterminados
• Como resolver um sistema com mais incógnitas do que equações disponíveis ?
 Adicionando mais equações!
• Porém, não existem outras equações de equilíbrio
 Então, vamos incluir outro tipo de equação ....
• Uma equação que caracterize como a estrutura se desloca
• Por exemplo, sabemos que o deslocamento relativo entre os pontos A e B é 
zero, 𝛿 / = 0
• Esse tipo de equação recebe o nome de Equação de compatibilidade 
de deslocamentos
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Membros Estaticamente Indeterminados
Um sistema com mais incógnitas do que equações disponíveis, solução:
• Equação de Equilíbrio
+↑ ∑𝐹 . = 0 ⇒𝐹 + 𝐹 − 𝑃 = 0 ∴ 𝐹 + 𝐹 = 𝑃
• Equação de Compatibilidade de Deslocamentos
𝛿 / = 0 ⇒ 𝛿 / = ∫
( )
( )
𝑑𝑥 = 0
𝛿 / = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 0
∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 0
𝐿 + 𝐿 = 0
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Membros Estaticamente Indeterminados
Um sistema com mais incógnitas do que equações disponíveis, solução:
• Equação de Equilíbrio
+↑ ∑𝐹 . = 0 ⇒𝐹 + 𝐹 − 𝑃 = 0 ∴ 𝐹 + 𝐹 = 𝑃
• Equação de Compatibilidade de Deslocamentos
𝐿 + 𝐿 = 0
𝐿 − 𝐿 = 0 → 𝐹 =
• Agora temos duas equações disponíveis e duas incógnitas 𝐹 e 𝐹
• Matematicamente, esse é um sistema determinado
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Membros Estaticamente Indeterminados
Um sistema com mais incógnitas do que equações disponíveis, solução:
• Equação de Equilíbrio + Equação de Compatibilidade de Deslocamentos
𝐹 + 𝐹 = 𝑃 e 𝐹 =
+ 𝐹 = 𝑃 → 𝐹 = 𝑃 ⋅ → 𝐹 =
𝐹 = → 𝐹 =
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Métodos Para Solução de Estruturas Estaticamente Indeterminadas
• Um sistema com mais incógnitas do que equações disponíveis, solução:
Equação de Equilíbrio + Equação de Compatibilidade de Deslocamentos
• Para a solução de estruturas estaticamente indeterminadas, o conceito explicado 
acima pode ser formulado através de dois métodos:
• Método das Forças (Método da Flexibilidade) 
Incógnitas  FORÇAS
• Método dos Deslocamentos (Método da Rigidez) 
Incógnitas  DESLOCAMENTOS
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• 1° passo - A ideia principal do método das forças, é transformar a estrutura 
estaticamente indeterminada em uma estrutura estaticamente determinada, pela 
remoção de restrições;
Método das Forças
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Estrutura Estaticamente 
Indeterminada
Estrutura Estaticamente 
Determinada
Método das Forças
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Estrutura Estaticamente 
Indeterminada
Estrutura Estaticamente 
Determinada Ações Externas
• 2º passo - À estrutura estaticamente determinada, são aplicadas, numa primeira 
etapa, as ações externas (forças, variação de temperatura, etc..), e deslocamentos 
são calculados (p.e. na extremidade onde a restrição foi removida);
Método das Forças
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Ações Externas D.C.L.
• 2º passo - À estrutura estaticamente determinada, são aplicadas, numa primeira 
etapa, as ações externas (forças, variação de temperatura, etc..), e deslocamentos 
são calculados (p.e. na extremidade onde a restrição foi removida);
𝛿 / = 𝐿 + 𝐿
𝛿 / = − 𝐿
• 3º passo - A reação (incógnita) associada à restrição removida, é aplicada na 
estrutura estaticamente determinada e novamente os deslocamentos são 
calculados;
Método das Forças
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Estrutura Estaticamente 
Indeterminada
Estrutura Estaticamente 
Determinada
FA
Reação (incógnita)
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• 3º passo - A reação (incógnita) associada à restrição removida, é aplicada na 
estrutura estaticamente determinada e novamente os deslocamentos são 
calculados;
𝛿 / = 𝐿 + 𝐿
𝛿 / = 𝐿 + 𝐿
𝛿 / = 𝐿
Método das Forças
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FA
Reação (incógnita) D.C.L.
𝐹 𝐹
𝐹
• 4º passo - Finalmente os deslocamentos das duas etapas anteriores deverão ser 
compatíveis com os deslocamentos da estrutura original estaticamente 
indeterminada.
• Estrutura original estaticamente 
indeterminada → 𝛿 / = 0
• Ações Externas, passo 2 →
𝛿 / = − 𝐿
• Reação (incógnita),passo 3 →
𝛿 / = 𝐿
𝛿 / = − 𝐿 + 𝐿 = 0
Método das Forças
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Estrutura Estaticamente 
Indeterminada
Ações Externas
Passo 2
Reação (incógnita)
Passo 3
• 4º passo - Finalmente os deslocamentos das duas etapas anteriores deverão ser 
compatíveis com os deslocamentos da estrutura original estaticamente 
indeterminada.
− 𝐿 + 𝐿 = 0
𝐹 = 𝐿
• Equação de Equilíbrio
+↑ ∑𝐹 . = 0 ∴ 𝐹 + 𝐹 = 𝑃
𝐹 = 𝐿
Método das Forças
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Estrutura Estaticamente 
Indeterminada
Ações Externas
Passo 2
Reação (incógnita)
Passo 3
Método dos Deslocamentos
• A ideia principal do método dos deslocamentos é aplicar um deslocamento
(incógnita) em um ponto da estrutura estaticamente indeterminada, e 
determinar os esforços internos em função desse deslocamento. Depois, 
impondo-se o equilíbrio, o deslocamento é determinado e portanto os esforços 
internos e consequentemente as reações de apoio.
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𝛿
Deslocamento relativo entre os pontos A e C, 𝛿 /
𝛿 / =
Deslocamento relativo entre os pontos C e B, 𝛿 /
𝛿 / =
→ 𝑁 = 𝛿
→ 𝑁 = −𝛿
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Método dos Deslocamentos
• A ideia principal do método dos deslocamentos é aplicar um deslocamento
(incógnita) em um ponto da estrutura estaticamente indeterminada, e 
determinar os esforços internos em função desse deslocamento. Depois, 
impondo-se o equilíbrio, o deslocamento é determinado e portanto os esforços 
internos e consequentemente as reações de apoio.
𝑁 = 𝛿 e 𝑁 = −𝛿
• Equação de equilíbrio:
+↑ ∑𝐹 . = 0 ∴ 𝐹 + 𝐹 = 𝑃
𝛿 + 𝛿 = 𝑃 → 𝛿 =
⋅
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𝛿
→ 𝐹 = 𝛿 e −𝐹 = −𝛿
D.C.L.
Método dos Deslocamentos
• A ideia principal do método dos deslocamentos é aplicar um deslocamento
(incógnita) em um ponto da estrutura estaticamente indeterminada,e 
determinar os esforços internos em função desse deslocamento. Depois, 
impondo-se o equilíbrio, o deslocamento é determinado e portanto os esforços 
internos e consequentemente as reações de apoio.
• 𝐹 = 𝛿 , −𝐹 = −𝛿 e 𝛿 =
⋅
𝐹 =
⋅
⋅ ∴ 𝐹 =
• −𝐹 = −
⋅
⋅ ∴ 𝐹 =
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𝛿
Exemplos de Membros Estaticamente Indeterminados
• a
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D.C.L.
Equações de Equilíbrio 
∑𝐹 = 0 e ∑𝑀 = 0
Equação de 
Compatibilidade de 
Deslocamentos
𝛿 − 𝛿 ↔ 0,8𝑚
𝛿 − 𝛿 ↔ 0,4𝑚
Exercício 1
• A coluna é construída de concreto de alta resistência e quatro barras de reforço 
de aço A-36. Supondo que ela seja submetida a uma força axial de 800 kN, 
determinar o diâmetro requerido de cada barra de modo que um quarto da carga 
seja suportada pelo aço e três quartos pelo concreto.
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Rascunho
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Exercício 1
• Concreto alta resistência (𝐸 =29GPa), Aço A-36 (𝐸 =200GPa),
Determinar 𝑑 =?→Aço=1/4 da carga (𝐹 = = 200𝑘𝑁)
e Concreto=3/4 da carga (𝐹 =
⋅
= 600𝑘𝑁)
• Estrutura estaticamente indeterminada
• Equações de Equilíbrio
+↑ ∑𝐹 . = 0 ∴ 𝐹 + 𝐹 = 800 → 600 + 200 = 800 ok
• Equação de Compatibilidade de Deslocamentos
𝛿 = 𝛿 → = →
⋅
=
⋅ ⋅
29 ⋅ 300 − 𝜋𝑑 = 600𝜋𝑑 → 629𝜋𝑑 = 29 ⋅ 300 → 𝑑 = 36,34𝑚𝑚
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Exercício 3
• A barra é articulada por um pino em A e apoiada por duas hastes de alumínio, 
cada uma com diâmetro de 1 pol e módulo de elasticidade 𝐸 =10× 10³ ksi. 
Supondo que a barra seja rígida e inicialmente vertical, determinar o 
deslocamento da extremidade B e a força em cada haste quando é aplicada a 
força de 2 kip. 
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Rascunho
Exercício 3
• 𝜙 = 1𝑝𝑜𝑙; 𝐸 =10× 10³ ksi;𝛿 =? ;𝑁 =?; 𝑁 =?
• Equações de equilíbrio ∑𝐹 = 0 ∴ 𝑁 + 𝑁 +𝐻 = 𝑃
∑𝑀 = 0 ∴ 𝑁 = 4 − 3𝑁
• Equação de compatibilidade de deslocamento = =
= →
⋅
= 3 ⋅
⋅
→ 𝑁 ⋅ 1 ⋅ 12 = 3 ⋅ 4 − 3𝑁 ⋅ 2 ⋅ 12
𝑁 = 1,263𝑘𝑖𝑝 (tração) 
𝑁 = 4 − 3 ⋅ 1,263 = 0,211𝑘𝑖𝑝 (tração) 
= → 𝛿 = 4 ⋅
⋅
=
⋅ , ⋅
× ⋅
⋅
= 0,00257𝑝𝑜𝑙
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Exercício 4
• Três barras feitas de materiais diferentes estão acopladas e colocadas entre duas 
paredes sob uma temperatura T1 = 12ºC. Determinar a força exercida sobre os 
apoios (rígidos) quando a temperatura muda para T2 = 18ºC. As propriedades 
dos materiais e a área das seções transversais são dadas na figura.
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Tensões Térmicas
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Tensão térmica: A tensão térmica ocorre em componentes 
ou sistemas nos quais peças com diferentes coeficientes de 
dilatação térmica são usadas - em casos em que a 
deformação térmica de uma peça esteja bloqueada ou em 
casos de aquecimento não-uniforme.
LTT 
O deslocamento devido a uma variação de temperatura é dado para um material 
isotrópico e linear, pela fórmula:
Rascunho
Exercício 4
• T1 = 12ºC; T2 = 18ºC; 𝐹 =?; 𝐹 =?
• Equação de equilíbrio 𝐹 = 𝐹
• Eq. de compatibilidade de deslocamento
𝛿 + 𝛿 = 0
Δ𝑇 𝛼 𝐿 + 𝛼 𝐿 + 𝛼 𝐿 −
−𝐹 + + = 0
6 12 ⋅ 10 × 300 + 21 ⋅ 10 × 200 + 17 ⋅ 10 × 100 = 𝐹
×
+
×
+
×
𝐹 = 𝐹 = 4,203𝑘𝑁
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A B C D
Exercício 5
• O elo rígido é suportado por um pino em A, um arame de aço BC (com 200 mm 
de comprimento sem deformação e área da seção transversal de 22,5 mm²), e por 
um pequeno bloco de alumínio (com 50 mm de comprimento sem carga e área 
da seção transversal de 40 mm²). Supondo que o elo seja submetido à carga 
vertical mostrada, determinar a tensão normal média no arame e no bloco e a 
rotação em torno do pino A. 𝐸 ç = 200 GPa, 𝐸 = 70 GPa.
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Rascunho
Exercício 5
• 𝐴 =22,5mm²; 𝐴 =40 mm²; 𝐸 ç = 200GPa; 𝐸 = 70GPa
𝜎 =?; 𝜎 =?; 𝜃 =?
• Equações de equilíbrio 
∑𝐹 = 0 → 𝐴 = 𝐹 e ∑𝐹 = 0 → 𝐹 + 𝐴 = 450
∑𝑀 = 0 ∴ 450 ⋅ 250−𝐹 ⋅ 150−𝐹 ⋅ 150 = 0 ∴ 𝐹 = 750−𝐹
• Equação de compatibilidade de deslocamento 𝛿 = 𝛿
⋅
ç ⋅
=
⋅
⋅
→
⋅
× ⋅ ,
=
⋅
× ⋅
→ 𝐹 = 214,97𝑘𝑁
𝜎 = =
,
,
= 9,55𝑀𝑃𝑎 (tração) e 𝜎 = =
,
= −13,38𝑀𝑃𝑎 (compressão)
𝜃 = 𝑎𝑡𝑔 = 𝑎𝑡𝑔
, ⋅
× ⋅
⋅ = 6,37 × 10 𝑟𝑎𝑑
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𝐴
𝐴
𝐹
𝐹