AULA 8

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21/03/2024
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Resistência dos Materiais III
Prof.ª Fernanda Lins Gonçalves Pereira
21/03/2024 Resistência dos Materiais III - Prof.ª Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 1
Torção
• Torque – Momento que tende a torcer o membro em torno de seu eixo longitudinal
• Exemplo: Uso de chave de roda 
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Momento = 
Força x deslocamento
𝑇 = 𝑃 × 𝑏 × 2
Aplicação do 
momento
no eixo da peça
D.C.L. Distribuição da 
tensão
de cisalhamento
Deformação por Torção de um Eixo Circular
Hipóteses:
• O eixo permanece reto e inextensível; 
• Toda a seção transversal permanece plana e 
perpendicular ao eixo longitudinal (círculos 
permanecem como círculos);
• Linhas radiais permanecem retas quando a 
seção transversal gira em torno de seu eixo 
longitudinal. 
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Analogia Entre Barras Axialmente Carregadas e sob Torção
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Carga Axial Torção
Força Axial (F) Torque (T)
Deslocamento Axial (𝛿) Ângulo de Torção (𝜙)
Tensão Normal (𝜎) Tensão Cisalhante (𝜏)
Deformação Axial (𝜀) Deformação Cisalhante (𝛾)
Módulo de Elasticidade (E) Módulo de Cisalhamento (G)
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Analogia Entre Barras Axialmente Carregadas e sob Torção
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Carga Axial Torção
Força Axial (F) Torque (T)
Deslocamento Axial (𝜹) Ângulo de Torção (𝝓)
Tensão Normal (𝜎) Tensão Cisalhante (𝜏)
Deformação Axial (𝜀) Deformação Cisalhante (𝛾)
Módulo de Elasticidade (E) Módulo de Cisalhamento (G)
Convenção de sinais – Regra da mão direita
• Momento torsor
• Ângulo de torção
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Analogia Entre Barras Axialmente Carregadas e sob Torção
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Carga Axial Torção
Força Axial (F) Torque (T)
Deslocamento Axial (𝜹) Ângulo de Torção (𝝓)
Tensão Normal (𝜎) Tensão Cisalhante (𝜏)
Deformação Axial (𝜺) Deformação Cisalhante (𝜸)
Módulo de Elasticidade (E) Módulo de Cisalhamento (G)
Deformação Cisalhante
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Deformação Cisalhante
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Deformação Cisalhante
QRS é um ângulo reto
Q*R*S* depois da deformação torcional, não 
é um ângulo reto
O ângulo é reduzido de uma quantidade igual 
à g, deformação por cisalhamento
𝛾 = 𝛾 x, 𝜌 = − ∠𝑄∗𝑅∗𝑆∗ = ∠S 𝑅∗𝑆∗
𝛾 ≅ tan 𝛾 =
∗
∗
𝛾 = lim
→
∗
∗ = lim
→
= 𝜌
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Deformação Cisalhante
𝛾 = 𝛾 𝑥, 𝜌 = 𝜌
𝛾 x, 𝜌 → deformação cisalhante em 𝑥 a uma 
distância ρ do centro do eixo
→ taxa de giro
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Deformação Cisalhante
𝛾 = 𝛾 𝑥, 𝜌 = 𝜌
𝛾 x, 𝜌 → deformação cisalhante em 𝑥 a uma 
distância ρ do centro do eixo
→ taxa de giro
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𝛾 á = 𝑟
𝑑𝜙
𝑑𝑥
𝛾
Distribuição de Deformação 
Cisalhante – Eixo Sólido
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Deformação Cisalhante
𝛾 = 𝛾 𝑥, 𝜌 = 𝜌
𝛾 x, 𝜌 → deformação cisalhante em 𝑥 a uma 
distância ρ do centro do eixo
→ taxa de giro
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𝛾 á = 𝑟
𝑑𝜙
𝑑𝑥
𝛾
Distribuição de Deformação 
Cisalhante – Eixo Vazado
Tensão Cisalhante
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Carga Axial Torção
Força Axial (F) Torque (T)
Deslocamento Axial (𝛿) Ângulo de Torção (𝜙)
Tensão Normal (𝝈) Tensão Cisalhante (𝝉)
Deformação Axial (𝜀) Deformação Cisalhante (𝛾)
Módulo de Elasticidade (E) Módulo de Cisalhamento (G)
Tensão Cisalhante
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Deformação
Tensão 
Cisalhante
Ângulo de 
torção em 
x e Dx
Tensões Cisalhantes 
ao longo de duas 
linhas radiais numa 
seção transversal
Tensão Cisalhante
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Tensões Cisalhantes 
ao longo de duas 
linhas radiais numa 
seção transversal
𝑑𝐹 = 𝜏𝑑𝐴
𝑑𝑇 = 𝜌𝑑𝐹
𝜌
𝑑𝐴
𝑇 = 𝜌𝑑𝐹 = 𝜌𝜏𝑑𝐴
Tensão 
Cisalhante
𝑑𝐹, Força Cisalhante Incremental
𝜏, Tensão Cisalhante
𝑑𝐴, Área Incremental
𝜌, Distância Radial do Centro
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Tensão Cisalhante
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𝑑𝐹 = 𝜏𝑑𝐴
𝑑𝑇 = 𝜌𝑑𝐹
𝜌
𝑑𝐴
𝑇 = 𝜌𝑑𝐹 = 𝜌𝜏𝑑𝐴
𝑑𝐹, Força Cisalhante Incremental
𝜏, Tensão Cisalhante
𝑑𝐴, Área Incremental
𝜌, Distância Radial do Centro
𝑇 = 𝜌𝑑𝐹 = 𝜌𝜏𝑑𝐴
Tensão Cisalhante
• Lei de Hooke para Cisalhamento
𝜏 = 𝐺𝛾
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Carga Axial Torção
Força Axial (F) Torque (T)
Deslocamento Axial (𝛿) Ângulo de Torção (𝜙)
Tensão Normal (𝜎) Tensão Cisalhante (𝜏)
Deformação Axial (ε) Deformação Cisalhante (γ)
Módulo de Elasticidade (E) Módulo de Cisalhamento (G)
Distribuição de Tensão Cisalhante
𝛾 = 𝛾 𝑥, 𝜌 = 𝜌 e 𝜏 = 𝐺𝛾
𝜏 = 𝐺𝜌
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Eixo Sólido Eixo Vazado
Momento Torsor
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Carga Axial Torção
Força Axial (F) Torque (T)
Deslocamento Axial (𝛿) Ângulo de Torção (𝜙)
Tensão Normal (𝜎) Tensão Cisalhante (𝜏)
Deformação Axial (ε) Deformação Cisalhante (γ)
Módulo de Elasticidade (E) Módulo de Cisalhamento (G)
𝜀 = , 𝐹 = ∫ 𝜎𝑑𝐴, 𝜎 = 𝐸𝜀 𝛾 = 𝜌 , 𝑇 = ∫ 𝜌𝜏𝑑𝐴, 𝜏 = 𝐺𝛾
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Momento Torsor
𝛾 = 𝜌 , 𝑇 = ∫ 𝜌𝜏𝑑𝐴, 𝜏 = 𝐺𝛾
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𝑇 = 𝜌𝐺𝜌
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝑑𝐴𝑇 = 𝜌𝐺𝛾𝑑𝐴
𝑇 = 𝐺
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝜌 𝑑𝐴
Para um membro circular sólido: 𝐽 = ∫ 𝜌 𝑑𝐴 = =
Para um membro circular vazado: 𝐽 = ∫ 𝜌 𝑑𝐴 = =
Momento Polar de Inércia
Exemplo 1
• Um eixo bi-metálico submetido à torção consiste numa casca de alumínio 
(Galum=27,6 GPa) colada à superfície externa de um núcleo de aço (Gaço=76 
GPa). O eixo tem as dimensões mostradas na figura e está submetido a torques 
nas extremidades com magnitude T=1,13kN.m (a) Determinar as máximas 
tensões cisalhantes no núcleo de aço e na casca de alumínio; (b) Determinar o 
ângulo total de giro do eixo bi-metálico.
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Resumo de Fórmulas
𝛾 = 𝜌
𝑑𝜑
𝑑𝑥
, 𝑇 = 𝜌𝜏𝑑𝐴,
𝜏 = 𝐺𝛾, 𝑇 = 𝐺
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝐽
Rascunho
Exemplo 1
• núcleo de aço e casca de alumínio Galum=27,6 GPa; 
Gaço=76 GPa; 𝜏 á =?; 𝜏 á ç
=?; 𝜙 =?
𝜏 = 𝐺𝛾 = 𝐺𝜌
𝑇 = 𝐺 𝐽 = 𝐺 ç 𝐽 ç + 𝐺 ç 𝐽 ç
→ =
ç ç ç ç
=
, ×
, × , , ×
⋅ ,
→ = 5,6435 × 10 𝑟𝑎𝑑/𝑚𝑚
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Resumo de Fórmulas
𝛾 = 𝜌
𝑑𝜑
𝑑𝑥
, 𝑇 = 𝜌𝜏𝑑𝐴,
𝜏 = 𝐺𝛾, 𝑇 = 𝐺
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝐽
Exemplo 1
• núcleo de aço e casca de alumínio Galum=27,6 GPa; 
Gaço=76 GPa; 𝜏 á =?; 𝜏 á ç
=?; 𝜙 =?
𝜏 = 𝐺𝛾 = 𝐺𝜌 e = 5,6435 × 10 𝑟𝑎𝑑/𝑚𝑚
𝜏 á = 𝐺 = 0,03956𝐺𝑃𝑎 = 39,56𝑀𝑃𝑎
𝜏 á ç
= 𝐺 ç = 0,05447𝐺𝑃𝑎 = 54,47𝑀𝑃𝑎
𝜙 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝐿 = 0,0717𝑟𝑎𝑑
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Problema Geral de Torção
𝑇 = 𝐺 𝐽 e 𝛾 = 𝜌
𝑇 = sendo 𝜏 = 𝐺𝛾
𝑇 = → 𝜏 =
𝜏 𝑥, 𝜌 =
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torque 
distribuído
torque 
concentrado
x
Resumo de Fórmulas
𝛾 = 𝜌
𝑑𝜙
𝑑𝑥
, 𝑇 = 𝜌𝜏𝑑𝐴,
𝜏 = 𝐺𝛾, 𝑇 = 𝐺
𝑑𝜙
𝑑𝑥
𝐽
Problema Geral de Torção
𝑇 = 𝐺 𝐽 → =
𝜙 =
𝑇
𝐺𝐽
𝑑𝑥 → 𝜙 𝑥 =
𝑇(𝑥)
𝐺(𝑥)𝐽(𝑥)
𝑑𝑥
𝜙 = para 𝜙 0 = 0
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torque 
distribuído
torque 
concentrado
x
Resumo de Fórmulas
𝛾 = 𝜌
𝑑𝜙
𝑑𝑥
, 𝑇 = 𝜌𝜏𝑑𝐴,
𝜏 = 𝐺𝛾, 𝑇 = 𝐺
𝑑𝜙
𝑑𝑥
𝐽
𝑇 = 𝐺 𝐽 → =
𝜙 =
𝑇
𝐺𝐽
𝑑𝑥 → 𝜙 𝑥 =
𝑇(𝑥)
𝐺(𝑥)𝐽(𝑥)
𝑑𝑥
𝜙 = para 𝜙 0 = 0
Problema Geral de Torção
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torque 
distribuído
torque 
concentrado
x
Resumo de Fórmulas
𝛾 = 𝜌
𝑑𝜙
𝑑𝑥
, 𝑇 = 𝜌𝜏𝑑𝐴,
𝜏 = 𝐺𝛾, 𝑇 = 𝐺
𝑑𝜙
𝑑𝑥
𝐽
𝑇 = 𝐺 𝐽 e 𝛾 = 𝜌
𝑇 = sendo 𝜏 = 𝐺𝛾
𝑇 = → 𝜏 =
𝜏 𝑥, 𝜌 =
Exemplo 2
• Um eixo tubular de comprimento L possui um raio externo r1 e um raio interno 
r1/2 sendo constituído de um material com módulo de elasticidade ao 
cisalhamento G. Ele está submetido a torques na extremidade de magnitude T0, 
como mostrado na figura seguinte. (a)Determinar uma expressão para a tensão 
cisalhante máxima tmax, para este eixo; (b) Determinar uma expressão para o 
ângulo de giro, f, para este eixo;
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Rascunho
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Exemplo 2
• 𝐿, 𝑟1, 𝑟1/2, 𝐺, 𝑇0, 𝜏𝑚𝑎𝑥 =? , 𝜙 =?
𝜏 𝑥, 𝜌 = → 𝜏 á = á =
⋅
→ 𝜏 á =
𝜙 𝑥 = ∫
( )
( ) ( )
𝑑𝑥 =
⋅
→ 𝜙 𝑥 =
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Resumo de Fórmulas
𝛾 = 𝜌
𝑑𝜙
𝑑𝑥
, 𝑇 = 𝜌𝜏𝑑𝐴,
𝜏 = 𝐺𝛾, 𝑇 = 𝐺
𝑑𝜙
𝑑𝑥
𝐽,
𝜏 𝑥, 𝜌 =
𝑇 𝑥 𝜌
𝐽 𝑥
𝜙 𝑥 =
𝑇(𝑥)
𝐺(𝑥)𝐽(𝑥)
𝑑𝑥
Exemplo 2 - continuação
• Se o mesmo torque é aplicado a um eixo circular sólido, produzindo a mesma 
tensão cisalhante máxima tmax que no tubo vazado.
(c) Qual deverá ser o raio r2 do eixo sólido? 
(d) Qual a razão entre os pesos W2 e W1 dos eixos sólido e vazado 
respectivamente?
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Rascunho
Exemplo 2 - continuação
• 𝐿, 𝐺, 𝑇 , 𝜏 á = 𝜏 á ó
, 𝑟 =?, =?
𝜏 á = 𝜏 á ó
→ =
→ 𝑟 = → 𝑟 = 0,979𝑟
= = = =
,
= 1,277
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Resumo de Fórmulas
𝛾 = 𝜌
𝑑𝜙
𝑑𝑥
, 𝑇 = 𝜌𝜏𝑑𝐴,
𝜏 = 𝐺𝛾, 𝑇 = 𝐺
𝑑𝜙
𝑑𝑥
𝐽,
𝜏 𝑥, 𝜌 =
𝑇 𝑥 𝜌
𝐽 𝑥
𝜙 𝑥 =
𝑇(𝑥)
𝐺(𝑥)𝐽(𝑥)
𝑑𝑥
Exemplo 3
• Um eixo uniforme de raio r e comprimento L está submetido a torque externo 
distribuído t0 (momento por unidade de comprimento). Encontrar a máxima 
tensão cisalhante e o ângulo total de giro.
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Rascunho
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Exemplo 3
• 𝑟, 𝐿, 𝑡 , 𝜏 á =?, 𝜙 =?
• D.C.L. ∑𝑀 = 0 → 𝑇 𝑥 = 𝑡 𝐿 − 𝑥
𝜏 𝑥, 𝜌 = → 𝜏 á = =
𝜙 𝑥 = ∫
( )
( ) ( )
𝑑𝑥 = ∫ 𝑡 𝐿 − 𝑥 𝑑𝑥
= 𝐿𝑥 −
𝜙 = =
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Resumo de Fórmulas
𝛾 = 𝜌
𝑑𝜙
𝑑𝑥
, 𝑇 = 𝜌𝜏𝑑𝐴,
𝜏 = 𝐺𝛾, 𝑇 = 𝐺
𝑑𝜙
𝑑𝑥
𝐽,
𝜏 𝑥, 𝜌 =
𝑇 𝑥 𝜌
𝐽 𝑥
𝜙 𝑥 =
𝑇(𝑥)
𝐺(𝑥)𝐽(𝑥)
𝑑𝑥