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GERÊNCIA DE ENSINO
COORDENADORIA DE RECURSOS DIDÁTICOS
MECÂNICA APLICADA E
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Mecânica
 (
CSO-Ifes-55-
2009
)
MECÂNICA APLICADA E
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
JOÃO PAULO BARBOSA
São Mateus, Fevereiro de 2010.
Sumário
 (
Mecânica
 
Aplicada
 
e
 
Resistência
 
dos
 
Materiais
 
–
 
IFES
 
–
 
Campus
 
São
 
Mateus
 
–
 
Prof.
 
João
 
Paulo
 
Barbosa
)
 (
10
)
Sistemas de Unidades	3
Sistema Internacional - SI	6
Sistema Inglês	6
Sistema Gravitacional Britânico	7
Estática de pontos materiais	11
Introdução	11
Força Resultante	11
Forças no Plano	11
Componentes Cartesianas de uma força	12
Equilíbrio de um ponto material	14
Corpos Rígidos: sistemas equivalentes de forças	20
Classificação das forças atuantes em corpos rígidos	20
Princípio de transmissibilidade	21
Momento de uma força em relação a um ponto	22
Momento de um conjugado	22
Conjuntos Equivalentes	23
Equilíbrio de corpos rígidos	28
Equilíbrio de um Corpo Rígido em duas dimensões	28
Reações nos Apoios e Conexões	29
Análise das Estruturas	40
Análise de Treliças	40
Análise de uma estrutura	44
Máquinas	48
Centróide e Baricentro	66
Áreas e Linhas - Placas e Arames Compostos	67
Movimento Circular	72
Velocidade Angular ()	72
Período (T)	72
Frequencia (f)	72
Rotação (n)	73
Velocidade Periférica ou Tangencial (v)	73
Relação de Transmissão (i)	75
Transmissão por Correias	75
Transmissão por engrenagens	76
Torção Simples	78
Momento Torçor ou Torque (MT)	78
Torque nas Transmissões	79
Potência (P)	81
Torque X Potência	82
Força Tangencial (FT)	83
Rendimento das Transmissões ()	94
Rendimento das transmissões	94
Perdas nas Transmissões	95
Noções de Resistência dos Materiais	103
Introdução	103
Esforços externos ou carregamentos	104
Solicitações Simples	106
Solicitações Compostas	109
Ensaio de Tração	110
Modos de falhas trativas	112
Tensões	112
Módulo de Elasticidade	113
Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de Resistência	114
Tração e compressão	116
Carregamento Axial	116
Deformação sob Carregamento Axial	116
Tensão Normal 	117
Deformação Longitudinal (ε)	117
Deformação Transversal (εt)	118
Estricção	118
Coeficiente de Segurança k	118
Flexão	124
Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor	124
Tensão de Flexão	125
Torção	130
Transmissão de Potência	130
Análise das Tensões num Eixo	131
Deformações nos Eixos de Secção Circular	132
Tensão de Torque	133
Tensões no Regime Elástico	133
Modos de Falha Torcionais	135
Ângulo de Torção no Regime Elástico	140
Eixos Estaticamente Indeterminados	140
Flambagem	143
Módulo de Young	143
Carga Crítica de Flambagem	143
Indice de Esbeltez	144
Flambagem de Colunas	145
Referencias Bibliográficas	146
	CAPÍTULO 1
1 Sistemas de Unidades
Se o instrumento é utilizado para medir variáveis de processos, convém então mencionar rapidamente sobre sistemas de unidades usados para medir a magnitude de grandezas (as variáveis dos processo mecânicos) e expressá-las como dimensões. Na medida em que ainda há diversos sistemas de unidades utilizados pelo homem, a sua definição e estabelecimento corretos auxiliam no processo de conversão de unidades entre os vários sistemas de unidades disponíveis.
Há vários sistemas de unidades em uso nos ambientes industrial, comercial, laboratorial, residencial, etc. Por convenção, há um sistema aceito internacionalmente, estabelecido pela Conferência Geral de Pesos e Medidas (toda a documentação das Conferências é mantida e divulgada pelo Bureau International des Poids et Mesures – BIPM), o Sistema Internacional de Unidades - SI. As unidades básicas do SI, como todos sabemos, são o metro [m], a massa [kg], o segundo [s], o Kelvin [K], o Ampere [A] o mole [mol] e a candela [cd], para as dimensões comprimento, a massa, o tempo, a temperatura, a corrente, a quantidade de matéria e a intensidade luminosa, respectivamente. Todas as outras unidades são chamadas de unidades derivadas (joule [J] para trabalho, watt [W] para potência, etc), pois são definidas em termos das unidades básicas.
Atribui valores numéricos específicos para fenômenos físicos observáveis, de maneira que estes possam ser descritos analiticamente.
DIMENSÃO quantidade física utilizada para definir qualitativamente uma propriedade que pode ser medida ou observada.
Exemplo: Comprimento [L], Tempo [t], Massa [M], Força [F] e Temperatura [].
UNIDADE são nomes arbitrários atribuídos às dimensões.
Exemplo: dimensão  comprimento
unidades  centímetros, pés, polegadas,
Grandezas e unidades derivadas de SI – Sistema Internacional de Unidades
Assim, a dimensão especifica a magnitude da grandeza (variável do processo) medida de acordo com o sistema de unidades adotado. No SI a unidade da grandeza comprimento é o metro, em outros sistemas de unidade podem ser em a polegada, o centímetro, o kilômetro, a milha, etc.
Em várias áreas industriais diferentes sistemas de unidades que misturam unidades do SI, com unidades inglesas e antigas unidades de comércio têm uso corrente. São comumente referidas como Unidades de Engenharia. É o caso, por exemplo, da indústria hidráulica: o diâmetro de tubulações é usualmente referido em polegadas (dimensão típica em uso nos USA e outros países de língua e industrialização de origem inglesa e americana), e o comprimento desta mesma tubulação pode ser referido em metros. Compra-se no comércio, mesmo no Brasil, uma tubulação de PVC de 6 m comprimento e 2” (polegadas) de diâmetro, classe 10 - pressão de trabalho de 10 atm (atmosferas, ou 1.01325 x 106 N/m2). Na indústria do petróleo a produção (a vazão de óleo, volume na unidade de tempo) é medida em barris/dia [bbl/dia].
Grandezas e unidades derivadas de SI – Sistema Internacional de Unidades
O Sistema CGS foi corrente na área da mecânica, e se baseava em três dimensões e suas unidades básicas: o centímetro, o grama e o segundo.
Na indústria automobilística de matriz baseada nos USA, todas as dimensões – folgas de válvulas, bitola de parafusos e porcas, tamanho de rodas, etc, têm por base o Sistema Inglês de Unidades. O Sistema Inglês, por sua vez, tem unidades de uso próprio nos USA, que diferem, em valor, de unidades usadas na Inglaterra: o pé inglês é maior que o pé americano, assim como o galão, etc.
1.1 Sistema Internacional - SI -
	L
	Comprimento
	metro
	m
	M
	Massa
	quilograma
	kg
	t
	Tempo
	segundo
	s
	
	Temperatura
	graus Celsius ou Kelvin
	· C ou K
Força: definida pela 2ª Lei de Newton
F  m.a
F - força [N]
m - massa [kg]
a - aceleração [m/s2]
1.2 Sistema Inglês
F  m.a
	 m
kg s 2
 N 
 (

)
	L
	Comprimento
	Pés
	ft
	M
	Massa
	libra-massa
	lbm
	F
	Força
	libra-força
	lbf
	t
	Tempo
	Segundo
	s
	
	Temperatura
	graus Fahrenheit ou Rankine
	· F ou R
Força: é estabelecido como uma quantidade independente definida por procedimento experimental: a força de 1 lbf acelerará a massa de 1 lbm 32,174 pés por segundo ao quadrado.
- Ao relacionar força e massa pela lei de Newton, surge uma constante de proporcionalidade, gc:
F  m.a
gc
1lbm.(32,174 ft / s 2 )

gc
 1lbf
- gc terá as dimensões MLF-1t-2
- para sistema inglês:
g  32,174lbm. ft
c	lbf .s 2
gc tem o mesmo valor numérico que a aceleração da gravidade ao nível do mar, mas não é aceleração da gravidade. Serve para relacionar estas quantidades.
1.3 Sistema Gravitacional Britânico
	L
	Comprimento
	pés
	ft
	M
	Massa
	slug
	slug
	F
	Força
	libra-força
	lbf
	t
	Tempo
	segundo
	s
	
	Temperatura
	graus Fahrenheit ou Rankine
	· F ou R
Outros:
- Sistema Técnico de Engenharia: kg, m, s, kgf gc= 9,80665 kg.m/(kgf.s2)
-	Sistema CGS: g, cm, s, dina
PESO  MASSA
O Peso de um corpo é definido como a força que age no corpo resultante da aceleração da gravidade. Varia com a altitude.
Prefixo usados no SI
Para facilitar a escrita de grandezas de magnitude muito grande ou muito pequenas, as unidades podem ser acompanhadas de prefixos que designam seus múltiplos e submúltiplos.
Prefixos do SI
	Prefixo
	Símbolo
	Fator multiplicador
	exa
	E
	1.000.000.000.000.000.000peta
	P
	1.000.000.000.000.000
	terá
	T
	1.000.000.000.000
	giga
	G
	1.000.000.000
	mega
	M
	1.000.000
	quilo
	k
	1.000
	hecto
	h
	100
	deca
	da
	10
	deci
	d
	0,1
	centi
	c
	0,01
	mili
	m
	0,001
	micro
	µ
	0,000 001
	nano
	n
	0,000 000 001
	pico
	p
	0,000 000 000 001
	femto
	f
	0,000 000 000 000 001
	atto
	a
	0,000 000 000 000 000 001
1) Exercícios: Reescrever as unidades das grandezas como é indicado.
a) 20000mm:	m
b) 14000000000 W:	GW
c) 2,75x104Pa:	kPa
d) 0,000055kg:	g
e) 0,00023cm:	µm
f) 250kN:	N
g) 0,0043 MPa:	Pa
h) 0,000025A:	mA
2) Exercícios: Reescrever as unidades das grandezas como é indicado.
a) 50000N:	kN
b) 200000MPa:	GPa
c) 75000N:	kN
d) 0,000014kg:	g
e) 0,1x10-3 mm	µm
f) 500 000 000 N/m²	kN/mm²
g) 150km/h:	m/s
h) 20m/s	km/h
i) 30m/s	km/min
j) 120km/h	m/min
k) 50l	m³
l) 100m³	l
m) 200m²	cm²
n) 10pol	cm
o) 100mm	pol
p) 120HP	KW
q) 2000W	CV
r) 50Bar	Psi
	CAPÍTULO 2
2 Estática de pontos materiais
2.1 Introdução
O que é Mecânica?
Pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob ação de forças.
Corpos rígidos, deformáveis e fluidos.
2.2 Força Resultante
A somatória das forças que atuam em um dado ponto material é a força resultante. (produz o mesmo efeito que as forças originais)
2.3 Forças no Plano
Uma força representa a ação de um corpo sobre o outro. Ela é caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.
2ª Lei Newton: F=m.a e no SI (N) Fazendo a regra do Paralelograma.
P	P	R = P + Q	R
A	Q	Q
As forças não obedecem às regras de adição definidas na álgebra ou na aritmética.
 (
P
R
) (
R
P
)Q
ou
Q
Caso possua mais de um vetor
 (
Q
S
Q
 
+
 
S
P
P
 
+
 
Q
 
+
 
S
)
2.4 Componentes Cartesianas de uma força
Em muitos problemas é desejável decompor uma força em duas componentes normais uma à outra.
 (
y
F
F
y
θ
o
F
x
x
) (
F
F
y
θ
F
x
x
)y
Fx = F cos θ	e	Fy = F sen θ
F² = Fx²+ Fy²
Adição de forças pela soma das componentes segundo x e y. Resultante da soma dos vetores P, Q e S.
Teremos as componentes:
Rx + Ry; Px + Py ; Qx + Qy ; Sx + Sy.
 (
S
P
A
Q
) (
S
S
y
P
y
P
S
x
P
x
A
Q
x
Q
y
Q
) (
R
y
R
R
x
)Sendo assim:	Rx = Px + Qx + Sx		e	Ry = Py + Qy + Sy Aonde:	Rx = ΣFx	e	Ry = ΣFy
R² = Rx²+ Ry²
Exemplo 1: Dois cabos sujeitos a trações conhecidas estão presos ao ponto A. Um terceiro cabo AC é usado para sustentação. Determine a tração em AC sabendo que a resultante das três forças aplicadas em A deve ser vertical.
 (
A
25°
10°
12kN=F
2
30kN=F
1
20
B
C
15
)F1 = 30 KN F2 = 12 KN
Tac= ?
R ↨
Calculando a distância AC = 25 m. Como é vertical Rx = ΣFx=0
Logo a Resultante é Ry Decompondo os vetores XY
F1 = (-30.cos 25°) em x e (-30.sen 25°) em y F2 = (12.sen 10°) em x e (-12.cos 10°) em y
TAC = (TAC.sen θ) em x e (-TAC.cos θ) em y (adotado o sentido de	TAC)
 (
θ
 
25
)sen  15
25
20
 (
15
)cos  20
25
Rx   Fx  30cos 25 12 cos10  TAC sen  0
TAC
 30 cos 25 - 12 cos10  25,619
sen 
Ry   Fy  30sen25 12sen10  TAC cos
Ry  35,257KN
2.5 Equilíbrio de um ponto material
Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é zero, este ponto está em equilíbrio.
Rx   Fx  0
R  0
Ry   Fy  0
100N	100N
Exemplo 2: Como parte do projeto de um novo veleiro deseja-se determinar a força de arrasto a uma dada velocidade. Com esse objetivo, um modelo do casco é colocado em um canal para testes, sendo mantido alinhado com o eixo do canal por meio de três cabos presos a sua proa. Leituras de dinamômetro indicam que, para uma dada velocidade da água, a tração no cabo AB é de 200N e de 300N no cabo AE. Determine a força de arrasto no casco e a tração no cabo AC.
 (
2,10m
0,45m
B
C
α
β
1,2m
A
Fluxo
1,2m
E
)AB = 200N AE = 300N
Fmastro = ? AC = ?
 (
T
AB
α
A
β
T
Ac
F
T
AE
)Decompondo os vetores XY
Encontrar α e β
tg  2,1  1,75	e
1,2
tg  0,45  0,375
1,2
α = 60,26°	β = 20,56°
R  T  TAB  TAC  TAE
Corpo em equilíbrio
Fx  0
F  TABsen  TAC sen  0
F  98,37N
 Fy  0
 TAE  TAB cos  TAC cos   0
TAC  214,5N
Exemplo 3: A manga A pode deslizar livremente sobre o eixo horizontal, sem atrito. A mola presa à manga tem constante 1751 N/mm e elongação nula quando a manga está diretamente embaixo do suporte B. Determine a intensidade da força P necessária para manter o equilíbrio quando: (a) c= 228 mm e (b) c= 406 mm.
 (
C
B
305
 
mm
A
)k = 1751 N/m P = ?
C = 228 mm
P
 (
L
)L0
C	L²  L0 ²  C²  L  380,8mm
x  L  L0  75,8mm
F  K x  1751 75,88103
F  132,72N
(F: força da mola;	∆x: deslocamento da mola)
D.C.L
F
P
Fat=0	ω
Equilíbrio
  Fx  0
P  F cos   0
P  F C
cos  C
L
Μ=0	N	L
Exemplo 4: Caixotes de 30 kg estão suspensos por diversas combinações de corda e roldana. Determine, em cada caso, a tração na corda. (A tração na corda é a mesma dos dois lados da roldana, Veremos isto mais tarde).
b)
 (
T
T
T
T
T
P
) (
T
P
) (
y
)R	T	 F  0
 Fy  0
2T  P  0
T	T	R  2T
T  P
2
c)
 (
A
T
T
T
T
T
 
T
 
B
T’
T
T’
C
P
)Roldana B
 (
T’
)T	T	T’ = 2T
Roldana C
 (
P
)T’
T	T
 Fy  0
T '2T  P  0 2T  2T  P
T  P
	4
Exercícios:
1) Determine a Força resultante das quatros forças aplicadas na figura abaixo:
a) b)
2) Determine a Força Resultante das Forças aplicada no desenho abaixo.
	
a) b)
3) Determine o peso máximo do motor que pode ser suportado sem exceder uma força de 450N na corrente AB e de 480N na corrente AC.
4) Uma caixa é erguida com um guincho pelas cordas AB e AC. Cada corda resiste a uma força de tração máxima de 2500 N sem se romper. Se AB permanece sempre horizontal e AC permanece com θ = 30°, determine o peso máximo da caixa para que ela posa ser levantada.
	
3)	4)
5) João tenta alcançar Maria subindo com velocidade constante por uma corta amarrada no ponto A. Qualquer um dos três segmentos de corda suporta uma força máxima de 2 kN sem se romper. Determine se João, que tem massa de 65 kg, pode subir pela corda. Em caso positivo, verifique se ele, juntamente com Maria, que tem massa de 60 kg, pode descer pela corda com velocidade constante.
6) Um bloco de 200kg pende de uma pequena polia que pode rolar sobre o cabo ACB. A polia e sua carga são mantidas na posição mostrada abaixo por um segundo cabo DF, paralelo ao trecho CB do cabo. Determine a tração no cabo ACB e no cabo DF. Despreze o raio da polia e a massa dos cabos e da roldana. Adote gravidade 10m/s².
	CAPÍTULO 3
3 Corpos Rígidos: sistemas equivalentes de forças
3.1 Classificação das forças atuantes em corpos rígidos
a) Forças Externas: Representam a ação de outros corpos sobre o corpo rígido considerado.
Causarão o movimento (rotação/translação) ou assegurarão a permanência em repouso.
b) Forças Internas: Mantém unidas as partículas que formam o corpo rígido. Se o corpo rígido é composto de diversas partes, essa força que mantém estas partes unidas.
(Somatório das forças internas é zero)
Guindastes:
 (
B
P
G
A
Barras:
BE
,
 
DCEF
,
 
ABC
.
)D	C	E	F
D.C.L. Guindaste (estrutura)
 (
P
A
x
A
A
y
)TDG
A  Axi  Ay j
 F ext  A  P  T DG  0
D.C.L. da Barra BE	D.C.L. da Barra ABC
	
F BE  F EB	C  Cxi  Cy j
 (
E
B
) (
C
x
C
y
F
BE
A
x
A
y
)FEB
FBE
D.C.L. da Barra DCEF
 (
C
y
T
DE
α
C
x
F
EB
)P
3.2 Princípio de transmissibilidade
Este princípio é definido pelos pontos em que a força pode estar atuando em um corpo, sem que altere o efeito que ela exerce sobre o corpo. Uma força pode atuar em qualquer ponto sobre a sua linha de ação que o efeito causado no corpo será o mesmo.
 (
F
A
F’
A’
A”
F”
)
 (
F
P
R
1
R
2
) (
F
P
R
1
R
2
)=
3.3 Momento de uma força em relação a um ponto
Momento é a tendência de giro que uma força aplicada a um ponto tende a outro ponto do corpo.
Força no Plano xy
 (
y
F
A
α
r
θ
)Fy	F
y
 (
r
θ
)A	α
=	Fx
x
componentes de	F Fx e Fy
Fx  F cos
Fy  Fsen
x
componentes de	r dx e dy
dx  r cos
dy  rsen
Momento de uma força em relação a um ponto é força vezes a distanciada linha de ação da força ao ponto aonde quero calcular o momento.
M 0  Fydx  Fxd y
3.4 Momento de um conjugado
Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam binários
 (
-
F
) (
F
) F  0
 M  0
Podemos calcular o momento das duas forças em relação a qualquer ponto do corpo, que o momento sempre será o mesmo.
 (
B
d
-
F
A
) (
B
-
F
r
B
r
A
A
)y	y
No caso de forças binárias, o momento
F	F	é calculado pela
=	força e a menor
distância entre elas.
x	x	M=F.d
3.5 Conjuntos Equivalentes
(Os três binários têm o mesmo efeito sobre a caixa)
 (
y
M
x
100N
0,15m
100N
) (
150N
0,1m
150N
)M	M
150N
0,1m
150N
z
Exemplo 1: Uma força P de 300 N é aplicada ao ponto A da figura. (a) Calcule o momento de P em relação a O utilizando as componentes horizontal e vertical da força.
 (
30°
B
A
120mm
40°
40°
200mm
o
)P
P = 300N
 (
O
)a) M P = ? (componentes y e x)
a)
Px  Psen30 Py  P cos30
x  200cos 40
y  200sen40
Mo  Px .y  py .x
MO  20527N  mm
Exemplo 2: A força P é aplicada a uma pequena roda que se desloca sobre um cabo ACB. Sabendo que a tração nas duas partes do cabo é de 750N, determine o módulo de P.
 (
A
30°
45°
B
C
α
P
)
TABC = 750N P = ?
TAC  TBC  TABC  750N
D.C.L Roda
 (
T
AC
30°
T
BC
45°
α
P
)
TACx  TAC cos30
→
TACy  TAC sen30
→
TBCx  TBC cos 45
→
TBCx  TBC sen45
Px  Psen Py  P cos
 Fx  0
· TAC cos 30   TBC cos 45   Px  0
Px  119 ,19 N
 Fy  0
TAC sen 30   TBC sen 45   Py  0
Py  905 ,33 N
Sendo: Px  119,19; Py  905,33 , teremos: P²=Px²=Py² -> P = 913,15N
Exercícios:
1) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas mostrados, que atuam sobre o corpo.
2) Determine o Momento das três forças em relação ao ponto A.
3) Determine o momento da força F em relação ao ponto A. θ = 45°.
4) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas mostrados, que atuam sobre o corpo.
5) Determine a intensidade F da força aplicada no cabo da alavanca, de modo que a resultante das três forças passe pelo ponto 0.
4)	5)
6) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas e do momento (conjugado), mostrados, que atuam sobre o suporte vertical.
7) Uma força F e aplicada ao pedal de freio em A. Sabendo que F = 500N, determine o momento de F em relação a B. ( as medidas estão em milímetros).
6)	7)
 (
Mecânica
 
Aplicada
 
e
 
Resistência
 
dos
 
Materiais
 
–
 
IFES
 
–
 
Campus
 
São
 
Mateus
 
–
 
Prof.
 
João
 
Paulo
 
Barbosa
)
 (
26
)
8) O corpo de 330N é mantido dentro no equilíbrio pelo peso W. E o sistema das polias excedentes B e C tem uma corda é contínua. As duas polias B e C estão presas em A e giram como uma unidade as cordas de A para B e C é prendido às bordas das polias em A. Determine o peso W para o equilíbrio do sistema e Todas as tensões nas demais cordas.
9) Quatro pinos são presos a tábua. Dois barbantes, apoiados nos pinos, são tracionadas. Determine o diâmetro dos pinos sabendo que o momento do binário resultante aplicado à tábua é de 54,8N, anti-horário.
 (
y
z
x
)
 (
203mm
111N
156N
152mm
111N
D
C
B
A
)156N
 (
Mecânica
 
Aplicada
 
e
 
Resistência
 
dos
 
Materiais
 
–
 
IFES
 
–
 
Campus
 
São
 
Mateus
 
–
 
Prof.
 
João
 
Paulo
 
Barbosa
)
 (
27
)
	CAPÍTULO 4
4 Equilíbrio de corpos rígidos
4.1 Equilíbrio de um Corpo Rígido em duas dimensões:
 F  0;
(1)  Fx  0;
(2)  Fy  0;
 MO  0	(3) M z  0
4.2 Reações nos Apoios e Conexões.
	Vinculo
	Reação
	Numero de incógnitas
	
	
	
1
	
	
	
1
	
	
	
1
	
	
	
2
	
	
	
3
Exemplo 1: Um tanque cilíndrico de 250 kg tem 2 m de diâmetro e deve galgar uma plataforma de 0,5 m de altura. Um cabo é enrolado no tanque e puxado horizontalmente. Sabendo que o canto A da plataforma é áspero, calcule a força de tração no cabo necessária para levantar o tanque e a reação em A.
 (
G
2m
P
0,5m
A
B
)T
· Massa do tanque: 250kg
· Canto A é áspero T = ?
Reação em A = ?
 FX  0
 Fy  0
obs: RB  0 (força T para retirar
RAX  T  0
RAX  T
 M A  0
· 
P  RAy  0
RAy  P  mg
o tanque do chão )
T 1,5  P  l  0
P  l
T 
	1,5 
0,5	l 
 (
1²
 

 
0,5²
) (
1
)l
Exemplo 2: Determine em A e B quando: (a) α = 0, (b) α = 90 (c) α = 30 .
 (
0,15m
0,15m
A
250N
0,2m
B
α
)
 Fx  0
RAx  RB cos  0
 Fy  0
· (
→
)250  RAy  RB sen  0
 M A  0
RB sen  0,2  RB cos  0,2  0
Exemplo 3: Sabendo que a tração em todos os pontos da correia é 300N, determine as reações nos apoios A e B, quando: (a) α = 0 (b) α = 90 e (c) α = 30 .
 (
B
300mm
50mm
300N
A
300N
α
200mm
250mm
)
T = 300N
Reações nos apoios A e B para:
a) α = 0°
b) α = 90°
c) α = 30° D.C.L
 (
B
y
B
x
300N
300N
A
x
A
y
) (
A
α
)Ay
Ax
cos  Ax ; sen  Ay
A	A
 Fx  0
300  300  Ax  Bx  0  Ax  Bx
 Fy  0
Ay  By  0  Ay  By
M A  0
300100  300350  By  250  Bx  400  0
250By  400Bx  75000
Para cada α dado, encontramos os valores das reações
Exemplo 4: Uma haste delgada BC de comprimento e peso P está presa a dois cabos, como se vê. Sabendo que o cabo AB está na horizontal, determine: (a) o ângulo θ que o cabo CD forma com a horizontal e (b) a força de tração em cada cabo.
 (
θ
l
C
A
B
40°
)
a) θ = ?
b) TCD = ? e TAB = ?
D.C.L.
 (
T
CDy
T
CDx
l
T
AB
P
40°
l
l
cos40°
)TCD
 Fx  0
TCDx  TAB  0
 Fy  0
M B  0
· P  l cos 40  T
sen40°
 lsen40  T
TCDy
 l cos 40  0
· 
P  0  TCDy  P
2	CDx
CDy
TCDx
 P  cos 40 
2
1
sen40
Exemplo 5: Uma barra delgada de comprimento L está apoiada em C e na parede vertical. Ela suporta uma carga P em sua extremidade A. Desprezando o atrito e o peso da barra, determine o ângulo θ correspondente ao equilíbrio.
 (
A
P
θ
L
a
)B
D.C.L.
 (
P
B
C
x
C
y
) Fx  0Cx  B  0
 Fy  0Cy  P  0
 (
→
) M C
 0 PLsen  a
B  a  0
tg
(1)
 (
→
) M B
 0 Plsen 
Cx  a tg
· 
Cy  a  0
(2)
PLsen  a B  a  0
tg
P  Lsen  B  a  P  a  0
tg
P  Lsen  P  Lsen  P  a  P  a  0 2P  Lsen  2P  a
sen  a   
 a 
arcsen	
L		 L 
Exemplo 6: Uma barra leve AD suporta uma carga vertical P e esta presa a mangas B e C que deslizam livremente nas hastes. Sabendo que o fio preso em A forma um ângulo α = 30 com a horizontal, determine: (a) a força de tração no fio e (b) as reações em B e C.
 (
A
30°
a
B
a
30°
C
a
30°
D
P
)
 (
30°
A
60°
B
60°
C
P
)Ax  Acos30 Ay  Asen30 P  Py
Bx  Bsen30 By  B cos30 Cx  Csen30 Cy  C cos30
 Fx  0 Acos30  Bsen30  Csen30  0
 Fy  0 Asen30  B cos30  C cos30  P  0
 M A  0
B  sen30 a  C  sen30 2a  0  B  2C
(1)
(2)
eq (1)
 A  0,866  C  C  0,5  0   A 0,866  C  0,5  0
A  
0,5  C
0,866
eq (2)
 0,5  0,5 C  2  C  0,866  C  0,866  P  0 0,866
 0,577C  P  0  C   P 
0,577
B  2P	A  0,5 	P
	0,577		0,866 0,577
Exercícios:
1) Determine as reações nos apoios em A (rolete) e B (pino) da estrutura.
2) Determine a intensidade das reações na viga em A e B. Despreze a espessura da viga.
3) Determine as componentes horizontal e vertical do pino A e a reação no rolete B, necessárias para treliça. Considere F= 600N.
4) Determine as reações em A e B. A barra tem espessura de 0,1m.
5) A barra uniforme de 30 kg com roldanas nas extremidades está apoiada pelas superfícies horizontal e vertical e pelo arame AC. Calcule a força no arame e as reações contra as roldanas em A e B.
6) Determine as reações em A e B.
7) Determine as reações em A (roletes) e B (pino).
8) O redutor de engrenagens, esta sujeito a dois conjugados, o seu peso de 200 N e a uma força vertical em cada uma das bases A e B. Se a resultante deste sistema de dois conjugados e de três forças for zero, determinar as forças em A e B.
9) Determine as reações em A e B.
	CAPÍTULO 5
5 Análise das Estruturas
Princípio Básico:
3ª lei de Newton- Estabelece que forças de ação e reação entre corpos em contato, possuem o mesmo módulo, mesma linha de ação e sentidos opostos.
Categoria deestruturas:
1) Treliça;
2) Estruturas;
3) Máquinas;
5.1 Análise de Treliças
Treliça: Barra comprimida ou tracionada
Método dos Nós
Eficaz quando é necessário determinar as forças em todas as barras da treliça.
Método das Seções
Eficaz quando a força em uma ou poucas barras são desejadas.
5.1.1 Análise das treliças pelo método dos nós.
 (
C
1
A
x
A
D
B
1
1
A
y
F
B
y
)
F = 1000N
Estrutura de 5 barras
 Fx  0 Ax  0;	Fy  0 Ay  By  F  0  Ay  500N
  M A  0F 1 By  2  0
B  1000  B
y	2	y
 500N
 (
F
AC
C
F
F
BC
C
DC
 
C
F
A
CA
F
CD
D
B
F
CB
A
x
F
AD
D
F
BD
F
DA
A
F
DB
D
B
) (
A
)F
y	By
Nó A:
 (
A
x
45º
A
y
)FAC
FAD
 Fx  0 Ax  FAD  FAC  cos 45º 0
FAD  500 N
Tração
 Fy  0 Ay  FAC  sen45º  0
FAC  707N
Compressão
Nó B:
FBC
 Fy  0 By  FBC  sen45º  0
FBC
45º
FBC  707N
Compressão
 Fx  0FBD  FBC  cos 45º  0
By
FBD  500 N
Tração
Nó D:
FCD
 Fy  0
FDC  F  0
FAD
FBD
F	 1000 N (T )
 DC	
 Fx  0
F	FDB  FDA  0
 FDB  FDA
5.1.2 Análise das treliças pelo método das Seções.
 (
1
1
1
)
 (
F
1
B
F
2
F
3
D
G
C
E
E
y
)A
F1  F2  F3  10³N
 (
1
)Gx
Gy
D.C.L. da treliça:
 Fx  0	Gx  0
 Fy  0  F1  F2  F3  Ey  Gy  0
	 M G  0
F1  3  F2  2  F3 1 Ey 1  0
Ey  6000 N
 Gy  3000N
A
Seção 1
Fx  0
F3
 (
F
1
B
F
2
F
BD
45º
 
F
BE
) (
F
DB
D
G
F
EB
G
Y
F
EC
E
)B
Gx
+
C	FCE	E
Ey
FCE  FBD  FBE  sen45º 0
 Fy  0
· F  F  F
cos45º 0  F	  F2  F   2828,4N
1	2	BE
BE	cos 45º
  M B  0
F1 1 FCE 1  0
FCE  F1  1000N  FBD  3000N
5.2 Análise de uma estrutura
· Treliças  É uma estrutura com barras retas submetidas a apenas duas forças.
 Vamos considerar agora estruturas que possuem pelo menos uma barra submetida a três ou mais forças.
 (
C
F
1
F
2
A
α
β
B
)
AC  L1
CB  L2
F1 e F2 atuam no ponto médio de cada barra.
D.C.L. da estrutura
F1	F2
Ax	Bx
Ay	By
D.C.L. barra AC :	D.C.L. barra CB
 (
C
y
F
1
C
x
A
x
A
y
) (
C
y
C
x
F
2
)Bx
By
D.C.L estrutura
 Fx  0 Ax  Bx  0  Ax  Bx
Fy  0 Ay  By  F1  F2  0
  M A  0
 F  L1 cos  		  L2 cos    B
L cos   L
cos    0
 (
F
L
 
cos
)1	2  1
2	
	y	1	2
2	
F  L cos 2  F L cos  L cos  2
B  1	1
2	1	2
 Com isso teremos, By e Ay
y	L cos  L cos 
1	2	
D.C.L AC
Fx  0 Ax  Cx  0

 Logo teremos Cx e Cy
também.
Fy  0 Ay  Cy  F1  0
  M C  0
· A  L cos  A  L sen  F L1  cos  0
y	1	x	1	1 2
Ax 
L1  sen
 Teremos Ax
 (
A
y
 

 
L
1
 

cos

 

 
F
1
 

 
L
1
 

cos

 
2

)
Exemplo 1: Sabendo que a polia tem um raio de 0,5m, determine a componente das reações em A e E.
 (
1m
3m
3m
1m
D
2m
E
E
x
A
x
A
700N
E
y
A
y
B
C
)
Raio da Polia é 0,5m. Reações “A” e “B”.
D.C.L da estrutura
 Fx  0 Ax  Ex  0
 Fy  0 Ay  Ey  700  0  Ay  250N
  M A  0
Ey  7  700  4,5  0
Ey  450 N
D.C.L (Polia)
700
Dy
Dx	700
 Fx  0 Dx  700 N
 Fy  0  Dy  700 N
D.C.L (Barra ABC)
Cy
Cx
700
Ax
Ay
 Fx  0 Ax  700  Cx  0
 Fy  0 Ay  Cy  0  Cy  250 N
   M C  0
 700 1  Ax  3  Ay 1  0
Ax 
 700  250
3
 Ax  150N
Logo:
Cx   550N Ex  150N
5.3	Máquinas
· Máquinas são estruturas projetadas para transmitir e modificar forças. Seu principal objetivo é transformar forças de entrada em forças de saída.
Exemplo 2:
Analisamos as forças e momentos nas partes separadas
ΣF=0; ΣM=0.
Exemplo 3: A tesoura de poda pode ser ajustada apoiando-se o pino A em um dos vários dentes da lâmina ACE. Sabendo que forças verticais de 1500N são necessárias para cortar um ramo, determine o modulo P das forças que devem ser aplicadas nos apoios de mão quando a tesoura está ajustada como ilustrada.
D.C.L(Barra AB)
FAB
A
  arctg
13,8
16,3
 40,25º
13,8

16,3
B
FBA
FABX  FAB  cos  FAB  0,76
FABY  FAB  sen  FAB  0,65
D.C.L (ACE)
 (
35,1
37,5
12,5
F
C
E
F
AB
)
 Fy  0
 FAB  0,65  Cy 1500  0
 Fx  0
Cx  FAB  0,76  0
  M C  0
1500 37,5  FAB  0,7612,5  FAB  0,6535,1  0
FAB  1740N
logo
Cx  1323N
Cy  2631N
D.C.L (MCD)
87,5
P
37,5
32,55
Cy
Cx	1500
Dx
Dy
   M D  0
P  87,5 1500  37,5  Cx  32,55  0
1500  37,5  32,55 1323
P 
87,5
 P  150,7N
Exemplo 4: Uma barra uniforme de forma circular está presa por um pino em B e apoiada em uma parede sem atrito em A. determine as reações em A e B.
 (
Ax
r
P
2r/π
Bx
By
)
 M B  0
· A  r 
  2   0
x	P0  r	
	r 
A    2  1
P r
x	

 (

) (

)r  r
F  0  A  B
 0  B
  P  r  2 
 x	x	x
x	r 	r 
 Fy  0  By  P  0  By  P
Exemplo 5: Determine as forças nas barras GJ, GK e IK da treliça.
 (
3
T
T
Gk
Gj
T
Ik
J
θ
3
4
L
)
M1  0
 TG j  4  Lx  3  0
TG j  30KN
 Fx  0 Lx  TG k  cos  0
TG k  50KN
D.C.L (estrutura)
 M L  0
 Ax  9  1512 15 8 15 4  0
Ax  10KN
Fx  0
Ax  Lx  0  Lx  40KN
Fy  0
Ly 15 15 15  Ly  45KN
 Fy  0TG j  TG k  sen  TI k  Ly  0  TI k  45kN
Exemplo 6: Usando o método dos nós, determine a força em cada barra da treliça. Indique se cada barra esta tracionada ou comprimida.
D.C.L (Estrutura)
 M C  0
1,6  3  Fx 1,6  0  Fx  3KN
Fx  0Cx  Fx  0  Cx  3KN
Fy 1,6  Cy  Cy  1,6
Método dos Nós
D.C.L (A)
 (
T
DA
)TBA
1,6
  arctg 0,8   28,07
 Fy  0
1,6  TDA  sen  0
TDA  3,4 kN
	
 1,5 
Fx  0TBA  TDA cos  0
TBA  3kN
Exemplo 7: Determine a força P que deve ser aplicada ao elo articulado CDE para manter o suporte ABC na posição.
D.C.L (toda estrutura)
M E  0
 Ax 150  Ay 300  P 150  900150  0
Fx  0 Ax  Ex  P  0
Fy  0 Ay  Ey  900  0
Ax  60
D.C.L (ABC)
M C  0
 Ay  300  Ax  450  900 150  0
 Fx  0 Ax  Cx  0
 Fy  0 Ay  Cy  900  0
D.C.L (ED)
M D Ex 150  Ey  25  0
 Fx  0 Ex  Dx  P  0
 Fy  0 Ey  Dy  0
D.C.L (D.C)
M D  0
Cx 150  Cy  25  0
Fx  0Cx  Dx  P  0
Fy  0Cy  Dy  0
Exercícios:
1) Determine as forças em todas as Barras, e indique se ela esta sofrendo tração ou compressão.
2) Determine a força em cada barra da treliça e indique se essas barras estão sob ação de tração ou compressão. Considere que P1 = P2 = 4 kN.
3) Determine a força em cada barra da treliça e indique se essas barras estão sob tração ou compressão. Considere que P1 = 0 eP2 = 20 kN.
4) Determine as forças em todas as barras da treliça e indique se eles estão sob tração ou compressão.
5) Determine a força em cada barra da treliça. Indique se cada barra esta tracionada ou comprimida. As forças estão em [N].
6) Determine as forças em todas as barras da treliça e indique se eles estão sob tração ou compressão.
7) Determine as forças nas barras BC, HC e HG para a treliça da ponte e indique se eles estão sob tração ou compressão.
8) Determine as forças nas barras GF, CF e CD para a treliça da ponte e indique se eles estão sob tração ou compressão.
7) e 8)
9) Determine as forças nos elementos CE, CD e BD da treliça e indique se eles estão sob tração ou compressão.
10) Determine as forças nas Barras CE, CD e BD, e indique se ela esta sofrendo tração ou compressão.
11) Determine as forças nas barras DF, EF e EG da treliça. As forças estão em [N].
12) Determine as forças nos elementos CE, CD e BD da treliça e indique se eles estão sob tração ou compressão.
13) Calcular a força suportada pela barra BH da treliça, em balanço, carregada.
14) Calcular as forças que atuam nas barras IH, BH e BC da treliça, carregada pelas forças de 40 E 60 kN.
15) Calcular as forças que atuam nas barras CH, CB e GH da treliça em balanço.
16) (
(16)
)No guindaste em ponte rolante mostrado, todos os elementos cruzados são barras de amarração esbeltas incapazes de suportar compressão. Determine as forças nos elementos DF e EF e encontre a reação horizontal na treliça em A.
(15)
17) Calcule a força no elemento HN da treliça carregada.18) Determine a força no elemento DK da treliça para placas de sinalização carregada.
19) As estruturas articuladas ACE e DFB estão interligadas pelas duas barras articuladas, AB e CD, que se cruzam sem estarem ligadas. Calcular a força que atua em AB.
20) A treliça é composta de triângulos retângulos isósceles. As barras cruzadas nos dois painéis centrais são tirantes esbeltos, incapazes de suportar compressão. Calcular as forças nas barras MN, GM e FN.
21) A treliça suporta uma rampa (mostrada com uma linha tracejada) que se estende de um nível de chegada fixo próximo ao ponto F até um nível de saída fixo perto de
J. As cargas mostradas representam o peso da rampa. Determine as forças nos elementos BH e CD e indique se eles estão sob tração ou compressão.
	
22) Determine as forças nos elementos CD, CF e CG e indique se eles estão sob tração ou compressão.
23) Determine as forças nos elementos DE, EI, FI e HI da treliça do telhado em arco e indique se eles estão sob tração ou compressão.
24) Determinar a força suportada pelo pino B da estrutura, para as cargas aplicadas. As duas barras ABC e BD estão ligadas por este pino.
 (
30
)
25) Determine os componentes horizontal e vertical da força em C exercida pelo elemento ABC sobre o elemento CEF.
26) Determine a maior força P que deve ser aplicada à estrutura, sabendo-se que a maior força resultante em A deve ter intensidade de 2 kN.
27) Determinar a força suportada pelo pino C da estrutura carregada.
28) Determinar a força suportada pelo pino B da estrutura, para a carga aplicada de 300 kg. As duas polias estão ligadas entre si, formando uma unidade integral.
29) O elevador para carros permite que o carro seja movido para a plataforma, após o que as rodas traseiras são levantadas. Se o carregamento devido a ambas as rodas traseiras vale 6 kN, determine a força no cilindro hidráulico AB. Despreze o peso da plataforma. O elemento BCD é um suporte em ângulo reto preso por pino à plataforma em C.
30) Uma força de 75 N é aplicada ao cabo OAB do saca-rolha. Determine a força de extração F exercida sobre a rolha.
31) Para a tesoura de poda mostrada, determine a força Q aplicada ao galho circular de 15 mm de diâmetro para uma força de aperto P=200 N.
32) O rebitador é usado para inúmeras operações de junção. Para a posição do cabo dada por α .= 10º e um aperto no cabo P = 150 N, calcule a força de aperto C gerada. Observe que os pinos A e D são simétricos em relação à linha de centro horizontal da ferramenta.
33) Um lingote de aço pesando 40kN é levantado pela tenaz. Determine as forças aplicadas nos pontos C e E da peça BCE.
	CAPÍTULO 6
6 Centróide e Baricentro
Baricentro: Centro de Gravidade Centróide: Centro Geométrico
P  m  g   V  g    t  A  g	    g
 :densidade da massa específica t : espessura
 : peso específico
 (
Madeira
Aço
)Baricentro Centróide
 (
y
P
x
G
y
x
z
) (
y
∆P
x
y
x
z
)=
6.1 Áreas e Linhas - Placas e Arames Compostos
Placas	Arames
X  Ai   Xi  Ai Y  Ai  Yi  Ai
XLi   Xi  Li YLi  Yi  Li
 (
y
A
2
A
1
C
2
A
3
C
3
C
1
)
 (
y
A
 

 

 
Ai
Y
C
)X	x	x
Alguns centróides são tabelados devidos as suas formas comuns como veremos nas tabelas a seguir.
 (
y
A
1
A
2
A
3
Furo
)Exemplo 1:
x		Y  0 ,	pois	tem	o	eixo	de simetria no eixo x.
A1	A2	A3
+	_
 (
i
Xi
Ai
XiAi
1
-
+
-
2
+
+
+
3
+
-
-
)X   XiAi
Ai
Exemplo 2:
 (
y
1
r
x
L
2
)
	i
	
X
	
Y
	L
	
XL
	
YL
	1
	L
2
	0
	L
	L²
2
	0
	2
	L  r
	· 2r

	  r
	L  r  r
	 2r²
X  Li   XiLi
X L    r   L²  L  r   r
2
L²  L  r   r X  2	
L    r
0  2r²
Y  L    r
Exercícios:
Determine o centróide da área sombreada em relação aos eixos x e y.
a) b)
c)	d)
e)	f)
g)
	CAPÍTULO 7
7 Movimento Circular
7.1 Velocidade Angular ()
Um ponto material “P”, descrevendo uma trajetória circular de raio “r”, apresenta uma variação angular (∆) em um determinado intervalo de tempo (∆t). A relação entre a variação angular (∆) e o intervalo de tempo (∆t) define a velocidade angular do movimento.
  
t
Em que:
 = velocidade angular [rad/s]
∆ = variação angular [rad]
∆t = variação de tempo [s]
7.2 Período (T)
É o tempo necessário para que um ponto material "P",movimentando-se em uma trajetória circular de raio "r",complete um ciclo.
2
T 

Em que:
T = período [s]
 = velocidade angular [rad/s]
 =constante trigonométrica 3,1415...
7.3 Frequencia (f)
É o número de ciclos que um ponto material "P" descreve em um segundo,
movimentando-se em trajetória circular de raio "r". A freqüência (f) é o inverso do período (T).
Em que:
f  1  
T	2
f = freqüência [Hz] T = período [s]
 = velocidade angular [rad/s]
 = constante trigonométrica 3,1415...
Radiano
É o arco de circunferência cuja medida é o raio.
7.4 Rotação (n)
É o número de ciclos que um ponto material "P", movimentando-se em trajetória circular de raio "r", descreve em um minuto.
Desta forma,podemos escrever que: Logo: n  60 f
Como
f   , tem-se
60	30
n 	, portanto: n 
2	2	
Em que:
n = rotação [rpm] f = freqüência [Hz]
 = velocidade angular [rad/s]
 =constante trigonométrica 3,1415...
7.5 Velocidade Periférica ou Tangencial (v)
A velocidade tangencial ou periférica tem como característica a mudança de trajetória a cada instante, porém o seu módulo permanece constante
A relação entre a velocidade tangencial (v) e a velocidade angular () é definida pelo raio da peça.
v  r , portanto: v  .r

mas,isolando  na expressão da rotação,obtém-se: substituindo  na expressão anterior,obtém-se:
Em que:
v =velocidade periférica [m/s]
 =constante trigonométrica 3,1415... n =rotação [rpm]
r =raio [m]
 =velocidade angular [rad/s]
Exercícios:
1) A roda da figura possui d= 300mm ,gira com velocidade angular (J) = 10 rad/s. Determinar para o movimento da roda:
a) Período(T)
b) Freqüência (f)
c) Rotação(n)
d) Velocidade periférica (Vp)
2) O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação n= 1740rpm.
Determine as seguintes características de desempenho do motor:
a) Velocidade angular ()
b) Período (T)
c) Freqüência (f)
3) O ciclista da figura monta uma bicicleta aro 26 (d=660mm), viajando com um movimento que faz com que as rodas girem com n= 240rpm. Qual a velocidade do ciclista? V[km/h].
	CAPÍTULO 8
8 Relação de Transmissão (i)
8.1 Transmissão por Correias
i  d2
d1
 1 
2
f1  n1 f2	n2
 MT 2
MT 1
Em que:
i = relação de transmissão [adimensional] d1 =diâmetro da polia (1) (menor) [m; ...] d2 =diâmetro da polia (2) (maior) [m; ...]
1 =velocidade angular (1) [rad/s]
2 =velocidade angular (2) [rad/s] f1 =freqüência (1) [Hz]
f2 =freqüência (2) [Hz] n1 =rotação (1) [rpm] n2 =rotação (2) [rpm] MT1 =torque (1) [N.m] MT2 =torque (2) [N.m]
Exercício:
1) A transmissão por correias, representada na figura, é composta por duas polias com os seguintes diâmetros respectivamente:
polia (1) motora d1 =100mm polia (2) movida d2 =180mm
A polia (1) (motora) atua com velocidade angular  =39 rad/ s. Determinar para transmissão:
a) Período da polia (1) (T1)
b) Freqüência da polia (1) (f1)
c) Rotação da polia (1) (n1)
d) Velocidade angular da polia (2) (2)
e) Freqüência da polia (2) (f2)
f) Período da polia (2) (T2)
g) Rotação da polia (2) (n2)
h) Velocidade periférica da transmissão (vp)
i) Relação de transmissão (i)
8.2 Transmissão por engrenagens
Diâmetro primitivo da engrenagem: do= m . z Em que:
do - diâmetro primitivo
m – módulo da engrenagem z – número de dentes
i  do2  m.z2  1 
f1  n1  MT 2
do1
m.z1	2
f2	n2
MT 1
Observação
Para que haja engrenamento entre duas engrenagens, é condição indispensável que os módulos sejam iguais. Portanto:
i  do2  z2  1 
f1  n1  MT 2
do1
z1	2
f2	n2
MT 1
Em que:
i – relação de transmissão [adimensional] d01 - diâmetro primitivo do pinhão (1) [m] d02 – diâmetro primitivo da coroa (2) [m]
Z1 – número de dentes do pinhão(1) [adimensional] Z2 – númerode dentes da coroa (2) [adimensional]
1 – velocidade angular do pinhão(1) [rad/s]
2 – velocidade angular da coroa (2) [rad/s] f1 – freqüência do pinhão (1) [Hz]
f2 – freqüência da coroa (2)[Hz] n1 – rotação do pinhão(1) [rpm] n2 – rotação da coroa (2) [rpm] MT1 - torque do pinhão (1) [Nm] MT2 – torque da coroa (2) [Nm]
REDUTOR DE VELOCIDADE
A transmissão será redutora de velocidade quando o pinhão acionara coroa.
AMPLlADOR DE VELOCIDADE
A transmissão será ampliadora de velocidade quando a coroa acionar o pinhão.
 (
comprimento
 
dos
 
braços
 
é
 
l=200mm.
Resolução:
M
T
=2F.l M
T
=2.120.200 
M
T
=48000 
Nmm M
T
=48 Nm
)
	CAPÍTULO 9
9 Torção Simples
Uma peça encontra-se submetida a esforço de torção,quando sofre a ação de um torque (MT) em uma das extremidades e um contratorque (MT) na extremidades oposta.
9.1 Momento Torçor ou Torque (MT)
É definido por meio do produto entre a carga (F) e a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (ver figura anterior).
MT=2F.S
Em que:
MT- torque (Nm)
F – carga aplicada (N)
S – distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (m).
Exemplo1:
Determinar o torque de aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A carga aplicada nas extremidades da haste F=80N. O comprimento da haste é l= 200mm.
Resolução:
MT=2Fs MT=2.80.100 MT=16000 Nmm MT=16 Nm
Exemplo 2:
Dada a figura, determinar o torque de aperto (MT) no parafuso da roda do automóvel. A carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é F = 120N,e o
 (
Mecânica
 
Aplicada
 
e
 
Resistência
 
dos
 
Materiais
 
–
 
IFES
 
–
 
Campus
 
São
 
Mateus
 
–
 
Prof.
 
João
 
Paulo
 
Barbosa
)
 (
78
)
9.2 Torque nas Transmissões
Para as transmissões de movimento, o torque é definido por meio do produto entre a força tangencial (FT) e o raio(r) da peça.
MT=F.r
Em que:
MT- Torque [Nm]
FT – Força tangencial [N] r – raio da peça [m]
Exemplo 3:
A transmissão por correias, representada na figura, é composta pela polia motora (1) que possui diâmetro d1= 100mm e a polia movida (2) que possui diâmetro d2=240mm. A transmissão é acionada por uma força tangencial FT= 600N.
Determinar para transmissão:
a) Torque na polia (1)
b) Torque na polia (2)
 (
Mecânica
 
Aplicada
 
e
 
Resistência
 
dos
 
Materiais
 
–
 
IFES
 
–
 
Campus
 
São
 
Mateus
 
–
 
Prof.
 
João
 
Paulo
 
Barbosa
)
 (
100
)
	CAPÍTULO 10
10 Potência (P)
Define-se por meio do trabalho realizado na unidade de tempo. Tem-se então:
W-Watt
Em que:
P – potência [W]
FT – força tangencial [N]
Vp - velocidade periférica [m/s]
No século XVIII ao inventar a máquina a vapor James Watt decidiu demonstrar ao povo inglês quantos cavalos equivalia a sua máquina.
Para isso,efetuou a seguinte experiência:
F= Qmáx= 76 kgf
Carga máxima que o cavalo elevou com velocidade V= 1m/s.
Resultado em: P=F.v
P=76kgf. 1m/s P=76kgfm/s
Como:
kgf=9,80665N P=76.9,80665N.1m/s
P=745,...Nm/s, a unidade Nm/s = 1W, homenagem a J. Watt, surgiu dessa experiência o HP (horsepower).
hp=745,...w – cuja utilização é vedada no SI.
Após algum tempo a experiência foi repetida na França constando-se que Q=75kgf. Resultou daí o cv (cavalo vapor)
P=F.v
P=75kgf. 1m/s P=75kgfm/s
Como kgf=9,80665N Conclui-se que:
P = 75 . 9,80665Nm/s
p=735,5 W temporariamente permitida a utilização no SI.
RELAÇÕES IMPORTANTES
hp = 745,...W (horse power) – vedada a utilização no SI.
cv = 735,5W (cavalo vapor) – permitida temporariamente a utilização no SI.
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES
hp (horse power)-unidade de potência ultrapassada que não deve ser utilizada.
cv (cavalo-vapor) – unidade de potência cuja utilização é admitida temporariamente no SI.
10.1 Torque X Potência
10.2 Força Tangencial (FT)
Exemplo 1:
O elevador da figura encontra-se projetado para transportar carga máxima Cmáx= 7000N (10pessoas). O peso do elevador é Pe=1KN e o contra peso possui a mesma carga Cp=1kN.
Determine a potência do motor M para que o elevador se desloque com velocidade constante v=1m/s.
Exemplo 2:
A figura dada representa um servente de pedreiro erguendo uma lata de concreto com peso Pc=200N. A corda e a polia são ideais. A altura da laje é h=8m, o tempo de subida é t= 20s. Determinar a potência útil do trabalho do operador.
Exemplo 3:
Supondo que, no exercício anterior, o operador seja substituído por um motor elétrico com potência P=0,25kW, determinar:
a) Velocidade de subida da lata de concreto (vs)
b) Tempo de subida da lata (ts)
Exemplo 4:
Uma	pessoa empurra	o carrinho	de	supermercado,	aplicando	uma	carga F=150N,deslocando-se em um percurso de 42m no tempo de 1minuto.
Determinar a potência que movimenta o veículo.
Exemplo 5:
A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor elétrico com potência P=5,5kW com rotação n=1720rpm chavetando a polia (1) do sistema.
As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: d1=120mm (diâmetro da polia 1)
d2=300mm (diâmetro da polia 2) Desprezar as perdas.
Determinar para transmissão:
a) Velocidade angular da polia 1 (W1)
b) Freqüência da polia 1 (f1)
c) Torque da polia 1 (MT) I d)Velocidade angular da polia 2 (W2) e)Freqüência da polia 2 (f2)
f) Rotação da polia 2 (n2)
g) Torque da polia 2 (MT2)
h) Relação de transmissão (i)
i) Velocidade periférica da transmissão (Vp)
j) Força tangencial da transmissão (FT)
Exemplo 6:
A transmissão por engrenagens, representada na figura, é acionada por intermédio de um motor elétrico que possui potência P=0,75KW e gira com rotação n=1140rpm, acoplado à engrenagem (1) (pinhão). As engrenagens possuem as seguintes características:
Pinhão (1)	Coroa (2)
Número de dentes	Número de dentes
Z1=25 dentes	Z2=47dentes
Módulo	Módulo
M=2mm	M=2mm
Desprezando as perdas, determinar para a transmissão:
a) Velocidade angular do pinhão 1 (1)
b) Freqüência do pinhão 1 (f1)
c) Torque no pinhão 1 (MT1)
d) Velocidade angular da coroa 2(2)
e) Freqüência da coroa 2 (f2)
f) Rotação da coroa 2 (n2)
g) Torque na coroa 2 (MT2)
h) Relação de transmissão (i)
i) Força tangencial da transmissão (FT)
j) Velocidade periférica da transmissão (v)
Exercícios:
1) A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por meio da polia 1 por um motor elétrico com potência P= 7,5kW (P = 10cv) e rotação n=1140rpm. As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros:
d1 = 120mm (diâmetro da polia 1) d2 = 220mm (diâmetro da polia 2)
Determinar para transmissão:
a) Velocidade angular da polia 1(1)
b) Freqüência da polia 1 (f1)
c) Torque da polia 1 (MT1)
d) Velocidade angular da polia 2 (2)
e) Freqüência da polia 2 (f2)
f) Rotação da polia 2 (n2)
g) Torque da polia 2(MT2)
h) Velocidade periférica da transmissão (v)
i) Força tangencial (FT)
j) Relação de transmissão (i)
2) A transmissão por engrenagens, representada na figura, é acionada por meio do pinhão 1 acoplado a um motor elétrico de IV pólos com potência P= 15kW (p=20cv) e rotação n=1720rpm.
As características das engrenagens são:
Pinhão (engrenagem 1)	Coroa (engrenagem 2) Z1=24dentes (número de dentes)	Z2=73dentes (número de dentes) m=4mm (módulo)	m=4mm (módulo)
Determinar para a transmissão:
Engrenagem 1 (pinhão)	Engrenagem 2 (coroa)
a) velocidade angular (1)	d) velocidade angular (2)
b) freqüência (f1)	e) freqüência (f2)
c) torque (MT1)	f) rotação (n2)
g) torque (MT2)
Características da transmissão:
h) velocidade periférica (v)
i) força tangencial (FT)
j) relação de transmissão (i)
3) O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação n= 1500rpm.
Determine as seguintes características de desempenho do motor:
a) Velocidade angular ()
b) Período (T)
c) Freqüência (f)
4) A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor elétrico com potência P=2,5kW com rotação n=2000rpm chavetando a polia (1) do sistema.
As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: d1=120mm (diâmetro da polia 1)
d2=300mm (diâmetro da polia 2) Desprezar as perdas.
Determinar para transmissão:a)Freqüência da polia 2 (f2)
b) Rotação da polia 2 (n2)
c) Torque da polia 2 (MT2)
d) Relação de transmissão (i)
e) Velocidade tangencial da transmissão (VT)
f) Força tangencial da transmissão (FT)
	CAPÍTULO 11
11 Rendimento das Transmissões ()
Em qualquer tipo de transmissão, é inevitável a perda de potência que ocorre nas engrenagens, mancais, polias, correntes, rodas de atrito, originada pelo atrito entre as superfícies, agitação do oléo lubrificante, escorregamento entre correia e polia,etc.
Desta forma, constata-se que a potência de entrada da transmissão é dissipada em parte sob a forma de energia, transformada em calor, resultando a outra parte em potência útil geradora de trabalho.
Pe = Pu + Pd Em que:
Pe - potência de entrada [W;kW;...]
Pu – potência útil [W;kW;...]
Pd – potência dissipada [W;kW;...]
11.1 Rendimento das transmissões
Transmissão por parafuso sem fim
11.2 Perdas nas Transmissões
A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência (P) e rotação (n). As polias possuem os seguintes diâmetros:
d1 – diâmetro da polia 1 d2 – diâmetro da polia 2
As engrenagens possuem os seguintes números de dentes: Z1 – número de dentes da engrenagem 1
Z2 – número de dentes da engrenagem 2 Z3 – número de dentes da engrenagem 3 Z4 – número de dentes da engrenagem 4
Os rendimentos:
c - rendimento da transmissão por correias
e - rendimento da transmissão por engrenagens
m - rendimento do par de mancais
Exemplo 1:
Determinar as expressões de:
a) Potência útil nas árvores (1, 2 e 3)
b) Potência dissipada/estágio
c) Rotação das árvores(1, 2 e 3)
d) Torque nas árvores(1, 2 e 3)
e) Potência útil do sistema
f) Potência dissipada do sistema
g) Rendimento da transmissão
Exemplo 2:
A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P=5,5kW (P=7,5CV) e rotação n=1740 rpm. As polias possuem os seguintes diâmetros:
d1=120mm d2 = 280mm
As engrenagens possuem os seguintes números de dentes: Z1= 23 dentes; Z2= 49 dentes;
Z3=27 dentes; Z4= 59 dentes
Os rendimentos são:
c = 0,97 (Transmissão por correia em V)
e = 0,98 (Transmissão/par de engrenagens)
m = 0,99 (Par de mancais (rolamentos))
Determinar na transmissão:
a) Potência últil nas árvores 1, 2 e 3.
b) Potência dissipada/estágio
c) Rotação das árvores 1, 2 e3.
d) Torque nas árvores 1, 2 e 3
e) Potência útil do sistema
f) Potência dissipada do sistema
g) Rendimento da transmissão
Exercícios:
1) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico compotência P=3,7kW (p= 5cv) e rotação n=1710rpm.
Os diâmetros das polias são: d1=100mm(polia motora)
d2= 250mm(polia movida)
O número de dentes das engrenagens: Z1= 21dentes; Z2= 57dentes;
Z3= 29dentes e Z4= 73dentes
Rendimentos dos elementos de transmissão:
c= 0,97 (transmissão por correias)
e= 0,98 (transmissão por engrenagens)
m= 0,99 [par de mancais (rolamentos)]
Determinar para transmissão:
a) Potência útil nas árvores 1, 2 e 3
b) Potência dissipada/estágio
c) Rotação das árvores 1, 2 e 3
d) Torque nas árvores 1, 2 e 3
e) Potência útil do sistema
f) Potência dissipada do sistema
g) Rendimento da transmissão
2)
3) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P=5,0kW e rotação n=1500 rpm. As polias possuem os seguintes diâmetros:
d1=100mm d2 = 200mm
As engrenagens possuem os seguintes números de dentes: Z1= 23 dentes; Z2= 59 dentes;
Z3=27 dentes; Z4= 49 dentes
Os rendimentos são:
c = 0,97 (Transmissão por correia em V)
e = 0,98 (Transmissão/par de engrenagens)
m = 0,99 (Par de mancais (rolamentos))
Determinar na transmissão:
a) Torque na saída do sistema.
b) Potência útil do sistema.
c) Potência dissipada do sistema.
d) Rendimento da transmissão.
4) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P = 5,1 kW e rotação de n=1930 rpm.
Os diâmetros das polias são:
d1=225mm(polia motora) d2= 450mm(polia movida)
O número de dentes das engrenagens de módulo 2mm:
Z1= 23dentes, Z2= 73dentes; Z3= 29dentes, Z4= 57dentes; Z5= 17dentes e Z6= 43dentes
Rendimentos dos elementos de transmissão:
c= 0,97 (transmissão por correias)
e= 0,98 (transmissão por engrenagens)
m= 0,99 [par de mancais (rolamentos)]
Determinar para transmissão:
a) Potência útil nos eixos I, II, III e IV;
b) Rotação nos eixos I, II, III e IV;
c) Torque nos eixos I, II, III e IV;
d) Freqüência nos eixos I, II, III e IV;
e) Velocidade angular nos eixos I, II, III e IV;
f) Velocidade Tangencial de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6);
g) Força tangencial da de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6);
h) Potência útil do sistema;
i) Potência dissipada do sistema;
j) Rendimento da transmissão;
k) Qual a relação de transmissão do sistema (motor até a saída da transmissão)?
5) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P = 9,5 kW e rotação de n=2500 rpm.
Os diâmetros das polias são:
d1=125mm(polia motora) d2= 400mm(polia movida)
Rendimentos dos elementos de transmissão:
c= 0,97 (transmissão por correias)
e= 0,98 (transmissão por engrenagens)
m= 0,99 [par de mancais (rolamentos)]
O número de dentes das engrenagens de módulo 2mm:
Z1= 17dentes, Z2= 31dentes; Z3= 21dentes, Z4= 47dentes; Z5= 27dentes e Z6= 53dentes
Determinar para transmissão:
a) Potência útil nos eixos I, II, III e IV;
b) Rotação nos eixos I, II, III e IV;
c) Torque nos eixos I, II, III e IV;
d) Freqüência nos eixos I, II, III e IV;
e) Velocidade angular nos eixos I, II, III e IV;
f) Velocidade Tangencial de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6);
g) Força tangencial da de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6);
h) Potência útil do sistema;
i) Potência dissipada do sistema;
j) Rendimento da transmissão;
k) Qual a relação de transmissão do sistema (motor até a saída da transmissão)?
 (
Forças de Corpo: 
Um corpo exerce uma força sobre outro, sem contato físico direto entre eles. Ex: Efeitos causados pela gravidade da terra…etc
)
	CAPÍTULO 12
12 Noções de Resistência dos Materiais
12.1 Introdução
A Resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo.
Abrangência
Cálculo da deformação do corpo
Estudo da estabilidade do corpo quando ele está submetido a forças externas.
Nomes
Mecânica dos materiais e Mecânica dos corpos deformáveis
Corpos sólidos considerados: Barras com carregamentos axiais, eixos em torção, vigas em flexão e colunas em compressão.
Por que o entendimento do comportamento mecânico é essencial?
Pense nos parafusos que são usados no acoplamento da estrutura apresentada na figura ao lado.
Forças Externas: Força de superfície ou força de corpo.
Forças de superfície: Causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície de outro ⇒ Força distribuída na área de contato entre os corpos.
Caso particular: Carga concentrada Por que?
 (
Mecânica
 
Aplicada
 
e
 
Resistência
 
dos
 
Materiais
 
–
 
IFES
 
–
 
Campus
 
São
 
Mateus
 
–
 
Prof.
 
João
 
Paulo
 
Barbosa
)
 (
103
)
Os objetivos do estudo da resistência dos materiais são:
Analisar o comportamento dos elementos ou estruturas quando estes estão sendo solicitados;
Determinar as propriedades dos elementos (dimensões, forma, material) que o fazem ser capaz de resistir à ação destas solicitações;
Descobrir as possíveis causas das falhas dos elementos.
12.2 Esforços externos ou carregamentos
Os esforços externos que estão interagindo com o elemento a ser estudado, devem ser determinados com certa exatidão, para que o projeto seja valido.
Os esforços externos podem ser divididos em:
Forças externas; Momentos externos.
Forças externas
Quanto ao ponto de aplicação
Quanto ao fato de serem ação ou reação Quanto em relação ao eixo
Quanto à direção relativa a uma seção Quanto ao tipo de carregamentoForça Normal N e Força Cortante Q
A força normal N é perpendicular a superfície ou seção, enquanto que a força cortante Q é tangencial a esta superfície ou seção.
Momentos externos Momentos de torção Momentos de flexão
 (
Mecânica
 
Aplicada
 
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Resistência
 
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Materiais
 
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IFES
 
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Campus
 
São
 
Mateus
 
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Prof.
 
João
 
Paulo
 
Barbosa
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 (
104
)
Momento de Flexão
O momento fletor tende a encurvar as barras ou eixos
MOMENTO DE TORÇÃO
O momento torçor ou torque tende a produzir giro ou deslizamento entre as seções de um eixo.
SOLICITAÇÕES MECÂNICAS
COMBINAÇÃO
12.3 Solicitações Simples
São Cinco os tipos básicos de carregamentos (forças e momentos) que podem submeter os elementos de máquinas.
Tração: Cabo de aço;
Compressão: Latas de refrigerantes empilhadas;
Corte ou cisalhamento: Chapas parafusadas, Corte de chapas (guilhotina); Flexão: Viga ou eixo;
Torção: Chave apertando um parafuso.
12.3.1 Tração
12.3.2 Compressão
12.3.3 Cisalhamento ou corte
Cisalhamento ou corte ocorre quando se aplica um esforço tangencial à área da seção transversal da peça de modo a produzir nesta área uma pressão maior que a máxima pressão (tensão admissível) suportada pela peça em questão.
12.3.4 Flexão
Flexão quando se aplica um esforço cortante na peça, as fibras superiores da peça serão comprimidas e as fibras inferiores serão tracionadas, ou vice-versa.
12.3.5 Torção
Torção quando atuar um torque em uma de suas extremidades e um contra-torque na extremidade oposta. Assim, tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra.
Resumo
12.4 Solicitações Compostas
Combinações das solicitações simples aplicadas em peças e elementos de máquinas.
Eixo de transmissão
Barra em forma de L
Elo de corrente
Viga e tirante
12.5 Ensaio de Tração
12.5.1 Tensão Deformação
Deformação plástica - dutilidade
12.6 Modos de falhas trativas:
Material Frágil	Material Dúctil
12.7 Tensões
Tensão: Esforço interno distribuído ao longo de uma seção da peça mecânica. Parece Pressão mas não é!!!
Tensão Normal:  = P/A (Força Normal);
Tensão Cisalhante: Esforço interno para suportar força de corte ou cisallhamento distribuido ao longo da seção da peça
Tensão Cisalhante:  = Q/A;
12.8 Módulo de Elasticidade
Obs.: È Comum encontrar-se o módulo de elasticidade em Mpa (megapascal)
12.9 Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de Resistência:
	CAPÍTULO 13
13 Tração e compressão
13.1 Carregamento Axial
13.2 Deformação sob Carregamento Axial
Da lei de Hooke:
  E
  
E
 P 
AE
Da definição de extensão:
   
L
A deformação é expressa por:
  PL
AE
Para variações da área da secção, propriedades e/ ou cargas aplicadas:
  
i
Pi Li
Ai Ei
13.3 Tensão Normal 
Lei de Hooke (cientista inglês – 1678)
13.4 Deformação Longitudinal (ε)
13.5 Deformação Transversal (εt)
13.6 Estricção
13.7 Coeficiente de Segurança k
Tensão (pressão) de escoamento : quando se entra na deformação permanente do material que está submetido a esforços de tração ou compressão. Esta situação ocorre após o limite máxima da deformação elástica
Tensão de ruptura : quando se excede à máxima tensão (pressão) do material que está submetido a esforços de tração ou compressão. Neste momento ocorre a estricção.
Exemplo 1:
Exemplo 2:
A barra rígida BDE rígido é suportada por dois elementos AB e CD. O elemento AB é feito em alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área de secção transversal de 500 mm2. O elemento CD é de aço (E = 200 GPa) e tem uma área de secção transversal de 600 mm2. Para uma força de 30 kN aplicada na extremidade da barra BDE, determine o deslocamento:
a) do ponto B,
b) ponto D,
c) ponto E.
Resolução:
	
Descolamento do ponto D:
 BB  BH
DD	HD
0.514 mm  200 mm x
0.300 mm	x
x  73.7 mm
 EE  HE
DD

HD
400  73.7mm
	E	 
0.300 mm
 E  1.928 mm
73.7 mm
 E  1.928 mm 
Exercício 1:
Exercício 2:
Exercício 3:
	CAPÍTULO 14
14 Flexão
· Vigas são barras comprimidas e retas com área da seção transversal constante que suporta cargas aplicadas perpendicularmente ao seu eixo longitudinal.
· Exemplos: Apoio dos pinos de edifícios, tabuleiro de uma ponte ou asa de avião, o eixo de um automóvel, a lança de um guindaste, etc.
· Vigas desenvolve força cortante e momento fletor que variam de ponto para ponto ao longo do seu eixo.
· Consideremos elementos retos de seção transversal simétrica, feitos de material homogêneo linear elástico.
São classificadas conforme seus apoios:
Viga em balanço ( ou viga engastada):
Viga apoiada em apenas uma das extremidades por um apoio do tipo engastado.
Viga simplesmente apoiada:
Viga apoiada em uma das extremidades por um apoio articulado fixo e na outra por um apoio articulado móvel.
Viga apoiada com extremidade em balanço: Viga simples que se prolonga além de um ou dos dois apoios.
14.1 Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor
Tipos de Carregamento em uma Viga:
· Carga concentrada: quando um carregamento é aplicada sobre uma área muito pequena.
o Carga distribuída: quando o carregamento está distribuído pelo eixo da viga, são medidos pela sua intensidade que é expressa em unidades de força por unidade de distancia, por exemplo [N/m]. Podem ser
· Carregamento uniformemente distribuído, ou
· Carregamento com variação linear.
· Binário: é um momento que atua sobre uma força.
o Quando uma viga sofre a ação de forças e momentos, são criadas tensões e deformações no seu interior.
Para determinar essas tensões e deformações, primeiro devemos encontrar as forças e os momentos internos que atuam nas seções transversais da viga.
Sabendo-se calcular o valor do momento fletor e da força cortante nas infinitas seções de uma viga torna-se possível traçar diagramas ou gráficos que representem estes esforços.
A fim de projetar viga adequadamente é necessário determinar o cisalhamento e momento máximos.
Convenção de sinais: A força de cisalhamento V e o momento fletor M são positivos no sentido mostrado:
14.2 Tensão de Flexão
A Máxima tensão de flexão (max) produzido pelo momento Maximo será inferior à tensão admissível à flexão do material.
	 
 M f .h  M f
	
adm
max	I	W
Mf – Momento fletor máximo (Nmm);
h – altura da linha neutra ate a extremidade (mm); I - momento de inércia da secção (mm4);
	- Tensão normal num ponto na fibra externa (N/mm²); W – Modulo de Resistencia da transferência ( N/mm).
W  I
h
Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor da viga mostrada
 (
Mecânica
 
Aplicada
 
e
 
Resistência
 
dos
 
Materiais
 
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Campus
 
São
 
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João
 
Paulo
 
Barbosa
) (
Exemplo
 
1
:
)
 (
126
)
Exemplo 2:
Momento Fletor e Esforço Cortante
 (
Mecânica
 
Aplicada
 
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São
 
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João
 
Paulo
 
Barbosa
)
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127
)
Exercícios:
1) Determine o Momento Fletor Máximo aplicado na viga que será utilizado para calcular a Máxima tensão de flexão (σmax)
2) Determine o Momento Fletor Máximo aplicado na viga que será utilizado para calcular a Máxima tensão de flexão (σmax)
3)
4)
5)
	CAPÍTULO 15
15 Torção
Torção refere-se ao giro de uma barra quando carregada por torques que tendem a reproduzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra.
Exemplos de barras em torção: O Giro de uma chave de fenda, eixos propulsores, brocas de furadeiras, etc.
15.1 Transmissão de Potência
Eixos e tubos com seção transversal circular são, com freqüência, empregados para transmitir potência gerada por maquinas.
A potência é transmitida através de um movimento rotatório do eixo e a quantidade de potência transmitida depende do torque e da velocidade de rotação
Um problema comum de dimensionamento é determinar o tamanho do eixo de tal forma que ele transmita uma quantidade especifica de potência numa velocidade de rotação especicada sem exceder as tensões admissíveis do material.
15.1.1 Torção em Eixosde Secção Circular
· A turbina exerce sobre o eixo de transmissão o momento torçor T.
· O eixo transmite o momento T ao gerador.
· O gerador reage, exercendo sobre o eixo um momento igual e contrário T’.
15.2 Análise das Tensões num Eixo
O momento torçor T tem a mesma intensidade que a soma dos momentos dF, em relação ao centro:
O momento torçor produz tensões tangenciais nas faces perpendiculares ao eixo da barra.
Condições de equilíbrio requerem a existência de tensões tangenciais nas duas faces formadas pelos planos que passam pelo eixo.
Considerando o eixo constituído por lâminas finas, verifica-se o deslizamento das lâminas devido à aplicação de momentos, com a mesma intensidade e sentidos opostos, nas extremidades da peça.
15.3 Deformações nos Eixos de Secção Circular
O ângulo de torção é proporcional a T e ao comprimento L do eixo:
  T
  L
Nos eixos circulares, as secções transversais mantêm-se planas e não se deformam.
A distorção numa barra circular varia linearmente com a distância ao eixo da barra.

L  	ou	 
L
 max
 c
L
e	   
c
max
 (
Mecânica
 
Aplicada
 
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Prof.
 
João
 
Paulo
 
Barbosa
)
 (
133
)
15.4 Tensão de Torque
No caso de ter tensão de cisalhamento ( max
) produzido pelo torque Maximo será
inferior a tensão admissível à torção do material.
	 
 Mt .r  Mt
adm
	
max	J	W
Mf – Momento fletor máximo (Nmm); r – Raio (mm);
J – Momento Polar de inércia da seção (mm4);
 - Tensão cisalhante na fibra externa (N/mm²);
W – Modulo de Resistencia da transferência ( N/mm).
W  J
r
15.5 Tensões no Regime Elástico
A partir da equação anterior:

G 
G max
c
Aplicando a lei de Hooke,   G
   
, vem:
c max
A tensão tangencial varia linearmente com a distância ao eixo da barra. Recordar que:
T    dA   max   2 dA   max J
c	c
Fórmulas de torção no regime elástico:
 (
Mecânica
 
Aplicada
 
e
 
Resistência
 
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Materiais
 
–
 
IFES
 
–
 
Campus
 
São
 
Mateus
 
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Prof.
 
João
 
Paulo
 
Barbosa
)
 (
148
)
 max
 Tc J
e	  T J
J  1  c4
2
J  1  c4  c4 
2	2	1
15.6 Modos de Falha Torcionais
Os materiais ductéis geralmente rompem por tensões tangenciais. Material ductile:
Material frágil:
Exemplo 1:
Exercício de Esforços Internos de Torção
Para o carregamento indicado e considerando que os apoios A e B permitem ao eixo girar livremente, represente o diagrama de esforços internos de torção.
Exemplo 2
O eixo circular BC é oco e tem diâmetros de 90mm e 120mm, respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro d. Determinar:
a) O valor máximo e mínimo da tensão tangencial no eixo BC;
b) O diâmetro necessário nos eixos AB e CD, se a tensão admissível no material for de 65 MPa.
Resolução:
Considerar secções transversais nos eixos AB e BC, e recorrer ao equilíbrio estático:
 M x  0  6 kN m TAB TAB  6 kN m  TCD
 M x  0  6 kN  m 14 kN m TBC TBC  20 kN  m
Aplicar as fórmulas de torção no regime elástico, para determinar as tensões tangenciais no eixo BC:
J   c4  c4   0.0604  0.0454  13.92106 m4
2	2	1	2
	 
 T c  20 kN  m0.060 m  86.2 MPa
max
 min
2
 c1
BC 2
J
 min
13.92106 m4
 45 mm
 max	c2
86.2 MPa
60 mm
 min  64.7 MPa
 max  86.2 MPa
 min  64.7 MPa
Aplicar a fórmula de torção no regime elástico e determinar o diâmetro necessário:
 max
 Tc  Tc
 (
c
) (
J
) 4
2
6 kN m
 (
c
) (

 
 
3
) 	65MPa 
2
c  38.9 103 m
d  2c  77.8 mm
15.7 Ângulo de Torção no Regime Elástico
	 c
max	L
Aplicando a Lei de Hooke,
 max
  max
G
 Tc
JG
Igualando as expressões e resolvendo em ordem ao ângulo,
  TL
JG
   Ti Li
i JiGi
15.8 Eixos Estaticamente Indeterminados
Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado, determinar as reacções ao momento em A e B.
A partir do diagrama de corpo livre,
TA  TB  90 lb  ft
Conclui-se que o problema é estaticamente indeterminado.
 (
B
) (
A
)Dividir o eixo em duas secções, as quais devem ter deformações compatíveis,
    
 TAL1  TB L2  0
T  L1J 2 T
 (
1
2
)J1G
J 2G
L2 J1
Substituir na equação de equilíbrio inicial,
T  L1J 2 T
A	L J	A
 90 lb  ft .
2 1
Exercícios:
1) Determine qual será a Torção Máxima aplicado no eixo que será utilizado para calcular a Máxima . tensão de cisalhamento (max)
a)
b)
2)
3)
4)
	CAPÍTULO 16
16 Flambagem
A flambagem ou encurvadura é um fenômeno que ocorre em peças esbeltas, quando submetidas a um esforço de compressão axial. Acontece quando a peça sofre flexão transversalmente devido à compressão axial.
A flambagem é considerada uma instabilidade elástica, assim, a peça pode perder sua estabilidade sem que o material já tenha atingido a sua tensão de escoamento. Este colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de menor momento de inércia de sua seção transversal. A tensão crítica para ocorrer a flambagem não depende da tensão de escoamento do material, mas de seu módulo de Young.
16.1 Módulo de Young
O módulo de Young ou módulo de elasticidade é um parâmetro mecânico que proporciona uma medida da rigidez de um material sólido.
Obtém-se da razão entre a tensão (ou pressão) exercida e a deformação unitária sofrida pelo material. Isto é,
16.2 Carga Crítica de Flambagem
Pcr - carga crítica de flambagem: faz com que a peça comece a flambar. Equilíbrio estável: P < Pcr - não há flambagem
Equilíbrio indiferente: P = Pcr Equilíbrio instável: P > Pcr
Para determinar se uma peça irá sofrer flambagem ou compressão, temos que calcular o seu índice de esbeltez e compará-lo ao índice de esbeltez crítico. Esse índice é padronizado para todos os materiais.
Se o índice de esbeltez crítico for maior que o índice de esbeltez padronizado do material, a peça sofre flambagem, se for menor, a peça sofre compressão.
16.3 Indice de Esbeltez
Mede o quão esbelto é um pilar.
Ele mede a facilidade ou a dificuldade que um pilar tem de flambar. O índice de esbeltez de uma peça é dado por:
Consideramos uma barra homogênea de comprimento inicial L preso por pinos em ambas as extremidades, à qual é aplicada uma força axial de compressão de módulo P. Supomos que a barra se flexiona formando uma pequena flecha para direita. Esta flexão acarreta que a distância entre as extremidades seja ligeiramente reduzida de L para A. Denotamos então por u(x) a deflexão horizontal da curva central, onde x varia entre 0 e A.
O momento da força P à altura x é dado então por:
Da teoria de vigas, sabe-se que o momento fletor se relaciona com o raio de curvatura da barra de seguinte forma:
16.4 Flambagem de Colunas
Carga Excêntrica – Fórmula Secante
M - Momento P - Força Axial
e - Excentricidade
O conjugado M sempre irá provocar flexão na coluna;
17 Referencias Bibliográficas:
MELCONIAN, SARKIS. Mecânica técnica e resistência dos materiais. Editora Érica, ISBN-10: 8571946663, 2000.
Mecânica Vetorial para Engenheiros : Estática - Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr, Elliot R. Eisenberg e William E. Clausen, 7 Ed. Mc Graw Hill, 2006.
Mecânica: Estática - J. L. Merian, L.G. Kraige, 5 Ed. LTC, 2004.
Estática; Mecânica para Engenharia – R. C. Hibbeler, 10 Ed. Pearson, 2005. Estática - Arthur P. Boresi, Richard J. Schmidt – 1 Ed. Thomson Learning, 2003.
Resistência dos Materiais - E. Russell Johnston, Jr. Ferdinand P. Beer e John T. Dewolf, 4 Ed. Mcgraw Hill, 2007.
Resistência dos Materiais - R. C. Hibbeler, 5 Ed. Pearson, 2004.
Resistência dos Materiais - Manoel Henrique campos Botelho, 1 Ed. Edgard Blucher, 2008.
Mecânica dos Materiais - James M. Gere, 1 Ed. Thomson Learning, 2003.
Respostas dos Exercícios:
Capitulo 2
3)P. max=240N
5) para João subir: AC=377,9 e AB=755,81 para os dois descerem: AC=726,74 e AB=1453,48
6)ABC=1907,5 e DE=309,96
Capitulo 3
1)16,5N
2)Mo= -2579,01 N.m
3)Ma= 1414,20 N.m
4)Ma = 19,90 kN.m
5)f= 160 N
6)Ma = - 16,281kN.m
7)Mb = -457.52 N.mm
8)W = 120 N
Capitulo 4
1)A = 7,35 kN e B = 16,65kN
4)A = 11134,10N e B = 12034,81N
5)A = 72,72N e B = 200N
6)A = 5240,80N e B 6535,22N
7)A = 8kN e B = 7,20kN
8)A = 85N e B = 115 N
9) Ax = 296,19N, Bx = - 46,19N e By = 273,20N
Capitulo 5
1)AB = 25kN (T), BD = 25kN (T), AC = -35,35kN (C) , BC = 100kN (T) e CD = -
106,06kN (C)
2)AB=12kN (T) , ED= -6,96kN (C), EB= -4kN (C), DC= -6,96kN (C), BD= 4kN (T) e BC= 8kN (T)
3)AB= -28,28kN (C), AF= -10kN (C), GB=30kN (T), BC=10kN (T), BF=19,99kN (T), EF=9,99kN (T), EC=20kN (T), ED=10kN (T), CF= -28,28kN (C)e CD= -14,14 (C)
4)EC= 50kN (T) , ED=200kN (T), CD=0, BD=0, EC=50kN (T), BC=0, AC=O E AB=0
5)AC=0, AB=-300N (C), BD= 120N (T), BC= 323,10N (T), CE= -20N (C), CD=
53,85N (T), DF= 160N (T), DE= -53,85N (C), e EF= - 700,11N (C)
6)AC= -282,85kN (C), AB= 200kN (T), CD= -70,71kN (C), CE= -150kN (C), DF=332,85kN (T), DE=150kN (T), BC=0,BD= -282,85kN (C), EF= -235,36kN (C)
7) BC= 20,5kN (T), HC= 12,02kN (T) e HG= -29kN (C)
10)CD=88,38kN (T), BD=125kN (T), CE= -62,50kN (C)
11)DF= -62,50N (C), EF=194,85N (T), e EG= -34,93N (C)
12)BD=87,5kN (T), CD= -17,68kN (C), CE= -75kN (C)
24)Bx= 173,20kN e By= -100kN
25)Cx= -75N e Cy=200N
26)P= 0,742kN
27)Cx=1200N e Cy= 1800N
29) AB= - 15,88kN
30)F= - 226,68N
33)C= 22,8kN, Ex= - 22,8kN e Ey= -20kN
Capitulo 6
1)
a) X=50mm		e Y= 37,90mm c)X=66,82	e Y=67,32 d)X=4,62pol e Y=1pol e)X=2,53pol e Y=4,62pol
f) X=2a	e Y= 0,58a
g) X= 2a	e Y= 2a
Capitulo 7
1)
a) T=0,2s; b) f=5Hz; c) n=300rpm; d) v=4,71 m/s
2) a)  = 58 rad/ s; b) T = 1/29 s ou 0,0345 s; c) f = 29Hz
3) v = 30km/h
Capitulo 8
1)
a) T=0,0512s
b) f1= 19,5Hz
c) n1=1170rpm
d) 2=21,67 rad/s
e) f2=10,835Hz
f) T2=0,0922s
g) n2=650rpm
h) v=6,12 m/s i) i=1,8
Capitulo 10
1)
2)
Capitulo 11
1)
2)
4)
a)PI=4897,53W, PII=4751,58W, PIII= 4609,98W e PIV= 4772,60W
b)nI= 965 rpm, nII=304,04rpm, nIII = 154,68rpm e nIV = 61,15rpm
c)MTI= 48,46 N.m, MTII=149,23 N.m, MTIII= 284,6 N.m e MTIV= 745,29 N.m c) f1=16,08 Hz, f2=5,06 Hz, f3= 2,58 Hz e f4= 1,01 Hz
d)
e)WI=32,16 rad/s, WII= 10,12 rad/s, WIII= 5,16 rad/s e WIV=2,02 rad/s f)VTp1/2=3,618m/s, VTe1/2= 0,738 m/s, VTe3/4=0,29 m/s e VTe5/6= 0,086 m/s g)FTI=215,37N, FTII=2044,24N, FTIII= 4992,98N e FTIV=17332,32N
h)P util= 4472,60W i)P disc = 627,4W j)=0,87 (87%)
k)i= 31,56 rpm