AULA 21

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27/05/2024
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Resistência dos Materiais III
Prof.ª Fernanda Lins Gonçalves Pereira
27/05/2024 Resistência dos Materiais III - Prof.ª Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 1
Estado de tensões
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Estado plano de tensões Estado plano de tensões
(vista bidimensional)
Estado geral de tensão
Transformação de Tensão
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2 índice: face na qual a tensão atua
1índice: direção da tensão
Convenção de sinal positivo xy
x
y
x
y
'y'x 'x
'y
'y
'x

'y'x 'x
'y
'y
'x

Transformação de Tensão
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
dAdA cos
dA sen
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Transformação de Tensão
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x’
y’

y dAsen
x ydAsen
x’ y’ dA
x’dA
xdAcos
y x dAcos
x y dA cos  sen 
xdAcos2
x y dA sen  cos 
ydAsen2
x y dA cos2
xdA cos sen
x y dA sen2
ydA sencos
Transformação de Tensão
∑ 𝐹 = 0 (Vermelho)
𝜎 𝑑𝐴 = 𝜎 𝑑𝐴 cos 𝜃 + 𝜎 𝑑𝐴 sen 𝜃 + 𝜏 𝑑𝐴 cos 𝜃 sen 𝜃 + 𝜏 𝑑𝐴 cos 𝜃 sen 𝜃
𝜎 = 𝜎 cos 𝜃 + 𝜎 sen 𝜃 + 2𝜏 cos 𝜃 sen 𝜃
𝜎 = + cos 2𝜃 + 𝜏 sen 2𝜃 
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Transformação de Tensão
∑ 𝐹 = 0 (Verde)
𝜏_𝑥′𝑦′ 𝑑𝐴= − 𝜎 𝑑𝐴 cos 𝜃 sen 𝜃 + 𝜎 𝑑𝐴 cos 𝜃 sen 𝜃 + 𝜏 𝑑𝐴 cos 𝜃 − 𝜏 𝑑𝐴 sen 𝜃
𝜏 = −(𝜎 − 𝜎 ) cos 𝜃 sen 𝜃 + 𝜏 (cos 𝜃 − sen 𝜃)
𝜏 = − sen 2 𝜃 + 𝜏 cos 2 𝜃
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Tensões Principais
• Tensões Principais – Tensões normais máxima e mínima
• Determinação da direção que maximiza ou minimiza a tensão 𝜎
𝜎 = + cos 2 𝜃 + 𝜏 sen 2 𝜃
= − 2 sen 2 𝜃 + 2𝜏 cos 2 𝜃 = 0
𝑡𝑔2𝜃 =
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
xy
(x- y)/2
2’

2’’


O
A
B
-xy
-(x- y)/2
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Tensões Principais
• Tensões Principais – Tensões normais máxima e mínima
• Determinação da direção que maximiza ou minimiza a tensão 𝜎
• Determinação das tensões principais 𝜎 (máxima) e 𝜎 (mínima)
sen 2 𝜃 = − sen 2 𝜃 =
cos 2 𝜃 = − cos 2 𝜃 =
𝜎 = + cos 2 𝜃 + 𝜏 sen 2 𝜃
𝜏 = − sen 2 𝜃 + 𝜏 cos 2 𝜃
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
xy
(x- y)/2
2’

2’’


O
A
B
-xy
-(x- y)/2
𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = + 𝜏
Tensões Principais
• Tensões Principais – Tensões normais máxima e mínima
• Determinação da direção que maximiza ou minimiza a tensão 𝜎
• Determinação das tensões principais 𝜎 (máxima) e 𝜎 (mínima)
𝜎 = 𝜎 (𝜃 ) = + + 𝜏
𝜎 = 𝜎 (𝜃 ) = − + 𝜏
𝜏 𝜃 = 𝜏 𝜃 = 0 → As tensões cisalhantes atuantes nos planos de 
tensão normal principal (máximas/mínimas), são sempre nulas
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Tensão de Cisalhamento Máxima
• Tensão de Cisalhamento Máxima
• Determinação da direção que maximiza ou minimiza a tensão 𝜏
𝜏 = − sen 2 𝜃 + 𝜏 cos 2 𝜃
= − 2 cos 2 𝜃 − 2𝜏 sen 2 𝜃 = 0
𝑡𝑔2𝜃 = −
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
-xy
-(x- y)/2
2’ 

2’’


O
A
B
xy
(x- y)/2
Tensão de Cisalhamento Máxima
• Tensão de Cisalhamento Máxima
• Determinação da direção que maximiza ou minimiza a tensão 𝜏
• Determinação da tensão cisalhamento máxima 𝜏 á e mínima 𝜏 í
sen 2 𝜃 = − sen 2 𝜃 =
cos 2 𝜃 = − cos 2 𝜃 =
𝜏 = − sen 2 𝜃 + 𝜏 cos 2 𝜃
𝜎 = + cos 2 𝜃 + 𝜏 sen 2 𝜃
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
-xy
-(x- y)/2
2’ 

2’’


O
A
B
xy
(x- y)/2
𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = + 𝜏
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Tensão de Cisalhamento Máxima
• Tensão de Cisalhamento Máxima
• Determinação da direção que maximiza ou minimiza a tensão 𝜏
• Determinação da tensão cisalhamento máxima 𝜏 á e mínima 𝜏 í
𝜏 á = + 𝜏
𝜏 í = − + 𝜏
𝜎 𝜃 = 𝜎 𝜃 = → As tensões normais atuantes nos planos de tensão 
cisalhante máxima, são iguais à média das componentes de tensão normal para 
.
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Transformação de Tensão – Resumo 
• Transformação de Tensão para um giro 𝜃 do elemento
𝜎 = + cos 2𝜃 + 𝜏 sen 2𝜃 e 𝜏 = − sen 2 𝜃 + 𝜏 cos 2 𝜃
• Tensões Principais
𝑡𝑔2𝜃 = , 𝜎 , = ± + 𝜏 e 𝜏 𝜃 = 𝜏 𝜃 = 0
• Tensão de Cisalhamento Máxima
𝑡𝑔2𝜃 = − , 𝜏 á , í = ± + 𝜏 e 𝜎 𝜃 = 𝜎 𝜃 =
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Círculo de Mohr de Tensões
• Transformação de Tensão para um giro 𝜃 do elemento
𝜎 = + cos 2𝜃 + 𝜏 sen 2𝜃 e 𝜏 = − sen 2 𝜃 + 𝜏 cos 2 𝜃
• Elevando-se ambas equações ao quadrado e efetuando-se a soma delas, obtém-se
𝜎 −
𝜎 + 𝜎
2
+ 𝜏 =
𝜎 − 𝜎
2
+ 𝜏
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𝑎 𝑟
a
r


Equação do Círculo
    222 rbyax b
a r
x
y
Círculo de Mohr de Tensões
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y’
x’
x’
y’
x’y’


𝜎 − 𝑎 + (𝜏 ) = 𝑟
𝜎 + 𝜎
2
𝜎 , −𝜏
𝜎 − 𝜎
2
12
r
𝜎 , 𝜏 𝜎 , 𝜏
2
𝜎 , −𝜏
máx
min
𝑎 =
𝜎 + 𝜎
2
𝑟 = 𝜎 − 𝑎 + 𝜏

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Exemplo 1
• Um componente mecânico exibe em um ponto “K”, o estado de tensões 
mostrado abaixo. Determinar através do Círculo de Mohr as respectivas tensões 
principais e tensões cisalhantes máximas, desenhando cada um desses estados 
em elementos propriamente girados. Determinar também o estado de tensões se 
o elemento for girado de 𝜃=30 graus no sentido horário.
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x
y
x=80 MPa
y=20 MPa
xy=40 MPa
Ponto K
Rascunho
Exemplo 1
• 𝜎 =?, 𝜎 =?, 𝜏 á =?, 𝜃 = 30°
𝜃 = = 26,6° (anti-horário)
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x
y
x=80 MPa
y=20 MPa
xy=40 MPa


80 + 20
2
= 50
20, −40 
80 − 20
2
= 30
1=1002=0
𝑟 = 30 + 40 = 50
80,40 𝜎 , 𝜏
2 ⋅ 30 = 60°
máx=50
min=-50
26,6°
𝜎 = 100𝑀𝑃𝑎
Exemplo 1
• 𝜎 =?, 𝜎 =?, 𝜏 á =?, 𝜃 = 30°
𝜃 = = 18,4° (horário)
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x
y
x=80 MPa
y=20 MPa
xy=40 MPa


80 + 20
2
= 50
20, −40 
80 − 20
2
= 30
1=1002=0
𝑟 = 30 + 40 = 50
80,40 𝜎 , 𝜏
2 ⋅ 30 = 60°
máx=50
min=-50
18,4°
𝜏 á = 50𝑀𝑃𝑎
𝜎 = 50𝑀𝑃𝑎
𝜎 = 50𝑀𝑃𝑎
Exemplo 1
• 𝜎 =?, 𝜎 =?, 𝜏 á =?, 𝜃 = 30°
𝜎 = 50 − 50sin 60° − 2 ⋅ 18,4° = 30,36𝑀𝑃𝑎
𝜎 = 50 + 50sin 60° − 2 ⋅ 18,4° = 69,64𝑀𝑃𝑎
𝜏 = 50cos 60° − 2 ⋅ 18,4° = 45,98𝑀𝑃𝑎
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x
y
x=80 MPa
y=20 MPa
xy=40 MPa


80 + 20
2
= 50
20, −40 
80 − 20
2
= 30
1=1002=0
𝑟 = 30 + 40 = 50
80,40 𝜎 , 𝜏
2 ⋅ 30 = 60°
máx=50
min=-50
30°
𝜏 = 45,98𝑀𝑃𝑎
𝜎 = 30,36𝑀𝑃𝑎
𝜎 = 69,64𝑀𝑃𝑎
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Exemplo 2
• O estado plano de tensões em determinado ponto é mostrado no elemento da 
figura. Representar esse estado de tensão em um elemento orientado a 30º no 
sentido anti-horário em relação à posição mostrada. Tensões principais e tensão 
cisalhante máxima.
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Rascunho
Exemplo 2
• 𝜎 =?, 𝜎 =?, 𝜏 á =?, 𝜃 = 30°
𝜃 =
°
= 74,52° (horário)
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

−8 + 12
2
= 2
−8, −6 
−8 − 12
2
= −10
1=13,662=-9,66
𝑟 = (−10) + −6 = 11,66
12,6 𝜎 , 𝜏
2 ⋅ 30 = 60°
máx=11,66
min=-11,66
74,52°
𝜎 = 13,66𝑘𝑠𝑖
𝜎 = 9,66𝑘𝑠𝑖
Exemplo 2
• 𝜎 =?, 𝜎 =?, 𝜏 á =?, 𝜃 = 30°
𝜃 =
°
= 60,48° (anti-horário)
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

−8 + 12
2
= 2
−8, −6 
−8 − 12
2
= −10
1=13,662=-9,66
𝑟 = (−10) + −6 = 11,66
12,6 𝜎 , 𝜏
2 ⋅ 30 = 60°
máx=11,66
min=-11,66
60,48°
𝜏 á = 1166𝑘𝑠𝑖
𝜎 = 2𝑘𝑠𝑖
𝜎 = 2𝑘𝑠𝑖
Exemplo 2
• 𝜎 =?, 𝜎 =?, 𝜏 á =?, 𝜃 = 30°
𝜎 = 2 − 11,66 cos 60° − 180° − 2 ⋅ 74,52° = −8,19𝑘𝑠𝑖
𝜎 = 2 + 11,66 cos 60° − 180° − 2 ⋅ 74,52° = 12,19𝑘𝑠𝑖
𝜏 = 11,66sin 60° − 180° − 2 ⋅ 74,52° = 5,66𝑘𝑠𝑖
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

−8 + 12
2
= 2
−8, −6 
−8 − 12
2
= −10
1=13,662=-9,66
𝑟 = (−10) + −6 = 11,66
12,6 𝜎 , 𝜏
2 ⋅ 30 = 60°
máx=11,66
min=-11,66
30°
𝜏 = 5,66𝑘𝑠𝑖
𝜎 = 12,19𝑘𝑠𝑖
𝜎 = 8,19𝑘𝑠𝑖