Lista Matematica OBMEP (46)

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Nível 2
185. Construindo quadrados perfeitos – Observe as igualdades a seguir.



1× 2× 3× 4 + 1 = 25 = 52
2× 3× 4× 5 + 1 = 121 = 112
...
10× 11× 12× 13 + 1 = 17.161 = 1312
...
Será que isso é sempre verdadeiro? Isto é, será sempre um quadrado perfeito o produto
de quatro números inteiros consecutivos, mais 1?
186. Feira de Ciências – Na Feira de Ciências
de uma escola, observou-se que metade dos
alunos do ensino fundamental e um quarto
dos alunos do ensino médio presentes nesse
evento compraram um adesivo cada.
FEIRA DE CIÊNCIAS
Preço dos Adesivos (unidade)
R$ 0,30 alunos do ensino fundamental
R$ 0,50 alunos do ensino médio
Notou-se também que o número de alunos do ensino médio presentes que não com-
praram adesivos foi o dobro do número de alunos do ensino fundamental que não
compraram adesivos. Sabendo-se que foram arrecadados R$ 38,00 na venda de adesi-
vos para os alunos desses dois níveis, quantos alunos de cada nível participaram da
feira?
187. Par perfeito – Dizemos que dois números naturais formam um par perfeito quando
a soma e o produto desses dois números são quadrados perfeitos. Por exemplo, 5 e 20
formam um par perfeito, pois 5 + 20 = 25 = 52 e 5 × 20 = 100 = 102. Será que 122
forma um par perfeito com algum outro número natural?
188. Um trapézio – No trapézio da gura dada, AB é paralelo a DC, AD = AB = BC =
1 cm e DC = 2 cm. Quanto mede o ângulo D AC?
(a) 30◦
(b) 45◦
(c) 60◦
(d) 90◦
(e) 120◦
A B
D C
.
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189. Mistério das bolas – Henrique têm duas urnas. A primeira urna contém somente
bolas pretas e a segunda somente bolas brancas. Henrique retirou um certo número de
bolas da primeira urna e as colocou na segunda. Em seguida, retirou o mesmo número
de bolas da segunda urna e as colocou na primeira. Depois disso, o número de bolas
brancas na primeira urna é maior do que, menor do que ou igual ao número de bolas
pretas na segunda urna?
62 OBMEP 2010
Nível 2
190. Contando a palavra BRASIL – Quantas vezes apa-
rece a palavra BRASIL na gura dada? Só vale ler a pala-
vra emendando letras que estão escritas em quadradinhos
adjacentes.
B
B R
B R A
B R A S
B R A S I
B R A S I L
191. Quais são os números? – Descubra quais são os números inteiros positivos x e y
que satisfazem a equação x4 = y2 + 71.
192. No jogo – Aldo, Bernardo e Carlos jogam baralho. No início, a quantia em dinheiro
que eles tinham, na ordem Aldo : Bernardo : Carlos, estava na proporção 7 : 6 : 5.
No nal do jogo, na mesma ordem, a proporção era de 6 : 5 : 4. Se um dos jogadores
ganhou 12 reais, qual foi a quantidade de dinheiro com que cou cada jogador, no nal
da partida?
193. Um número inteiro – Mostre que M =
3
√
5 + 2− 3
√
5− 2 é um número inteiro.
194. Área de triângulos – A área do quadrado ABCD mede 300 cm2.
Na gura, M é o ponto médio de DC e o ponto F pertence à reta
que passa por B e C.
(a) Qual é a área do triângulo △ABF ?
(b) Qual é área do triângulo △AFD?
F
CD
A B
M
195. Um quadriculado – Observe que o retângulo quadriculado na -
gura ao lado é constituído de 31 segmentos e compreende doze qua-
drados.
Numa folha retangular de 21 por 29,7 cm, quadriculada com quadrados de lados me-
dindo 0,5 cm, Rosa desenhou um grande retângulo quadriculado, constituído de 1 997
segmentos. Quantos quadrados tem esse retângulo?
196. Inteiros de quatro algarismos – Determine o valor do número natural a, sabendo
que 4a2 e
4
3
× a3 são números inteiros de quatro algarismos.
197. Pares positivos – Quantos pares (x, y) de inteiros positivos são soluções da equação
3x+ 5y = 501?
198. Diferença de quadrados – A diferença dos quadrados de dois números inteiros
consecutivos é 2 000.
(a) Os dois inteiros são menores do que 100.
(b) Os dois inteiros são menores do que 1 000, porém maiores do que 99.
(c) Os dois inteiros são menores do que 10 000, porém maiores do que 999.
(d) Os dois inteiros são menores do que 100 000, porém maiores do que 9 999.
OBMEP 2010 63