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Roteiro de Estudos – PIC 2024 – CICLO 2 – ENCONTRO 1 
 
Os assuntos abordados neste encontro são: 
• Paridade 
• Operações com números inteiros 
 
Para o assunto “paridade”, sugerimos os 
seguintes materiais de apoio a aula. 
- Textos: 
• Seções 1.1 da Apostila do PIC “Encontros de 
Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar. 
http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf 
• Capitulo 3 do livro: Círculos de Matemática da 
OBMEP – volume 1: Primeiros passos em 
Combinatória, Aritmética e Álgebra - Bruno 
Holanda e Emiliano A. Chagas 
 
- Videoaulas do Portal da Matemática: 
Tópicos Adicionais – Módulo: “sistema de numeração 
e paridade” – Aula: “paridade” – Videoaulas: 
• Problemas envolvendo paridade 
• Problemas com dominós 
• Dominós, pesagens e outros problemas 
 
Para o assunto “operações com números 
inteiros”, sugerimos os seguintes materiais de 
apoio a aula. 
 
- Textos: 
• Capítulo 10 do livro: Círculos de Matemática da 
OBMEP – volume 1: Primeiros passos em 
Combinatória, Aritmética e Álgebra - Bruno 
Holanda e Emiliano A. Chagas. 
• https://portaldosaber.obmep.org.br/uploads/materi
al/1kephf4nypzk7.pdf 
• Capítulos 3 e 10 do livro “Primeiros Passos em 
Combinatória, Aritmética e Álgebra, B. Holanda, E. 
A. Chagas, 2018. 
• Material Teórico do Portal da Matemática, 
“Paridade – Parte I”, U. L. Parente, A. C. Muniz Neto 
(revisor). 
https://cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/u
ploads/material_teorico/p5olw2osl9w8s.pdf 
• Material Teórico do Portal da Matemática, 
“Paridade – Parte II”, U. L. Parente, A. C. Muniz 
Neto (revisor). 
https://cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/u
ploads/material_teorico/58ed0tjbnwo40.pdf 
 
- Videoaulas do Portal da Matemática: 
• 6ª série – operações básicas – operações com 
números naturais – videoaulas 3, 4, 5, 6, 7 e 8 sobre 
adição, subtração, multiplicação e divisão: 
https://portaldosaber.obmep.org.br/index.php/mod
ulo/ver?modulo=60 
• 6ª série – operações básicas – operações com 
números naturais – caderno de exercícios. 
Exercícios Introdutórios 
 
1. Determine o menor número primo da fatoração de 
20232024 + 20252024. 
 
2. No reino da Frutilândia, existe uma árvore mágica 
que possui 2005 maçãs e 2006 tomates. Todo dia, um 
garoto sobe na árvore e come duas frutas. Quando ele 
come duas frutas iguais, nasce um tomate na árvore; 
quando ele come duas frutas diferentes, nasce uma 
maçã. Após alguns dias, restará apenas uma fruta na 
árvore. Que fruta será? 
 
3. (OBMEP 2016) Carlos tem um tabuleiro mágico 3 × 3 
com casas na cor branca ou amarela. Toda vez que ele 
toca uma casa, ela muda de cor, bem como as demais 
casas na mesma linha e na mesma coluna, como 
mostra a figura. A partir do tabuleiro inicial, Carlos tocou 
no tabuleiro nove vezes, uma vez em cada casa. Após 
ter feito isto, quantas casas ficaram amarelas? 
 
 
4. (OBMEP 2011) Uma caixa contém 105 bolas pretas, 
89 bolas cinzentas e 5 bolas brancas. Fora da caixa há 
bolas brancas em quantidade suficiente para efetuar 
repetidamente o seguinte procedimento, até que 
sobrem duas bolas na caixa: 
• Retiram-se, sem olhar, duas bolas da caixa; 
• Se as bolas retiradas forem de cores diferentes, a 
de cor mais escura é devolvida para a caixa; 
• Caso contrário, descartam-se as bolas retiradas e 
coloca-se na caixa uma bola branca. 
Sobre as cores das duas bolas que sobram, pode-se 
garantir que: 
a) As duas serão brancas. 
b) As duas serão cinzentas. 
c) As duas serão pretas. 
d) Exatamente uma será preta. 
e) Exatamente uma será cinzenta. 
 
5. Na figura ao lado, letras iguais representam 
algarismos iguais e letras distintas, algarismos 
distintos. Se toda letra representa um algarismo ímpar, 
qual é o resultado desta conta? 
 
http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=PjzmaHnb-X0
https://www.youtube.com/watch?v=puWQuIptudA
https://www.youtube.com/watch?v=y6bcq02yBRA
https://portaldosaber.obmep.org.br/uploads/material/1kephf4nypzk7.pdf
https://portaldosaber.obmep.org.br/uploads/material/1kephf4nypzk7.pdf
https://cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/material_teorico/p5olw2osl9w8s.pdf
https://cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/material_teorico/p5olw2osl9w8s.pdf
https://cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/material_teorico/58ed0tjbnwo40.pdf
https://cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/material_teorico/58ed0tjbnwo40.pdf
https://portaldosaber.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=60
https://portaldosaber.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=60
 
 
 
 
 
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6. Na construção de um hipermercado, as vagas no 
estacionamento são todas numeradas por números 
sequenciais, pintados no chão, de 1 até 409, sendo 
para cada vaga um único número. Sabendo que a cada 
três algarismos pintados nas vagas, será necessário 
utilizar 100 ml de tinta, quantos litros de tinta serão 
necessários para pintar os algarismos dos números das 
vagas em todo o estacionamento? 
 
7. Encontre o menor número natural com nove 
algarismos, não necessariamente distintos, cuja soma 
desses algarismos seja 59. 
 
8. Larissa e Jorge estão jogando com cartões 
numerados de 1 a 6 que devem ser colocados nas 
casas do tabuleiro a seguir de tal modo que formem um 
número de seis algarismos. 
 
Jorge coloca o primeiro cartão e, a seguir, as jogadas 
são alternadas entre os dois. O objetivo de Larissa é 
obter o maior número possível e o de Jorge é obter o 
menor número possível. Larissa tem os cartões com os 
algarismos 1, 3 e 5 e Jorge tem os cartões com os 
algarismos 2, 4 e 6. Se os dois jogadores forem 
espertos, qual é o número que aparecerá ao final do 
jogo? 
 
9. Quantos números inteiros entre 10 e 999 tem a soma 
de seus algarismos igual a 9? 
 
10. Um número é dito TOP se possui 5 algarismos e 
quando o produto entre 1º e o 5º algarismos é a soma 
do 2º, 3º e 4º algarismos. Por exemplo, 12.338 é TOP, 
pois possui 5 algarismos e 1 × 8 = 2 + 3 + 3. 
 
a) Qual o valor de 𝑎 para que 234𝑎8 seja TOP? 
b) Quantos números TOP terminam com 2 e 
começam com 1? 
c) Quantos números TOP começam com 9? 
 
 
Exercícios de Aprofundamento 
 
11. Uma porção de páginas numeradas 
consecutivamente caíram de uma pasta. A primeira 
página tinha o número 463 e a última tinha um número 
com os mesmos algarismos, mas em uma ordem 
diferente. Quantas folhas caíram? (Cada folha consiste 
de duas páginas com números consecutivos). 
 
12. O que é maior, a soma de todos os números inteiros 
pares de 0 a 100 ou a soma de todos os números 
inteiros ímpares de 1 a 99? Calcule a diferença entre 
essas somas. Responda sem calcular explicitamente 
as somas. 
 
13. Se 𝑛 é um número inteiro positivo, representamos 
por 𝑛! o produto de todos os inteiros positivos de 1 a 𝑛. 
Por exemplo, 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120. Calculando a 
soma 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + ⋯ + 2010! + 2011!, 
qual é o algarismo das unidades do resultado obtido? 
 
14. Digite numa calculadora um número qualquer de 
três algarismos. Em seguida, digite o mesmo número 
obtendo, assim, um número de seis algarismos, da 
forma 𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏𝑐. Divida esse número por 7, divida o 
resultado por 11 e, finalmente, divida o número obtido 
por 13. O que aconteceu? Por que você obteve esse 
resultado? 
 
15. Pedro e Miguel estão brincando com números. A 
brincadeira consiste no seguinte: Pedro escreve um 
número natural qualquer 𝑛. 
1) Se 𝑛 for par, Miguel escreve ao lado o número 
𝑛
2
. 
2) Se 𝑛 for ímpar, Miguel escreve ao lado o número 
3𝑛 + 1. 
Em seguida, Pedro faz o mesmo com o número escrito 
por Miguel e o processo se repete, formando uma lista 
de números. Por exemplo, se o primeiro número escrito 
por Pedro for 10, então os primeiros nove números da 
lista serão 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2. Pergunta-se: 
a) Se, em algum momento, o número escrito por Pedro 
for ímpar, o número que Miguel vai escrever poderá 
ser ímpar? 
b) Se, em algum momento, Miguel (ou Pedro) escrever 
o número 1, algum dos dois poderá depois dissoescrever o número 5? Por quê? 
c) Suponha que Pedro agora pode começar a 
brincadeira escrevendo um número inteiro negativo. 
Se ele escrever −5, algum número positivo será 
escrito depois? Por quê? 
 
16. Amarildo pensou em um número natural de 13 
algarismos e inverteu a ordem desses algarismos, 
encontrando um novo número. Depois disso, ele somou 
os dois números. Se Amarildo tiver feito a conta 
corretamente, mostre que o resultado encontrado por 
ele deve possuir pelo menos um algarismo par.