Lista Matematica OBMEP (51)

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Desaos
16. Anéis olímpicos (N1/N2/N3) – Os números de 1 a 9 foram colocados dentro de
cinco anéis olímpicos, de tal modo que dentro de cada anel a soma é 11.
Disponha os nove números de outra maneira, para que a soma dentro de cada anel seja
sempre a mesma e a maior possível.
17. Partidas de Denise (N2/N3) – Denise e Antônio jogam uma série de oito jogos,
em que o vencedor da primeira partida ganha um ponto, o da segunda dois pontos, o
da terceira quatro pontos, o da quarta oito pontos, e assim por diante, multiplicando
por dois o número de pontos de uma partida para a outra. No nal, Denise ganhou
31 pontos a mais que Antônio e não houve empate em nenhuma das partidas. Quais
partidas Denise ganhou?
18. Sete quadrados (N1/N2) – Você sabe repartir um quadrado em sete quadrados
menores?
19. Ilha misteriosa (N1/N2/N3) – Numa misteriosa ilha havia 13 camaleões cinza,
15 camaleões marrons e 17 camaleões vermelhos. Quando dois camaleões de cores
diferentes se encontram, os dois tomam a terceira cor. Por exemplo, se um cinza se
encontra com um vermelho, então os dois cam marrons. Por causa de uma tempes-
tade, ocorreram dois encontros cinza-vermelho, três encontros marrom-vermelho e um
encontro cinza-vermelho. Quantos camaleões de cada cor caram na ilha?
20. Universo hostil (N3) – Num deserto há cobras, ratos e escorpiões. Cada manhã,
cada cobra mata um rato. Cada meio-dia, cada escorpião mata uma cobra. Cada
noite, cada rato mata um escorpião. Ao nal de uma semana, à noite, só restava um
rato. Quantos ratos havia na manhã do início da semana?
21. O jogo das chas – Para iniciar um jogo com seus amigos, Manoel coloca oito chas
em cada uma das nove casas do tabuleiro mostrado na gura. Para ganhar o jogo, ele
precisa mover as chas pelo tabuleiro de tal modo que, ao nal, todas as chas estejam
colocadas e tenha sido alcançada uma outra conguração de chas na qual, em cada
linha, cada coluna e cada diagonal, reste o mesmo número de chas (mas não a ini-
cial, com oito chas em cada casa). Na primeira jogada, ele coloca mais três chas na
casa 3 e tira todas da casa 2, cando com 5 na mão, para prosseguir. Quantas chas ele
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Desaos
deve colocar em cada uma das outras sete casas para ganhar o jogo, mantendo as chas
das casa 2 e 3 inalteradas depois dessa primeira jogada?
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 2 3
4 5 6
7 8 9
✖✕
✗✔
11
fichas✖✕
✗✔
0
fichas
22. Um sistema – Nas igualdades AB + BC = CD e AB − BC = BA, cada letra
representa um algarismo. Quanto vale A+ B + C +D?
23. Constelações oridas – Rosa, Margarida e Dália são três constelações em forma de
buquês de ores. Sabemos que:
(a) o número de estrelas de Dália, que é a menor das três constelações, é o produto
de dois quadrados;
(b) o número de estrelas de Rosa também é um produto de dois quadrados;
(c) Dália e Rosa, juntas, têm o mesmo número de estrelas de Margarida;
(d) Margarida tem 28 561 estrelas.
Quantas estrelas possuem, cada uma, Dália e Rosa?
24. Dois meses iguais – A seguir mostramos o calendário de abril de 2 005.
D S T Q Q S S
1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
Qual é o primeiro mês depois desse, de 2005 ou de 2006, que teve uma página igual?
25. A faixa e o quadrado – Uma faixa retangular de cartolina mede 5 por 1 cm. Corte
a faixa com quatro cortes retilíneos de modo a poder montar um quadrado com as
peças obtidas, mas sem superposição das peças.
26. Um número e seu sêxtuplo – Um número de três algarismos e seu sêxtuplo são
formados pelos mesmos algarismos. A soma dos algarismos desse número é 17 e a de
seu sêxtuplo é 21. Qual é esse número? Existe mais do que um número com essas
propriedades?
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