Lista Matematica OBMEP (86)

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46 Nível 2 – Enunciados
24 Dividindo em triângulos isósceles
A seguinte figura mostra um triângulo ABC que foi dividido em 3 triângulos
isósceles.
a) Mostre que todo triângulo retângulo pode ser dividido em 2 triângulos isósce-
les.
b) Mostre que qualquer triângulo pode ser dividido em 4 triângulos isósceles.
c) Mostre que qualquer triângulo pode ser dividido em 5 triângulos isósceles.
25 Dividindo pedras
Uma pilha de pedras está sobre uma mesa, Pedrinho joga o seguinte jogo: a cada
momento, ele pode escolher uma pilha com pelo menos 3 pedras, retirar uma
dessas pedras e dividir a pilha em duas pilhas não vazias. Por exemplo, se ele
tem uma pilha com 15 pedras, ele pode dividir essa pilha em duas pilhas de 9
e 5 (ele tira uma pedra, ficando com 14 pedras na pilha e depois a divide). Ele
pode continuar com o processo. Por exemplo, Pedrinho pode dividir a pilha com
9 pedras em duas, uma de 3 e uma de 5, ficando no final com três pilhas, uma de
3, e duas de 5.
a) Se no início há uma única pilha com 19 pedras sobre a mesa. Pedrinho con-
segue, depois de alguns movimentos, que todas as pilhas restantes tenham ex-
atamente 3 pedras?
b) E se houver uma única pilha com 1001 pedras?
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Nível 2 – Enunciados 47
26 Escrevendo números em ordem crescente
Pedrinho faz uma lista de todos os números de 5 algarismos distintos que se for-
mam com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5. Nesta lista os números estão ordenados de forma
crescente.
a) Qual o número que ocupa a posição 10 da lista?
b) Qual o número que ocupa a posição 85 da lista?
27 Quadrado em cima de quadrado
Sejam ABCD e EFGH quadrados de lados 33 e 12, com EF sobre o lado DC
(como mostrado na figura abaixo). Seja X o ponto de interseção dos segmentos
HB e DC. Suponha que DE = 18.
A B
D C
E F
H G
X
33
12
18
a) Calcule o comprimento do segmento EX.
b) Prove que os pontos A, X e G são colineares.
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