Lista de Exerciciso - algebra Linear (59)

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Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Finalmente por indução podemos terminar a demonstração.
(Base:)
Para q = 0 temos a2 = 12(0)(3 · 0 + 1) + 1 = 1
Como 1 ≡ 1 (mod 24) então a2 ≡ 1 (mod 24).
(Passo indutivo:)
Supondo que a proposição seja verdadeira para a = k então:
a2 = 12k(3k + 1) + 1 ≡ 1 (mod 24)
⇒ 12k(3k + 1) ≡ 0 (mod 24)
⇒ (12k(3k + 1)) + 24(3k + 3) ≡ 0 (mod 24)
⇒ (12(k + 1))(3(k + 1) + 1)) ≡ 0 (mod 24)
⇒ (12(k + 1))(3(k + 1) + 1)) + 1 ≡ 1 (mod 24)
⇒ a2 ≡ 1 (mod 24)
Completando a demonstração do passo indutivo.
Analogamente se prova para o caso de a = 3k + 2.
45. a) Encontre um inteiro x tal que x ≡ 3 (mod 10), x ≡ 11 (mod 13) e x ≡ 15 (mod
17)(Regiomantanus, século XVI).
b) Encontre um inteiro x tal que x ≡ 3 (mod 11), x ≡ 5 (mod 19) e x ≡ 10 (mod 29)(Euler,
seculo XVIII).
Solução de a:
Usando o teorema chines dos restos x = 1103.
Solução de b:
x = 4128
46. Resolva, mediante o teorema chinês do resto, os seguintes sistemas:
a) x ≡ 1 (mod 10), x ≡ 4 (mod 11), x ≡ 6 (mod 13)
b) x ≡ 5 (mod 7), x ≡ −1 (mod 9), x ≡ 6 (mod 10)
Solução:
72