13O equilibrio

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8. **Problema 8:** Qual é a equação do círculo com centro em \( (3, -2) \) e raio 4? 
 a) \( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \) 
 b) \( (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4 \) 
 c) \( (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 4 \) 
 d) \( (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \) 
 **Resposta:** a) \( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \) 
 **Explicação:** A equação do círculo é dada por \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), onde \( (h, 
k) \) é o centro e \( r \) é o raio. Aqui, \( h = 3 \), \( k = -2 \), e \( r = 4 \), portanto a equação é \( 
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \). 
 
9. **Problema 9:** Se \( z_1 = 1 + i \) e \( z_2 = 1 - i \), qual é o produto \( z_1 \cdot z_2 \)? 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( 2i \) 
 **Resposta:** a) \( 2 \) 
 **Explicação:** O produto é dado por \( z_1 \cdot z_2 = (1 + i)(1 - i) = 1 - i + i - i^2 = 1 + 1 = 
2 \). 
 
10. **Problema 10:** Qual é a soma dos módulos de \( z_1 = 2 + 2i \) e \( z_2 = -2 - 2i \)? 
 a) 4 
 b) 0 
 c) 8 
 d) 2 
 **Resposta:** a) 4 
 **Explicação:** O módulo de \( z_1 \) é \( |z_1| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) e 
o módulo de \( z_2 \) é \( |z_2| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \). A soma dos 
módulos é \( 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \). 
 
11. **Problema 11:** Se \( z = 1 + i \), qual é \( z^2 \)? 
 a) \( 2i \) 
 b) \( 1 + 2i - 1 \) 
 c) \( 2 + 2i \) 
 d) \( 0 + 2i \) 
 **Resposta:** b) \( 1 + 2i - 1 \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \). 
 
12. **Problema 12:** Qual é a forma exponencial de \( z = -1 \)? 
 a) \( e^{i\pi} \) 
 b) \( e^{i\frac{3\pi}{2}} \) 
 c) \( e^{-i\pi} \) 
 d) \( e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
 **Resposta:** a) \( e^{i\pi} \) 
 **Explicação:** A forma exponencial é dada por \( re^{i\theta} \). Para \( z = -1 \), temos \( 
r = 1 \) e \( \theta = \pi \), então \( z = e^{i\pi} \). 
 
13. **Problema 13:** Qual é o valor de \( z^3 \) se \( z = 1 + i \)? 
 a) \( -2 + 2i \) 
 b) \( 2 + 2i \) 
 c) \( 0 + 2i \) 
 d) \( -2 - 2i \) 
 **Resposta:** a) \( -2 + 2i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^3 = (1 + i)^3 = (1 + i)(1 + i)(1 + i) = (1 + 2i - 1)(1 + i) = 2i(1 + 
i) = 2i - 2 = -2 + 2i \). 
 
14. **Problema 14:** Se \( z = 2e^{i\frac{\pi}{4}} \), qual é a forma retangular de \( z \)? 
 a) \( \sqrt{2} + \sqrt{2}i \) 
 b) \( 2 + 2i \) 
 c) \( 1 + i \) 
 d) \( 1 + \sqrt{3}i \) 
 **Resposta:** a) \( \sqrt{2} + \sqrt{2}i \) 
 **Explicação:** A forma retangular é dada por \( re^{i\theta} = r(\cos(\theta) + 
i\sin(\theta)) \). Aqui, \( r = 2 \) e \( \theta = \frac{\pi}{4} \), então \( z = 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + 
i\sin(\frac{\pi}{4})) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2}i \). 
 
15. **Problema 15:** Se \( z = 3 - 4i \), qual é \( z + \overline{z} \)? 
 a) \( 6 \) 
 b) \( 3 - 4i \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 6 - 8i \) 
 **Resposta:** a) \( 6 \) 
 **Explicação:** O conjugado de \( z \) é \( \overline{z} = 3 + 4i \). Assim, \( z + \overline{z} 
= (3 - 4i) + (3 + 4i) = 6 \). 
 
16. **Problema 16:** Qual é a diferença \( z_1 - z_2 \) se \( z_1 = 4 + 5i \) e \( z_2 = 1 + 2i \)? 
 a) \( 3 + 3i \) 
 b) \( 5 + 3i \) 
 c) \( 3 + 7i \) 
 d) \( 2 + 3i \) 
 **Resposta:** a) \( 3 + 3i \) 
 **Explicação:** A diferença é \( z_1 - z_2 = (4 + 5i) - (1 + 2i) = (4 - 1) + (5 - 2)i = 3 + 3i \). 
 
17. **Problema 17:** Se \( z = 2 + 2i \), qual é o valor de \( z^2 \)? 
 a) \( 4 + 4i \) 
 b) \( 0 + 8i \) 
 c) \( 0 + 8 \) 
 d) \( 0 + 4i \) 
 **Resposta:** a) \( 4 + 4i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^2 = (2 + 2i)^2 = 4 + 8i - 4 = 0 + 8i \). 
 
18. **Problema 18:** Qual é o módulo de \( z = -3 + 4i \)? 
 a) 5 
 b) 7 
 c) 9 
 d) 10