Volume 6-5-18

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MÓDULO
17
FRENTE
B
45Bernoulli Sistema de Ensino
FÍSICA
Ondas Estacionárias 
Quando um pulso ou uma onda se propaga através de 
uma corda, por exemplo, a energia é transmitida por meio 
dessa corda, dizemos, então, que a onda é progressiva, 
ou seja, a energia progride ao longo da corda. A figura 
a seguir mostra, em cinco instantes diferentes, uma 
onda que se desloca entre os pontos A e B de uma corda 
elástica. Observe que a onda e a energia transmitida por 
ela se deslocam de uma extremidade à outra da corda. 
Veja ainda que a primeira metade da onda, que possui uma 
crista, se desloca de A para B sempre na parte superior da 
figura. Ou seja, enquanto a onda se propaga de A para B, 
a parte da onda que caminha na frente será sempre uma 
crista (ou sempre um vale). 
A B
A B
A B
A B
A B
Quando encontra a extremidade B, fixa, a onda é refletida 
com inversão de fase. Assim, a primeira metade da onda 
volta, após a reflexão, contendo um vale que vai se superpor à 
segunda metade da onda (que apresenta um vale), produzindo 
uma interferência construtiva. Após essa interferência, 
a segunda metade da onda sofre reflexão e volta contendo uma 
crista. A onda, assim, caminha para a esquerda, de forma ainda 
progressiva, com os mesmos valores de velocidade, frequência 
e comprimento de onda. Agora a parte da onda que caminha 
na frente é sempre um vale. Numa situação real, à medida 
que a onda se propaga, a sua amplitude vai diminuindo com 
o passar do tempo. Ou seja, a energia da onda vai, na maioria 
das vezes, reduzindo-se gradativamente. 
O mesmo acontece com um pêndulo que, posto em 
oscilação, tem a sua amplitude de oscilação reduzida 
gradativamente até parar por completo. Isso ocorre porque 
o sistema transfere energia para o meio que o cerca. Se um 
agente externo fornece energia ao pêndulo, de maneira e 
frequência convenientes, ele pode manter a sua oscilação por 
longos períodos, como acontece com um relógio de pêndulo. 
Você, provavelmente, já deve ter se divertido em um balanço 
de cordas. Se uma pessoa empurra o balanço, fornecendo-lhe 
energia com a mesma frequência de oscilação do sistema 
e em fase com ele, a amplitude de oscilação do balanço pode 
ser alterada significativamente. Caso a energia fornecida 
ao balanço seja igual à energia transferida por ele ao meio 
circundante, a amplitude de oscilação do balanço permanece 
sempre a mesma. Entretanto, se a energia que o agente 
externo fornece ao balanço é maior que a energia que o 
sistema transfere ao meio, a amplitude de oscilação do 
balanço aumenta gradativamente. Nesses casos, dizemos 
que o sistema entra em ressonância com o agente externo.
Todo corpo material apresenta uma ou mais frequências 
naturais de vibração. Se um corpo recebe energia de um 
agente externo, numa das suas frequências naturais, 
ele começa a ressoar, e isso pode levar o sistema a oscilar 
eternamente ou a entrar em colapso. Muitos são os exemplos 
que ilustram essa situação. Um recipiente de vidro pode 
estourar se uma onda sonora, com frequência igual a 
uma das frequências naturais de vibração das moléculas 
do vidro, incidir sobre o recipiente. Um cálculo renal, 
por exemplo, pode ser desintegrado pela incidência de uma 
onda ultrassônica de frequência apropriada.
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
EM CORDAS
Considere, agora, uma corda fixa nas extremidades e que 
um oscilador produza uma série de pulsos sucessivos, 
com amplitude desprezível, de determinada frequência em 
uma das extremidades. Os pulsos vão se propagar através da 
corda, e cada um deles será refletido nas extremidades fixas 
desta. Nessas extremidades, a corda não pode oscilar e tais 
pontos ficarão, portanto, em repouso. Dependendo do valor 
da frequência imposta pelo oscilador, pode acontecer um 
padrão de interferência na corda, de modo que determinados 
pontos desta fiquem em permanente repouso devido a uma 
constante interferência destrutiva, e outros pontos vibrem 
transversalmente, com amplitude máxima, em decorrência de 
uma constante interferência construtiva. Quando tal padrão 
é obtido, a onda formada é chamada de onda estacionária. 
Nesse caso, não mais percebemos a onda propagar-se, ou 
seja, a energia deixa de progredir na corda e fica aprisionada, 
oscilando apenas entre os pontos de constante interferência 
destrutiva – chamados nós (N) da onda estacionária. 
Frente B Módulo 17
46 Coleção 6V
Os pontos da corda de maior amplitude de vibração são 
chamados de ventres (V) da onda estacionária. As diversas 
situações nas quais se produz uma onda estacionária 
na corda são conhecidas como harmônicos ou modos 
de vibração da corda (cada uma com sua respectiva 
frequência). Nessas situações, a corda entra em ressonância 
com o oscilador. Assim, os pontos da corda correspondentes 
aos ventres vibram com a maior amplitude possível (para 
aquela energia que o agente externo fornece).
A menor frequência, portanto, o maior comprimento de 
onda, que permite a formação de uma onda estacionária 
é chamada de 1º harmônico da onda ou de frequência 
fundamental. A figura a seguir mostra o 1º harmônico 
obtido numa corda elástica, de comprimento L, presa nas 
extremidades e posta a oscilar com frequência f1. Quando 
um padrão semelhante ao mostrado na figura é obtido, 
percebemos a corda vibrar como um todo, nesse caso, para 
cima e para baixo, e não vemos a onda deslocar-se através 
da corda. Observe que a distância entre os dois nós é igual 
a meio comprimento de onda (λ/2). 
V
L
N N
f1
L = (λ1/2) ⇒ λ1= 2L
1º harmônico ou 
harmônico fundamental
Usando a equação das ondas, a frequência fundamental 
(f1) pode ser calculada por:
f1 = v/λ1 ⇒ f1 = v/2L
Em que v é o módulo da velocidade das ondas incidentes 
e refletidas nas extremidades da corda. 
Se a frequência do oscilador aumenta, a frequência 
imposta à corda também aumenta. Como já dito, existem 
diversos padrões de ondas estacionárias – chamados 
harmônicos – nos quais a corda vibra com frequências 
múltiplas da frequência fundamental. Em todas essas 
situações, a distância entre dois nós consecutivos (ou duas 
cristas adjacentes) é igual a meio comprimento de onda 
(λ/2). As figuras a seguir mostram o 2º e o 3º harmônicos. 
Observe que os pontos da corda onde estão os ventres 
oscilam, alternadamente, para baixo e para cima.
V V
V V
2º harmônico
L = 2(λ2/2) ⇒ λ2 = L
L = 3(λ3/2) ⇒ λ3= 2L/3
3º harmônico
V
N
N N N N
N Nf2
f3
L
L
As frequências dos harmônicos mostrados são:
f2 = v/λ2 ⇒ f2 = v/L ⇒ f2 = 2(v/2L) ⇒ f2 = 2f1
f3 = v/λ3 ⇒ f3 = v/(2L/3) ⇒ f3 = 3(v/ 2L) ⇒ f3 = 3f1
Os valores das frequências dos possíveis modos de 
vibração da corda devem ser, sempre, múltiplos inteiros da 
frequência fundamental. Assim, a frequência de qualquer 
dos harmônicos pode ser determinada por:
fN = N.f1 , em que N = 1, 2, 3, ...
Na equação anterior, N representa o número do harmônico 
correspondente e, claro, a quantidade de ventres presentes 
na onda estacionária.
PARA REFLETIR
Em uma corda de violão, por exemplo, basta 
um toque para produzir uma onda estacionária 
na corda. Explique.
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
EM TUBOS SONOROS
Tubo fechado
Considere um tubo, de comprimento L, fechado em uma 
extremidade e aberto na outra, preenchido com ar ou outro 
gás qualquer. Um tubo com tais características é chamado 
de tubo fechado. As partículas de ar em seu interior vibram 
de maneira aleatória, devido à agitação térmica, conforme 
visto no estudo de gases. Imagine que um alto-falante, 
por exemplo, seja colocado em vibração, com frequência f, 
na extremidade aberta do tubo, como mostra a figura a seguir:
f
v
A vibração do alto-falante produz compressões e 
rarefações do ar no interior do tubo, de forma que uma onda 
longitudinal se propaga para a direita com velocidade v, 
comprimento de onda λ e frequência f. Essa onda é 
refletida pela extremidade fechada do tubo e volta com 
os mesmos valores de frequência e comprimento de onda 
e com velocidade de mesmo módulo. Assim, haverá uma 
superposição das ondasincidente e refletida.