Lição 07 de ApL

Prévia do material em texto

EM
PR
EP
A
R
A
ÇÃ
O
Limite de Função em um Ponto
H. Clark
C. VinagreLição 7 – Limite de Função em um Ponto
Introdução
Nesta Lição, inicia-se o estudo de limite de uma função real em um
ponto de seu domı́nio ou não. Esta noção é o ponto de partida de todo o
Cálculo Diferencial, já que o conceito de derivada de uma função se baseia
no de limite.
Objetiva-se aqui estudar o conceito de limite de uma função em um
ponto de acumulação de um subconjunto da reta de uma forma precisa e
rigorosa, considerando que a abordagem intuitiva foi vista na disciplina de
Cálculo. Serão apresentados alguns resultados básicos sobre a existência e a
inexistência do limite de uma função e, também, a caracterização do limite
de uma função por meio do conceito já estudado de limite de sequência.
Pontos de Acumulação
Para que a noção de limite de uma função f num ponto x0 faça sentido,
f deve estar definida em pontos próximos de x0, apesar de não precisar
necessariamente estar definida no próprio ponto x0. A definição a seguir
fornece a descrição precisa desta ideia de “proximidade”.
Definição 7.1 Seja X ⊂ R. Um ponto x0 ∈ R é um ponto de acumulação
do conjunto X quando para todo número real δ > 0 existe ao menos um
ponto x ∈ X tal que x ̸= x0 e |x− x0| 0, existe n′ ∈ N tal que −δ 0, como x0 − δ e x0 são números reais, existe r ∈ Q tal que
x0 − δ 0 existe um número real δ > 0 tal que, para todo
x ∈ X, se 0 0, ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ X, se 0 0, como ϵ/2 > 0, pela Definição 7.1 para L1 e L2,
existem δ1 = δ1(ϵ) e δ2 = δ2(ϵ) tais que
se x ∈ X e 0 0 qualquer, tem-se que 0 ≤ |L1 − L2| 0, existe um real δ > 0, tal que,
para todo x ∈ X, se 0 0 onde ϵ ∈ R.
Tome-se δ > 0 tal que . . . (Entra aqui, o número real δ, a ser encontrado.
em praticamente todos os casos, este δ dependerá do ϵ fixado.
Para encontrar δ,faz-se um “rascunho”.)
Seja x ∈ X tal que 0 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom f ,
se 0 0. Lembre-se que
este rascunho não é a demonstração e não deve aparecer nela!!
1a etapa: Rascunho- δ =? tal que se x ∈ R e 0 0 desejado deve ser δ = 4ϵ/5. Fim do rascunho!
Observação important́ıssima: Deve ficar bem entendido que a Definição
7.2 diz que o número real δ depende de ϵ e, às vezes, do ponto x0, já que
ambos são fixados previamente: (para cada ϵ > 0 existe δ > 0, tal que para
todo x ...)- vide (⋆) do Prelúdio 7.1. Em hipótese nenhuma, o δ encontrado
pode depender de x!!
2a etapa: Prova - Agora vem a demonstração propriamente dita. Esta
é a parte que será apresentada como a resolução. Observe como deve ser
completada a estrutura da prova esboçada acima e como os cálculos feitos
no rascunho aparecem aqui.
Seja ϵ > 0 onde ϵ ∈ R. Toma-se δ > 0 tal que
δ =
4
5
ϵ. (⋆⋆)
Seja x ∈ Dom f = R tal que 0 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom f se
0 0 desejado pode ser δ = 2ϵ. Fim do “rascunho”.
2a etapa: Demonstração- Seja ϵ > 0 onde ϵ ∈ R. Toma-se δ > 0 tal que
δ = 2ϵ. Seja x ∈ Dom f tal que 0 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom f se
0 0 existe δ > 0, por
exemplo δ = 1 tal que, se 0 0 é arbitrário, conclui-se da Definição 7.2 que lim
x→x0
f(x) = c.
(b) lim
x→x0
x = x0. Aqui f(x) = x, a qual é definida em todo R. Dado ϵ > 0
qualquer, existe δ > 0, por exemplo δ = ϵ tal que, se 0 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom f = R, se
0 0 deve ser suficientemente pequeno para que |x2 − 9| 5 > 0⇒ |x+ 3| = x+ 3 0 onde ϵ ∈ R. Tome-se δ = min{1, ϵ/7}.
Então δ > 0. Seja x ∈ Dom f = R tal que 0 5 > 0⇒ |x+ 3| = x+ 3 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Dom f se
0item é o caso
geral do Exemplo 7.5. Repare que a conta está efetuada de uma forma um
pouco diferente daquela usada lá. Isto foi feito de modo a superar o problema
no caso geral, sem o sinal de x0. É uma outra técnica a ser aprendida, que
só usa propriedades de módulo.
3Você não terá que dar todas estas explicações, mas terá que entendê-las e indicar o
seu racioćınio claramente, pensando em quem vai lê-lo.
8
EM
PR
EP
A
R
A
ÇÃ
O
Limite de Função em um Ponto
H. Clark
C. Vinagre
Exemplo 7.6 Mostrar os seguintes limites por meio da Definição 7.2.
(a) lim
x→x0
x2 = x20. Nesse caso f(x) = x2 e Dom f = R. Seja ϵ > 0 qualquer.
Tome-se δ = min{1, ϵ/(2|x0| + 1)}. Então δ > 0. Seja x ∈ R = Dom f tal
que 0 0, existe δ > 0 tal que,
para todo x ∈ R, se 0 0 número real.
Tome-se δ = min
{
|x0|/2, ϵ|x0|2/2
}
( 4). Então δ > 0 já que x0 ̸= 0. Seja
x ∈ Dom f tal que 0 |x0|
2 .
Como o menor termo é positivo, pode-se inverter a desigualdade para obter
a majoração 1
|x| 0 tal que |f(x)| ≤ M
para todo x ∈ X ∩ Vδ(x0).
Exemplo 7.7 A função f : R → R definida por f(x) = 1/x, se x ̸= 0 e
f(0) = 3, é limitada na vizinhança de x0 = 1, pois, por exemplo, existem
δ = 1/2 e M = 2 tais que, para todo x ∈ Dom f , se x ∈ V1/2(1) = (1/2, 3/2)
então |f(x)| = |1/x| ≤ 2, já que f(x) ∈ (2/3, 2) (verifique!). Por outro lado,
a função f não é limitada em nenhuma vizinhança do ponto x0 = 0.
Proposição 7.3 Sejam X ⊂ R, x0 ∈ R ponto de acumulação de X e
f : X → R tem limite em x0. Então f é limitada em uma vizinhança de x0.
Prova: Por hipótese, existe L ∈ R tal que L = lim
x→x0
f(x). Tomando, em
particular ε = 1, tem-se pela Definição 7.2 que existe δ > 0 tal que, se
0 0, existe n0 ∈ N tal que, se n > n0
então xn ∈ Vϵ(x0). Portanto, cada vizinhança Vϵ(x0) contém os pontos xn
com n > n0, que pertencem a X e são distintos de x0.
10
EM
PR
EP
A
R
A
ÇÃ
O
Limite de Função em um Ponto
H. Clark
C. Vinagre
Entenda que a Proposição 7.4 permite concluir que x0 é um ponto
de acumulação de um subconjunto X de R se, e somente se, todo intervalo
aberto da forma (x0 − α, x0 + α) contém infinitos pontos de X.
Um critério importante para estabelecer a existência do limite de uma
função real num ponto é o chamado critério sequencial para limite.
Teorema 7.1 (Critério Sequencial) Seja f : X → R e seja x0 um ponto
de acumulação de X. Então as seguintes afirmações são equivalentes.
(i) lim
x→x0
f(x) = L.
(ii) Para toda sequência (xn)n∈N em X com xn ̸= x0 para todo n ∈ N, se
(xn)n converge para x0 então a sequência (f(xn))n∈N converge para L.
Prova: (i)⇒(ii) Por hipótese, lim
x→x0
f(x) = L. Seja (xn)n∈N uma sequência
em X tal que xn ̸= x0 para todo n ∈ N e suponha que lim
n→∞
xn = x0 .
Para provar que lim
n→∞
f(xn) = L, seja ϵ > 0 um número real arbitrário.
Pela primeira das hipóteses e pela Definição 7.2, para este ϵ > 0, existe um
número real δ > 0 tal que,
para todo x, se x ∈ X e 0 n0 ent |xn − x0| n0. Então, por (1), tem-se que |xn − x0| 0, existe n0 ∈ N tal que para todo n ∈ N, se n > n0 então |f(xn)−L| 0 tal que, para qualquer que seja o número real δ > 0,
existe um número xδ ∈ X satisfazendo 0 0 existe xn ∈ X satisfazendo
0num ponto de seu domı́nio. Estes resultados serão chamados
“critérios sequenciais de divergência”.
Teorema 7.2 (Critérios sequenciais de divergência para funções) Se-
jam X ⊂ R, f : X → R e x0 ∈ R um ponto de acumulação de X.
(a) Se existe uma sequência (xn)n∈N em X com xn ̸= x0 para todo n ∈ N
tal que (xn)n∈N converge para x0 mas a sequência de imagens (f(xn))n∈N
não converge para L ∈ R então L não é o limite de f quando x tende
a x0.
(b) Se existe uma sequência (xn)n∈N em X com xn ̸= x0 para todo n ∈
N, tal que (xn)n∈N converge para x0 mas a sequência de imagens
(f(xn))n∈N não converge em R então a função f não possui limite
em x0.
(c) Se existem duas sequências (xn)n∈N e (yn)n∈N em X com xn ̸= x0
e yn ̸= x0 para cada n ∈ N e tais que (xn)n∈N e (yn)n∈N convergem
ambas para x0 mas as respectivas sequências de imagens (f(xn))n∈N e
(f(yn))n∈N convergem para valores diferentes em R então a função f
não possui limite em x0.
Note a diferença na aplicação do critério de existência, como no Exemplo
7.8, e dos critérios de divergência e não-existência do limite, como no Exemplo
a seguir.
Exemplo 7.9 (a) O lim
x→0
(1/x) não existe. De fato, escolhe-se por exemplo,
a sequência (xn)n∈N definida por xn = 1/n para n ∈ N, a qual satisfaz
12
EM
PR
EP
A
R
A
ÇÃ
O
Limite de Função em um Ponto
H. Clark
C. Vinagre
xn ̸= 0 para todo n ∈ N e lim
n→∞
xn = 0. Agora, como f(x) = 1/x para
x ∈ X = R \ {0} então para cada n ∈ N, f(xn) = n. Como a sequência
(f(xn)) = (n) não converge em R então pelo Teorema 7.2 (b) conclui-se que
f(x) = 1/x não possui limite em x0 = 0.
(b) A função sinal de x definida por: sgn : R → R tal que
sgn(x) =

−1 se x 0,
não tem limite em x0 = 0. De fato, seja (xn)n∈N a sequência definida por
xn = (−1)n/n para n ∈ N. Então limxn = 0 e xn ̸= 0 para todo n ∈ N.
Como sgn(xn) = (−1)n para n ∈ N, segue que (sgn(xn))n∈N não converge.
Portanto, do Teorema 7.2 (b), segue que não existe lim
x→0
sgn(x).
Um outro racioćınio para chegar à mesma conclusão é o seguinte: se-
jam as sequências xn = 1/n e yn = (−1)2n−1/n para n ∈ N. Ambas conver-
gem para 0 e para cada n ∈ N, tem-se xn ̸= 0 e yn ̸= 0. Mas as respectivas
sequências de imagens são sgn(xn) = 1 e sgn(yn) = −1 para todo n ∈ N.
Ou seja, convergem para 1 e -1. Portanto, do Teorema 7.2 (c) segue que
não existe lim
x→0
sgn(x).
(c) Não existe lim
x→0
sen(1/x). Veja graficamente o comportamento desta
função próximo da origem, na Figura 7.2.
O limite, de fato, não existe. Seja (xn)n∈N a sequência definida por
xn =

1
nπ
se n ∈ N é ı́mpar,
1
(π/2)+nπ se n ∈ N é par.
Então limxn = 0 e xn ̸= 0 para todo n ∈ N. Se f(x) = sen(1/x) para
x ∈ X = R \ {0}, tem-se que
f(x2k−1) = sen(2k − 1)π = 0 para todo k ∈ N,
f(x2k) = sen(π/2 + 2kπ) = 1 para todo k ∈ N.
Assim, (f(xn))n é a sequência (0, 1, 0, 1, . . .), a qual como se sabe não con-
verge. Logo, pelo Teorema 7.2(b), não existe lim
x→0
sen(1/x).
13
EM
PR
EP
A
R
A
ÇÃ
O
Elementos
de
Análise
Real
Limite de Função em um Ponto
oscilante
terrivelmente 
−1
−0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
−1 −0.5 0 0.5 1
−0.6
−0.8
−0.4
sen(1/x)
Figura 7.2: A função f(x) = sen(1/x).
Operações com Limites de Funções
Dadas duas funções f, g : X ⊂ R → R definem-se a partir delas novas
funções, a saber:
f + g : X ⊂ R → R tal que (f + g)(x) = f(x) + g(x)
f − g : X ⊂ R → R tal que (f − g)(x) = f(x)− g(x)
fg : X ⊂ R → R tal que (fg)(x) = f(x)g(x)
f
g : X ⊂ R → R tal que
(
f
g
)
(x) = f(x)
g(x) se g(x) ̸= 0, ∀x ∈ X,
cf : X ⊂ R → R tal que (cf)(x) = cf(x) onde c ∈ R é fixo.
O principal resultado sobre operações com limites de funções é:
Teorema 7.3 Sejam X ⊂ R, f, g : X → R, c ∈ R e x0 ∈ R um ponto de
acumulação de X. Suponha que os limites lim
x→x0
f(x) e lim
x→x0
g(x) existem.
Então
(1) lim
x→x0
[(f + g)(x)] = lim
x→x0
f(x) + lim
x→x0
g(x),
(2) lim
x→x0
[(f − g)(x)] = lim
x→x0
f(x)− lim
x→x0
g(x),
(3) lim
x→x0
[(fg)(x)] = lim
x→x0
f(x) lim
x→x0
g(x),
(4) lim
x→x0
[(cf)(x)] = c lim
x→x0
f(x),
14
EM
PR
EP
A
R
A
ÇÃ
O
Limite de Função em um Ponto
H. Clark
C. Vinagre
(5) lim
x→x0
[(f
g
)
(x)
]
=
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
para g(x) ̸= 0 e lim
x→x0
g(x) ̸= 0.
Prova: A demonstração desse teorema pode ser feita por meio de argumen-
tos similares àqueles usados na prova do Teorema 4.4 da Lição 04. De modo
alternativo, será usado o Teorema 4.4 e o Teorema 7.1 (Critério Sequencial)
como a seguir.
Seja (xn) uma sequência qualquer em X com xn ̸= x0 para todo n ∈ N
e tal que xn → x0. Então pelo Teorema 7.1 os limites lim f(xn) e lim g(xn)
existem. Dáı e do Teorema 4.4 obtém-se que
lim[(f + g)(xn)] = lim[f(xn) + g(xn)] = lim f(xn) + lim g(xn),
lim[(f − g)(xn)] = lim[f(xn)− g(xn)] = lim f(xn)− lim g(xn),
lim[(fg)(xn)] = lim[f(xn)g(xn)] = lim f(xn) lim g(xn),
lim[c(f)(xn)] = lim[cf(xn)] = c lim f(xn),
lim
[(f
g
)
(xn)
]
= lim
[(f(xn)
g(xn)
)]
=
lim f(xn)
lim g(xN )
desde que
g(xn) ̸= 0 e lim g(xn) ̸= 0 para todo n ∈ N. O que conclui a
demonstração.
Observação 7.2 Sejam X ⊂ R, f1, f2, . . . , fn : X → R e x0 ∈ R um
ponto de acumulação de X. Se Lk = lim
x→x0
fk para k = 1, 2, . . . , n então
segue do Teorema 7.3 e do Prinćıpio de Indução Matemática que
lim
x→x0
(f1 + f2 + · · ·+ fn) = L1 + L2 + · · ·+ Ln e
lim
x→x0
(f1f2 · · · fn) = L1L2 · · ·Ln.
Em particular, se L = lim
x→x0
f(x) e n ∈ N então lim
x→x0
(f(x))n = Ln.
Exemplo 7.10 (a) lim
x→x0
xk = (x0)
k para todo k ∈ N. De fato, como
lim
x→x0
x = x0 então, pela Observação 7.2, o lim
x→x0
xk = x0
k para todo k ∈ N
como afirmado.
(b) lim
x→1
(x2+3)(2x3−5) = −12. De fato, como lim
x→1
(x2+3) = 4 e lim
x→1
(2x3−
5) = −3 (ou seja, os limites existem), do Teorema 7.3 segue que
lim
x→1
(x2 + 3)(2x3 − 5) =
(
lim
x→1
(x2 + 3)
)(
lim
x→1
(2x3 − 5)
)
= −12.
15
EM
PR
EP
A
R
A
ÇÃ
O
Elementos
de
Análise
Real
Limite de Função em um Ponto
(c) lim
x→2
(
2x3−2
x2+3
)
= 2. Realmente, como lim
x→2
(2x3 − 2) = 12 e lim(x2 + 3) =
7 ̸= 0 então pode-se aplicar o Teorema 7.3 para obter
lim
x→2
2x3 − 2
x2 + 3
=
lim
x→2
(2x3 − 2)
lim
x→2
(x2 + 3)
=
14
7
= 2.
(d) lim
x→2
(
x3−8
x2−5x+6
)
= −12. Observe que não é posśıvel aplicar diretamente
o Teorema 7.3 já que
lim
x→2
(x2 − 5x+ 6) = lim
x→2
x2 − 5 lim
x→2
x+ 6 = 4− 5 · 2 + 6 = 0.
No entanto, é posśıvel reescrever o quociente acima na forma
x3 − 8
x2 − 5x+ 6
=
(x2 + 2x+ 4)(x− 2)
(x− 2)(x− 3)
=
x2 + 2x+ 4
x− 3
.
Como vale limx→2(x
2 + 2x + 4) = 12 e limx→2(x − 3) = −1 ̸= 0, pode-se
aplicar o Teorem 7.3 para obter
lim
x→2
(
x3 − 8
x2 − 5x+ 6
)
= lim
x→2
x2 + 2x+ 4
x− 3
=
=
lim
x→2
(x2 + 2x+ 4)
lim
x→2
(x− 3)
=
12
−1
= −12.
Desigualdades e Limites de Funções
Os dois resultados a seguir são análogos, respectivamente, aos Teore-
mas 4.6 e 4.7 da Lição 04.
Proposição 7.5 Sejam f : X ⊂ R → R e x0 ∈ R um ponto de acumulação
de X tais que a ≤ f(x) ≤ b para todo x ∈ X com x ̸= x0. Se lim
x→x0
f(x)
existe, então a ≤ lim
x→x0
f(x) ≤ b.
Prova: Por hipótese, existe L ∈ R tal que L = lim
x→x0
f(x). Dáı e do Teo-
rema 7.1, se (xn)n é qualquer sequência em X tal que xn ̸= x0 para todo
n ∈ N e xn → x0 quando n → ∞ então a sequência (f(xn))n converge
para L. Dáı e como, pela hipótese, a ≤ f(xn) ≤ b para todo n ∈ N, segue
do Teorema 4.6 que a ≤ L ≤ b.
Proposição 7.6 Sejam f, g, h : X ⊂ R → R e x0 ∈ R um ponto de acu-
mulação de X. Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ X com x ̸= x0, e se
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
h(x) = L então lim
x→x0
g(x) = L.
A prova deste resultado é uma aplicação imediata do Teorema 7.1 combinado
com o Teorema 4.7. Fica como exerćıcio!
16
EM
PR
EP
A
R
A
ÇÃ
O
Limite de Função em um Ponto
H. Clark
C. Vinagre
Proposição 7.7 Sejam f : X ⊂ R → R e x0 ∈ R um ponto de acumulação
de X. Se lim
x→x0
f(x) > 0 (respectivamente,lim
x→x0
f(x) 0 (respectivamente, f(x) 0. Tomando ε = L/2 > 0,
pela Definição 7.2, existe δ > 0 tal que se 0 L/2 > 0 para todo x ∈ X ∩ Vδ(x0) com x ̸= x0.
Argumentando-se de modo semelhante obtém-se o caso em que L 1/2 e ϵ ∈ R∗
+. Mostre que:
(i) para todo x ∈ R, se |x− α| 0, (c) lim
x→0
x sinx = 0.
EP 7.5 Mostre, usando o critério sequencial adequado, que os seguintes
limites não existem.
(a) lim
x→1
1
(x− 1)4
, (b) lim
x→0
1
x2
, (c) lim
x→0
sen(1/x2).
EP 7.6 Mostre, por meio da definição ( ϵ e δ ), que lim
x→7
8
x−3 = 2.
EP 7.7 Mostre, por meio da definição ( ϵ e δ ), que:
(a) lim
x→1
f(x) = −1/2 onde f(x) =
1
x− 3
para todo x ∈ Dom f = R− {3},
(b) lim
x→2
3
x− 1
= 3, onde x ̸= 1,
18
EM
PR
EP
A
R
A
ÇÃ
O
Limite de Função em um Ponto
H. Clark
C. Vinagre
(c) lim
x→ −2
3
x− 1
= −1, onde x ̸= 1.
EP 7.8 Seja f : R → R uma função. Mostre que, se lim
x→α
f(x) = L e
L ̸= 0 então existe pelo menos um ρ > 0 tal que |f(x)| > ρ para todo x tal
que 0 0, o que implica |x+2| = x+2. Portanto, 0 1 > 0 então |x+ 1| = x+ 1 e tem-se, por ser
x+ 1 1/2, ϵ ∈ R∗
+.
20
EM
PR
EP
A
R
A
ÇÃ
O
Limite de Função em um Ponto
H. Clark
C. Vinagre
(i) Seja x ∈ R, tal que |x− α| −1 + 2α > 0, pois
por hipótese α > 1/2. Portanto, por definição tem-se |x+ α| = x+ α e, por
ser x+ α 0 onde ϵ ∈ R. Toma-se
δ =
√
ϵ. Assim, δ > 0. Seja x ∈ Dom f = R tal que 0 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ R se
0 0. A prova é completamente análoga
à feita no Exemplo 7.3 com a > 0 no lugar de 4. Refaça bem devagar,
acompanhando e entendendo todas as passagens.
(c) Tem-se que Dom f = R. Seja ϵ > 0 onde ϵ ∈ R. Toma-se δ = ϵ. Seja
x ∈ Dom f = R tal que 0 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ R se
0(xn) definida por
xn =

1√
nπ
se n ∈ N é ı́mpar,
1√
π/2+nπ
se n ∈ N é par.
Faça as adptações!
REP 7.6 Note que Dom f = R−{3} e f(x) = 8
x−3 . Seja ϵ > 0 onde ϵ ∈ R.
Toma-se δ = min{1, 3ϵ/2}. Dáı, δ > 0. Seja x ∈ Dom f = R− {3} tal que
0 0⇒
|x− 3| = x− 3 > 3 ⇒ 1
|x− 3|
 0, existe δ > 0, tal que, para todo x ∈ Dom f =
R− {3}, se 0 0 onde ϵ ∈ R. Toma-se
δ = δ(ϵ) = min {1, 2ϵ} > 0. (⋆)
Seja x ∈ Dom f = R− {3} tal que 0 1, pois como x− 3 1.
Assim,
1
2|x− 3|
 0. Toma-se δ(ϵ) = min {1/2, ϵ/6} .
Seja x ∈ R−{1} tal que 0 0 arbitrariamente dado, pode-se escolher
um δ = δ(ϵ) > 0 tal que, para todo x ∈ R, x ̸= 1, se 0 0. Tome-se δ(ϵ) = min {1, 2ϵ} .
Seja x ∈ R− {1} tal que 0 0 arbitrariamente dado, pode-se escolher
um δ = δ(ϵ) > 0 tal que, para todo x ∈ R, x ̸= 1, se 0 0. Pelo Corolário 2.1, |L| − |f(x)| ≤ |f(x) − L|. Das
duas precedentes desigualdades resulta que |L| − |f(x)| 0 arbitrário, em particular, tem-se ϵ = |L|/2, e
isto substituido na última desigualdade resulta |f(x)| > |L| − |L|/2 = |L|/2.
Neste caso, tomando-se ρ = |L|/2 tem-se o resultado desejado.
REP 7.9 Seja f(x) = x3−8
x2−3x+2
. Note que Dom f = Rr {1, 2}, pois x = 1 e
x = 2 são as ráızes da equação x2 − 3x+2 = 0. Assim, f está bem definida
em Rr{1, 2}. Como x3−8 = (x−2)(x2+2x+4) e x2−3x+2 = (x−2)(x−1)
então para x /∈ {1, 2} tem-se
f(x) =
(x− 2)(x2 + 2x+ 4)
(x− 2)(x− 1)
=
x2 + 2x+ 4
x− 1
.
Seja ϵ > 0 real e tome-se δ = min{1/2, ϵ/13} > 0. Se x ∈ Dom f é tal que
0 1/2 e |x + 6|