Cálculo de Limites

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Cálculo de Limites
Sumário
6.1 Limites de Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6.2 Exercícios Recomendados . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.3 Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6.4 Exercícios Recomendados . . . . . . . . . . . . . . . 8
Unidade 6
Esta unidade será dedicada à apresentação de alguns exemplos de cálculo
de limites e de propor uma lista de exercícios suplementares.
Iniciemos com a regra de substituição que utilizamos na unidade anterior
quando efetuamos o seguinte cálculo:
lim
x→a
cosx = lim
x→a
sen
(
π
2
− x
)
= sen
(
π
2
− a
)
= cos a.
Trata-se do resultado muito útil a seguir.
Proposição 1
Regra de Substituição
Sejam f e g duas funções para as quais faz sentido formar g ◦ f . Seja a
um número real tal que limx→a f(x) = b. Suponha que limy→b g(y) = l e que
exista um um intervalo da forma (a − r, a + r) tal que f(x) 6= b para todo x
na interseção do domínio de f com o conjunto (a− r, a+ r) \ {a}. Então
lim
x→a
g(f(x)) = l.
Demonstração Seja (xn) uma sequência qualquer de números reais distintos de a no do-
mínio de f que converge para a. Como (xn) converge para a, existe n0 ∈ N tal
que xn ∈ (a − r, a + r) para todo n ≥ n0. Logo, a sequência (yn)n≥n0 , onde
yn = f(xn), tem seus elementos no domínio de g, distintos de a, e converge
para b, já que limx→a f(x) = b. Portanto, como limy→b g(y) = l, temos que a
sequência (g(f(xn))) converge para l, o que mostra que limx→a g(f(x)) = l.
Exemplo 1 A regra de substituição nos permite calcular, por exemplo, limx→a cos(p(x)),
no qual p(x) é um polinômio não constante.
De, fato consideremos o polinômio não constante q(x) = p(x) − b, onde
b = p(a), do qual a é uma raiz. Como um polinômio não nulo tem um número
�nito de raízes, é claro que podemos encontrar um número real r > 0 tal que
q(x) não se anula em (a − r, a + r) \ {a}, ou seja, p(x) 6= p(a) = b. Como
limx→a p(x) = p(a) e limy→b cos y = cos b, temos que
lim
x→a
cos(p(x)) = cos(p(a)).
2
Unidade 6Cálculo de Limites
6.1 Limites de Sequências
Vamos nesta seção estabelecer alguns resultados mais �nos sobre limites de
sequências.
Exemplo 2Seja a > 0, vamos mostrar que lim
n→∞
n
√
a = 1.
Vamos, inicialmente, provar o resultado para a > 1. Seja (dn) a sequência
de�nida por dn = n
√
a− 1. Temos obviamente que dn > 0. Por outro lado, da
identidade
a− 1 =
(
n
√
a− 1
) ( n
√
an−1 +
n
√
an−2 + · · ·+ n
√
a+ 1
)
,
obtemos que
a− 1 1. Portanto, pelo caso já calculado, temos
lim
n→∞
n
√
a = lim
n→∞
1
n
√
1
a
=
1
limn→∞
n
√
1
a
= 1.
O próximo resultado trata dos limites de potências e é muito importante.
Proposição 2Seja a > 0 um número real. Tem-se que
lim
n→∞
an =
{
0, se 0 1
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Unidade 6 Limites de Sequências
Demonstração Vamos inicialmente mostrar o caso a > 1. Escrevamos h = a − 1, logo
a = 1 + h com h > 0. Pela desigualdade de Bernouilli (que pode ser provada
sem di�culdade por indução) temos que
an = (1 + h)n ≥ 1 + nh.
Como limn→∞(1 + nh) =∞, temos pela propriedade (c) da Seção 3, Unidade
2, que limn→∞ a
n =∞.
Suponhamos agora que 0 1. Do que cabamos de provar,
temos que
lim
n→∞
(
1
a
)n
= lim
n→∞
1
an
=∞,
logo da propriedade (d), Seção 3, Unidade 2,
lim
n→∞
an = lim
n→∞
1
1
an
= 0.
No próximo exemplo calcularemos um limite interessante.
Exemplo 3
Tem-se que limn→∞
n
√
n = 1.
De fato, seja an = n
√
n, bn = 2n
√
n e cn = bn − 1.
Sendo n ≥ 1, temos que 2n
√
n ≥ 1, o que implica que bn = 2n
√
n − 1 ≥ 0.
Isto em particular nos diz que cn > 0. Pela desigualdade de Bernouilli temos
2
√
n = bnn = (1 + cn)
n ≥ 1 + ncn.
Assim, obtemos
0 ≤ cn ≤
2
√
n− 1
n
.
Pela propriedade do confronto, temos que limn→∞ cn = 0 e consequentemente,
limn→∞ bn = 1. Como an = b2n, segue-se que
lim
n→∞
an = lim
n→∞
b2n =
(
lim
n→∞
bn
)2
= 1.
4
Unidade 6Cálculo de Limites
6.2 Exercícios Recomendados
1. Determine o termo geral e calcule o limite da sequência
2
1
,
4
3
,
6
5
,
8
7
, . . . .
2. Calcule
lim
n→∞
[
1− 1
4
+
1
16
− · · ·+ (−1)n 1
4n
]
.
3. Calcule o limite da sequência
2, 2, 3, 2, 31, 2, 317, 2, 3171, 2, 31717, . . .
4. Calcule o limite da sequência
√
5,
√
5
√
5,
√
5
√
5
√
5, . . . ,
5. Calcule o limite da sequência cujo termo geral é
a)
1
n2
+
2
n2
+
3
n2
+ · · ·+ n
n2
.
b)
1
n3
+
22
n3
+
32
n3
+ · · ·+ n2
n3
.
6. Diga se é �nito ou in�nito o limite da sequência cujo termo geral é
1
np+1
+
2p
np+1
+
3p
np+1
+ · · ·+ np
np+1
.
7. Calcule
a) lim
n→∞
(
√
n+ 1−
√
n);
b) lim
n→∞
( 3
√
n+ 1− 3
√
n);
c) lim
n→∞
( k
√
n+ 1− k
√
n), onde k ∈ N.
Sugestão: Pode ser útil usar a identidade:
b− a =
(
k
√
b− k
√
a
)(
k
√
bk−1 +
k
√
bk−2 k
√
a+ · · ·+ k
√
ak−1
)
.
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Unidade 6 Exercícios Recomendados
8. Calcule lim
n→∞
n2 cosn!
n3 + 1
.
9. Calcule lim
n→∞
n
√
n2.
6
Unidade 6Cálculo de Limites
6.3 Limites de Funções
Iniciemos com uma proposição cujo conteúdo é bem intuitivo.
Proposição 3Seja f : (d,∞) → R uma função crescente. Suponha que exista
uma sequência (xn) de elementos em (d,∞) tal que limn→∞ xn = ∞ e
limn→∞ f(xn) =∞. Então limx→∞ f(x) =∞.
DemonstraçãoDevemos mostrar que dada uma sequência (ym) tal que limm→∞ ym =∞,
então limm→∞ f(ym) =∞.
Seja M um número real positivo qualquer. Como limn→∞ f(xn) = ∞,
existe n0 tal que f(xn0) > M . Se (ym) é uma sequência tal que limm→∞ ym =
∞, então existe m0 tal que para todo m ≥ m0 se tenha ym > xn0 . Como f é
crescente, temos
m > m0 ⇒ ym ≥ xn0 ⇒ f(ym) ≥ f(xn0) > M,
o que prova que limm→∞ f(ym) =∞.
A seguir enunciamos uma propriedade importante e fácil de provar, que
apresentamos na Unidade 2 para sequências.
lim
x→±∞
f(x) = ±∞ ⇒ lim
x→±∞
1
f(x)
= 0.
Exemplo 4Vamos considerar a função exponencial f : R → R, f(x) = ax, em que a
é um número real positivo diferente de 1.
Se a > 1, sabendo que a exponencial é uma função crescente e que
limn→∞ a
n =∞, então pela Proposição 3 temos que
lim
x→∞
ax =∞, para todo a > 1.
No caso em que 0 1 e portanto,
lim
x→∞
1
ax
= lim
x→∞
(
1
a
)x
=∞,
donde
lim
x→∞
ax = 0.
7
Unidade 6 Exercícios Recomendados
6.4 Exercícios Recomendados
1. Seja a um número real positivo. Mostre que
lim
x→−∞
ax =
{
0, se a > 0,
∞, se 0 b.
5. Calcule lim
x→0
1− cosx
sen2 x
.
6. Calcule lim
x→∞
22x + 2x
4x + 4
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