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Eletromagnetismo
Indutância e as equações de 
Maxwell
Dra. Jenai Oliveira Cazetta
• Unidade de Ensino: Indutância e as Equações de Maxwell
• Competência da Unidade: Realizar a análise de distribuições de correntes 
elétricas e dos campos magnéticos envolvidos em contextos gerais e 
aplicações específicas; aplicar as equações de Maxwell na Engenharia.
• Resumo: Lei de Faraday e lei de Lenz, indutância, equações de Maxwell.
• Palavras-chave: Indutância, equações de Maxwell.
• Título da Teleaula: Indutância e as Equações de Maxwell
• Teleaula nº: 03
TA01TA01
•Campos elétricos e potenciais elétricos em 
distribuições contínuas de carga.
TA 02TA 02
•Correntes elétricas e os campos magnéticos 
estacionários.
TA TA 03
•Fenômenos de indução e as equações de 
Maxwell. 
Muitos dos equipamentos que utilizamos são 
compostos por indutores magnéticos ou têm o 
princípio de funcionamento baseado nas leis da
indução.
Eletromagnetismo
Os fenômenos elétricos e os magnéticos têm uma origem comum 
cargas elétricas.
Correntes elétricas geram campos magnéticos.
Variações de campos magnéticos são capazes de induzir correntes 
elétricas facilmente obtidas por meio da 
movimentação de imãs conexão entre energia 
mecânica e energia elétrica.
Equações de Maxwell
Resumo dos conhecimentos fundamentais do Eletromagnetismo!
Estas equações serão fundamentais para entendimento de como as 
ondas eletromagnéticas se propagam princípio utilizado nos principais
equipamentos de comunicação hoje existentes. 
Lei de Faraday e 
lei de Lenz
Espira retangular 
imersa em um 𝐵
Campo magnético 
variável
Geradores e 
motores elétricos 
Autoindução e 
indutância mútua
Equações de 
Maxwell
Modificações 
propostas por 
Maxwell
Propagação de 𝐸 e
𝐵
Eletromagnetismo
Indutância e as equações de 
Maxwell
Dra. Jenai Oliveira Cazetta
Lei de Faraday e 
lei de Lenz
Φ = 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝐴
Φ = 𝐸. 𝑛 𝑑𝐴
 
 
Fluxo de campo magnético
Φ = 𝐵. 𝑛 𝑑𝐴
𝐵
𝑛 𝜃
Fonte: a autora.
Ao movimentar um ímã em relação a uma espira 
circular quanto mais linhas de campo estiverem 
passando por dentro da espira maior o fluxo:
• Ao aproximar o ímã do interior da espira 
fluxo aumenta; 
• Ao afastar o ímã da espira fluxo diminui. 
Fluxo magnético numa espira
𝐵
�⃗�
Fonte: a autora.
Fonte: https://cutt.ly/rfTeYq6
Conectou um multímetro 
nos terminais da espira 
circuito fechado.
Experimento de Faraday Aproximar ou afastar o ímã variação de Φ surgimento de uma 
𝜀 gerando uma 𝐼 .
Lei de Faraday da 
Indução Magnética!!!𝜀 = −
𝑑Φ
𝑑𝑡
Essa descoberta é fundamental para as aplicações 
de conversão eletromecânica de energia o 
movimento mecânico do imã dá origem a uma 
corrente elétrica e a energia mecânica é 
transformada em energia elétrica.
Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq
 𝜀 = −
𝑑Φ
𝑑𝑡
“A corrente induzida em um 
circuito aparece sempre com um 
sentido tal que o campo 
magnético, devido à corrente, se
opõe à variação do fluxo 
magnético que induz a corrente”.
Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq
Essa descoberta é fundamental 
para as aplicações de conversão 
eletromecânica de energia. 
Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq
O movimento mecânico do imã 
dá origem a uma corrente elétrica 
e a energia mecânica é 
transformada em energia elétrica.
Espira retangular 
imersa em um 
campo magnético
Espira retangular imersa num campo magnético
Duas situações:
(1) Campo magnético variante no tempo passando por uma área fixa;
(2) Campo magnético fixo, confinado em um determinado espaço, no 
qual existe uma espira que se movimenta.
Situação (2)
Espira se movimenta linearmente em um campo 
magnético constante.
Quanto mais a espira é puxada para fora da região 
de confinamento do campo magnético menor a 
área menor o fluxo de campo magnético.
ℓ
𝑥
𝑏
�⃗�
𝐵 𝐼
Fonte: https://cutt.ly/LfTtAcz.
Existe uma variação negativa de área e o fluxo será 
dado conforme o cálculo da integral:
ℓ
𝑥
𝑏
�⃗�
𝐵 𝐼
Φ = 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝐴
Φ = 𝐵𝑐𝑜𝑠 0 𝑑𝐴
Φ = 𝐵𝐴 Φ = 𝐵ℓ𝑥
Fonte: https://cutt.ly/LfTtAcz.
𝜀 =
𝑑Φ
𝑑𝑡
𝜀 = 𝐵ℓ
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Φ = 𝐵ℓ𝑥
ℓ
𝑥
𝑏
�⃗�
𝐵 𝐼
 𝜀 = 𝐵ℓ𝑣
Fonte: https://cutt.ly/LfTtAcz.
𝐼 =
𝜀
𝑅
𝜀 = 𝐵ℓ𝑣
 𝐼 =
𝐵ℓ𝑣
𝑅
ℓ
𝑥
𝑏
�⃗�
𝐵 𝐼
Fonte: https://cutt.ly/LfTtAcz.
Quando o imã é aproximado/afastado da espira 
surge uma força magnética oposta ao 
movimento é preciso realizar um trabalho 
positivo. 
ℓ
𝑥
𝑏
�⃗�
𝐵 𝐼
Como existe uma resistência característica da 
espira energia térmica é produzida devido à 
corrente induzida na espira pelo movimento 
existe uma transferência de energia mecânica no 
sistema imã-espira para energia térmica.
Fo
nt
e:
 h
tt
ps
:/
/c
ut
t.l
y/
Lf
Tt
Ac
z.
Eletromagnetismo
Indutância e as equações de 
Maxwell
Dra. Jenai Oliveira Cazetta
Efeitos de um 
campo magnético 
variável sobre um 
condutor
Efeito de um campo magnético 
variável sobre um condutor
Fonte: a autora.
Anel em um cilindro onde existe um 𝐵 que cresce 
com o 𝑡.
O campo magnético cresce com o tempo fluxo
magnético é crescente.
No contorno do anel aparecerá uma corrente 
induzida.
𝑰
Se o fluxo está aumentando a corrente induzida
irá gerar um campo que se oporá ao aumento do 
fluxo de campo magnético aplicado haverá uma 
corrente circulando, no sentido anti-horário.
Irá aparecer um campo elétrico induzido no 
condutor tangente a cada ponto do anel.
Sobre as cargas no interior do anel agirá uma força:
Fonte: a autora.
𝑰
𝑬
�⃗� = 𝑞𝐸
𝑊 = �⃗�. 𝑑ℓ
 
 
= 𝑞𝐸. 𝑑ℓ
 
 
Trabalho realizado pela força para deslocar os 
elétrons de condução:
Fonte: a autora.
𝑰
𝑬
𝜀 =
𝑊
𝑞
= 𝐸. 𝑑ℓ
 
 
𝜀 = −
𝑑Φ
𝑑𝑡 𝐸. 𝑑ℓ
 
 
= −
𝑑Φ
𝑑𝑡
Reformulação da Lei de Faraday
para um campo variante no tempo.
A lei de Faraday permite afirmar 
que um campo magnético variante 
no tempo irá produzir um campo 
elétrico.
Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq
Transformadores
Projeto – Problema detectado
Um dos instrumentos que será utilizado no projeto deve ser alimentado 
com 440 𝑉 em CA, contudo, os pontos de alimentação do laboratório 
fornecem apenas 220 𝑉. 
O laboratório não possui um transformador para que a tensão possa ser 
aumentada, mas existem bobinas de 1500 espiras e 
núcleos de material ferromagnético. 
Bobina do primário 𝑁 espiras alimentadas 
com uma tensão alternada 𝑉 corrente 
alternada 𝐼 no enrolamento.
Bobina do secundário 𝑁 espiras. 
Núcleo material ferromagnético função 
de concatenar o fluxo de 𝐵 gerado na bobina 
do primário de tal forma que este fluxo passe 
pela bobina do secundário.
Transformador monofásico
Fonte: 
https://cutt.ly/LfRVhLc
𝐵 gerado pela bobina do primário é um campo variante no tempo 
𝜀 resultante igual a soma das forças geradas em cada espira.
𝜀 = −𝑁
𝑑Φ
𝑑𝑡
= 𝑉
Força eletromotriz resultante na bobina de secundário superposição 
das forças eletromotrizes induzidas em cada uma das 
espiras do secundário.
𝜀 = −𝑁
𝑑Φ
𝑑𝑡
= 𝑉
𝜀
𝜀
=
−𝑁
𝑑Φ
𝑑𝑡
−𝑁
𝑑Φ
𝑑𝑡
=
𝑉
𝑉
RELAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO 
Dependendo do número de espiras 
nas bobinas no primário e no 
secundário pode-se obter uma 
transformação da tensão.
 
𝑁
𝑁
=
𝑉
𝑉
Considerando que não há dispersão 
de fluxo magnético, as variações 
temporais dos fluxos magnéticos são 
iguais.
𝑁
𝑁
=
𝑉
𝑉
𝑉 = 220 𝑉
𝑉 = 440 𝑉
𝑁
𝑁
=
220
440
𝑁
𝑁
=
1
2
𝑁 = 2𝑁 
Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq
O laboratório dispõe de bobinas 
de 1500 espiras e materiais 
ferromagnéticos para compor o 
núcleo do transformador.
SOLUÇÃO ligar uma bobina no 
primário e duas bobinas, em série, 
no secundário. 
Fonte: https://cutt.ly/VfAdXeo
Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq
Gerador e motor 
elétrico
EQUAÇÃO DO GERADOR
𝑉 = �⃗� × 𝐵 . 𝑑ℓ
EQUAÇÃO DO MOTOR ELÉTRICO
𝑑�⃗� = 𝐼𝑑ℓ × 𝐵
Analisando as equações, o 
que se pode dizer sobre o 
funcionamento dos dois 
dispositivos?
Fonte: https://bit.ly/3aLma1D
Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq
Equação do gerador
 𝑉 = �⃗� × 𝐵 . 𝑑ℓ
A equação explica como umabobina de um fio girando em um campo
magnético irá gerar uma tensão.
Equação do motor elétrico
 𝑑�⃗� = 𝐼𝑑ℓ × 𝐵
A equação relaciona a força exercida sobre um fio conduzindo uma 
corrente 𝐼 em um campo magnético.
Explica como uma bobina de um fio conduzindo uma 
corrente em um campo magnético é levada a girar.
Eletromagnetismo
Indutância e as equações de 
Maxwell
Dra. Jenai Oliveira Cazetta
Autoindução e 
indutância mútua
Solenoide
Dispositivo composto por 𝑁 espiras percorrido por 
uma corrente 𝐼.
Corrente produzirá um campo magnético que 
percorrerá o solenoide internamente.
O fluxo de campo magnético atravessará a região 
definida pela área do solenoide.
Fonte: a autora.
O fluxo magnético variante no tempo induzirá
uma força eletromotriz.
É intuitivo o campo magnético gerado por um 
solenoide percorrido por uma corrente 𝐼 variante 
no tempo é capaz de atuar no próprio solenoide 
autoindução.
Fonte: a autora.
Φ = 𝐵 𝑑𝐴
 
 
= 𝐵𝐴
Φ =
𝜇 𝑁𝐼𝐴
ℓ
𝐵 =
𝜇 𝑁𝐼
ℓ
Φ = 𝑁Φ
Φ =
𝜇 𝑁 𝐼𝐴
ℓ
𝐿 =
Φ
𝐼
𝐿 =
𝜇 𝑁 𝐴
ℓ
Fonte: a autora.
𝐵 de um solenoide
longo de comprimento
ℓ contendo 𝑁 espiras.
Φ′: fluxo de B que atravessa a 
área A do solenoide.
Φ: fluxo concatenado = somatória 
de Φ′ em cada espira.
 𝐿 =
𝜇 𝑁 𝐴
ℓ
AUTOINDUTÂNCIA capacidade que certo 
condutor possui de induzir, nele mesmo, uma 
força eletromotriz a partir de um campo
magnético variante no tempo produzido por 
uma corrente que também é variante no tempo.
Indutor
Bobina de 𝑁 espiras um 
indutor. 
Se percorrido por uma corrente 
𝐼 = 𝐼 𝑡 força eletromotriz
(𝑓𝑒𝑚) autoinduzida: 
 𝜀 = −
𝑑 𝑁Φ
𝑑𝑡
Na ausência de materiais 
magnéticos: 
𝑁Φ = 𝐿𝐼
𝜀 = −
𝑑 𝐿𝐼
𝑑𝑡
𝜀 = −𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
OBSERVAÇÃO
Quando um indutor é atravessado por uma corrente elétrica, é 
produzido um fluxo magnético em seu interior. 
Esse componente é capaz de armazenar energia magnética.
Considere duas bobinas colocadas próximas uma da outra, sendo uma
percorrida por uma corrente elétrica.
É possível transferir energia entre as duas bobinas.
Isso ocorre porque existirá entre os indutores uma indutância mútua.
Indutância mútua
Indutância mútua acopla os
circuitos 1 e 2 induzindo 𝑓𝑒𝑚 no
circuito 2 a partir da corrente 
variável no tempo. 
𝜀 = −
𝑑Φ
𝑑𝑡
𝜀 = −𝑀
𝑑𝐼
𝑑𝑡
Fonte: a autora.
Eletromagnetismo
Indutância e as equações de 
Maxwell
Dra. Jenai Oliveira Cazetta
Equações de 
Maxwell
James Clerk Maxwell
A aplicabilidade das leis do eletromagnetismo deve ser generalizada
as equações devem ser aplicadas a quaisquer sistemas físicos
eletromagnéticos capacitores, resistores, bobinas, entre outros 
dispositivos.
As equações devem incluir a 
representação da propagação 
dos campos elétrico e 
magnético.
Fonte: https://cutt.ly/pfTurP3
Lei de Gauss da eletrostática
𝑞 = 𝜌𝑑𝑉
𝐸. 𝑛𝑑𝐴 =
1
𝜀
𝜌𝑑𝑉
𝐸. 𝑛𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀
𝐸. 𝑛𝑑𝐴 = 𝛻. 𝐸 𝑑𝑉
𝛻. 𝐸 𝑑𝑉 =
1
𝜀
𝜌𝑑𝑉
𝛻. 𝐸 −
𝜌
𝜀
𝑑𝑉 = 0
𝛻. 𝐸 −
𝜌
𝜀
= 0
 𝛻. 𝐸 =
𝜌
𝜀
Lei de Gauss para o magnetismo
𝐵. 𝑛𝑑𝐴 = 0
𝛻. 𝐵 𝑑𝑉 = 0 
 𝛻. 𝐵 = 0
𝐵. 𝑛𝑑𝐴 = 𝛻. 𝐵 𝑑𝑉
𝐸. 𝑑ℓ = −
𝑑Φ
𝑑𝑡
Lei de Faraday
Φ = 𝐵. 𝑛𝑑𝐴
𝐸. 𝑑ℓ = −
𝑑
𝑑𝑡
𝐵. 𝑛𝑑𝐴
𝐸. 𝑑ℓ = 𝛻 × 𝐸 . 𝑛 𝑑𝐴
𝛻 × 𝐸 . 𝑛 𝑑𝐴 = −
𝑑𝐵
𝑑𝑡
. 𝑛𝑑𝐴
𝛻 × 𝐸 = −
𝑑𝐵
𝑑𝑡
𝐵. 𝑑ℓ = 𝜇 𝐼
Lei de Ampére
𝛻 × 𝐵 = 𝜇 𝐽
𝐵. 𝑑ℓ = 𝛻 × 𝐵 . 𝑛 𝑑𝐴
𝐼 = 𝐽. 𝑛𝑑𝐴
𝛻 × 𝐵 . 𝑛 𝑑𝐴 = 𝜇 𝐼
𝛻 × 𝐵 . 𝑛 𝑑𝐴 = 𝜇 𝐽. 𝑛𝑑𝐴
Modificações 
propostas por 
Maxwell
Lei de Ampére e a conservação de cargas
Princípio da conservação de cargas violado se a Lei de Ampère for 
escrita na forma diferencial a lei indica uma descontinuidade na 
corrente elétrica.
Princípio de conservação de cargas uma corrente elétrica somente 
existirá quando houver deslocamento de cargas de 
uma região para outra.
𝛻 × 𝐵 = 𝜇 𝐽
Capacitor e corrente 
de deslocamento
Fonte: https://cutt.ly/CfToDw6
𝐼𝐼
𝐼
𝐼𝐼
𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝐵 𝐵
Nos condutores conectados a 
cada uma das placas existe 𝐼
de condução gera um 𝐵 ao 
seu redor. 
Fonte: https://cutt.ly/CfToDw6
𝐼𝐼
𝐼
𝐼𝐼
𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝐵 𝐵
No interior das placas não
existe movimento de cargas 
o que nos levaria a afirmar que 
𝐼 = 0 no interior do capacitor.
Fonte: https://cutt.ly/CfToDw6
𝐼𝐼
𝐼
𝐼𝐼
𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝐵 𝐵
No entanto, existe comprovação 
experimental da existência de 
um campo magnético no 
interior das placas.
Em dado 𝑡 a quantidade de cargas que passa pelo condutor em 
direção às placas do capacitor: 
𝑞 = 𝜀 Φ
𝐼 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 𝐼 = 𝜀
𝑑Φ
𝑑𝑡
Como no interior das placas não há movimento de 
cargas, não há corrente de condução!!!
Maxwell para garantir a continuidade da corrente elétrica propôs 
a existência de uma corrente de deslocamento entre estas placas 
igual à corrente de condução:
 𝐼 = 𝜀
𝑑Φ
𝑑𝑡
 𝐽 = 𝜀
𝑑𝐸
𝑑𝑡
 
“Nova” lei de Ampère
 𝐵. 𝑑ℓ = 𝜇 𝐼 + 𝐼
 𝛻 × 𝐵 = 𝜇 𝐽 + 𝐽
Lei de Ampère-
Maxwell!
Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq
Propagação dos campos elétrico e magnético
A Equação de Faraday nos diz que uma variação de campo magnético no 
tempo irá produzir um campo elétrico.
No entanto, na Equação de Ampère falta um termo que indique que, 
mesmo na ausência de 𝐼, existe uma fonte de 𝐵 viabilizando a 
propagação de 𝐵 e 𝐸 no espaço. 
 𝐵. 𝑑ℓ = 𝜇 𝐼 + 𝜇 𝜀
𝑑Φ
𝑑𝑡
 𝛻 × 𝐵 = 𝜇 𝐽 + 𝜇 𝜀
𝑑𝐸
𝑑𝑡
Lei de Ampère-
Maxwell!
Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq
𝐸 . 𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀
𝐵. 𝑑𝐴 = 0
𝐸. 𝑑ℓ
 
 
= −
𝑑Φ
𝑑𝑡
𝐵. 𝑑ℓ
 
 
= 𝜇 𝜀
𝑑Φ
𝑑𝑡
+ 𝜇 𝐼
𝛻. 𝐸 =
𝜌
𝜀
𝛻. 𝐵 = 0
𝛻 × 𝐸 = −
𝑑𝐵
𝑑𝑡
𝛻 × 𝐵 = 𝜇 𝜀
𝑑𝐸
𝑑𝑡
+ 𝜇 𝐽
Campo elétrico 
variante no tempo 
e campo 
magnético
O laboratório recebeu um capacitor de placas 
planas e paralelas que estão separadas por uma 
distância 𝑑 muito menor que o tamanho das 
placas, cuja área é 1,0 × 10 𝑚 . 
As placas do capacitor estão ligadas a uma fonte 
de corrente alternada de tal modo a produzirem 
uma carga 𝑄 alternada no tempo:
𝑄 = 6𝑠𝑒𝑛 377𝑡 × 10 𝐶
Fonte: a autora.
Qual será o campo 𝐵 que
surge entre as placas devido
à variação temporal do 
campo elétrico?
Fonte: https://bit.ly/33O0Iqq
𝐸 𝑡 =
𝜎 𝑡
2𝜀
𝜎 𝑡 =
𝑄 𝑡
𝐴
𝐸 𝑡 =
𝑄 𝑡
2𝐴𝜀
𝐸 𝑡 =
𝑄𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
2𝐴𝜀
𝑄 𝑡 = 𝑄𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
Interior do condutor 𝐼 = 0:
𝐵 =
𝜇 𝜀 𝑟
2
𝑑𝐸
𝑑𝑡
𝐵. 𝑑ℓ = 𝜇 𝜀
𝑑Φ
𝑑𝑡
𝐵ℓ = 𝜇 𝜀
𝑑
𝑑𝑡
𝐸𝐴
𝐵 2𝜋𝑟 = 𝜇 𝜀 (𝜋𝑟 )
𝑑𝐸
𝑑𝑡
𝐵 =
𝜇 𝜀 𝑟
2
𝑑
𝑑𝑡
𝑄𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
2𝐴𝜀
𝐵 =
𝜇 𝜀 𝑟
2
𝑄𝜔𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
2𝐴𝜀
𝐵 =
𝜇 𝑟𝑄𝜔
4𝐴
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
𝐵 ≈ 7,1 × 10 𝑟 𝑐𝑜𝑠 377𝑡 𝑇
𝑄 = 6,0 × 10 𝐶 
𝜔 = 377 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝐴 = 1,0 × 10 𝑚
𝜇 = 1,26 × 10 𝑚𝑘𝑔/𝐶
Fonte: https://cutt.ly/VfAdXeo
Eletromagnetismo
Indutância e as equações de 
Maxwell
Dra. Jenai Oliveira Cazetta
Recapitulando
Lei de Faraday e 
lei de Lenz
Espira retangular 
imersa em um 𝐵
Campo magnético 
variável
Geradores e 
motores elétricos 
Autoindução e 
indutância mútua
Equações de 
Maxwell
Modificações 
propostas por 
Maxwell
Propagação de 𝐸 e
𝐵
𝐸 . 𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀
𝐵. 𝑑𝐴 = 0
𝐸. 𝑑ℓ
 
 
= −
𝑑Φ
𝑑𝑡
𝐵. 𝑑ℓ
 
 
= 𝜇 𝜀
𝑑Φ
𝑑𝑡
+ 𝜇 𝐼
𝛻. 𝐸 =
𝜌
𝜀
𝛻. 𝐵 = 0
𝛻 × 𝐸 = −
𝑑𝐵
𝑑𝑡
𝛻 × 𝐵 = 𝜇 𝜀
𝑑𝐸
𝑑𝑡
+ 𝜇 𝐽
Equações de Maxwell
Eletromagnetismo
Indutância e as equações de 
Maxwell
Dra. Jenai Oliveira Cazetta