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INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Nesta aula, você irá conhecer os conceitos de grandezas escalares e vetoriais na cinemática. Uma grandeza
física pode ser classi�cada como grandeza escalar ou vetorial. As grandezas físicas são importantes para
análise e descrição dos fenômenos da natureza e cada grandeza física possui um valor numérico e sua
respectiva unidade de medida. A matemática é uma importante ferramenta utilizada na física, possibilitando a
descrição dos fenômenos na natureza de forma mais acessível e sucinta, por meio de fórmulas e de valores
numéricos que medem as grandezas tanto escalares como as grandezas vetoriais. Logo, utiliza-se estas duas
ciências juntas para melhor compreensão de diversas situações do cotidiano.
Então, vamos lá?
Aula 1
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS NA CINEMÁTIC
As grandezas físicas são importantes para análise e descrição dos fenômenos da natureza e cada
grandeza física possui um valor numérico e sua respectiva unidade de medida. A matemática é uma
importante ferramenta utilizada na física, possibilitando a descrição dos fenômenos na natureza de
forma mais acessível e sucinta.
26 minutos
DINÂMICA: CINEMÁTICA: ESTUDO DO MOVIMENTO DOS
CORPOS
 Aula 1 - Grandezas escalares e vetoriais na cinemátic
 Aula 2 - Referencial Inercial e equações de movimento
 Aula 3 - Movimento em uma dimensão
 Aula 4 - Movimento em duas dimensões
 Aula 5 - Revisão da unidade
 Referências
166 minutos
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INTRODUÇÃO SOBRE GRANDEZAS FÍSICAS
Física (palavra de origem grega physis signi�ca natureza) é a ciência que investiga os fenômenos na natureza
no decorrer do espaço e do tempo. Os fenômenos na natureza são diversos e numerosos e são classi�cados
de acordo com o sentido utilizado na análise dos mesmos (Young, 2008). Por exemplo, o estudo da
propagação da luz e sua relação com a capacidade da visão humana fez surgir uma das áreas da física
chamada óptica. Da mesma forma a audição levou pesquisadores ao estudo do som, denominado de acústica.
Identi�car o que venha ser quente e frio, através do tato, estimularam os pesquisadores ao estudo do calor,
surgindo, então, a área da termologia (Tipler; Mosca, 2009). E o movimento, tão presente no cotidiano, foi o
mais analisado, e continua sendo um dos fenômenos mais estudados, deu origem à área da mecânica. A
cinemática é a parte da mecânica que estuda o movimento dos corpos, sem considerar a causa ou a origem
deste movimento (Tipler; Mosca, 2009).
Estas áreas, apesar de poderem ser estudadas de forma separada, estão todas inseridas na ciência Física. No
século XIX, foram estudadas as propriedades elétricas da matéria, dando origem à área da física chamada
eletricidade. Já no século XX, a investigação sobre como a matéria é constituída, originou à Física Nuclear
(Jewett Junior; Serway, 2013).
A matemática, por sua vez, possibilita a sintetização e compressão dos fenômenos, os quais a física estuda.
Logo, a matemática é extremamente importante para resumir a descrição dos fenômenos físicos, por meio de
fórmulas e operações que permitem a compreensão de um fenômeno. Além disso, na física utiliza-se
números para medir grandezas que descrevem quantitativamente e qualitativamente as correlações das
propriedades analisadas na investigação dos fenômenos físicos (Jewett Junior; Serway, 2013). Essas grandezas
são chamadas de grandezas físicas e podem ser classi�cadas como:
Grandeza escalar: é a grandeza física que �ca de�nida com valor numérico e unidade de medida
correspondente. Exemplos: massa, comprimento, área, volume, tempo, energia, temperatura.
Grandeza vetorial: é a grandeza física que �ca de�nida com valor numérico, unidade de medida
correspondente, direção e sentido. Exemplos: deslocamento, velocidade, aceleração, força, quantidade de
movimento.
Para melhor entendimento, sobre grandeza vetorial, vamos analisar a situação que você queira ir de São
Paulo à Belo Horizonte, supondo que a distância entre essas duas cidades seja de 530 Km, não basta apenas
do conhecimento da distância entre essas duas cidades, é necessário saber qual a direção e o sentido, que
você deve tomar para sair de São Paulo e chegar à Belo Horizonte. Logo, estamos falando de uma grandeza
física vetorial, a qual corresponde ao deslocamento, que para se tornar perfeitamente de�nida necessita de
valor numérico, unidade de medida, direção e sentido (Tipler; Mosca, 2009).
As grandezas vetoriais e as operações entre elas aparecem com mais frequência durante o estudo de um
fenômeno físico. Portanto, no próximo bloco você verá os conceitos relacionados a estas grandezas.
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GRANDEZAS VETORIAIS: OPERAÇÕES
Vetor
Utilizado para representar a grandeza vetorial, o vetor corresponde a um segmento orientado que liga dois
pontos (Figura 1). O ponto em que se inicia o vetor é chamado de origem e o ponto �nal é a extremidade do
vetor. Por ser um segmento orientado, além do módulo, tem direção e sentido.
Figura 1 | Representação de um vetor
Fonte: elaborada pela autora.
O módulo de um vetor é o comprimento entre o início e o �m do vetor que representa a grandeza vetorial,
representado por um número que expressa a intensidade (ou quantidade) do vetor.
A direção de um vetor indica onde o vetor está posicionado. Podendo estar na horizontal, na vertical ou na
diagonal. Neste último deve-se indicar o ângulo que o vetor faz com relação ao eixo x ou eixo y.
O sentido de um vetor indica onde a extremidade do vetor está apontando.
A Figura 2 a seguir apresenta alguns exemplos de vetores, cada um com seu módulo, sua direção e seu
sentido.
Figura 2 | Vetores com suas características
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Fonte: elaborada pela autora.
A cada uma das direções vertical e horizontal pode ter um entre dois sentidos: vetor com direção vertical pode
ter sentido para cima ou baixo e vetor com direção horizontal pode ter sentido para direita ou para esquerda.
Na situação de um vetor que está localizado na diagonal, este pode ser indicado com duplo sentido.
Operação com vetores: adição
É importante destacar que somar vetores é diferente de somar escalares. Soma-se dois vetores desenhando a
extremidade de um com o início do outro. Mais precisamente, o início do último vetor irá coincidir com a
extremidade do seu anterior (Figura 3), analisando a ordem que cada vetor aparece na equação (Resnick et al.,
2002).
Figura 3 | Operação de adição com dois vetores   
Fonte: Sears e Zemansky (2016).
Somando-se dois vetores em ordem inversa obtém-se o mesmo resultado: , conforme
Figura 4.
Figura 4 | Operação de adição com dois vetores  
Fonte: Sears e Zemansky (2016).
Para somar três vetores   ,  e , ou seja, ,  podemos somar inicialmente os dois
primeiros vetores   e   , obtendo-se o vetor   , em seguida os vetores    e    serão somados pelo
método da adição mencionado anteriormente para a obtenção do vetor    (Figura 5).
Figura 5 | Soma de três vetores  
 
→
A+
→
B
→
A+
→
B =
→
B+
→
A
→
B +
→
A
→
A
→
B
→
C
→
A  +  
→
B  +  
→
C
→
A
→
B
→
D
→
D
→
C
→
R
→
A +  
→
B  +  
→
C
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Fonte: Sears e Zemansky (2016).
A regra ou o método do paralelogramoângulo.
Onde: arctan =tan (x)é a função tangente inversa, podendo ser encontrada em qualquer calculadora
cientí�ca.
Vimos nesta unidade que todas os conceitos de referencial e as equações do movimento, os quais
correspondem:
Referencial: corresponde a um ente a partir do qual as observações de um fenômeno físico são realizadas
(Tipler; Mosca, 2006). O referencial é chamado referencial inercial, quando a sua aceleração é nula, ou seja, o
referencial se encontrará em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. 
Posição: indica as coordenadas de um ponto, ocupado por um corpo, com relação à origem do sistema de
referência adotado. No Sistema Internacional a unidade de medida é o metro (m).
Deslocamento: grandeza física vetorial que corresponde à diferença entre a posição �nal e a posição inicial
de um corpo durante um intervalo de tempo. No Sistema Internacional a unidade de medida é o metrô (m).
cosθ = Ax
A
Ax = cosθ×A
senθ = Ay
A
Ay = senθ×A
A = √A2
x +A2
y
→
A
tanθ =
Ay
Ax
θ = arctan
Ay
Ax
-1
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Espaço percorrido: grandeza física escalar que corresponde a distância total percorrida pelo corpo durante
um intervalo de tempo. No Sistema Internacional a unidade de medida é o metro (m).
Velocidade média
A de�nição matemática de velocidade média é:
Onde:
v : velocidade média de uma partícula durante o intervalo de tempo de t a t ; No Sistema Internacional a
unidade de medida é o m/s.
Δx: variação da posição ou o deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo de t a t ;
x :posição da partícula no instante t (tempo �nal).
x posição da partícula no instante t (tempo inicial.
Velocidade instantânea
A velocidade instantânea é igual à taxa de variação instantânea da posição da partícula (Young, 2008).
Aceleração média
A aceleração média, da mesma forma que a velocidade média, está relacionada a um intervalo de tempo,
sendo de�nida de forma matemática por:
Onde:
a é a aceleração média de uma partícula durante o intervalo de tempo de t a t ; No Sistema Internacional a
unidade de medida é o m/s .
Δv é a variação da velocidade da partícula durante o intervalo de tempo de t a t .
v é a velocidade da partícula no instante t (tempo �nal).
v é a velocidade da partícula no instante t (tempo inicial.
Aceleração instantânea
A aceleração instantânea é igual à taxa de variação instantânea da velocidade v da partícula. Assim:
vm = Δx
Δt = x2−x1
t2−t1
m 1 2
1 2
2 2
1: 1
v = lim
Δt→0
Δx
Δt = dx
dt
am = Δv
Δt = v2−v1
t2−t1
m 1 2
2
1 2
2 2
1 1
a = lim
Δt→0
Δv
Δt
= dv
dt
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Aprendemos que no Movimento em uma dimensão a trajetória do corpo é uma reta, no movimento em
uma dimensão temos o Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), de�nido como o movimento que ocorre com
velocidade constante no decorrer do tempo e em trajetória retilínea. A equação horária da posição do
movimento uniforme é de�nida como:
Equação horária da posição do MRU
Onde:
x é a posição �nal do corpo em metros (m) no sistema Internacional (S.I.).
x é posição inicial do corpo em metros (m) no sistema Internacional (S.I.).
v é a velocidade instantânea do corpo em metros por segundo (m/s) no sistema Internacional (S.I.).
t é o instante de tempo em segundos (s) no sistema Internacional (S.I.).
No movimento em uma dimensão também temos o Movimento Retilíneo Uniforme Variado (MRUV),
de�nido como o movimento que ocorre com aceleração constante e diferente de zero no decorrer do tempo e
em trajetória retilínea. As equações do movimento uniforme variado são:
v é a velocidade �nal em m/s no Sistema Internacional (S.I).
v é a velocidade inicial em m/s no Sistema Internacional (S.I).
a é a aceleração em m/s no Sistema Internacional (S.I).
t é o instante de tempo em s no Sistema Internacional (S.I).
Δx é o deslocamento do corpo em m no Sistema Internacional (S.I.).
x é a posição �nal do corpo em m no sistema Internacional (S.I.).
x é posição inicial do corpo em m no sistema Internacional (S.I.).
Um exemplo de movimento uniforme variado é o movimento de queda livre dos corpos, neste movimento os
corpos caem livremente sob a in�uência única da ação da gravidade , cujo módulo aqui na Terra vale 9,8 m/s ,
direção vertical e sentido de cima para baixo. Esse pressuposto inclui também a ascensão de um corpo que
corresponde ao lançamento vertical.
Vimos também, o princípio de independência dos eixos, estabelecido por Galileu Galilei, o qual menciona que
os movimentos horizontal e vertical, ocorrem simultaneamente e de forma independente um do outro. Como
exemplos deste princípio foi visto o Movimento em duas dimensões, em que as grandezas físicas vetoriais
x = x0 + vt
0
V = V0 + at
Δx = x − x0 = V0t + 1
2 at2
V 2 − V 2
0 = 2a Δ  x
0
2
0
2
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tais como posição, velocidade e aceleração têm duas dimensões, ou seja, possuem duas coordenadas, uma no
eixo x e outra no eixo y. Exemplos de movimento em duas dimensões são:
Lançamento de projéteis: No lançamento oblíquo, o projétil é lançado a um ângulo com o eixo horizontal,
conforme Figura 2:
Figura 2 | Lançamento oblíquo de um projétil
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
No lançamento horizontal (Figura 3), a velocidade inicial em y é nula, ou seja, 
Figura 3 | Uma pessoa sobre uma motocicleta se comportando como um projétil sendo lançado na horizontal
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
No movimento horizontal de um projétil, a aceleração é nula, nesta direção o movimento é uniforme (MU)
e deve-se utilizar as equações do um.
No movimento vertical de um projétil, a aceleração , nesta direção o movimento é uniforme variado
(MUV) e deve-se utilizar as equações do MUV.
O módulo da velocidade resultante é obtido pelo teorema de Pitágoras:
v0y = 0 :
ax
 ay =
→
g
−→
v = √v2y + v2x
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A direção do vetor velocidade resultante é obtida pela de�nição de tangente do ângulo, Figura 4:
Figura 4 | Soma vetorial de v com v para a obtenção do vetor velocidade resultante do projétil
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
Onde:
é o ângulo em graus que representa a direção do vetor velocidade resultante em um dado instante.
Vimos, também, o Movimento Circular Uniforme (MCU) (Figura 5), o qual ocorre quando um corpo se move ao
longo de uma circunferência com velocidade escalar constante.
Figura 5 | Movimento circular uniforme de um móvel
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
No movimento circular temos a aceleração centrípeta se relaciona com a velocidade do móvel por meio da
equação matemática:
Onde:
é a velocidade escalar constante em m/s.
R é o raio da circunferência em m.
é a aceleração centrípeta em m/s
No movimento circular uniforme, temos as grandezas angulares que se relacionam com as grandezas lineares
por meio de expressões matemáticas envolvendo o raio R da circunferência:
x y
tanθ = vy
vx
θ = tan−1 ( vy
vx
)
θ
arad = acp = v2
R
v
acp 2
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Δ S = R. Δθ
Onde:Δ S é o deslocamento da partícula em m.
R é o raio da circunferência em m.
Δθ é o deslocamento angular em radianos (rad).
A velocidade angular média é de�nida como:
Onde:
é a velocidade angular média em radianos por segundo (rad/s).
Δθ é o deslocamento angular em radianos (rad).
Δt é o intervalo de tempo em segundos (s).
A velocidade linear se relaciona com a velocidade angular instantânea por meio da expressão matemática:
= R. 
Onde:
V é a velocidade linear do corpo em m/s.
R é o raio da circunferência em m.
ω é a velocidade angular instantânea em rad/s.
REVISÃO DA UNIDADE
Neste vídeo, você verá os conceitos discutidos na Unidade 1, para ampliar a chance de �xar todos os assuntos
até aqui. Serão abordados os conceitos de grandezas escalares e vetoriais na cinemática, as equações de
movimento e movimento em duas dimensões
Então, vamos lá?
ESTUDO DE CASO
Nosso estudo de caso consiste no seguinte enunciado: uma esfera é lançada com uma velocidade de 16 m/s a
um ângulo de 60º acima da horizontal, conforme Figura 6. A esfera é lançada do topo de um rochedo situado a
12 m acima de um vale. Desprezando a resistência do ar e adotando g= 9,8 m/s , calcule (a) a altura que a
esfera alcança, tomando como base o ponto em que foi lançada; (b) o ponto que a esfera atinge o solo.
ωm = Δθ
Δt
ωm 
v ω 
2
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Figura 6 | Estudo de caso
Fonte: elaborada pela autora.
 Re�ita
Para encontrar as grandezas solicitadas, precisamos estabelecer algumas condições, as quais serão:
Será adotado o sentido de baixo para cima como positivo, a aceleração de queda livre será negativa:
g = -9,8 m/s e a origem da trajetória, x = 0 e y = 0, é o ponto de partida do corpo.
O lançamento da esfera iniciará no instante t=0 s, antes desse instante, ou seja, em tFísica I: Mecânica. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A.; A LEWIS FORD. Sears & Zemansky física I mecânica. [s.l.] São Paulo Pearson
Addison Wesley, 2008.
Aula 5
JEWETT JUNIOR, J. W.; SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
RESNICK, R. et al. Física. 5.ed. Rio de Janeiro, LTC, 2002.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
YOUNG, H. D. Física I: Mecânica. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A.; A LEWIS FORD. Sears & Zemansky física I mecânica. [s.l.] São Paulo Pearson
Addison Wesley, 2008.
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https://storyset.com/
https://www.shutterstock.com/pt/também podem ser utilizados para somar dois vetores. Esta regra
consiste em desenhar os vetores de modo que suas origens coincidam, a diagonal do paralelogramo formado
pelos vetores , será assim o vetor , conforme Figura 6 (Tipler; Mosca, 2009).
Figura 6 | Regra do paralelogramo para a adição de dois vetores
Fonte: Sears e Zemansky (2016).
Operação com vetores: subtração
Para construir a subtração vetorial pode-se inserir a origem de na extremidade de ou colocar
os dois vetores extremidade com extremidade (Figura 7).
Figura 7 | Métodos para subtração de vetores
Fonte: Sears e Zemansky (2016).
→
A e  
→
B
→
C
→
A−
→
B −
→
B
→
A
→
A e 
→
B
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O vetor tem o mesmo comprimento (módulo) e mesma direção do vetor , mas o sentido é oposto com
relação a este vetor.
Multiplicação de um escalar “s” por um vetor
Seja “s” um escalar (um número real): o produto do escalar positivo “s” por um vetor terá como resultado
um vetor de comprimento com a mesma direção e o mesmo sentido do vetor . Se “s” for um escalar
negativo, o produto deste escalar pelo vetor , terá como resultado um vetor de comprimento , com a
mesma direção de , e sentido oposto ao vetor (Tipler; Mosca, 2009).
COMPONENTES DE UM VETOR E APLICAÇÕES
Componentes de um vetor
As componentes de um vetor ao longo das direções x e y, conforme a �gura a seguir, para um vetor no plano
xy, são chamadas de componentes retangulares. A componente de um vetor, correspondendo a um número,
é obtida mediante uma reta traçada perpendicularmente à direção desejada, passando pela extremidade do
vetor, conforme Figura 8 (Young, 2008).
Figura 8 | Componentes do vetor   , obtidas traçando uma reta perpendicular a direção que se deseja obter a componente deste vetor
Fonte: Sears e Zemansky (2016).
As componentes A e A são obtidas aplicando as de�nições das funções trigonométricas e analisando o
triângulo retângulo formado juntamente com o ângulo θ que o vetor , faz com o eixo x (Young, 2008).
Obtendo a componente Ax: 
Obtendo a componente A : 
−
→
B
→
B
→
A
|s|A
→
A
→
A |s|A
→
A
→
A
→
A
x y
→
A
cosθ = Ax
A
Ax = cosθ×A
y senθ = Ay
A
Ay = senθ×A
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Onde: ´”A” é o módulo do vetor, obtido pelo teorema de Pitágoras.
O ângulo θ é a direção do vetor , e poderá ser obtido, a partir da de�nição da função trigonométrica
tangente do ângulo.
Onde: arctan =tan (x)é a função tangente inversa, podendo ser encontrada em qualquer calculadora
cientí�ca.
Na situação que foi analisada, as componentes do vetor foram positivas, por este vetor está orientado para
cima, sentido positivo do eixo y, e para direita, sentido positivo do eixo x, todavia haverá situações em que
uma ou mais componentes poderão ser negativas, dependerá da orientação do vetor analisado, conforme
Figura 9 (Young, 2008).
Figura 9 | Componentes negativas de vetores
Fonte: Sears e Zemansky (2016).
Se o vetor for em três dimensões (Figura 10), este terá as três componentes A , A e A . Analisando a
situação em que o eixo z é ortogonal ao plano xy, O módulo “A” é dado por:
Figura 10 | Vetor em três dimensões
A = √A2
x +A2
y
→
A
tanθ = Ay
Ax
θ = arctan Ay
Ax
-1
→
A
→
A x y z
A = √A2
x +A2
y +A2
z
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Fonte: Sears e Zemansky (2016).
Vetores unitários
Um vetor unitário é um vetor adimensional cujo módulo é igual a um. Seu único objetivo é apontar, ou seja,
descrever uma direção e um sentido no espaço. Qualquer vetor pode ser expresso em termos de suas
componentes x, y e z, e seus correspondentes vetores unitários (Figura 11).
Exemplos: e 
Figura 11 | Vetores unitários descrevendo suas respectivas direções e sentidos no espaço
Fonte: Sears e Zemansky (2016).
Se tornam mais acessíveis as resoluções das operações entre dois ou mais vetores com a utilização das
componentes dos vetores envolvidos nestas operações. Soma-se ou subtrai componentes de vetores com
direções semelhantes, ou seja, componente em x com componente em x, componente em y com componente
em y, componente em z com componente em z.
Exemplo: Dados os vetores , e , obter o vetor
 , em função de vetores unitários.
î, ĵ e k̂
→
A = Axî+Ayĵ+Azk̂
→
B = Bxî+Byĵ+Bzk̂
→
A = 9̂i+ 2ĵ− k̂
→
B = −2̂i+ 4ĵ+ 5k̂
→
C = 4̂i+ 3ĵ+ 8k̂
→
D = 2×
→
A+
→
B−
→
C
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Solução:
 )+ (
Exemplo: Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor   para  e   
 .
Solução:
Módulo do vetor : 
Direção do vetor : Com relação ao eixo x;
Sentido: Para cima e para direita, localizado no 1º quadrante.
Figura 12 | Vetores descrevendo suas respectivas direções e sentidos no espaço
Fonte: elaborada pela autora.
VIDEO RESUMO
Neste vídeo, você verá os conceitos de grandezas físicas na cinemática, as quais estão presentes em diversos
sistemas do nosso cotidiano.
Então, vamos lá?
 Saiba mais
→
D = 2 × (9̂i+ 2ĵ− k̂ −2̂i+ 4ĵ+ 5k̂) − ( 4̂i+ 3ĵ+ 8k̂)
→
D = 18̂i+ 4ĵ− 2k̂− 2̂i+ 4ĵ+ 5k̂− 4̂i− 3ĵ− 8k̂
→
D = 12̂i+ 5ĵ− 5̂k
→
C =  
→
A+ 2
→
B
→
A = 10̂i + 7ĵ
→
B = −3i ̂+ j ̂
→
C =  10̂i + 7ĵ  + 2.(−3̂i + ĵ ) =  10̂i + 7ĵ  − 6̂i + 2ĵ 
→
C =  4̂i + 9ĵ 
→
C C = √42 + 92 = 9,85
→
C θ = arctan 9
4 = 66,04o
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Olá, estudante!
Para auxiliar o aprofundamento do aprendizado sobre grandezas físicas e vetores, recomendo a leitura
do capítulo 1 do livro a seguir:
YOUNG, H. D. Física I: Mecânica. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008. E-book. ISBN 9788588639331.
Bons estudos!
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Nesta aula, você irá conhecer os conceitos fundamentais para a melhor compreensão das equações de
movimento de um corpo. Serão mencionados os conceitos de referencial, posição, deslocamento e espaço
percorrido, além das de�nições matemáticas de velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média
e aceleração instantânea, bem como será apresentado um exemplo de aplicação envolvendo as expressões
de posição instantânea, velocidade instantânea a da aceleração instantânea. Você irá perceber os conceitos da
matemática, e de forma especí�ca, do cálculo diferencial, estão presentes nas resoluções dos problemas para
descrever as grandezas físicas estudadas na cinemática e que são fundamentais para o entendimento destas
grandezas.
Então, vamos lá?
AS GRANDEZAS DESCRITAS NA CINEMÁTICA
A cinemática é a parte da mecânica que estuda os movimentos dos corpos sem considerar as causas desse
movimento. Na cinemática as grandezas físicas tais como posição, deslocamento, espaço percorrido,
velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea são determinas
utilizando de�nições matemáticas (Jewett Junior; Serway, 2013). Para analisar os fenômenos descritos na
cinemática, é fundamental adotar um referencial, que corresponde a um ente a partir do qual as
Aula 2
REFERENCIAL INERCIAL E EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
Nesta aula, serão mencionados os conceitos de referencial, posição, deslocamento e espaço percorrido,
além das de�niçõesmatemáticas de velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e
aceleração instantânea, bem como será apresentado um exemplo de aplicação envolvendo as
expressões de posição instantânea, velocidade instantânea a da aceleração instantânea.
30 minutos
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https://www.optima.ufam.edu.br/Downloads/Fisica-I.pdf
observações de um fenômeno físico são realizadas. Um referencial pode ser uma pessoa analisando o
movimento de um móvel, uma câmera �lmando determinado fenômeno ou um lugar em que serão
registradas as observações de um fenômeno físico (Tipler; Mosca, 2009). O estado de movimento ou estado de
repouso de um corpo dependerá do referencial adotado. Por exemplo, se você estiver sentado em um banco
de uma praça e observar um passageiro dentro de um ônibus em movimento, para você, sendo o referencial,
o passageiro se encontrará em movimento. Agora, se você estiver dentro desse mesmo ônibus em
movimento, sentado do lado deste passageiro, sendo você o referencial, o passageiro se encontrarão em
repouso. O referencial é chamado referencial inercial, quando a aceleração dele é nula, ou seja, o referencial
se encontrará em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.  Na física, para os fenômenos serem
descritos de forma satisfatória, utiliza-se, de forma geral, o referencial em repouso, portanto, utiliza-se o
referencial inercial.
Uma vez que o observador, escolhe um sistema de referência para descrever o movimento de um corpo,
serão traçadas coordenadas com relação a origem deste sistema de referência adotado; a estas coordenadas
dá-se o nome de posição do corpo, fundamentais na descrição do movimento do móvel. Logo, a posição
indica as coordenadas de um ponto, ocupado por um corpo, com relação à origem do sistema de referência
adotado (Tipler;Mosca, 2009). No Sistema Internacional a unidade de medida é o metro (m); a posição de um
corpo se assemelha ao marco quilométrico, que indica a localização ao observador nas rodovias. Os marcos
quilométricos são medidos com relação ao marco zero, ou quilômetro zero. Cada cidade possui um marco
zero, que pode ser a primeira edi�cação dela, um rio, uma praça ou uma árvore. Por exemplo, em São Paulo,
o marco zero é um monumento geográ�co que se encontra na praça da Sé, zona central da cidade. Já em Belo
horizonte a igreja de Nossa Senhora da Boa Viagem é considerada o marco zero. A trajetória de um móvel é
uma sequência de sucessivas posições, as quais o móvel irá ocupar no decorrer do tempo. A trajetória é
considerada retilínea, quando esta for uma linha reta; nesta situação o movimento do corpo terá
coordenadas, relacionadas a grandezas físicas, em apenas uma direção. Quando a trajetória é não retilínea o
movimento do corpo terá coordenadas em mais de uma direção. A trajetória não retilínea é apresentada em
situação como no movimento circular, no lançamento de uma bola de basquete, quando o jogador deseja
marcar uma cesta (Jewtt Junior, Serway, 2013).
DESLOCAMENTO VERSUS ESPAÇO PERCORRIDO
Grandezas físicas
Na cinemática, além dos conceitos já mencionados, também são bastante utilizados na descrição do
movimento de um corpo as seguintes de�nições:
O deslocamento de um corpo observado é de�nido como uma grandeza física vetorial que corresponde à
diferença entre a posição �nal e a posição inicial de um corpo durante um intervalo de tempo. No Sistema
Internacional a unidade de medida é o metro (m) (Young, 2008). Por exemplo, se um móvel sai de uma posição
dada por x = 4 m (medida com relação a origem de um sistema de referência adotado) e atinge uma posição
dada por x = 10 m (medida com relação a origem de um sistema de referência adotado), o deslocamento
deste móvel será Δx = 10 - 4 = 6 m.
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O espaço percorrido grandeza física escalar que corresponde à distância total percorrida pelo corpo durante
um intervalo de tempo. No Sistema Internacional a unidade de medida é o metro (m); esta distância total
percorrida pelo corpo é igual à soma de todos os módulos de cada deslocamento do corpo no decorrer do
tempo (Young, 2008).
Uma vez adotado o sistema de referência, marca-se a coordenada zero, que será considerada a origem da
trajetória, na situação do movimento ter direção horizontal, as coordenadas em x à direita do zero (sentido
positivo do eixo x) serão positivas e as coordenadas em x à esquerda do zero serão negativas (sentido
negativo do eixo x). Na situação em que a direção do movimento for vertical, as coordenadas em y acima do
zero (sentido positivo do eixo y) serão positivas e as coordenadas em y abaixo do zero (sentido negativo do
eixo y) serão negativas (Tipler; Mosca, 2009) e (Young, 2008).
Exemplo: O movimento de um carro (Figura 1) que se encontra em uma trajetória retilínea na direção
horizontal, é analisado por um observador em repouso, sendo este um referencial inercial. O carro irá partir
da posição P em que x1 = 10 m e o tempo registrado é de 1 s e irá atingir a posição P em que x = 25 m e o
tempo registrado é de 4s. Calcular o deslocamento e o espaço percorrido se:
a. O carro saiu da posição P e foi até a posição P .
b. O carro saiu da posição P foi até a posição P e retornou à posição P .
Figura 1 | Movimento horizontal de um carro em trajetória retilínea
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
Solução:
a. O descolamento por de�nição é a posição �nal menos a posição inicial:
Logo, o deslocamento do carro na situação da letra (a) vale 15 m.
O espaço percorrido é a distância total percorrida pelo carro da posição P a posição P :
Sendo igual a 15 m.
1 2 2
1 2
1 2 1
Δx = xfinal − xinicial = 25 − 10 = 15 m
1 2
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b. Se o carro saiu da posição P foi até a posição P e retornou à posição P , o deslocamento foi nulo, pois
sempre que o corpo retornar para a posição de origem as posições �nal e inicial. De acordo com a
resolução:
c. O espaço percorrido é a distância total do que o carro irá percorrer da posição P até a posição P e
retornando à posição P .
De P a P o carro percorreu 15 m, retornando de P para P percorreu mais 15 m totalizando 30 m, este
é o espaço percorrido.
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO E APLICAÇÕES
Velocidade média
A velocidade é de�nida como uma grandeza física vetorial que, portanto, possui módulo, direção e sentido
(Tipler; Mosca, 2009). A velocidade média de um corpo em movimento está relacionada a um intervalo de
tempo. A de�nição matemática de velocidade média é:
Onde:
v é a velocidade média de uma partícula durante o intervalo de tempo de t a t ; no Sistema Internacional a
unidade de medida é o m/s.
Δx é a variação da posição ou o deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo de t a t .
x é a posição da partícula no instante t (tempo �nal); no Sistema Internacional a unidade de medida é o
metro (m).
x é a posição da partícula no instante t (tempo inicial); no Sistema Internacional a unidade de medida é o
metro (m).
Analisando o grá�co da posição versus tempo (Figura 2) de uma partícula, a velocidade média representa a
inclinação da linha que liga os pontos correspondentes ao seu deslocamento.
Figura 2 | Grá�co da posição versus tempo de uma partícula
1 2 1
Δx = xfinal − xinicial = 10 − 10 = 0 m
1 2
1
1 2 2 1
vm = Δx
Δt = x2−x1
t2−t1
m 1 2
1 2
2 2
1 1
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Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
Exemplo: Uma caminhonete se encontra em uma trajetória retilínea, conforme Figura 3, seu movimento é
dado na direção horizontal. Analisando este movimento, determine a velocidade média da caminhonete na
situação em que este móvel saiu da posição P e foi até a posição P .
Figura 3 | Movimento horizontal de uma caminhonete em trajetória retilínea
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
Solução:
Podemos observar que a caminhonete está se movimentando no sentido negativo do eixo x, logo o
deslocamento será negativo e consequentemente a velocidade média também será negativa. O deslocamento
negativo signi�ca que o corpo analisado está se aproximando do referencial adotado. Na posição P o
cronômetro já estava registrando um tempo de 16 s, e na posição P registrou um tempo de 25 s.  Aplicando a
de�nição de velocidade média temos:
Em módulo o valor da velocidade média vale 31,11 m/s.
Direção horizontal e sentido da direita para a esquerda.
Velocidade instantânea
1 2
1
2,
vm = Δx
Δt
= x2−x1
t2−t1
= 20−300
25−16 = −280
9 = −31,11 m/s
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A velocidade instantânea ou simplesmente velocidade v de uma partícula está relacionada a um instante t. A
medida em que os intervalos de tempo �cam menores, essas inclinações se aproximam da inclinação da
tangente à curva no instante t (Tipler, 2006). Pode-se, então, calcular a velocidade instantânea aplicando-se o
limite da relação Δx/Δt. De forma matemática, a velocidade instantânea é de�nida por:
A velocidade instantânea de uma partícula é igual ao limite da velocidade média da partícula à medida que o
intervalo de tempo se aproxima de zero. Ou seja, a velocidade instantânea é igual à taxa de variação
instantânea da posição da partícula (Young, 2008).
Analisando o grá�co da posição versus tempo de uma partícula, a velocidade instantânea v em qualquer dado
ponto é igual à inclinação da tangente da curva x versus t nesse ponto (Figura 4).
Figura 4 | Velocidade instantânea de uma partícula sendo representada gra�camente
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
Aceleração média
A aceleração é de�nida como uma grandeza física vetorial que, portanto, possui módulo, direção e sentido
(Tipler; Mosca, 2006). Dado um movimento em trajetória retilínea, o móvel irá possuir uma aceleração
diferente de zero, quando houver variação de velocidade do mesmo durante um intervalo de tempo. A
aceleração média, da mesma forma que a velocidade média, está relacionada a um intervalo de tempo, sendo
de�nida de forma matemática por:
Onde:
a é a aceleração média de uma partícula durante o intervalo de tempo de t a t ; no Sistema Internacional a
unidade de medida é o m/s .
Δv é a variação da velocidade da partícula durante o intervalo de tempo de t a t .
v é a velocidade da partícula no instante t (tempo �nal); no Sistema Internacional a unidade de medida é o
m/s.
v = lim
Δt→0
Δx
Δt = dx
dt
am = Δv
Δt = v2−v1
t2−t1
m 1 2
2
1 2
2 2
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v é a velocidade da partícula no instante t (tempo inicial); no Sistema Internacional a unidade de medida é o
m/s.
Aceleração instantânea
A aceleração instantânea ou simplesmente aceleração “a” de uma partícula está relacionada a um instante t,
de forma similar a velocidade instantânea. A aceleração instantânea de uma partícula é igual ao limite da
aceleração média da partícula à medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero (Young, 2008). Ou seja,
a aceleração instantânea é igual à taxa de variação instantânea da velocidade v da partícula. Assim:
Para melhor compreensão destes conceitos relacionados à velocidade e à aceleração instantânea, vamos
analisar o exemplo relacionado à posição, velocidade e aceleração instantâneas de funções dependentes do
tempo, mencionado a seguir.
Posição, velocidade e aceleração instantâneas de funções dependentes do tempo
Exemplo: Suponha que a posição x de um corpo, em qualquer instante t, seja dada pela função:
Determine (a) a velocidade média durante o intervalo entre t = 1 s e t = 2s; (b) deduza uma expressão geral
para a velocidade instantânea em função do tempo e, a partir dela, calcule a velocidade v para t = 1 s e t = 2
s; (c) deduza uma expressão geral para a aceleração instantânea em função do tempo.
Solução:
a. Encontra-se a posição x para o instante t e a posição para o instante t .
Para t = 1 s, substituindo na função da posição:
Para t = 2 s, substituindo na função da posição:
Aplicando a de�nição de velocidade média:
Resposta da letra (a) v = 18 m/s
b. A expressão da velocidade instantânea em função do tempo é encontrada derivando a função posição
em relação ao tempo, utilizando as regras de derivadas de funções:
1 1
a = lim
Δt→0
Δv
Δt = dv
dt
x = 30 m+ (6 m/s2) × t2
1 2
x 1 2
1 1 2
1
x1 = 30 m+ (6 m
s2
) × (1 s)2  = 36 m
2
x2 = 30 m+ (6 m
s2
) × (2 s)2  = 54 m
vm = x2−x1
t2−t1
= 54−36
2−1 = 18
1 = 18 m/s
m 
vx = dx
dt = d
dt [30 m+ (6 m
s2
) × t2]
vx = 0 + (6 m
s2
) × (2t)
vx = (12 m
s2
)t
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Resposta da letra (b): No instante t = 1 s, v = 12 m/s, e no instante t = 2 s, v = 24 m/s.
c. A expressão geral para a aceleração instantânea em função do tempo é encontrada derivando a função
da velocidade instantânea em relação ao tempo:
  para qualquer instante t
Resposta da letra (c)  a =12m/s   para qualquer instante t.
VÍDEO RESUMO
Neste vídeo, vamos abordar diversos conceitos importantes da física, tais como referencial, posição,
deslocamento, espaço percorrido, velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média, aceleração
instantânea e as relações entre posições, velocidade e aceleração em funções dependentes do tempo. Você
perceberá como a matemática desempenha um papel fundamental na compreensão e descrição de
fenômenos físicos.
Pronto para começar?
 Saiba mais
Para auxiliar o aprofundamento do aprendizado sobre grandezas físicas e vetores, recomendo a leitura
do capítulo 2 do livro a seguir:
YOUNG, H. D. Física I: Mecânica. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008. E-book. ISBN 9788588639331.
Bons estudos!
x x
ax = dv
dt = d
dt [(12m/s2)t]
ax = 12 m/s2
x
2
Aula 3
MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO
Os conceitos de movimento em uma dimensão, envolvem o movimento retilíneo uniforme, o movimento
retilíneo uniforme variado e aplicações envolvendo queda livre e lançamento vertical, que estão
presentes em nosso dia a dia e nos modelos matemáticos que envolvem as de�nições das grandezas
físicas.
31 minutos
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INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Nesta aula, você irá conhecer o movimento em uma dimensão. Serão mencionados os conceitos de
movimento em uma dimensão que envolve o movimento retilíneo uniforme, o movimento retilíneo uniforme
variado e aplicações envolvendo queda livre e lançamento vertical. Você irá perceber o quanto o movimento
em uma dimensão está presente em nosso dia a dia e para a sua melhor descrição, estão presentes os
modelos matemáticos envolvendo as de�nições das grandezas físicas. O cálculo diferencial e integral também
será utilizado para deixar mais acessível a descriçãodesse movimento. Nesta aula, também será relembrada a
teoria do cientista italiano Galileu Galilei, o qual mencionou explicações esclarecedoras para a física,
matemática e astronomia.
Então, vamos lá?
INTRODUÇÃO SOBRE MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO
O movimento em uma dimensão (movimento 1D) ocorre quando o corpo se movimenta em trajetória
retilínea, como uma motocicleta se movimentando em uma pista reta, uma pedra jogada em linha reta a
partir de um determinado andar de um prédio ou uma pessoa caminhando em um piso reto (Tipler; Mosca,
2009). No movimento em uma dimensão, todas as grandezas físicas vetoriais tais como deslocamento,
velocidade e aceleração terão uma única componente seja no eixo x, ou no eixo y ou no eixo z. Ao caminhar
no chão reto, uma pessoa só terá coordenadas em x tanto com relação à posição, velocidade e aceleração (se
houver variação da velocidade). Se uma bola de chumbo, por exemplo, cai em linha reta, somente haverá a
ocorrência de coordenadas em y, referentes à posição, velocidade e aceleração (se houver variação da
velocidade). No movimento retilíneo temos os tipos de movimento: movimento uniforme e movimento
uniforme variado. No movimento uniforme a velocidade do corpo é constante no decorrer do tempo. Neste
movimento a aceleração é nula, pois não há variação de velocidade do móvel a longo tempo. Já no movimento
uniforme variado, a velocidade do corpo varia a cada instante e devido a esta variação, surge a aceleração
constante e diferente de zero ao longo do período do movimento. Exemplos de movimento uniforme variado:
a queda livre e o lançamento vertical, os quais a aceleração do móvel corresponderá à aceleração da
gravidade que será constante durante este movimento. Os estudos relacionados ao movimento dos corpos,
os quais foram realizados pelo físico italiano Galileu Galilei, nas primeiras décadas do século XVII, foram o
alicerce da física clássica. Em uma das suas diversas explicações esclarecedoras, Galileu mencionou que um
corpo em movimento livre de atrito não teria esse estado interrompido, ou seja, o movimento do corpo seria
contínuo. Entre as mais famosas narrativas da ciência, destaca-se a que menciona o experimento realizado
por Galileu na Torre de Pisa, na cidade de Pisa, Itália. Nesse experimento, Galileu abandonou, no topo da
torre, várias esferas de diferentes massas e observou que estas atingiram o solo no mesmo instante (Jewett
Junior; Seeway, 2013). Ele constatou que se não houver a resistência do ar, todos os corpos em queda,
independentes de suas massas e seus tamanhos, iriam percorrer a mesma distância em um mesmo intervalo
de tempo. Galileu, também justi�cou essa teoria pela atração gravitacional que a Terra exerce sobre os
corpos, que está relacionada à aceleração da gravidade, a qual é a mesma para qualquer corpo, independente
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da massa e constante no decorrer do tempo. Por ser uma aceleração constante ao longo do tempo, a queda
livre é um exemplo de movimento uniforme variado. De forma similar ocorre durante a ascensão do móvel,
ou seja, no lançamento vertical para acima (Young, 2008).
EQUAÇÕES HORÁRIAS E EQUAÇÃO DE TORRICELLI
Movimento retilíneo uniforme (MRU)
No movimento retilíneo uniforme a velocidade é a mesma para cada instante t, logo a velocidade média do
corpo em MRU é a velocidade instantânea, portanto:
Para t =0 e partindo da de�nição de velocidade média, podemos obter uma equação horária da posição para
o movimento retilíneo uniforme:
Equação horária da posição do MRU
Onde:
x é a posição �nal do corpo em metros (m) no sistema Internacional (S.I.).
x é posição inicial do corpo em metros (m) no sistema Internacional (S.I.).
v é a velocidade instantânea do corpo em metros por segundo (m/s) no sistema Internacional (S.I.).
t é o instante de tempo em segundos (s) no sistema Internacional (S.I.).
Analisando os grá�cos do movimento uniforme, percebemos que com relação ao grá�co da posição versus
tempo, temos um grá�co de uma função do primeiro grau, pois na equação horária da posição, o tempo,
variável independente, está elevado à primeira potencial, sendo este grá�co uma função crescente (Figura 1)
se o coe�ciente de t, ou seja, o valor numérico da velocidade instantânea for um número positivo. Se a
velocidade instantânea assumir um valor negativo, teremos o grá�co de uma função do primeiro grau
decrescente (Figura 2).
Figura 1 | Grá�co da posição versus tempo do movimento uniforme, com v>0
vm = v
0
vm = Δx
Δt = x−x0
t−t0
v = vm
t0 = 0
v = x−x0
t
x− x0 = vt
x = x0 + vt
0
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Fonte: adaptada de Wikimedia Commons.
Figura 2 | Grá�co da posição versus tempo do movimento uniforme, com v0, a reta �cará acima do eixo horizontal (Figura 3),
se v0
Fonte: adaptada de Wikimedia Commons.
Figura 4 | Grá�co da velocidade versus tempo do movimento uniforme, com v0. E a Figura 6 ilustra o grá�co
da velocidade versus tempo do MRUV para a aceleração instantânea negativa, a0
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 6 | Grá�co da velocidade versus tempo do movimento uniforme variado, com a0
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 8 | Grá�co da velocidade versus tempo do movimento uniforme variado, com avelocidade média é de�nida também como a razão entre deslocamento e o intervalo de tempo
correspondente, temos:
Para t =0
vm = 1
2 × (v0 + v)
vm = Δx
Δt = x−x0
t−t0
0
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Equação horária da posição do MRUV
Onde:
Δx é o deslocamento do corpo em m no Sistema Internacional (S.I.).
x é a posição �nal do corpo em m no sistema Internacional (S.I.).
x é posição inicial do corpo em m no sistema Internacional (S.I.).
v é a velocidade inicial em m/s no Sistema Internacional (S.I).
a é a aceleração em m/s no Sistema Internacional (S.I).
t é o instante de tempo em s no Sistema Internacional (S.I).
Sabendo que a velocidade instantânea é de�nida como à taxa de variação instantânea da posição do corpo,
podemos obter a equação horária da velocidade do movimento uniforme variado, derivando a equação
horária da posição:
Onde:
v é a velocidade �nal em m/s no Sistema Internacional (S.I).
v é a velocidade inicial em m/s no Sistema Internacional (S.I).
a é a aceleração em m/s no Sistema Internacional (S.I).
t é o instante de tempo em s no Sistema Internacional (S.I).
Os grá�cos da posição versus tempo, Figuras 9 e 10, do movimento uniforme variado são representados por
parábolas, uma vez que a função posição, neste tipo de movimento, é do segundo grau.
Figura 9 | Grá�co da velocidade versus tempo do movimento uniforme variado, com a>0
Δx = x− x0 = vmt = 1
2 (v0 + v)t
v = v0 + at
Δx = x− x0 = 1
2 (v0 + v0 + at)t
Δx = x− x0 = 1
2 (2v0 + at)t
Δx = x − x0 = v0t + 1
2 at2
0
0
2
x = x0 + v0t + 1
2 at2
v = dx
dt = d
dt [x0 + v0t+ 1
2 at
2]
v = 0 + v0 + 1
2 × 2 × a× t
v = v0 + at
0
2
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Fonte: elaborada pela autora.
Figura 10 | Grá�co da velocidade versus tempo do movimento uniforme variado, com a27/53
VIDEO RESUMO
Neste vídeo, você verá os conceitos de movimento em uma dimensão (movimento 1D), envolvendo o
movimento retilíneo uniforme, o movimento retilíneo uniforme variado e as aplicações deste último tais como
queda livre e lançamento vertical.
Então, vamos lá?
 Saiba mais
Para auxiliar o aprofundamento do aprendizado sobre grandezas físicas e vetores, recomendo a leitura
do capítulo 2 do livro a seguir:
YOUNG, H. D. Física I: Mecânica. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008. E-book. ISBN 9788588639331.
Bons estudos!
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Nesta aula, você verá os conceitos relacionados ao movimento em duas dimensões, que irão envolver
lançamento de projéteis e o movimento circular uniforme. Para iniciar este estudo iremos falar do princípio de
independência dos eixos estabelecido por Galileu, responsável por analisar o movimento em duas dimensões
dos corpos. Este princípio irá contribuir para o entendimento de situações envolvendo o movimento em duas
dimensões, em que as grandezas físicas vetoriais, tais como posição, velocidade e aceleração irão possuir
duas dimensões a cada instante, ou seja, a cada instante estas grandezas vetoriais possuirão duas
coordenadas, uma coordenada no eixo x e outra coordenada no eixo y. Na resolução dos problemas deste
movimento, iremos recorrer as de�nições e aos teoremas estabelecidos na matemática.
Aula 4
MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
O princípio de independência dos eixos estabelecido por Galileu, responsável por analisar o movimento
em duas dimensões dos corpos, contribui para o entendimento de situações envolvendo o movimento
em duas dimensões, em que as grandezas físicas vetoriais, tais como posição, velocidade e aceleração
irão possuir duas dimensões a cada instante.
35 minutos
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Então, vamos lá?
INTRODUÇÃO AO MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
Em nosso cotidiano nos deparamos com diversas situações, as quais o movimento de um corpo não pode ser
descrito por uma trajetória retilínea, como na situação do movimento em uma dimensão. Situações que não
ocorrem em trajetória reta envolvem lançamento de projéteis tais como o lançamento de uma bola de
futebol, lançamento de uma bola de basquete ou até mesmo uma pessoa que irá se lançar como um projétil,
saltando sobre esquis, durante as olimpíadas de inverno, ou sobre uma motocicleta, durante uma atração
circense, ou sendo um atleta durante a prova do salto em distância (Tipler; Mosca, 2009). Nestes exemplos, a
trajetória do corpo descrita durante o movimento é uma parábola, a qual, em cada ponto, o móvel terá
coordenadas relacionadas a posição e a velocidade no eixo horizontal (eixo x) e no eixo vertical (eixo y). O
cientista físico e matemático Galileu Galilei, analisou o movimento em duas dimensões dos corpos e
estabeleceu o princípio de independência dos eixos, o qual menciona que os movimentos horizontal e vertical,
ocorrem simultaneamente e de forma independente um do outro (Young, 2008). Por exemplo, no lançamento
de projéteis, desprezando a resistência do ar, temos o movimento horizontal uniforme (a velocidade em x do
móvel é constante com o tempo, logo a aceleração em x é nula). Já no movimento vertical, o movimento é
uniforme variado, devido a presença da aceleração da gravidade (Tipler; Mosca, 2009). O lançamento de
projéteis envolvendo duas dimensões pode ser lançamento oblíquo ou lançamento horizontal. No lançamento
oblíquo, no instante inicial em que o projétil é lançado, o vetor velocidade inicial terá uma inclinação em
relação ao eixo horizontal representada por um ângulo inicial e a partir desse instante o vetor velocidade do
corpo irá mudar sua direção a cada instante, mas sempre este vetor será tangente a trajetória. Já no
lançamento horizontal, como o próprio nome menciona, o projétil será lançado horizontalmente. Isso implica
que no instante inicial do movimento, o vetor velocidade inicial será horizontal e só após esse instante inicial,
o vetor velocidade irá ser inclinado, tangente a trajetória, possuindo a cada instante um ângulo diferente com
relação ao eixo horizontal. Outra situação envolvendo o movimento em duas dimensões, bastante comum,
corresponde ao movimento circular. No movimento circular, o móvel terá sua velocidade tangente a trajetória,
a cada ponto da mesma, e sofrerá uma aceleração, mesmo tendo sua velocidade escalar constante. A
aceleração que está sempre presente no movimento circular, independente da velocidade escalar ser
constante ou não, é a aceleração centrípeta ou aceleração radial, que aponta para o centro da trajetória. O
vetor aceleração centrípeta é perpendicular ao vetor velocidade do móvel. Durante o movimento circular,
além das grandezas lineares, temos as grandezas angulares que são medidas de ângulos em unidades de
radianos. As grandezas lineares se relacionam com as grandezas angular através do raio da circunferência que
representa a trajetória do corpo no movimento circular (Young, 2008).
LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
Lançamento oblíquo
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O lançamento oblíquo ocorre quando o vetor velocidade inicial do projétil forma um ângulo θ0 com o eixo
horizontal. Neste tipo de lançamento a trajetória descrita pelo móvel é representada por uma parábola,
conforme Figura 1, e a cada instante o movimento do corpo é descrito na horizontal e na vertical. Desta forma,
as grandezas físicas vetoriais tais como posição, velocidade e aceleração tem coordenadas em x e em y
(Young, 2008). Os vetores velocidade do corpo são tangentes à trajetória e a cada instante assume valores
(módulo) diferentes, assim como os ângulos (direções) com relação ao eixo horizontal, são diferentes a cada
instante. Segundo o princípio de independência dos eixos estabelecido por Galileu, os movimentos horizontal
e vertical que ocorrem simultaneamente no lançamento de projéteis são independentes. No movimento
horizontal a aceleração em x é nula, ou seja, ax=0. Logo, nesta direção a velocidade em x, vx, é constante ao
longo do tempo. Portanto, o movimento na horizontal é chamado de uniforme (MU). As grandezas físicas na
direção horizontal, terão seus valores encontrados via equações do movimento uniforme (Young, 2008).
Na direção vertical, em resposta à força gravitacional terrestre, o movimento terá uma aceleração constante
com o tempo, a qual corresponde à aceleração da gravidade, . Nesta direção, o movimento é
chamado de uniforme variado (MUV) e as grandezas verticais terão seus valores encontrados via equações do
movimento uniforme variado (Tipler; Mosca, 2009).
No lançamento oblíquo, o corpo sobe, atinge a altura máxima e depois desce. No topo da trajetória, ou seja,
na coordenada máxima de y correspondendo a altura máxima, o corpo possui velocidade vertical nula, vy=0.
Logo, a velocidade resultante no topo da trajetória tem direção horizontal. Como a velocidade em x é
constante com o tempo, o valor da velocidade vx em qualquer instante é o mesmo para todos os instantes t
deste movimento. Já o valor da velocidade em y, devido a presença da aceleração da gravidade, muda a cada
instante (Jewtt Junior; Serway, 2013).
Figura 1 | Lançamento oblíquo de um projétil
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
Os vetores e são perpendiculares entre si. Portanto, a velocidade resultante, a cada instante, é a soma
vetorial da velocidade em x com a velocidade em y e o módulo desta resultante é obtido pelo teorema de
Pitágoras. A direção do vetor velocidade resultante é obtida pela de�nição da tangente do ângulo que este
 ay =
→g
−→
vy
−→
vx
−→
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vetor forma com o eixo horizontal.
Onde:
é o vetor velocidade resultante, em m/s, no Sistema Internacional (S.I.).
é a componente em x do vetor velocidade resultante, em m/s, no Sistema Internacional.
é a componente em y do vetor velocidade resultante, em m/s, no Sistema Internacional.
O módulo da velocidade resultante é obtido pelo teorema de Pitágoras:
A direção do vetor velocidade resultante é obtida pela de�nição de tangente do ângulo, Figura 2:
Figura 2 | Soma vetorial de v com v para a obtenção do vetor velocidade resultante do projétil
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
Onde:
é o ângulo em graus que representa a direção do vetor velocidade resultante em um dado instante.
No instante t=0, na Figura 3, em que o projétil é lançado, as componentes vx e vy do vetor velocidade inicial,
poderão ser obtidas aplicando as de�nições trigonométricas seno e cosseno do ângulo que este vetor faz
com o eixo horizontal.
Figura 3 | Componentes do vetor velocidade inicial do projétil
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
→
v = vxî+ vyĵ
→
v 
vx
vy
v = √v2y + v2x
x y
tanθ = vy
vx
θ = tan−1 ( vy
vx
)
θ
θ0
senθ0 =
v0y
v0
v0y = v0 × senθ0 cosθ0 =
v0x
v0
v0x = v0 × cosθ0
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Alcance versus altura máxima
O alcance e a altura máxima estão representados na Figura 4.
Figura 4 | Alcance e altura máxima H . representados no lançamento oblíquo
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
O alcance, maior valor da coordenada x, é uma grandeza horizontal que corresponde a distância entre os
pontos de chegada e de partida do projétil (Tipler; Mosca, 2006), deve ser obtida utilizando a equação horária
da posição do movimento uniforme.
Onde:
é a posição �nal, na direção horizontal, em metros (m), no S.I.
é a posição inicial, na direção horizontal, em metros (m), no S.I.
é a componente em x da velocidade resultante, em m/s, no S.I.
é o tempo, em segundos (s), no S.I.
Como é constante ao longo do tempo, .
Logo:
Equação para a obtenção do alcance horizontal
Já altura máxima, maior valor da coordenada y, é uma grandeza vertical que corresponde a distância vertical
entre a base e o topo da trajetória, conforme Figura 4. A altura máxima é obtida via equações do movimento
uniforme variado. Desprezando a resistência do ar, a aceleração presente no movimento vertical é a
aceleração da gravidade, esta será negativa nas equações, uma vez que será adotado o sentido de baixo para
cima como positivo (Jewett Junior; Serway, 2013). A equação horária da posição do movimento uniforme
variado será escrita da seguinte forma:
máx
x = x0 + vxt
x
x0
vx
t
vx vx = v0x
x = x0 + v0x. t
x = x0 + (v0 × cosθ0). t
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Onde:
é a posição �nal, na direção vertical, em metros (m), no S.I.
é a posição inicial, na direção vertical, em metros (m), no S.I.
é a componente em y do vetor velocidade inicial, em m/s, no S.I.
é a aceleração da gravidade (na Terra vale 9,8 m/s , no S.I.).
é o tempo, em s, no S.I.
A equação horária da velocidade do MUV será escrita da seguinte forma:
é a velocidade em y no instante dado, em m/s, no S.I.
é a velocidade inicial em y no instante t = 0, em m/s, no S.I.
é a aceleração da gravidade (na Terra vale 9,8 m/s , no S.I.).
é o tempo, em s, no S.I.
A equação de Torricelli também poderá ser utilizada se houver informações do tempo, ou para deixar a
resolução do problema mais acessível:
Onde:
é a velocidade �nal, em m/s, no Sistema Internacional (S.I).
é a velocidade inicial, em m/s, no Sistema Internacional (S.I).
é a aceleração, em m/s , no Sistema Internacional (S.I).
Lançamento horizontal
No lançamento horizontal (Figura 5), a velocidade inicial em y é nula, ou seja, O projétil é lançado
horizontalmente com uma velocidade de direção horizontal, cujo valor corresponde a cada em qualquer
instante t, pois a velocidade em x é constante com o tempo, na horizontal o movimento é uniforme. Já na
direção vertical o movimento é uniforme variado (MUV). Após o lançamento, o projétil irá descer com
velocidades inclinadas tangentes à trajetória como na situação do lançamento oblíquo.
Figura 5 | Uma pessoa sobre uma motocicleta se comportando como um projétil sendo lançado na horizontal
y = y0 + v0yt− 1
2 gt
2
y
y0
v0y
g 2
t
vy = v0y − gt
vy
v0y
g 2
t
v2y = v20y − 2gΔ y
vy
v0y
g 2
v0y = 0.
v0 vx
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Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
As equações com e adotando o sentido de cima para baixo como positivo, as equações serão escritas
da seguinte forma:
= 
APLICAÇÕES E MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
Para melhor compreensão dos conceitos apresentados no bloco anterior, será apresentada a seguir uma
aplicação do lançamento de projéteis.
Exemplo: Uma bola de futebol é lançada com uma velocidade inicial v =37,0 m/s a um ângulo inicial θ = 53 ,
conforme Figura 6. (a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima? (b) Qual o valor da altura
máxima? (c) Qual o valor do alcance horizontal? (d) Qual o valor da velocidade da bola imediatamente antes de
atingir o solo?
Figura 6 | Uma bola de futebol sendo lançada obliquamente
v0y = 0,
x = x0 + vxt = x0 + v0t
y = y0 + v0yt+ 1
2 gt
2 1
2 gt
2
vy = v0y + gt = gt
v2y = v20y + 2gΔ y = 2gΔ y
v = √v2y + v
2
x
= √v2
y + v
2
0
0 0
o
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Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
Solução:
Adotando o sentido de baixo para cima como positivo, a aceleração de queda livre será negativa: g = -9,8 m/s .
O tempo para um corpo atingir a altura máxima será obtido impondo a condição .
Encontrando as componentes em x e em y do vetor velocidade inicial da bola de futebol:
a. Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima?
b. Qual o valor da altura máxima?
A altura máxima pode ser obtida pela equação da posição do MUV, com o tempo t sendo o tempo de
subida, encontrado no item anterior.
c. Qual o valor do alcance horizontal?
Desprezando a resistência do ar e na condição do projétil atingir o solo no mesmo nível do seu ponto em
que foi lançado, o alcance poderá ser obtido utilizando o tempo total que o projétil permanece no ar,
nestas condições o tempo de subida é igual ao tempo de descida, então o tempo total é duas vezes o
tempo de subida ou duas vezes o tempo de descida.
2
vy = 0
v0y = v0 × senθ0 = 37 × sen53o = 29,55 m/s
v0x = v0 × cosθ0 = 37 × cos53o = 22,28 m/s
vy = v0y − gt
0 = v0y − gtsubida
0 = 29,55 − 9,8tsubida
tsubida =
29,55
9,8 = 3,015 s
y = y0 + v0yt− 1
2 gt
2
hmáx. = 0 + 29,55 × 3,015 − 1
2 × 9,8 × 3,0152
hmáx. = 44,55 m
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d. Qual o valor da velocidade da bola imediatamente antes de atingir o solo?
A velocidade em x é constante com o tempo, logo, para cada instante t a velocidade em x é .A
velocidade �nal em y é encontrada aplicando a equação horária da velocidade do MUV, e com o tempo t
sendo o tempo total que a bola de futebol permaneceu no ar, ou seja, duas vezes o tempo de subida.
Após ter os valores das componentes x e y do vetor velocidade resultante, será aplicado o teorema de
Pitágoras para obter o valor da velocidade resultante �nal.
O valor negativo da velocidade em y, indica que seu sentido é oposto, Figura 7, ao sentido adotado como
positivo (sentido de baixo para cima).
Figura 7 | Vetor velocidade resultante da bola imediatamente antes de atingir o solo
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
Aplicando, então, o teorema de Pitágoras:
Caracterização de movimento circular uniforme
Quando um corpo se move ao longo de uma circunferência com velocidade escalar constante, dizemos que
ele descreve um movimento circular uniforme. Apesar da velocidade escalar ser constante, o corpo em
movimento circular uniforme possui uma aceleração perpendicular à trajetória e, portanto, voltada para o
x = x0 + vxt
x = 0 + v0x × ttotal
x = 0 + v0x × 2 × tsubida
x = 22,28 × 2 × 3,015
x = 134,35 m
Alcance = 134,35 m
v0x
vy = v0y − gt
vy = 29,55 − 9,8ttotal
vy = 29,55 − 9,8 × 6,03
vy = −29,54 m/s
vf = √v2y + v2x = √(−29,54)2 + 22,282
vf = 37 m/s
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centro da trajetória circular. Essa aceleração é chamada de aceleração radial ou aceleração centrípeta, a qual
forma um ângulo de 90º com o vetor velocidade tangente à trajetória, Figura 8.
Figura 8 | Movimento circular uniforme de um móvel
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
A aceleração centrípeta se relaciona com a velocidade do móvel por meio da equação matemática:
Onde:
é a velocidade escalar constante, em m/s;
R é o raio da circunferência, em metros (m);
é a aceleração centrípeta, em m/s .
O tempo que o corpo leva para fazer uma revolução (uma volta completa em torno do círculo) é chamado de
período T do movimento, no Sistema Internacional (S.I.), T é dado em segundos (s). O corpo se desloca a
uma distância igual ao comprimento da circunferência 2πR em um intervalo T. De modo que sua velocidade
escalar é:
Substituindo na equação para o cálculo da aceleração centrípeta:
Exemplo: Um corpo se movimenta com velocidade constante em um círculo de raio igual a 5 m. Este corpo
executa uma volta completa no círculo em 4 s. Qual a aceleração desse corpo?
Solução:
arad = acp = v2
R
v
acp 2
v = 2πR
T
v
acp = v2
R = 4×π2×R
T 2
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Se o corpo possui velocidade constante em trajetória circular, o movimento é circular uniforme, logo, a única
aceleração deste movimento é a aceleração centrípeta. E o tempo correspondente a 4 s para o corpo executar
uma volta completa é o período para este exemplo.
Portanto, aplicando a equação para a obtenção do valor da aceleração centrípeta, e lembrando que todas as
unidades devem estar padronizadas no mesmo sistema de unidades, aqui o sistema adotado é S.I.:
m/s
Caracterização de movimento circular uniforme: grandezas angulares e
grandezas lineares
Quando o corpo gira de um ângulo Δ, Figura 9, dado em radianos, este irá se mover por meio de um arco de
círculo de comprimento ΔS, em metros no S.I., de forma que:
Δ S = R. Δθ
Onde:
Δθ=θ-θ é o deslocamento angular, em radianos (rad), no S.I.
ΔS é o deslocamento, em metros (m), no S.I.
R é o raio da circunferência, em metros (m), no S.I.
Figura 9 | Grandezas angulares e lineares no MCU
Fonte: adaptada de Sears e Zemansky (2016).
Da mesma forma, as posições angulares θ (posição angular �nal) e θ (posição angular inicial) se relacionam
com suas respectivas grandezas lineares posição �nal (s) e posição inicial (S ) através do raio da
circunferência:
S = R. θ
S = R. θ
acp = 4×π2×R
T 2 = 4×π2×5
42 = 12,34  2
0
0
0
0 0
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A velocidade angular média    é o deslocamento angular dividido pelo intervalo de tempo 
 correspondente.
Onde:
é a velocidade angular média, em radianos por segundo (rad/s).
Δθ é o deslocamento angular, em radianos (rad).
Δt é o intervalo de tempo, em segundos (s).
A taxa de variação do ângulo θ, é a velocidade angular instantânea ω, dada em rad/s:
= R. 
Se:
m/s
Então,
= rad/s
VIDEO RESUMO
Neste vídeo, você verá os conceitos de movimento em duas dimensões envolvendo lançamento de projéteis e
movimento circular uniforme. Você irá conhecer o princípio de independência dos eixos estabelecidos por
Galileu e perceberá o quanto os exemplos de movimento em duas dimensões estão presentes no cotidiano.
Então, vamos lá?
 Saiba mais
Para auxiliar o aprofundamento do aprendizado sobre movimento em duas dimensões, recomendo a
leitura do capítulo 3 do livro a seguir:
YOUNG, H. D. Física I: Mecânica. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008. E-book. ISBN 9788588639331.
Bons estudos!
ωm Δt
ωm = Δ𝛉
Δt
ω = dθ
dt
v ω
v = 2πR
T
ω 2π
T
Aula 5
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REVISÃO SOBRE OS CONCEITOS DA CINEMÁTICA
Olá, estudante!
Chegamos ao �m desta unidade em que vimos os conceitos relacionados à cinemática, tais como grandezas
escalares e vetoriais na cinemática, referencial Inercial e equações de movimento, movimento em uma
dimensão e movimento em duas dimensões, os quais permitem compreender diversas situações do
cotidiano.
Com relação as grandezas escalares e vetoriais na cinemática, tivemos os seguintes conceitos:
Grandeza escalar: é a grandeza física que �ca de�nida com valor numérico e unidade de medida
correspondente. Exemplos: massa, comprimento, área, volume, tempo, energia, temperatura.
Grandeza vetorial: é a grandeza física que �ca de�nida com valor numérico, unidade de medida
correspondente, direção e sentido. Exemplos: deslocamento, velocidade, aceleração, força, quantidade
de movimento.
O módulo de um vetor é o comprimento entre o início e o �m do vetor que representa a grandeza vetorial,
representado por um número que expressa a intensidade (ou quantidade) do vetor.
A direção de um vetor indica onde o vetor está posicionado. Podendo estar na horizontal, na vertical ou na
diagonal. Neste último deve-se indicar o ângulo que o vetor faz com relação ao eixo x ou eixo y;
O Sentido de um vetor indica onde a extremidade do vetor está apontando.
Componentes de um vetor
As componentes Ax e Ay (Figura 1) são obtidas aplicando as de�nições das funções trigonométricas e
analisando o triângulo retângulo formado juntamente com o ângulo θ que o vetor , faz com o eixo x (Young,
2008).
Figura 1 | Componentes do vetor    , obtidas traçando uma reta perpendicular à direção que se deseja obter a componente deste vetor
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A
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A
REVISÃO DA UNIDADE
41 minutos
29/11/2024, 15:32 wlldd_232_u1_fun_fis_I
https://www.colaboraread.com.br/integracaoAlgetec/index?usuarioEmail=KAUANEDELCONTE%40GMAIL.COM&usuarioNome=KAUANE+DEL+CONTE+CAMARGO&disciplinaDescricao=&atividadeId=4140956&… 40/53
Fonte: Sears e Zemansky (2016).
Obtendo a componente Ax: 
Obtendo a componente Ay: 
Onde: ´”A” é o módulo do vetor , obtido pelo teorema de Pitágoras.
O ângulo θ é a direção do vetor , e poderá ser obtido a partir da de�nição da função trigonométrica
tangente do