probabilidade

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PROBABILIDADE 
Introdução 
 O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática, entretanto 
a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística são de natureza aleatória 
ou probabilística. 
Experimento Aleatório 
São fenômenos que, mesmo repetido várias vezes sob condições semelhantes, 
apresentam resultados imprevisíveis. O resultado depende do acaso. 
Exemplo: 
Da afirmação "é provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar: 
- Que ele ganhe 
- Que ele perca 
- Que ele empate 
Espaço Amostral 
É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um 
experimento aleatório. 
No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço 
amostral {cara, coroa}. 
No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral 
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos 
o espaço amostral: {(ca, ca), (co, co), (ca, co), (co, ca)} 
 
 
Obs.: cada elemento do espaço amostral que corresponde a um resultado 
recebe o nome de ponto amostral. No primeiro exemplo: cara pertence ao 
espaço amostral {cara, coroa}. 
 Eventos 
É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. 
Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento: Assim, qualquer 
que seja E, se E c S (E está contido em S), então E é um evento de S. 
Se E = S, E é chamado de evento certo. A probabilidade de um evento certo 
é um. 
Se E c S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar. 
Se E = Ø, E é chamado de evento impossível. A probabilidade de um evento 
impossível é nula. 
Definição Clássica de Probabilidade 
Seja E um experimento aleatório. A probabilidade de um evento A, associada 
a este experimento e denotada por P(A) será uma função definida em seu 
espaço amostral S, que irá associar ao evento um no real, onde os resultados 
são igualmente prováveis e n(A) o número de elementos de evento A, com 𝐴 ⊂ 
𝑆, é o número P(A) tal que: 
 
Esta definição é válida somente para espaços amostrais finitos e espaços 
amostrais equiprováveis (quando se associa a cada ponto amostral a mesma 
probabilidade). Além disso, devem-se considerar apenas eventos mutuamente 
excludentes e igualmente possíveis de ocorrer. 
Definição Axiomática 
Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostral associado a E a cada 
evento A associado um número real, representado por P(A) e denominado de 
probabilidade de A, que satisfaça os seguintes axiomas: 
 1º AXIOMA: 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 
2º AXIOMA: P(S)=1 
3º AXIOMA: Se A e B forem eventos 𝑀𝐸 (𝐴 ∩ 𝐵 = ∅), então: 
𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
4º AXIOMA: Se 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 forem dois a dois mutuamente excludentes, 
então: 
 
Observação: Quando todos os elementos do Espaço amostral têm a mesma 
chance de acontecer, o espaço amostral é chamado de conjunto equiprovável. 
Exemplos: 
1. No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um 
evento A? 
 
2. No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par 
em um evento A? 
 
3. No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor 
ou igual a 6 em um evento A? 
Observação: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%. 
4. No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número maior 
que 6 em um evento A? 
 
Eventos Complementares 
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo P a probabilidade de que 
ele ocorra (sucesso) e 𝑃c a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), 
para um mesmo evento existe sempre a relação: 
𝑃 + 𝑃c = 1 
 
Obs: Numa distribuição de probabilidades o somatório das probabilidades 
atribuídas a cada evento elementar é igual a 1 onde: 
 p1 + p2 + p3 + ... + pn = 1 
Exemplos: 
1. Sabemos que a probabilidade de tirar o nº 4 no lançamento de um dado é p 
= 1/6. logo, a probabilidade de não tirar o nº 4 no lançamento de um dado: 
 
2. Calcular a probabilidade de um piloto de automóveis vencer uma dada 
corrida, onde as suas "chances", segundo os entendidos, são de "3 para 2". 
Calcule também a probabilidade de ele perder: O termo "3 para 2" significa: 
De cada 5 corridas ele ganha 3 e perde 2. 
 
3. Seja S = {a, b, c, d}. Consideremos a seguinte distribuição de 
probabilidades: P(a) = 1/8; P(b) = 1/8; P(c) = 1/4 e P(d) = x. Calcule o valor de 
x: 
 
 
 4. As chances de um time de futebol T ganhar o campeonato que está 
disputando são de "5 para 2". Determinar a probabilidade de T ganhar e a 
probabilidade de T perder: 
 
Eventos Independentes 
Quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a 
probabilidade da realização do outro e vice-versa. 
Exemplo: Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles 
independe do resultado obtido no outro. Então qual seria a probabilidade de 
obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado? 
Assim, sendo 𝑷(𝑨) a probabilidade de realização do primeiro evento e 𝑷(𝑩) 
 a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais 
eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula: 
 𝑷 (𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) . 𝑷(𝑩) 
Eventos Mutuamente Exclusivos 
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um 
exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o 
evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já 
que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza. 
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou 
outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se 
realize: 
P (A U B) = P(A) + P(B) 
Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 
ou o nº 4? 
 
Observação: Na probabilidade da união de dois eventos A e B, quando há 
elementos comuns, devemos excluir as probabilidades dos elementos comuns 
a A e B (elementos de A e B) para não serem computadas duas vezes. Assim: 
P (A U B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B) 
 
Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a 
probabilidade de a carta retirada ser ou um ÁS ou uma carta de COPAS? 
 
Probabilidade Condicional 
Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer, depois de A ter 
acontecido é definida por: P (B/A), ou seja, é chamada probabilidade 
condicional de B. Neste caso os eventos são dependentes e definidos pela 
fórmula: 
 
Exemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual 
a probabilidade de ambas serem COPAS? 
P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 
= 5,88 % 
P(Copas1) = 13/52 
P(Copas2/Copas1) = 12/51 
Observação: No exemplo anterior se a 1ª carta retirada voltasse ao baralho 
o experimento seria do tipo com reposição e seria um evento independente. 
O resultado seria: 
P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 = 6,25 % 
Espaço amostral do baralho de 52 cartas: 
Carta pretas = 26 
Paus = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) 
Espadas = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) 
Cartas vermelhas = 26 
Ouros = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) 
Copas = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) 
 
EXEMPLO 1: O espaço amostral correspondente para Experimento de lançar 
dois dados (1 vermelho e 1 verde) 
 
EXEMPLO 2: O espaço amostral correspondente para Teste com três 
questões de múltipla escolha. Em cada questão há 5 alternativas, apenas 1 é 
correta. Experimento: anotar o resultado do aluno no teste. 
Ex: CCI significa que o aluno acertou as duas primeiras questões e errou a 
última. Ω = {CCC, CCI, CIC, CII, ICC, ICI, IIC, III} 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente 
e conte seus elementos: 
(a) Uma moeda é lançada duas vezes e observam se as faces obtidas;(b) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar e 
observada; 
(c) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas com dimensões 
rigorosamente iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e 
as cores são anotadas; 
(d) Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma 
das faces observadas; 
(e) Em uma cidade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, 
anotando se o sexo de cada uma; 
(f) Uma máquina produz 20 peças por hora, escolhe se um instante qualquer 
e observa se o número de defeituosas na próxima hora; 
(g) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira 
cara. 
2) Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira 
se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança se uma moeda, se for 
vermelha, ela é devolvida à urna e retira -se outra bola. Dê um espaço 
amostral para o experimento. 
3) Considere o lançamento de dois dados. Considere os eventos A = soma dos 
números obtidos iguais a 9, e B = número no primeiro dado maior ou igual a 4. 
Enumere os elementos de A e B e obtenha: 
(a) A ∪ B; 
(b) A ∩ B; 
(c) Ac. 
 
4. Extraindo uma carta de um baralho bem embaralhado de 52 cartas, qual é 
a probabilidade de obter: 
(a) O rei de copas; 
(b) Uma carta vermelha com figura (valente, rainha, rei); 
(c) Um 5, um 6 ou um 7; 
(d) Uma carta de ouros. 
5) Em um grupo de 5 amostras, composto por 3 sementes modificadas e 2 
controles, uma será sorteada para análise. Qual a probabilidade de ser 
sorteada uma de controle? 
Evento A: semente de controle 
Espaço amostral: Ω = {m, m, m, c, c} 
Espaço do evento: A = {c, c} 
A probabilidade de ser sorteada uma semente de controle é 
de 0,40 ou 40%. 
6) A cada 10 caixas de resíduos produzidos por um processo produtivo e 
encaminhadas para reciclagem, 7 possuem condições de ser reaproveitadas. 
Se for investigado ao acaso a reciclagem, qual a probabilidade de uma caixa 
não ter condições de reaproveitamento? 
Evento A: reciclagem onde a caixa não possui condições de reaproveitamento 
Espaço amostral: Ω = {c, c, c, c, c, c, c, c, sc, sc, sc} 
Espaço do evento: A = {sc, sc, sc} 
A probabilidade de a caixa investigada não ter condições de reciclagem é de 
0,30 ou 30%. 
LISTA DE EXERCÍCIOS I. 
1. Qual a probabilidade de sair o ÁS de ouros quando retiramos 1 carta de um 
baralho de 52 cartas? 
 
2. Qual a probabilidade de sair o um REI quando retiramos 1 carta de um 
baralho de 52 cartas? 
 
3. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, 
calcule: 
a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa. 
b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa. 
 
4.De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do 
primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do 
primeiro baralho ser um REI e a do segundo ser o 5 de paus? 
 
5. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B 
contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas 
brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a 
probabilidade de as três bolas retiradas da 1ª, 2ª e 3ª urnas serem, 
respectivamente, branca, preta e verde? 
 
6. De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem 
reposição. Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o ÁS de paus e a 
segunda ser o REI de paus? 
 
7. Qual a probabilidade de sair uma figura (rei ou dama ou valete) quando 
retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? 
 
8. São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta 
do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos 
uma DAMA e um REI, não necessariamente nessa ordem? 
 
9. Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a 
probabilidade de ambas serem COPAS ou ESPADAS? 
 
10. Duas bolas são retiradas (sem reposição) de uma urna que contém 2 bolas 
brancas e 3 bolas pretas. Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª 
seja preta? 
 
11. Duas bolas são retiradas (com reposição) de uma urna que contém 2 bolas 
brancas e 3 bolas pretas. Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª 
seja preta? 
 
12. Duas bolas são retiradas (sem reposição) de uma urna que contém 2 bolas 
brancas e 3 bolas pretas e 5 bolas verdes. 
a) Qual a probabilidade de que ambas sejam verdes? 
b) Qual a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor? 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS II. 
 1. A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a de 
sua mulher é de 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos: 
a) ambos estejam vivos; 
 
b) somente o homem esteja vivo; 
 
c) somente a mulher esteja viva; 
 
d) nenhum esteja vivo; 
 
e) pelo menos um esteja vivo. 
2. Um conjunto de 80 pessoas tem as características abaixo: 
 Brasileiros Argentinos Uruguaios 
Homens 18 12 10 
Mulheres 20 5 15 
Se retirarmos uma pessoa, ao acaso, qual é a probabilidade de que ela seja: 
a) de nacionalidade brasileira ou uruguaia; 
 
b) do sexo masculino ou tenha nascido na Argentina. 
3. Uma caixa contém balões coloridos, sendo 4 amarelos, 6 verdes, 5 brancos, 
e 3 roxos. Retirando-se sucessivamente dois balões, qual é a probabilidade de 
que o primeiro seja verde e o segundo seja roxo, se: 
a) recolocarmos o primeiro balão na caixa, antes de retirarmos o 
segundo? 
b) não recolocarmos o primeiro balão na caixa, antes de retirarmos o 
segundo? 
4. Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que contém 6 bolas vermelhas, 4 
brancas e 5 azuis. Determine a probabilidade de a bola extraída ser: 
a) não vermelha; 
b) vermelha ou branca. 
5. Desta caixa referida (Questão 04), extraem-se três bolas sucessivamente. 
Determine a probabilidade de elas serem extraídas na ordem vermelho-
branca-azul. 
a) havendo reposição; 
b) não havendo reposição. 
6. Suponha-se que 2 dos 6 cilindros de um motor de automóvel necessitem 
ser substituídos. Um mecânico remove 2, aleatoriamente. Qual a 
probabilidade de esse mecânico escolher os dois defeituosos? E pelo menos 
um? 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS III. 
1. Duas moedas são lançadas e os resultados observados. Calcular as 
probabilidades de observar zero “cara”, uma “cara” e duas “caras”. R: ¼; ½; ¼ 
2. Uma moeda não viciada é lançada três vezes e o número de “caras” é 
observada. Determinar a probabilidade de observar: 
a) Exatamente duas “caras”. R: 3/8 
b) No máximo duas “caras”. R: 7/8 
3. Um casal planeja ter três filhos. Encontrar as seguintes possibilidades: 
a) Dois do sexo masculino e um do sexo feminino R: 3/8 
b) Nenhum do sexo feminino R: 1/8 
c) Dois do sexo masculino seguidos por um do sexo feminino R: 1/8 
4. Uma bola é retirada aleatoriamente de uma caixa contendo 10 bolas 
vermelhas, 30 bolas brancas, 20 bolas azuis e 15 bolas laranja. 
a) Laranja ou vermelha R: 1/3 
b) Não azul R: 11/15 
c) Vermelha ou branca ou azul R: 4/5 
5. Em um experimento envolvendo uma substância tóxica, a probabilidade de 
que um rato branco permaneça vivo por 10 horas é 7/10, e a probabilidade de 
que um rato preto permaneça vivo por 10 horas é 9/10. Encontrar a 
probabilidade que ao final de 10 horas. 
a) Ambos estarão vivos R: 63/100 
b) Somente o rato preto estará vivo R: 27/100 
c) Ao menos um rato estará vivo R: 97/100 
6. Usando os dados da tabela abaixo com a relação pressão sanguínea sistólica 
de fumantes e não-fumantes onde os eventos: A não- fumantes, B um fumante 
e C uma pressão sanguínea sistólica de 170 ou mais. Encontrar: 
 Não 
fuma
ntes 
Fumante
s 
 
Pressão 
sanguínea 
f1 f1 tota
l 
90 |- 109 10 5 15 
 110|- 129 24 15 39 
130 |- 149 18 10 28 
150 |- 169 9 3 12 
170 |- 189 2 2 4 
190 –209 0 2 2 
Total 63 37 100 
 
a) P(A) 63/100b) P(B) 37/100 
c) P(C) 6/100 
d) P(C/A) 0,03 
e) P(C/B) 0,108 
f) Comparar a D e E(comentar). O fumante e nível de pressão sanguínea 
são independentes. 
Exercícios Complementares 
1) O gráfico mostra a velocidade de conexão à internet utilizada em domicílios 
no Brasil. Esses dados são resultado da mais recente pesquisa, de 2009, 
realizada pelo Comitê Gestor da Internet (CGI) 
 
Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual a chance de 
haver banda larga de conexão de pelo menos 1 Mbps neste domicílio? 
a) 0,45 
b) 0,42 
c) 0,30 
d) 0,22 
e) 0,15 
2) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por 
recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial 
Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com 
as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 
31°C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico: 
 
 
 
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a 
probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às 
recomendações médicas é 
a) 1 /5 b) 1/ 4 c) 2 /5 d) 3/ 5 e) 3/ 4 
3) Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram 
postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, 
assinalando suas reações em “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de 
uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta 
postagem. O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete. 
 
O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram 
na postagem “Contos de Halloween”. Sabendo que nenhum visitante votou mais 
de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que 
opinaram ter assinalado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é mais 
aproximada por: 
a) 0,09. b) 0,12. c) 0,14. d) 0,15. e) 0,18. 
4) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, 
durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve 
este gráfico: 
 
A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde 
entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois 
sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012? a) 1 /20 b) 3/ 
242 c) 5 /22 d) 6 /25 e) 7 /15 
5) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se 
encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e 
tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de 
filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os 
filhos dessas ex-alunas. A probabilidade deque a criança premiada tenha sido 
um(a) filho(a) único(a) é: 
 
a) 1/3. b) 1/4. c) 7/15. d) 7/23. e) 7/25. 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
MARTINS, Gilberto de A. Estatística Geral e Aplicada. 3ª ed. São Paulo: 
Atlas, 2005. 
SPEIGEL, Murray R. Estatística. 3ª ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 
1993. 
MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica – Volume 1 – Probabilidade – 7ª 
edição. São Paulo: Pearson Makron Books, 1999. 
BUSSAB, Wilton de O. MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5ª edição. 
São Paulo: Saraiva, 2006. 
https://www.stoodi.com.br/exercicios/enem/outros/questao/as-23-ex-
alunas-de-uma-turma-que-completou-o-ensino/