Aula 3

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Estruturas em
Concreto Armado II
Engenharia Civil UFMT-CUA
Exercício:
Considerando a Planta
de Forma Estrutural:
Dimensões em cm
Concreto C40 e
Aço CA-50
20 x 40
V1 (20 x 45)
V2 (20 x 45)
V3 (20 x 45)
V
4
(2
0
 x
 4
5
)
V
5
(2
0
 x
 4
5
)
V
6
(2
5
 x
 6
0
)
2
5
0
Forma do Pavimento Tipo
5
5
0
440
470
8
2
0
5
5
0
150
L1
L2
L4L3
h = 10
h = 10
h = 10
h = 10
P1
20 x 40
P2
20 x 40
P3
20 x 40
P4
20 x 40
P5
20 x 40
P6
20 x 40
P7
20 x 40
P8
Exercício:
y
x
x
y
x
y
x
y
Vx = 5,27
V'x = 7,72
Vy = 5,66
Vy = 5,66
V
'y
 =
 5
,2
7
V
y
 =
 3
,6
1
V
'x
 =
 1
4
,7
6
V
'x
 =
 1
4
,7
6
V
x
 =
 1
0
,0
6
Vy = 5,31
Vy= 5,31
V
'x
 =
 1
3
,9
5
Vy = 2,86
Vy = 2,86
V
'x
 =
 1
3
,4
9
V
 x
 =
 9
,1
9
L1
h = 10
L2
h = 10
L4
h = 10
L3
h = 10
Reações de apoio das lajes 
em kN/m
Exercício: x
Mx = 2,34
My = 0,73
M
'x
 =
 1
5
,4
4
M
'x
 =
 1
5
,4
4
Mx = 7,51
My = 2,16
Mx = 6,29
My = 3,89
M
'x
 =
 1
4
,6
5
L2
h = 10
L4
h = 10
L1
h = 10
L3
h = 10
M'x = 4,93
M
'x
 =
 1
4
,6
5
x
y
M'x = 4,93
M
'y
 =
 1
5
,4
4
M
'x
 =
 1
5
,4
4
y
x
y
x
y
Momentos compatibilizados
(kNm/m)
Procedimento 
simplificado 
proposto pela ABNT 
NBR 6118
Exercício:
1.) Calcular a área de armadura positiva e negativa das lajes
Momentos Positivos
Laje L1
𝑀𝑥 = 2,34 𝑘𝑁𝑚/𝑚
𝑀𝑦 = 0,73 𝑘𝑁𝑚/𝑚
Momentos solicitantes de cálculo
𝑀𝑠𝑑𝑥 = 𝛾𝑐 ×𝑀𝑥 = 1,4 × 234 = 327,6 𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚
𝑀𝑠𝑑𝑦 = 1,4 × 73 = 102,2 𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚
Determinação da altura útil “d”
As armaduras correspondentes ao maior momento fletor (Mx) são 
as que ficarão mais próximas ao fundo da laje
Exercício:
Laje L1
Determinação da altura útil “d”
d
xd
y
c
 =
 2
 c
m
h
 =
 1
0
 c
m
𝑑𝑒𝑠𝑡𝑥 = ℎ − 𝑐 −
∅ℓ
2
𝑑𝑒𝑠𝑡𝑦 = ℎ − 𝑐 −
∅ℓ
2
− ∅ℓ
Adotando cobrimento de 2 cm e barras longitudinais 10 mm de diâmetro
𝑑𝑒𝑠𝑡𝑥 = 10 − 2 −
1
2
= 7,5 𝑐𝑚
𝑑𝑒𝑠𝑡𝑦 = 10 − 2 −
1
2
− 1 = 6,5 𝑐𝑚
Exercício:
Laje L1
Determinação da área de armadura
𝐾𝑐𝑥 =
100 × 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑥
2
𝑀𝑠𝑑𝑥
𝐾𝑐𝑥 =
100 × 7,52
327,6
= 17,17 → 𝐾𝑠𝑥 = 0,023
𝐾𝑠𝑥 =
𝐴𝑠𝑥 × 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑥
𝑀𝑠𝑑𝑥
0,023 =
𝐴𝑠𝑥 × 7,5
327,6
𝐴𝑠𝑥 = 1,00 𝑐𝑚2/𝑚
Exercício:
Laje L1
Determinação da área de armadura
𝐾𝑐𝑦 =
100 × 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑦
2
𝑀𝑠𝑑𝑦
𝐾𝑐𝑦 =
100 × 6,52
102,2
= 41,34 → 𝐾𝑠𝑦 = 0,023
𝐾𝑠𝑦 =
𝐴𝑠𝑦 × 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑦
𝑀𝑠𝑑𝑦
0,023 =
𝐴𝑠𝑦 × 6,5
102,2
𝐴𝑠𝑦 = 0,36 𝑐𝑚2/𝑚
Exercício:
Laje L1
Verificação armadura mínima
𝐴𝑠𝑦𝐴𝑠𝑥
Exercício:
Laje L1
Verificação armadura mínima
𝜌𝑠 ≥ 0,67 × 𝜌𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑠
𝐴𝑐
≥ 0,67 × 𝜌𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑠 ≥ 0,67 ×
0,179
100
× (100 × 10) 𝐴𝑠 ≥ 1,2 𝑐𝑚2/𝑚
Exercício:
Laje L1
Verificação armadura mínima
𝐴𝑠 ≥ 1,2 𝑐𝑚2/𝑚 𝐴𝑠𝑦 = 1,2 𝑐𝑚2/𝑚𝐴𝑠𝑥 = 1,2 𝑐𝑚2/𝑚
Bitola e espaçamento da armadura
As barras da armadura principal de 
flexão em lajes maciças precisam ser 
detalhadas com espaçamento no 
máximo igual a 2 h ou 20 cm
O diâmetro máximo de qualquer 
das barras destinada a armar as 
lajes maciças deve ser limitado a
h/8
Para a armadura secundária de flexão
em lajes maciças, o espaçamento 
máximo é igual a 33 cm
Exercício:
Laje L1
𝐴𝑠𝑦 = 1,2 𝑐𝑚2/𝑚
𝐴𝑠𝑥 = 1,2 𝑐𝑚2/𝑚
Bitola e espaçamento da armadura
∅ℓda armadura
∅ℓ 
0,25 × ℓ𝑒𝑓𝑦1
0,25 × ℓ𝑒𝑓𝑦2
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,25 × 8,26 = 2,07 𝑚
ℓ𝑒𝑓𝑦2 = 826 𝑐𝑚ℓ𝑒𝑓𝑦4 = 556 𝑐𝑚
𝐴′𝑠,𝑑𝑖𝑠𝑡 = 1,56 𝑐𝑚2/𝑚 ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑐 20 𝑐𝑚
6 cm6 cm
N
2
 -
 2
1
 
Ø
 6
,3
 c
/ 
2
0
 c
m
(8
2
0
 c
m
)
N1 - 48 Ø 12,5 c/ 17 cm (426 cm)
Exercício:
Representação
A armadura negativa fica 
na face superior da laje
O comprimento reto de 0,25 do 
maior vão é contado a partir do 
eixo da viga
O comprimento do gancho é dado 
pela altura da laje menos o 
cobrimento superior e inferior da laje 
Laje L1-L2 e L4-L2 –
Armadura negativa
Exercício:
Laje L1-L4 – Armadura negativa
𝐴′𝑠 = 2,23𝑐𝑚2/𝑚 ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑐 14 𝑐𝑚
Comprimento de ancoragem necessário
ℓ𝑒𝑓𝑦1 = 476 𝑐𝑚
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 > 
0,25 × ℓ𝑒𝑓𝑦1
0,25 × ℓ𝑒𝑓𝑦4
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,25 × 5,56 = 1,39 𝑚ℓ𝑒𝑓𝑦4 = 556 𝑐𝑚
𝐴′𝑠,𝑑𝑖𝑠𝑡 = 0,95 𝑐𝑚2/𝑚 ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑐 33 𝑐𝑚
Exercício:
Representação
A armadura de distribuição 
vai de face a face do apoio, 
cobrindo a faixa em que se 
distribui a armadura 
negativa 
Laje L1-L4 – Armadura negativa
6
 c
m
6
 c
m
N4 - 9 Ø 6,3 c/ 33 cm (470 cm)
N
3
 -
 3
4
 
Ø
 6
,3
 c
/ 
1
4
c
m
(2
9
0
 c
m
)
Exercício:
Laje L3-L4 – Armadura negativa
𝐴′𝑠 = 10,23 𝑐𝑚2/𝑚 ∅ 12,5 𝑚𝑚 𝑐 12 𝑐𝑚
Comprimento de ancoragem necessário reto
ℓ𝑒𝑓𝑦3 = 556 𝑐𝑚
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 > 
0,25 × ℓ𝑒𝑓𝑦3
0,25 × ℓ𝑒𝑓𝑦4
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,25 × 5,56 = 1,39 𝑚ℓ𝑒𝑓𝑦4 = 556 𝑐𝑚
𝐴′𝑠,𝑑𝑖𝑠𝑡 = 2,08 𝑐𝑚2/𝑚 ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑐 15 𝑐𝑚
Exercício:
Laje L3-L4 – Armadura negativa
𝐴′𝑠 = 10,23 𝑐𝑚2/𝑚 ∅ 12,5 𝑚𝑚 𝑐 12 𝑐𝑚
Comprimento de ancoragem na borda livre
ℓ𝑏 = 28∅ = 28 × 1,25 = 35 𝑐𝑚
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 1 × 35 × 1,0 = 35 𝑐𝑚 ≥ 
0,3 × 35 = 10,5 𝑐𝑚
10 × 1,25 = 12,5 𝑐𝑚
10 𝑐𝑚
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 35 𝑐𝑚
Exercício:
Representação
Laje L1-L4 – Armadura negativa
Detalhe da armação na borda livre:
o comprimento de ancoragem 
deve ser acrescido de 2h
A ancoragem com gancho na 
borda livre até a face externa a 
menos do cobrimento da viga 
(2,5 cm)
N5 - 46 Ø 12,5 c/ 12 cm (363,5 cm)
55 cm
6 cm
N
6
 -
 2
0
 
Ø
 6
,3
 c
/ 
1
5
 c
m
(5
5
0
 c
m
)
6 cm
N
3
 -
 3
4
 
Ø
 6
,3
 c
/ 
1
4
c
m
(2
9
0
 c
m
)
6
 c
m
6
 c
m
N4 - 9 Ø 6,3 c/ 33 cm (470 cm)
N5 - 46 Ø 12,5 c/ 12 cm (363,5 cm)
55 cm
6 cm
N
6
 -
 2
0
 
Ø
 6
,3
 c
/ 
1
5
 c
m
(5
5
0
 c
m
)
6 cm
6 cm6 cm
N
2
 -
 2
1
 
Ø
 6
,3
 c
/ 
2
0
 c
m
(8
2
0
 c
m
)
N1 - 48 Ø 12,5 c/ 17 cm (426 cm)
Exercício:
Armaduras Negativas 
(face superior)
Exercício:
Armadura negativa de borda
𝐴′𝑠 = 1,84 𝑐𝑚2/𝑚 ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑐 17 𝑐𝑚
Comprimento de ancoragem necessário
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 > 0,15 × ℓ𝑒𝑓𝑥
A armadura negativa de borda
deve se estender até pelo menos 0,15 do vão 
menor da laje a partir da face do apoio
Para padronizar as barras da armadura de borda
junto à face superior pode-se adotar a de maior
comprimento e considera-la como típica
ℓ𝑒𝑓𝑥1 = 256 𝑐𝑚
ℓ𝑒𝑓𝑥2 = 446 𝑐𝑚
ℓ𝑒𝑓𝑥4 = 476 𝑐𝑚
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,15 × 4,76 = 0,71 𝑚
N
7
 -
 2
8
 Ø
 6
,3
 c
/ 
1
7
 c
m
(100,5 cm)
6
 c
m
6
 c
m
6
 c
m
6
 c
m
6
 c
m
6
 c
m
6
 c
m
6
 c
m
N
7
 -
 2
8
 Ø
 6
,3
 c
/ 
1
7
 c
m
N
7
 -
 2
6
 Ø
 6
,3
 c
/ 
1
7
 c
m
N
7
 -
 2
6
 Ø
 6
,3
 c
/ 
1
7
 c
m
6 cm6 cm
6 cm6 cm
N7 - 48 Ø 6,3 c/ 17 cm
N7 - 14 Ø 6,3 c/ 17 cm
Exercício:
Armadura 
Negativa de Borda 
(face superior)