Aula-5-Mecânica-dos-fluidos-2

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Mecânica dos fluidos
Renata Velasques Menezes
Engenharias
DANIEL BERNOULLI
FONTE: 
https://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Ber
noulli
Matemático e físico suíço nascido em 
Gröningen, Países Baixos (1700 - 1782).
Responsável pela dedução do princípio de 
Bernoulli para fluidos em movimento, 
fundamental para o desenvolvimento da 
hidrodinâmica. 
Hydrodynamica (1738): o uso de 
manômetros, a teoria cinética de gases, e a 
propulsão a jato
https://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
• A pressão interna é diferente da pressão atmosférica;
• As seções transversais são sempre fechadas e o fluido 
circulante as enche completamente;
• O movimento do fluido pode ser direcionado em 
qualquer sentido do conduto; 
Caracterização de Condutos forçados: 
FONTE: http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/aula1_unidade3.htm
http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/aula1_unidade3.htm
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
• Equação da continuidade: a velocidade do escoamento de 
um fluido pode variar com as trajetórias do fluido.
• A pressão também pode variar 
O Teorema de Bernoulli descreve o comportamento de um
fluido movendo-se ao longo de uma linha de corrente e
traduz para os fluidos o princípio da conservação da energia.
• Depende da altura 
• Depende da velocidade
7
𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2
𝑄1 = 𝑄2
Equação da continuidade
8
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Equação da continuidade
• O volume total de um fluido incompressível ideal que 
entra (1) no tubo será igual aquele que sai (2);
• Ou seja, a vazão medida em um ponto ao longo do tubo 
(1) será igual a vazão medida em outro ponto ao longo do 
tubo (2), apesar das áreas das seções transversais serem 
diferentes (ou não)
𝑄1 = 𝑄2
𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
• É uma equação que estabelece uma relação entre a 
pressão, a velocidade e a altura;
• A conservação da energia (H) está relacionada sempre 
a um plano de referência, onde z=0; 
• A carga de energia total (H) permanece constante ao 
longo do escoamento***;
10
11
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
O Teorema de Bernoulli é válido para as seguintes condições:
• Fluído ideal (fluído sem viscosidade ou sem dissipação de energia); 
• Escoamento Permanente (Propriedades distribuídas uniformemente na 
seção do tubo);
• Escoamento incompressível;
• Sem atrito ao longo de uma linha de corrente; 
• Não pode haver equipamentos realizando trabalho entre 1 e 2;
• Sem a presença de máquina que adicione ou retire energia do sistema; 
• Sem troca de calor entre 1 e 2;
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1
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https://teslaconcursos.com.br/wp-content/uploads/2016/05/Bernoulli.pdf
https://teslaconcursos.com.br/wp-content/uploads/2016/05/Bernoulli.pdf
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Interpretação física
A variação da velocidade de uma partícula fluida é provocada 
por uma combinação adequada do gradiente de pressão com 
a componente do peso da partícula na direção normal à linha 
de corrente.
𝑷𝟏
𝝆
+
𝑽𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟏 =
𝑷𝟐
𝝆
+
𝑽𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟐
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Interpretação física
∆H* ρ
Energia Potencial 
Energia Cinética 
Energia de posição 
𝑯𝟏 = 𝑯𝟐
𝑷𝟏 +
𝝆𝑽𝟏
𝟐
𝟐
+ ρ𝒈𝒛𝟏 = 𝑷𝟐 +
𝝆𝑽𝟐
𝟐
𝟐
+ ρ𝒈𝒛𝟐
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Interpretação física
Energia Cinética 
Energia Potencial 
Energia de posição 
∆H/ρg
𝑷𝟏
𝜸
+
𝑽𝟏
𝟐
𝟐𝒈
+ 𝒛𝟏 =
𝑷𝟐
𝜸
+
𝑽𝟐
𝟐
𝟐𝒈
+ 𝒛𝟐
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Interpretação física
Carga Cinética 
Carga Potencial 
Carga de posição 
𝑯(𝒎) =
𝑷
𝜸
𝒎 +
𝑽𝟐
𝟐𝒈
𝒎 + 𝒛(𝒎)
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1. P/γ carga de pressão representa a 
altura de uma coluna de fluido 
necessária para produzir a pressão p. 
2. V2/2g carga de velocidade, e 
representa a distância vertical para 
que o fluido acelere do repouso até a 
velocidade V numa queda livre 
(desprezando o atrito c/ar). 
3. z relaciona-se com a energia 
potencial da partícula e é chamado de 
carga de elevação, é uma cota.
Interpretação física
Equação de Bernoulli na forma de altura 
equivalente
Carga não é energia! 
A carga representa energia por unidade de peso.
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EQUAÇÃO de BERNOULLI
Aplicações da Equação de Bernoulli
O movimento de ar do lado de fora de uma casa ajuda a 
criar uma diferença de pressão que expulsa o ar quente 
da lareira para cima, através da chaminé.
Chaminé
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EQUAÇÃO de BERNOULLI
A asa de um avião é mais curva na parte de cima. Isto faz 
com que o ar passe mais rápido na parte de cima do que 
na de baixo. 
Segundo o teorema de Bernoulli, a pressão do ar em cima 
da asa será menor comparado a parte de baixo, criando 
uma força de empuxo que sustenta o avião no ar.
Avião Aplicações da Equação de Bernoulli
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EQUAÇÃO de BERNOULLI
Uma bomba de ar faz com que o ar seja empurrado 
paralelamente ao extremo de um tubo que está imerso em 
um líquido. A pressão nesse ponto diminui, e a diferença de 
pressão com o outro extremo do tubo empurra o fluido para 
cima. O ar rápido também divide o fluido em pequenas 
gotas, que são empurradas para frente.
Pulverizador Aplicações da Equação de Bernoulli
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EQUAÇÃO de BERNOULLI
Criado pelo físico italiano Giovanni Battista Venturi, o
tubo de Venturi, é um aparato utilizado para obter a
velocidade do escoamento de um líquido incompressível.
No tubo um líquido atravessa uma região com maior
seção transversal e em seguida outra região de menor
seção transversal. A partir da diferença de pressão entre
as duas regiões, aferida através do deslocamento de
colunas do líquido, é possível obter as velocidades do
líquido nas regiões (CID & CORREA, 2019).
Venturi Aplicações da Equação de Bernoulli
A3
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A. ( ) 0,8
B. ( ) 2,1
C. ( ) 10,6
D. ( ) 54,0
E. ( ) 82,2
Exemplo 01
Um bocal horizontal é alimentado com
ar a uma determinada velocidade . O
escoamento ocorre em regime
permanente, e o ar é descarregado
para a atmosfera a uma velocidade de
60 m/s. Na entrada do bocal, a área é
0,2 m² e na saída, 0,04 m². A massa
específica do ar corresponde a 1,20
kg/m³, conforme esquematizado na
figura ao lado. Considere que o
escoamento é incompressível.
Qual a pressão manométrica
necessária na entrada do bocal, em
kPa ?
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𝑯𝟏 = 𝑯𝟐
𝑷𝟏
𝝆
+
𝑽𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟏 =
𝑷𝟐
𝝆
+
𝑽𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟐
𝑸𝟏 = 𝑸𝟐
𝑨𝟏𝑽𝟏 = 𝑨𝟐𝑽𝟐
Exemplo 01
Um bocal horizontal é alimentado com
ar a uma determinada velocidade . O
escoamento ocorre em regime
permanente, e o ar é descarregado
para a atmosfera a uma velocidade de
60 m/s. Na entrada do bocal, a área é
0,2 m² e na saída, 0,04 m². A massa
específica do ar corresponde a 1,20
kg/m³, conforme esquematizado na
figura ao lado. Considere que o
escoamento é incompressível.
Qual a pressão manométrica
necessária na entrada do bocal, em
kPa ?
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𝑨𝟏𝑽𝟏 = 𝑨𝟐𝑽𝟐
𝑸𝟏 = 𝑸𝟐
𝟎, 𝟐 𝒎²𝟏𝑽𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟒𝒎²𝟐 ∗ 𝟔𝟎𝒎/𝒔𝟐
𝑽𝟏 = (𝟎, 𝟎𝟒𝒎²𝟐∗ 𝟔𝟎𝒎/𝒔𝟐)/𝟎, 𝟐 𝒎²𝟏
𝑽𝟏 = 12 m/s
Exemplo 01
Um bocal horizontal é alimentado com
ar a uma determinada velocidade . O
escoamento ocorre em regime
permanente, e o ar é descarregado
para a atmosfera a uma velocidade de
60 m/s. Na entrada do bocal, a área é
0,2 m² e na saída, 0,04 m². A massa
específica do ar corresponde a 1,20
kg/m³, conforme esquematizado na
figura ao lado. Considere que o
escoamento é incompressível.
Qual a pressão manométrica
necessária na entrada do bocal, em
kPa ?
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𝑷𝟏
𝝆
+
𝑽𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟏 =
𝑷𝟐
𝝆
+
𝑽𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟐
Os pontos estão à mesma altura 
logo, z1 = z2;
P2 = Patm = 101325 Pa
V1 = 12 m/s
Exemplo 01
Um bocal horizontal é alimentado com
ar a uma determinada velocidade . O
escoamento ocorre em regime
permanente, e o ar é descarregado
para a atmosfera a uma velocidade de
60 m/s. Na entrada do bocal, a área é
0,2 m² e na saída, 0,04 m². A massa
específica do ar corresponde a 1,20
kg/m³, conforme esquematizado na
figura ao lado. Considere que o
escoamento é incompressível.
Qual a pressão manométrica
necessária na entrada do bocal, em
kPa ?
30
𝑷𝟏
𝝆
+
𝑽𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟏 =
𝑷𝟐
𝝆
+
𝑽𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟐
𝑷𝟏
𝟏, 𝟐
+
(𝟏𝟐𝒎/𝒔)𝟐𝟐
=
𝟎𝒂𝒕𝒎
𝟏, 𝟐
+
(𝟔𝟎𝒎/𝒔)𝟐
𝟐
Exemplo 01
Exemplo 01
31
𝑷𝟏
𝝆
+
𝑽𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟏 =
𝑷𝟐
𝝆
+
𝑽𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟐
𝑷𝟏
𝟏, 𝟐 𝑲𝒈/𝒎³
+
(𝟏𝟐𝒎/𝒔)𝟐
𝟐
=
𝟏𝟎𝟏𝟑𝟐𝟓 𝑷𝒂
𝟏, 𝟐 𝑲𝒈/𝒎³
+
(𝟔𝟎𝒎/𝒔)𝟐
𝟐
Exemplo 01
32
𝑷𝟏
𝝆
+
𝑽𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟏 =
𝑷𝟐
𝝆
+
𝑽𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟐
𝑷𝟏
𝝆
+
𝑽𝟏
𝟐
𝟐
=
𝑷𝟐
𝝆
+
𝑽𝟐
𝟐
𝟐
𝑷𝟏
𝝆
−
𝑷𝟐
𝝆
=
𝑽𝟐
𝟐
𝟐
−
𝑽𝟏
𝟐
𝟐
Exemplo 01
33
𝑷𝟏
𝝆
−
𝑷𝟐
𝝆
=
𝑽𝟐
𝟐
𝟐
−
𝑽𝟏
𝟐
𝟐
(𝑷𝟏−𝑷𝟐)
𝝆
=
𝑽𝟐
𝟐 − 𝑽𝟏
𝟐
𝟐
(𝑷𝟏−𝑷𝟐) =
𝝆(𝑽𝟐
𝟐 − 𝑽𝟏
𝟐)
𝟐
Exemplo 01
34
(𝑷𝟏−𝑷𝟐) =
𝟏, 𝟐𝟎
𝒌𝒈
𝒎3 ∗ [(𝟔𝟎
𝒎
𝒔
)𝟐 − (𝟏𝟐
𝒎
𝒔
)𝟐]
𝟐
(𝑷𝟏−𝑷𝟐) = 𝟐. 𝟎𝟕𝟑, 𝟔 𝑷𝒂
(𝑷𝟏−𝑷𝟐) = 𝟐, 𝟏 𝑲𝑷𝒂
𝑷𝟏 = 𝟐, 𝟏 𝑲𝑷𝒂 + 𝟏𝟎𝟏, 𝟑𝟐𝟓 𝑲𝑷𝒂
𝑷𝟏 = 𝟏𝟎𝟑, 𝟒𝟐𝟓 𝑲𝑷𝒂
𝑷𝟏 = 𝟏𝟎𝟑, 𝟒𝟐𝟓 𝑲𝑷𝒂 − 𝟏𝟎𝟏, 𝟑𝟐𝟓𝐊𝐏𝐚 = 𝟐, 𝟏 𝐊𝐏𝐚
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A. ( ) 0,8
B. ( ) 2,1
C. ( ) 10,6
D. ( ) 54,0
E. ( ) 82,2
Exemplo 01
Um bocal horizontal é alimentado com
ar a uma determinada velocidade . O
escoamento ocorre em regime
permanente, e o ar é descarregado
para a atmosfera a uma velocidade de
60 m/s. Na entrada do bocal, a área é
0,2 m² e na saída, 0,04 m². A massa
específica do ar corresponde a 1,20
kg/m³, conforme esquematizado na
figura ao lado. Considere que o
escoamento é incompressível.
Qual a variação de pressão
manométrica em kPa, entre os pontos
1 e 2 ?
REFERÊNCIAS
i. Fox, R. W.; McDonald, A. T.; Pritchard, P.J.; 
Introdução à Mecânica dos Fluidos, LTC, 6a 
ed. 2004. 
ii. White, F.M., Fluid Mechanics. Mc Graw Hill, 
2002.
iii. ÇENGEL, Y.A.; CIMBALA, J.M.. Mecânica dos 
fluídos: fundamentos e aplicações. 3. ed. ed. 
Porto Alegre: AMGH Editora, 2015.
iv. S. Cid, T. Correa. Venturino: análise da 
variação de pressão em um tubo de Venturi 
utilizando Arduino e sensor de pressão. 
Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 41, 
nº 3, e20180333, 2019
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