17 - Compressão Peças Compostas Contínuas

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Compressão Simples e Flexo Compressão - 
Peças Compostas Elementos Justapostos Contínuos
UFRJ - Estruturas de Madeira - Prof. Esdras P. de Oliveira - 1° Sem. 2015
Norma de Referência: NBR 7190 - Projeto de Estruturas de Madeira (1997).
Este mathcad é válido para peças compostas contínuas, submetidas à compressão simples ou flexocompressão.
ORIGIN 1
A) Dados de Entrada:
Parâmetros relativos às propriedades dos materiais:
Ec.ef 8526 MPa Módulo de elasticidade à compressão paralela.
fcd 11.45 MPa Tensão resistente média de dimensionamento à compressão paralela às fibras. 
fvd 1.48 MPa Resistência de dimensionamento ao cisalhamento da madeira.
ϕ 0.8 Coeficiente de fluência.
Parâmetros relativos à seção:
Tpc 4 Tipo construtivo, de acorodo com a figura ao lado.
Tl 1 Defina como serão feitas as ligações nas peças compostas (1 - Pregos; 2 - Conectores de anel). A norma define a
utilização de pregos para os casos (Tpc) 2, 3 e 4; e pregos, parafusos, pinos metálicos e conectores de anel metálicos
para o caso (Tpc) 1. As seções coladas devem ser dimensionadas como seções simples.
Preencher as variáveis abaixo de acordo com a seção escolhida.
Seção retangular composta (Tpc=1). A NBR 7190 (1997), permite
no máximo 3 peças justapostas.
n1 3 Número de peças conectadas (máxímo 3).
b1 20 cm Largura de uma peça.
h1 25 cm Altura das peças conectadas.
Seção T composta (Tpc=2): Seção I composta (Tpc=3): Seção retangular vazada composta (Tpc=4):
bm2 30 cm Largura da mesa. bm3 30 cm Largura da mesa. bm4 15 cm Largura da mesa.
hm2 5 cm Espessura da mesa. hm3 7.5 cm Espessura da mesa. hm4 5 cm Altura da mesa.
ba2 10 cm Largura da alma. ba3 10 cm Largura da alma. ba4 5 cm Largura da alma.
ha2 50 cm Altura da alma. ha3 15 cm Altura da alma. ha4 15 cm Altura da alma.
Parâmetros relativos à flambagem:
A peça está contida com relação à rotação em torno de um eixo?
Pcre 1 1 - Livre, 2 - Eixo x Contido, 3 Eixo y Contido e 4 - Ambos os eixos contidos
Lx 3 m Comprimento destravado, em relação ao eixo x.
Ly 3 m Comprimento destravado em relação ao eixo y.
Kx 1 Parâmetro de flambagem, eixo x.
Ky 1 Parâmetros de flambagem, eixo y.
Parâmetros relativos aos esforços:
Ng 0 KN Esforço normal característico devido à carga permanente.
Na 0 KN Esforço normal característico devido à carga acidental.
Nv 0 kN Esforço normal característico devido à carga de vento.
Ngd 0 kN Esforço normal de dimensionamento devido à carga permanente.
Nd 200 kN Esforço normal de dimensionamento.
Mdx 0 kN.m Momento solicitante de dimensionamento em relação ao eixo x.
Mdy 0 kN.m Momento solicitante de dimensionamento em relação ao eixo y.
Mdgx 0 kN.m Momento solicitante de dimensionamento, devido à carga permanente, em relação ao eixo x.
Mdgy 0 kN.m Momento solicitante de dimensionamento, devido à carga permanente, em relação ao eixo y.
Vdy 20 kN Cortante solicitante de dimensionamento na direção do eixo y, plano de maior inércia.
Vdx 10 kN Cortante solicitante de dimensionamento na direção do eixo x, plano de menor inércia.
Oculto
B) Cálculos:
B.1) Cálculos Preliminares:
Ec.ef 0.1 Ec.ef 852.6 kN/cm² Módulo de elasticidade efetivo paralelo às fibras.
fcd 0.1 fcd 1.15 kN/cm² Resistência à compressão paralela as fibras de dimensionamento.
fvd 0.1 fvd 0.15 kN/cm² Resistência ao cisalhamento de dimensionamento.
ψ1a 0.3 Fator de utilização aplicável à carga acidental para combinação freqüente.
ψ2a 0.2 Fator de utilização aplicável à carga acidental para combinação quase permanente.
ψ1v 0.2 Fator de utilização aplicável à carga de vento para combinação freqüente.
ψ2v 0 Fator de utilização aplicável à carga de vento para combinação quase permanente.
B.2) Cálculos das Propriedades da Seção Transversal:
A n1 b1 h1 Tpc 1=if
bm2 hm2 ba2 ha2 Tpc 2=if
2 bm3 hm3 ba3 ha3 Tpc 3=if
2 bm4 hm4 2 ba4 ha4 otherwise
300 cm² Área da seção transversal.
ycg if Tpc 2=
bm2 hm2 0.5 hm2 ba2 ha2 hm2 0.5 ha2 
bm2 hm2 ba2 ha2
 "---"






"---" cm Distância do bordo superior ao centro de
gravidade da seção.
Ix
n1 b1 h1
3

12
Tpc 1=if
bm2 hm2
3

12
bm2 hm2 ycg 0.5 hm2 2
ba2 ha2
3

12
 ba2 ha2 hm2 0.5 ha2 ycg 2 Tpc 2=if
bm3 2 hm3 ha3 3
12
bm3 ba3  ha3
3

12
 Tpc 3=if
bm4 2 hm4 ha4 3
12
bm4 2 ba4  ha4
3

12
 otherwise

Ix 18125 cm4 Momento de inércia em x da peça composta.
Iy h1
n1 b1 3
12
 Tpc 1=if
hm2 bm2
3

12
ha2 ba2
3

12
 Tpc 2=if
2
hm3 bm3
3

12

ha3 ba3
3

12
 Tpc 3=if
2 hm4 ha4  bm4
3

12
ha4 bm4 2 ba4 3
12
 otherwise
6875 cm4 Momento de inércia em y da peça
composta.
Ixef if n1 2= 0.85 Ix 0.7 Ix  Tpc 1=if
0.95 Ix Tpc 2=if
0.85 Ix otherwise
15406.25 cm4 Momento de inércia efetivo em torno do eixo x da peça
composta.
Iyef if n1 2= 0.85 Iy 0.7 Iy  Tpc 1=if
0.95 Iy Tpc 2=if
0.85 Iy otherwise
5843.75 cm4 Momento de inércia efetivo em torno do eixo y da peça
composta.
ix
Ixef
A
7.17 cm Raio de giração em x.
iy
Iyef
A
4.41 cm Raio de giração em y.
dx 0.5 h1 Tpc 1=if
max ycg hm2 ha2 ycg  Tpc 2=if
hm3 0.5 ha3 Tpc 3=if
hm4 0.5 ha4 otherwise
12.5 cm Maior distância entre o centro de gravidade e o bordo da seção,
em relação ao eixo x.
dy 0.5 n1 b1 Tpc 1=if
0.5 bm2 Tpc 2=if
0.5 bm3 Tpc 3=if
0.5 bm4 otherwise
7.5 cm Distância entre o centro de gravidade e o bordo da seção, em relação ao eixo y.
Wx
Ixef
dx
1232.5 cm³ Módulo de resistência à flexão efetivo em torno do eixo x da peça composta.
Wy
Iyef
dy
779.17 cm³ Módulo de resistência à flexão efetivo em torno do eixo y da peça composta.
B.3) Avaliação da Esbeltez:
O comprimento de flambagem calculado abaixo foi definido de modo que se há contenção lateral em relação a um determindao eixo
o comprimento de flambagem retornará um comprimento tal que a peça seja classificada como curta.
Lf.x if Pcre 2= Pcre 4= 39 ix 100 Kx Lx  300 cm Comprimento de flambagem em relação ao eixo x.
Lf.y if Pcre 3= Pcre 4= 39 iy 100 Ky Ly  300 cm Comprimento de flambagem em relação ao eixo y.
λx
Lf.x
ix
41.86 Índice de esbeltez, em relação ao eixo x.
λy
Lf.y
iy
67.97 Índice de esbeltez, em relação ao eixo y.
Obs1 "Coluna Curta." λx 40if
"Coluna Medianamente Esbelta." 40 λx 80if
"Coluna Esbelta." 80 λx 140if
"Limite de esbeltez máximo violado. Prover pontos de conteção lateral em relação ao eixo x." otherwise

Obs1 "Coluna Medianamente Esbelta."
Obs2 "Coluna Curta." λy 40if
"Coluna Medianamente Esbelta." 40 λy 80if
"Coluna Esbelta." 80 λy 140if
"Limite de esbeltez máximo violado. Prover pontos de conteção lateral em relação ao eixo y." otherwise

Obs2 "Coluna Medianamente Esbelta."
B.4) Cálculo das Cargas Críticas:
Ncr.x
π
2
Ec.ef Ixef
Lf.x
2
1440.45 kN Carga crítica normal em relação ao eixo x.
Ncr.y
π
2
Ec.ef Iyef
Lf.y
2
546.38 kN Carga crítica normal em relação ao eixo y.
Ng2 Ng min ψ1a ψ2a 1  Na min ψ1v ψ2v 1  Nv 0 kN Carga normal permanente para efeito de cálculo da
excentricidade complementar de fluência.
B.5) Cálculo dos Momentos e Tensões:
B.5.1) Cálculo das Excentricidades Inicial, Acidental e de Fluência:
eix 100
Mdx
Nd
 0 cm Excentricidade inicial em relação ao eixo x.
eiy 100
Mdy
Nd
 0 cm Excentricidade inicial em relação ao eixo y.
eigx 100
Mdgx
Ngd
 0 cm Excentricidade inicial devido à carga permanente, em relação ao eixo x.
eigy 100
Mdgy
Ngd
 0 cm Excentricidade inicial devido à carga permanente, em relação ao eixo y.
eax
Lf.x
300
1 cm Excentricidade acidental em relação ao eixo x.
eay
Lf.y
300
1 cm Excentricidade acidental em relação ao eixo y.
ecx eaax max eax
h1
30







 Tpc 1=if
eaax max eax
hm2 ha2
30







 Tpc 2=if
eaax max eax
2 hm3 ha3
30







 Tpc3=if
eaax max eax
ha4 2 hm4
30







 otherwise
eigx eaax  e
ϕ Ng2
Ncr.x Ng2
1







return
 ecx 0 cm Excentricidade complementar de fluência em
relação ao eixo x.
ecy eaay max
Lf.y
300
n1 b1
30







 Tpc 1=if
eaay max
Lf.y
300
bm2
30







 Tpc 2=if
eaay max
Lf.y
300
bm3
30







 Tpc 3=if
eaay max
Lf.y
300
bm4
30







 otherwise
eigy eaay  e
ϕ Ng2
Ncr.y Ng2
1







return
 ecy 0 cm Excentricidade complementar de fluência em
relação ao eixo y.
B.5.2) Cálculo dos Momentos Para Verificação da Estabilidade:
Mxdt 100 Mdx λx 40if
Nd eax eix 
Ncr.x
Ncr.x Nd
 40 λx 80if
Nd eax eix ecx 
Ncr.x
Ncr.x Nd
 80 λx 140if
"Não aplicável." otherwise
232.25 kN.cm Momento de dimensionamento em relação
ao eixo x, que considera a excentricidade
inicial, acidental e de fluência, para a
verificação da estabilidade.
Mydt 100 Mdy λy 40if
Nd eay eiy 
Ncr.y
Ncr.y Nd
 40 λy 80if
Nd eay eiy ecy 
Ncr.y
Ncr.y Nd
 80 λy 140if
"Não aplicável." otherwise
315.48 kN.cm Momento de dimensionamento em relação
ao eixo y, que considera a excentricidade
inicial, acidental e de fluência, para a
verificação da estabilidade.
B.5.3) Cálculo das Tensões:
σNd
Nd
A
0.67 kN/cm² Tensão normal de dimensionamento.
B.5.3.1) Cálculo das Tensões Para a Verificação da Resistência:
σMdx 100
Mdx
Wx
 0 kN/cm² Tensão devido ao momento fletor em relação ao eixo x.
σMdy 100
Mdy
Wy
 0 kN/cm² Tensão devido ao momento fletor em relação ao eixo y.
B.5.3.2) Cálculo das Tensões Para a Verificação da Estabilidade:
σMxdt
Mxdt
Wx
0.19 kN/cm² Tensão devido ao momento fletor em relação ao eixo x.
σMydt
Mydt
Wy
0.4 kN/cm² Tensão devido ao momento fletor em relação ao eixo y.
B.6) Verificação da Estabilidade e da Resistência à Flexo-Compressão:
B.6.1) Verificação da Resistência:
kM if Tpc 1= Tpc 4= 0.5 1  0.5 Coeficiente a ser aplicado nas equações de interação.
Razão if Mdx 0= Mdy 0=
σNd
fcd

σNd
fcd






2
max
σMdx
fcd
kM
σMdy
fcd
 kM
σMdx
fcd

σMdy
fcd
















0.58 Verificação da resistência.
Obs3 if Razão 1 "Ok. Passou a verificação da resistência." "Não Ok. Redimensionar."( )
Obs3 "Ok. Passou a verificação da resistência."
B.6.2) Verificação da Estabilidade:
As equações para a verificação da estabilidade calculadas abaixo retornam 0 quando a coluna é classificada como curta. Isto
porque quando a coluna é curta não é necessário fazer a verificação da estabilidade.
Razãoxe if λx 40 0
σNd
fcd
σMxdt
fcd







0.75 Verificação da estabilidade em torno do eixo x.
Razãoye if λy 40 0
σNd
fcd
σMydt
fcd







0.94 Verificação da estabilidade em torno do eixo y.
Obs4 "Ok. Passou a verificação da estabilidade." Razãoxe 1 Razãoye 1if
"Não Ok. Redimensionar flexão em torno do eixo x." Razãoxe 1if
"Não Ok. Redimensionar flexão em torno do eixo y." otherwise
otherwise

Obs4 "Ok. Passou a verificação da estabilidade."
B.7) Verificação da Estabilidade ao Cisalhamento:
τyd
3
2
Vdy
A
 0.1 kN/cm² Tensão cisalhante de dimensionamento na direção do eixo y, plano de maior inércia.
τxd
3
2
Vdx
A
 0.05 kN/cm² Tensão cisalhante de dimensionamento na direção do eixo x, plano de menor inércia.
τd τyd
2
τxd
2
 0.11 kN/cm² Tensões cisalhantes combinadas.
Razãov
τd
fvd
0.76 Razão de tensão para cisalhamento combinado.
Obs5 if Razãov 1 "Ok." "Não Ok, aumentar as dimensões da seção." 
Obs5 "Ok."
B.8) Verificação do Fluxo de Cisalhamento nas Interfaces:
B.8.1) Devido à Flambagem em Torno do Eixo x:
evx eax eix λx 40if
eax eix 40 λx 80if
eax eix ecx 80 λx 140if
"Não aplicável." otherwise
1 cm Excentricidade a ser aplicada no cálculo do esforço cortante máximo de
apoio, relativo à flambagem em torno do eixo x. 
Vx if Tpc 1= 0 evx
π
Lf.x

Ncr.x
Ncr.x Nd
 Nd






2.43 kN Esforço cortante máximo de apoio, relativo à flambagem em torno
do eixo x. 
ϕdx 0 Tpc 1=if
Vx
Ixef
bm2 hm2 ycg 0.5 hm2 Tpc 2=if
Vx
Ixef
bm3 hm3 0.5 hm3 ha3  Tpc 3=if
Vx
Ixef
0.5 bm4 hm4 0.5 hm4 ha4   otherwise
0.059 kN/cm Fluxo de cisalhamento na interface das peças,
relativo à flambagem em torno do eixo x.
B.8.2) Devido à Flambagem em Torno do Eixo y:
evy eay eiy λy 40if
eay eiy 40 λy 80if
eay eiy ecy 80 λy 140if
"Não aplicável." otherwise
1 cm Excentricidade a ser aplicada no cálculo do esforço cortante máximo de
apoio, relativo à flambagem em torno do eixo y. 
Vy if Tpc 2= Tpc 3= 0 evy
π
Lf.y

Ncr.y
Ncr.y Nd
 Nd






3.3 kN Esforço cortante máximo de apoio, relativo à
flambagem em torno do eixo y. 
ϕdy
Vy
Iyef
h1 b1
2
 if n1 2= 0.5 1.5  Tpc 1=if
0 Tpc 2=if
0 Tpc 3=if
Vy
Iyef
0.5 ha4 ba4 0.5 bm4 ba4   otherwise
0.11 kN/cm Fluxo de cisalhamento na interface das
peças, relativo à flambagem em torno do
eixo y.
B.8.3) Combinação Vetorial do Fluxo de Cisalhamento:
ϕdr ϕdx
2
ϕdy
2
 0.12 kN/cm Fluxo de cisalhamento combinado na interface das peças.
A partir deste ponto deve-se dividir a resistência da ligação utilizando (1, 2 ou 3) elemento de pino em linha pelo fluxo de
cisalhamento combinado e assim obter o espaçamento necessário para os elementos de pino.
Oculto