Exercicios (1001)-mesclado-188

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EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
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50 m100 m
Equações trigonométricas
Várias situações do cotidiano envolvem questões sobre distâncias e 
ângulos. Alguns desses problemas necessitam da resolução de equações 
trigonométricas, como ilustra a situação a seguir.
Um engenheiro projetou uma rampa reta e plana, com 100 m de 
comprimento, que vai unir dois patamares horizontais entre os quais há 
um desnível vertical de 50 m. Iniciada a construção a partir do patamar 
inferior, determine a inclinação da rampa, ou seja, a medida do ângulo 
agudo que deve ser mantida constante, entre o plano da rampa e o plano 
horizontal, para que a construção termine exatamente no nível do pata-
mar superior.
Esquematizando essa situação, temos:
Pelo triângulo formado, temos:
 Resolução de uma equação 
trigonométrica imediata
Resolver,	em	um	universo	U, uma equação do tipo sen x 5 k (ou cos x 5 k
ou tg x 5 k), sendo k uma constante real, significa obter o conjunto so-
lução S formado por todos os valores pertencentes a U que, atribuídos 
à	variável	x, tornam verdadeira a sentença sen x 5 k (ou cos x 5 k ou 
tg x 5 k).
Resolveremos esse tipo de equação pelo método gráfico e, para isso, 
vamos aplicar alguns tópicos já vistos neste capítulo, como a tabela trigo-
nométrica dos arcos notáveis e as simetrias de pontos na circunferência 
trigonométrica.
 Objetivo
 Resolver equações 
trigonométricas. 
Seção 13.5
sen a 5 
50
 ____ 
100
 ]
] sen a 5 
1
 __ 
2
 
Como a é a medida de um ângulo agudo, concluímos que a 5 30w.
Note que, ao determinar o valor de a, obtivemos uma solução da equa-
ção sen a 5 
1
 __ 
2
 .
Equações do tipo sen x 5 k, cos x 5 k ou tg x 5 k, sendo k uma constante 
real, são chamadas de equações trigonométricas imediatas.
476
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CAP 13.indb 476 06.08.10 09:24:32
23 Resolver a equação sen x 5 1 __ 
2
 para 0uma equação trigonométrica na forma fatorada
Certas equações podem ser representadas como um produto de duas ou mais expressões 
igualado a zero. Essa representação é chamada de forma fatorada da equação. Por exemplo, a 
equação 2 3 sen x 3 cos x 2 sen x 5 0 pode ser representada na forma fatorada, pondo em evi-
dência o fator comum aos termos do primeiro membro: 
sen x (2 cos x 2 1) 5 0
Para resolver equações como essa, usamos a propriedade do produto nulo, que garante que 
o produto de números reais é igual a zero se, e somente se, pelo menos um dos fatores for igual 
a zero, ou seja, ab 5 0 [ a 5 0 ou b 5 0. Veja os exercícios resolvidos a seguir.
67 Um túnel de 300 m de comprimento será construído 
em linha reta, unindo dois pontos, A e B, da base de 
uma montanha. Uma equipe de trabalhadores fará a 
perfuração a partir de A, e outra equipe a partir de B. 
Para determinar a direção das perfurações, para que 
os dois trechos cavados se encontrem, um engenheiro 
fixou um ponto C no terreno próximo à montanha, de 
modo que o ângulo ACB fosse reto e AC 5 150 m.
 Qual deve ser a medida do ângulo que a direção dos 
dois trechos da perfuração deve formar com o lado 
AC do triângulo ABC para que não haja desencontro 
desses trechos?
65 A soma das raízes da equação cos x 1 sen @ s __ 
2
 2 x # 5 21, com 0