Exercicios (1001)-mesclado-231

Prévia do material em texto

Moderna PLUS MATEMÁTICA
50PAIVA
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
MANOEL 
PAIVA
1
Definição
O máximo divisor comum entre os números inteiros a1, a2, a3, ..., an, não todos 
nulos, que indicamos por mdc(a1, a2, a3, ..., an), é o maior divisor que esses números 
têm em comum.
Exemplos
a) Para calcular o mdc(12, 18, 14), podemos, inicialmente, determinar o conjunto 
D(12), dos divisores de 12; o conjunto D(18), dos divisores de 18; e o conjunto 
D(14), dos divisores de 14:
 D(12) 5 { 1, 21, 2, 22, 3, 23, 4, 24, 6, 26, 12, 212}
 D(18) 5 { 1, 21, 2, 22, 3, 23, 6, 26, 9, 29, 12, 212}
 D(14) 5 { 1, 21, 2, 22, 7, 27, 14, 214}
 Em seguida, determinamos o conjunto dos divisores comuns a 12, 18 e 14: 
 D(12) ) D(18) ) D(14) 5 {1, 21, 2, 22}
 Finalmente, como o maior número desse conjunto é 2, temos: mdc(12, 18, 14) 5 2
b) Para calcular o mdc(8, 9), inicialmente determinamos o conjunto D(8), dos 
divisores de 8, e o conjunto D(9), dos divisores de 9:
 D(8) 5 {1, 21, 2, 22, 4, 24, 8, 28} e D(9) 5 {1, 21, 3, 23, 9, 29}
 O conjunto dos divisores comuns a 8 e 9 é:
 D(8) ) D(9) 5 {1, 21}
 Como o maior número desse conjunto é 1, temos:
 mdc(8, 9) 5 1
O mínimo múltiplo comum entre os números inteiros não nulos a1, a2, a3, ..., an, 
que indicamos por mmc(a1, a2, a3, ..., an), é o menor múltiplo positivo que esses 
números têm em comum.
Exemplo
Para calcular o mmc(6, 4, 8), podemos, inicialmente, determinar o conjunto M(6), 
dos múltiplos de 6; o conjunto M(4), dos múltiplos de 4; e o conjunto M(8), dos 
múltiplos de 8:
• M(4) 5 {0, 4, 24, 8, 28, 12, 212, 16, 216, 20, 220, 24, 224, 32, 232, ...} 
• M(6) 5 {0, 6, 26, 12, 212, 18, 218, 24, 224, 30, 230, 36, 236, ...}
• M(8) 5 {0, 8, 28, 16, 216, 24, 224, 32, 232, 40, 240, ...}
Em seguida, determinamos o conjunto dos múltiplos comuns a 4, 6 e 8: 
M(4) ) M(6) ) M(8) 5 {0, 24, 224, 48, 248, ...}.
Finalmente, como o menor número positivo desse conjunto é 24, temos:
mmc(4, 6, 8) 5 24
Nota:
Se pelo menos um dos números inteiros a1, a2, a3, ..., an é igual a zero, definimos: 
mmc(a1, a2, a3, ..., an) 5 0
Definição
Definição
Dois ou mais números inteiros são primos entre si se, e somente se, o máximo 
divisor comum entre eles é o número 1.
Moderna PLUS MATEMÁTICA
51PAIVA
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
MANOEL 
PAIVA
1
Exemplos
a) Os números 8 e 9 são primos entre si, pois: 
 mdc(8, 9) 5 1
b) Os números 24, 7 e 12 são primos entre si, pois: 
 mdc(24, 7, 12) 5 1
c) Os números 6 e 8 não são primos entre si, pois: 
 mdc(6, 8) 5 2
Exemplo
Considerando os números inteiros 8 e 212, temos que mdc(8, 212) 5 4 e 
mmc(8, 212) 5 24. Observe que O8 3 (212)O 5 4 3 24
Propriedades dos múltiplos e divisores
P.1 Se a e b são números inteiros, não ambos nulos, existem números inteiros m 
e n tais que ma 1 nb 5 mdc(a, b).
P.2 Seja {a, b, c } - b. Se a é divisor de b e a é divisor de c, então a é divisor da 
soma b 1 c.
P.3 Seja {a, b, c } - b. Se a e b são números primos entre si e a é divisor de bc, 
então a é divisor de c.
P.4 Seja {p, q, n} - b, com n . 0. Se p e q são primos entre si, então p e qn são 
primos entre si.
P.5 Seja {p, a, b} - b. Se p é um número primo e p é divisor do produto ab, então 
p é divisor de a ou p é divisor de b.
P.6 O módulo do produto de dois números inteiros a e b é igual ao produto do 
mdc pelo mmc entre eles, isto é: 
OadO 5 mdc(a, b) 3 mmc(a, b) 
Exemplos
a) 6 e 8 são números inteiros e mdc(6, 8) 5 2; logo, existem números inteiros m e 
n tais que m 3 6 1 n 3 8 = 2. Por exemplo: m 5 21 e n 5 1, ou m 5 25 e n 5 4.
b) 4 e 9 são inteiros e mdc(4, 5) 5 1; logo, existem números inteiros m e n tais que 
m 3 4 1 n 3 9 5 1. Por exemplo: m 5 22 e n 5 1, ou m 5 211 e n 5 5.
c) 215 e 10 são inteiros e mdc(215, 10) 5 5; logo, existem números inteiros m e 
n tais que m 3 (215) 1 n 3 10 5 5. Por exemplo: m 5 1 e n 5 2. 
Exemplo
6 é divisor de 12 e 6 é divisor de 18; então, 6 é divisor da soma 12 1 18.
Exemplo
4 e 9 são números primos entre si. Se 4 é divisor de 9 3 c, então 4 é divisor de c.
Exemplo
9 e 2 são primos entre si, então 9 e 24 são primos entre si.
Exemplo
7 é um número primo. Se 7 é divisor do produto ab de números inteiros, então 7 é 
divisor de a ou 7 é divisor de b.
Moderna PLUS MATEMÁTICA
52PAIVA
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
MANOEL 
PAIVA
1
Exercícios resolvidos
30 Provar que todo número inteiro n de três algaris-
mos iguais é múltiplo de 37.
Resolução
Seja n um número inteiro positivo cujos algaris-
mos das unidades, das dezenas e das centenas é 
x, isto é, o número é da forma: 
centenas dezenas unidades
x x x
Temos:
n 5 100x 1 10x 1 x 5 111x
Como 111 é múltiplo de 37, pois 111 5 37 3 3, concluí-
mos que 111x, que é o número n, é múltiplo de 37.
Observe que essa conclusão vale também para os 
números negativos, pois, se 111x é múltiplo de 37, 
o número 2111x também é múltiplo de 37.
31 Sendo {a, b, c} - b, provar que: Se a é divisor de b 
e a é divisor de c, então a é divisor da soma b 1 c.
Resolução
Se a é divisor de b e a é divisor de c, então existem 
inteiros m e n tais que b 5 ma e c 5 na. Adicio-
nando, membro a membro, essas duas últimas 
igualdades, obtemos b 1 c 5 ma 1 na, ou seja, 
b 1 c 5 (m 1 n)a; como m 1 n é inteiro, temos que 
a é divisor de b 1 c.
32 Provar que existem infinitos números primos.
Resolução
Vamos supor que seja finito o conjunto de núme-
ros primos positivos, isto é, que exista o maior 
número primo positivo p.
Nessa suposição, consideremos o número inteiro 
a que tenha uma unidade a mais que o produto 
de todos os números primos positivos e distintos 
que existem, isto é:
a 5 (2 3 3 3 5 3 7 3 ... 3 p) 1 1
Como a é maior que p, e este é o maior primo 
que existe, temos que a não é primo. Portanto, a 
é um número composto, isto é, a é um produto 
de números primos. Porém, a não é múltiplo de 
nenhum dos primos que existem, pois, se o fosse, 
qualquer primo k deveria ser divisor de a 2 1. 
Ora, sendo k um divisor de a, deveria ser também 
divisor de 1, mas isso é falso, pois não há número 
primo que seja divisor de 1. 
Observe, portanto, que ao admitir a existência do 
maior número primo positivo chegamos a uma 
contradição. Logo, não existe o maior número 
primo, e, portanto, existem infinitos números 
primos positivos. 
(Nota: Para cada número inteiro primo positivo 
existe seu oposto, que também é primo. Logo, 
existem infinitos números inteiros primos posi-
tivos e infinitos negativos.)
33 Provar que um número inteiro positivo a é primo 
se não é divisível por nenhum dos números pri-
mos positivos cujos quadrados não o excedem.
Resolução
Nessa demonstração, admitiremos apenas núme-
ros inteiros positivos e utilizaremos o seguinte 
fato: se k é um múltiplo de r, isto é, k 5 rs, temos 
as equivalências: 
I) r 2 , k [ s . r 
e 
II) r 2 . k [ s , r
Vamos admitir que um número inteiro positivo 
N não seja divisível por nenhum dos números 
primos cujos quadrados não o excedem. Seja a o 
maior número primo nessas condições.
Se N é divisível por algum número primo b, com 
b . a, o quociente q dessa divisão, que também é 
divisor de N, é menor que b (pois b2 . N). 
Resumindo, N 5 bq e b2 . N ] q , b, o que nos leva 
a concluir que q 5 1, pois:
• Se q fosse primo, q seria um divisor primo de 
N, com q , b, o que contraria a suposição de 
que N não é divisível por nenhum número pri-
mo menor que b. 
• Se q fosse composto, teria fatores primos me-
nores que ele e, portanto, menores que b (pois 
q , b), o que contraria a suposição de que N 
não é divisível por nenhum número primo 
menor que b. 
Assim, constatamos que q 5 1 e, portanto, 
N 5 b 3 1. Como b é primo, concluímos que N é 
primo.
34 Usando o critério demonstrado no exercício an-
terior, mostrar que o número 127 é primo.
Resolução
Consideremos os números primos positivos cujos 
quadrados não excedam 127; esses números 
são: 2, 3, 5, 7 e 11. (Não é preciso considerar os 
negativos.)
Dividindo 127 por cada um desses números pri-
mos, constatamos que nenhuma das divisõesé 
exata; logo, 127 é primo.
35 Sendo {a, b, c } - b, provar que, se a e b são nú-
meros primos entre si e a é divisor de bc, então a 
é divisor de c.
Resolução
Pela propriedade P.1, dos múltiplos e divisores, 
temos que existem números inteiros m e n tais que 
ma 1 nb 5 mdc(a, b), ou seja, ma 1 nb 5 1. Multi-
plicamos por c ambos os membros dessa última 
igualdade, obtendo: mac 1 nbc 5 c.
Como a é divisor de a e, por hipótese, também é di-
visor de bc, temos que a é divisor de mac e também 
de nbc; pela propriedade P.2, temos que a é divisor 
de mac 1 nbc; como mac 1 nbc 5 c, concluímos que 
a é divisor de c.
36 Provar que, se o número n dll a , com n 9 bR e a 9 b, 
não é inteiro, então é irracional.
Resolução
Observando que n dll a 5 x ] xn 5 a ou, ainda, 
 n dll a 5 x ] xn 2 a 5 0 (I), provaremos que, se p e q 
são números primos entre si e 
p
 __ q é raiz da equação 
(I), então p é divisor de a e q 5 ±1.
Se 
p
 __ q é raiz da equação (I), então @ p __ q # 
n
 2 a 5 0 ou, 
ainda, 
pn
 __ 
qn
 5 a e, portanto: pn 5 aqn (II)
Moderna PLUS MATEMÁTICA
53PAIVA
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
MANOEL 
PAIVA
1
A equação (II) pode ser representada por: 
p 3 pn 2 1 5 a 3 qn; logo, p é divisor de a 3 qn; mas p e 
q são primos entre si, portanto p e qn também são 
primos entre si; então, p é divisor de a.
Analogamente, a equação (II) pode ser represen-
tada por: pn 5 a 3 qn 2 1 3 q; logo, q é divisor de pn; 
mas q e pn são primos entre si, portanto q 5 ±1.
Resumindo, provamos que, se a equação xn 5 a 
tem raiz racional, ela é inteira; logo, se a raiz real 
dessa equação não é inteira, ela é irracional.
Observando que xn 2 a 5 0 ]
] @ x 5 n dll a , se n é ímpar # ou @ x 5 ± n dll a , se n é par # ,
concluímos que n dll a ou é um número inteiro ou é 
um número irracional.
Por exemplo, são irracionais os números dll 2 , 3 dll 5 
e 7 dll 3 , pois nenhum deles é inteiro.
37 Um número inteiro a dividido por 7 deixa resto 4 
e dividido por 3 deixa resto 2. Determinar o resto 
da divisão do número a pelo produto 7 3 3.
Resolução 
Indicamos por q1 e q2, respectivamente, os quo-
cientes das divisões de a por 7 e por 5; e indicamos 
por q e r, respectivamente, o quociente e o resto 
da divisão de a pelo produto 21:
a 7
4 q1 
a 3
2 q2 
a 21
r q
Pelo algoritmo da divisão, temos:
a 5 7q1 1 4 (I)
a 5 3q2 1 2 (II)
a 5 21q 1 r, com 0