Aula 6 e 7

Prévia do material em texto

Centro Universitário UniRitter
Disciplina de Matemática Fundamental
Profª Laurise Martha Pugues – laurisepugues@ibest.com.br
 
Objetivo: Estudar a potenciação, suas propriedades e aplicações no cálculo, bem como entender o conceito de raiz quadrada.
Potenciação
Potência de um número racional
	Giovanni e Giovanni Jr. (2010) apresentam o seguinte exemplo: “Para determinar a quantidade de casas de um tabuleiro, pode-se multiplicar o número de linhas (8) pelo número de colunas, ou seja, 8 x 8.”
Esta multiplicação, ou seja, o produto de fatores iguais chama-se POTÊNCIA. Pode ser escrito da seguinte forma 8² (forma abreviada) (GIOVANNI E GIOVANNI JR., 2010). A leitura é feita da seguinte forma: 
O quadrado de oito OU oito elevado à segunda potência.
A palavra quadrado é associada à figura geométrica.
Outro exemplo é apresentado por Giovanni e Giovanni Jr. (2010):
Quantos cubinhos formam o cubo mágico? Perceba que em cada camada do cubo (a de cima, por exemplo), temos (3x3) cubos menores. Como são três as camadas, há 3x(3X3) cubinhos no cubo mágico.
Observa-se que a multiplicação 3x3x3 é uma POTÊNCIA. Pode ser escrito da seguinte forma 3³ (forma abreviada) (GIOVANNI E GIOVANNI JR., 2010). A leitura é feita da seguinte forma: 
O cubo de três OU três elevado à terceira potência.
A palavra cubo é associada à figura geométrica.
Um número racional a e um número natural n, com n > 1, a expressão an chama-se potência e representa a multiplicação de n fatores iguais ao número a, da seguinte forma:
 = a x a x a x...x a
 
 fatores
Daí, temos:
 = 2 x 2 x 2 x 2 x2 = 32 (5 fatores)		 ou = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
 = . . = 1/125 (3 fatores)
 = 0,6 x 0,6 = 0,36 (2 fatores)
 (-10)4 = (-10) x (-10) x (-10) x (-10) = + 10.000 (4 fatores)
 =(-2/3) x (-2/3) = + 4/9 (2 fatores)
(-0,7)3 = (-0,7) x (-0,7) x (-0,7) = - 0,343 (3 fatores)
	
Casos especiais:
 = 7		 = - 2/3		 = 2,3		 = -8
Um número racional a, define-se = a
 = 1		 = 1		 = 1		 = 1
Um número racional a, com a ≠ 0, define-se = 1
Nomenclatura:
 expoente
 = 32	 	 resultado da potência
 Base 
Em cada item está escrita uma multiplicação. Escreva-as na forma de potência:
5 . 5 . 5 . 5 =
(-10) . (-10) . (-10) . (-10) . (-10) =
(-0,7) . (-0,7) . (-0,7) =
 . . . . =
Qual é o valor de:
9² =
(+1,6)² =
=
=
 =
Propriedades da potenciação
Multiplicando potências de mesma base
Exemplo: (Giovanni e Giovanni Jr. , 2010)
 = 2 . 2 . 2 = 8
 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
 . = 8 . 32 = 256
 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256
Então:
 . = ou 
Um produto de potências de mesma base pode ser escrito em forma de uma única potência. Para isso, conservamos a base e adicionamos os expoentes.
Assim: . = , com a ≠ 0
Exemplo: . . (7) = = 
Dividindo potências de mesma base
Exemplo: (Giovanni e Giovanni Jr. , 2010)
 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128
 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16
 : = 128 . 16 = 8
 = 2 . 2 . 2 = 8
Então:
 : = ou 
Uma divisão de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência. Para isso, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
Assim: : = , com a ≠ 0
Exemplo: (10)9 : (10)7 = (10)9-7 = (10)2
Potência de uma potência
Exemplo: (Giovanni e Giovanni Jr. , 2010)
 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
()² = = 32 . 32
 = 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 1.024
Então:
()² = . = = ou 
Uma potência de uma potência pode ser escrito na forma de uma única potência. Conserva-se a base inicial e multiplicam-se os expoentes. Assim: ()n = , com a ≠ 0
Exemplo:
()5 = = 
Potência de um produto ou de um quociente
 = = 14 . 14 = 196
 . = (2.2) . (7.7) = 4 . 49 = 196
Então:
 = . 
Para elevar um produto de dois ou mais números racionais a um expoente, é possível elevar cada fator a esse expoente. Assim: = 
Exercício:
Usando as propriedades das potências de mesma base, reduza a uma só potência cada uma das expressões a seguir:
610. 613 =
(- 7)5. (-7)4 =
20³. 20 . 2011 =
(-1,7)10: (-1,7)5 =
(59)² =
 . 6 . ³ =
[(- 2,1)4]5 =
(0,5)10 . (0,5)7 . (0,5)4 =
( - 2)21 : ( - 2)18 =
117 : 117 = 
 
Usando as propriedades da potenciação, qual é a forma mais simples de se escrever cada uma das seguintes potências:
(79)4 =
103² =
[(0,6)7]5 =
3) Veja as expressões a seguir:
(7.13)4 = 74. 134
(2 . 5 . 11)² = 2². 5². 11²
(10 – 1)² = 10² - 1²
(8 + 3)³ = 8³ + 3³
(0,3)³. (0,2)³ = (0,3 . 0,2)³
(5 + 2)² ≠ 5² + 2²
Quais dessas expressões são verdadeiras?
Simplificando uma expressão
É possível simplificarmos as expressões da seguinte forma:
Apresentamos a seguir três situações, conforme Giovanni e Giovanni Jr. (2010):
Como calcular o valor da expressão: . . ) :, seguindo as propriedades das potências de mesma base:
. . ) : 
= : 
= 
= 8
Como calcular de forma mais simples a expressão: . . . 3, seguindo as propriedades das potências de mesma base:
. . . 3
= . . . 3
= . . . 3
= . 
Expoente Inteiro Negativo
Exemplo 1:
 : = = 
Considerando que todo quociente pode ser escrito na forma de fração, então:
 : = = 10 .10 . 10 .10 = 1
	 10 .10 . 10 .10. 10 10
Logo:
 = 1 
	10
Para todo número racional a 0, temos = 1 
						a
Exemplo 2:
 : = = 
Considerando que todo quociente pode ser escrito na forma de fração, então:
 : = = 10 .10 . 10 .10 	 = 1
	 10 .10 . 10 .10. 10 . 10 . 10 
Logo:
 = 1 = 
	
Para todo número racional a 0, temos = 1 = 
						
Radiciação
Raiz Quadrada
Conceito: Segundo Andrini (1989) chama-se “raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo quadrado é igual ao número dado.”
Ex.: 
 = 7 porque 7² = 49
 = 10 porque 10² = 100
	É o inverso da potenciação:
									Radical
 Índice 	 2 	 36 = 6 raiz
 
 Radicando
Potência de um número real com expoente fracionário
 n
a) am/n = am 
b) n 
 am = am/n 
Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita na forma de radical, e todo radical pode ser escrito na forma de uma potência com expoente fracionário.
Propriedades da Radiciação
	
1ª Propriedade
	
 	 		 
			7²	 =	 = = 7¹ = 7 
		 3
			10³ = = = 10¹ = 10
 4 1/4		
 = [ = = = x³
2ª Propriedade
Consideremos as expressões e 
 = 10
 = 10
Logo:
 = 
Essa igualdade também pode ser obtida da seguinte forma:
= = 
	 n	
Essa propriedade auxilia na simplificação de um radical do tipo , quando existem um divisor comum para os números m e n. Por exemplo:
 = = ( 2 é o divisor comum de 8 e 2)
 = = ( 3 é o divisor comum de 15 e 9)
 = = = (6 é o divisor comum de 12 e 6)
3ª Propriedade
 = = = 
Então:				 3 . 4 = 12	
 = 
 = = = = 
Então: 			 5 . 2 = 10
 = 
4ª Propriedade
Considerando a expressão: 
 = = . = . 
Então:
 = . 
Considerando a expressão: 
 = = = 
 
Exercício 2 - Radiciação:
Escreva na forma de radical cada uma das seguintes potências:
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
Escreva na forma de potência com expoente fracionário cada um dos seguintes radicais:
 =
 =
 =
 =
 =
ANDRINI, Álvaro. Praticando a matemática. São Paulo: Editora do Brasil. 1989.
GIOVANNI, José Ruy e GIOVANNI JR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2010.