Desenvolvimento dos Conjuntos Numéricos

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História da 
Matemática
História da álgebra, geometria e conjuntos
numéricos
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Como se deu o 
desenvolvimento dos 
conjuntos numéricos?
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Como se deu o 
desenvolvimento 
da álgebra? E da 
geometria?
História da 
Matemática
História da álgebra, geometria e conjuntos
numéricos
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
História dos 
conjuntos numéricos
Desenvolvimento dos conjuntos numéricos
A ordem da construção 
formal dos números é 
bastante distinta da ordem 
da invenção dos mesmos. 
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Desenvolvimento dos conjuntos numéricos
Os números complexos, foram os primeiros a ter uma fundamentação mais
precisa, como par ordenado de números reais, atribuída a Hamilton, em
1833.
Isso não quer dizer 
que não eram 
utilizados antes Gauss utilizou o conceito 
para demonstrar o teorema 
fundamental da álgebra
Resolução de equação do 
3º grau. Fórmula de 
Cardano
Desenvolvimento dos conjuntos numéricos
 Os números reais só foram formalmente construídos em 1872, com 
Dedekind.
Em meados do século XIX, 
algumas questões sobre os 
números reais começaram a 
surgir: como esses números 
se distribuem na reta? Que 
números podem ser 
encontrados no meio do 
caminho?
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Desenvolvimento dos conjuntos numéricos
 A intenção de Dedekind de caracterizar a continuidade da reta o levou à 
proposição dos chamados “cortes de Dedekind”. 
 Os estudos de Dedekind e de Cantor foram essenciais para caracterizar os 
números reais, estabelecendo a impossibilidade de se realizar uma 
correspondência biunívoca entre os elementos do novo 
conjunto dos números reais e os números naturais.
ELIAS, Henrique Rizek. Fundamentos teórico-metodológicos para o ensino do corpo dos números racionais na formação de 
professores de matemática. 2017. 
Desenvolvimento dos conjuntos numéricos
N
úm
er
os
 n
eg
at
iv
os
Até o fim do século XVIII, as quantidades negativas 
não tinham adquirido o status de números
Os matemáticos da época tratavam os números 
negativos com “falsos”
A partir do século XVII, os números negativos 
aparecem naturalmente nos trabalhos científicos
Desenvolvimento dos conjuntos numéricos
N
úm
er
os
 n
eg
at
iv
os O “Tratado de Álgebra", publicado em 1748, tornou-
se uma obra de referência, na Grã-Bretanha, como no 
continente europeu pois abordou o conceito de 
quantidades negativas
Na metade do século XIX, os números negativos 
conquistaram condição de igualdade com os números 
positivos
Desenvolvimento dos conjuntos numéricos
N
úm
er
os
 ir
ra
ci
on
ai
s
Crise da incomensurabilidade
A incomensurabilidade foi descoberta pela geometria 
grega antiga na segunda metade dos anos 400 a.C
Problemas envolvendo diagonais
História da 
Matemática
História da álgebra, geometria e conjuntos
numéricos
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
História da Álgebra
História da Álgebra
Os árabes são responsáveis pelo desenvolvimento de diferentes conceitos 
matemáticos. 
Milagre árabe
Al-Khwārizmī
Casa da Sabedoria
Al-jabr wa’l muqabalah
História da Álgebra
Ál
ge
br
a 
Al-jabr é a origem da palavra Álgebra
al-Khwārizmī é conhecido com o “Pai da Álgebra”
O papiro Rhind, que data de 4.000 a.C já possuía 
registros de manipulações algébricas
História da Álgebra
 Deste à antiguidade até por volta do século XVII, a palavra Álgebra designava 
aquela parte da matemática que se ocupava com o estudo de operações entre 
números e da resolução de equações. 
 A ideia de resolver equações, sobretudo quadráticas, já havia sido estudada 
pelos gregos nos tempos de Euclides. No entanto, as 
soluções eram essencialmente geométricas, o que não as 
tornava simples tampouco fáceis de entender.
História da Álgebra
A 
ob
ra
 A
l-j
ab
r 
Se destaca pela simplicidade dos problemas 
abordados, tornando-se mais acessível
Introduziu brevemente o princípio posicional para o 
sistema de numeração
Propôs resoluções para equações quadráticas
História da Álgebra
Outra influência clara no pensamento árabe é a matemática hindu, sobretudo
de Brahmagupta. Entre suas publicações mais importantes estão as soluções
gerais para algumas equações quadráticas, sem a necessidade de completar
quadrados.
seus trabalhos
deixaram importantes 
lacunas no estudo da 
Álgebra
Foram preenchidas por 
outro indiano, chamado 
Bhaskara
Dedução da fórmula 
resolutiva da equação 
do segundo grau
Como podemos deduzir a 
fórmula resolutiva da 
equação do segundo 
grau?
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Deduzindo a fórmula para resolver equações do segundo grau:
Temos que:
ଶ
1) Multiplicamos ambos os membros da equação por 4a
ଶ
ଶ ଶ
2) Subtraímos 4ac de ambos os membros da equação:
ଶ ଶ
ଶ ଶ
ଶ
3) O primeiro termo da equação tem o quadrado de , mais duas vezes 
vezes , para que tenhamos o quadrado de só falta .
ଶ ଶ ଶ
Somando b² em ambos os membros da equação:
ଶ
ଶ ଶ ଶ
ଶ ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
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Matemática
História da álgebra, geometria e conjuntos
numéricos
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
História da Geometria
História da Geometria
As pirâmides de Gizé
 construída por volta de 2600 a.C.
 Em algumas câmaras, o teto foi revestido de blocos de granito de 54 toneladas, 
medindo 8,2 metros de comprimento por 1,2 metro de largura, trazidos de 
quase mil quilômetros de distância e colocados a 30 metros 
do chão.
 De acordo com estudos recentes, os erros relativos às 
medições de lados e ângulos não superam 1/14.000
História da Geometria
G
eo
m
et
ria
Para Heródoto e Aristóteles a Geometria tinha raízes 
na civilização egípcia 
Heródoto relaciona a origem da Geometria às 
constantes medições de terra ocasionadas pelas 
cheias anuais do Rio Nilo
Aristóteles acreditava que a classe sacerdotal egípcia 
estudava por lazer Matemática e, especialmente, 
Geometria
História da Geometria
 Os registros mais antigos do homem na área da geometria são tábuas de 
argila, descobertas na Mesopotâmia, datadas por volta de 3000 a. C.
 As principais fontes do conhecimento geométrico da civilização egípcia 
antiga são o Papiro de Rhind (1650 a. C.) e Moscou (1850 a. C.).
 Contém problemas geométricos e a maioria envolve 
cálculo de áreas e volumes, especialmente o volume de
grãos. 
História da Geometria
Pa
pi
ro
 d
e 
R
hi
nd
Descoberto por volta de 1850
Também é conhecido como papiro Ahmose
ou papiro Ahmes
Estima-se que contenha 87 problemas e 
suas soluções
https://bit.ly/3SN8usU
História da Geometria
Pa
pi
ro
 d
e 
M
os
co
u É considerado o segundo papiro 
matemático mais importante, data do 
Médio Império
Estima-se que contenha 25 problemas
https://bit.ly/3Wi6Ger
História da Geometria
Alguns problemas tratados nos papiros
 Os egípcios assumem que a área de um círculo é igual à área de um 
quadrado cujo lado tem ଼
ଽ
da medida do diâmetro desse círculo.
 De acordo com o Papiro Rhind, o volume de um cilindro reto é o produto 
da área da base pelo comprimento da altura.
 De acordo com o problema 14 do papiro de Rhind, o volume 
V de um tronco de altura h e bases de lados a e b é dado por
ଶ ଶ
Cálculo da área de um 
círculo
O que a área de um 
quadrado tem a ver com 
a área de um
círculo?
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Considerando que:
Método dos egípcios:
ଶ
ଶ
Utilizando a fórmula da área do círculo:
ଶ
ଶ
O erro seria 3,7 cm², o que 
corresponde a 0,65% do 
valor da medida correta. Por 
isso podemos afirmar que se 
trata de uma ótima 
aproximação, principalmente 
para a época em que eram 
calculadas.
História da 
Matemática
História da álgebra, geometria e conjuntos
numéricos
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Os Elementos de 
Euclides
Os elementos de Euclides
Eu
cl
id
es
 d
e 
Al
ex
an
dr
ia Acredita-se que Euclides vivia em Atenas, onde teria 
estudado com discípulos de Platão
Ele foi escolhido para chefiar o departamento de 
matemática da Universidade de Alexandria
Escreveu e organizou muitos trabalhos importantes, 
como Os dados, Divisão defiguras, Os fenômenos e 
Óptica
Os elementos de Euclides
O
s 
el
em
en
to
s 
Cinco livros sobre geometria plana
Três livros sobre números
Um livro sobre a teoria das proporções
Um livro sobre a incomensurabilidade
Três livros sobre geometria no espaço
Os elementos de Euclides
Livro I
 Encontramos teoremas importantes sobre a congruência de triângulos,
construções com régua e compasso, retas paralelas, entre outros. No final
desse livro encontramos uma demonstração para o Teorema de Pitágoras.
Livro II
 Encontramos demonstrações geométricas para alguns
produtos notáveis.
Os elementos de Euclides
Livro III e IV
 Estudo dos círculos. Contêm também proposições sobre polígonos inscritos 
e circunscritos a uma circunferência.
Livro V
 Expõe a teoria das proposições de Eudoxo.
Livro VI
 Proposições ligadas à semelhança de figuras planas, 
em especial, de triângulos.
Os elementos de Euclides
Livro VII, VIII e IX
 Teoria dos Números, são tratadas questões como Máximo Divisor Comum, 
Mínimo Múltiplo Comum e a noção de Número Primo.
Livro X
 São tratadas as grandezas incomensuráveis, que hoje 
conhecemos como números irracionais.
Os elementos de Euclides
Livro XI, XII e XIII
 Tratam da Geometria Sólida ou, como conhecemos hoje, Espacial. São 
abordados poliedros, cilindros, cones e esferas, assim como as interações 
entre esses sólidos.
Demonstração do 
Teorema de Pitágoras
Como o estudo de 
Euclides está relacionado 
a demonstração do 
teorema de Pitágoras?
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Para demonstrarmos o Teorema de Pitágoras, considere o triângulo ABC e 
as indicações a seguir:
Quando dois triângulos são semelhantes, os lados correspondentes (opostos a 
um mesmo ângulo) são proporcionais. Montando as proporções relativas à 
semelhança do triângulo maior ABC com cada um dos menores, temos
ଶ
ଶ
ଶ ଶ
ଶ ଶ
ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ
História da 
Matemática
História da álgebra, geometria e conjuntos
numéricos
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Recapitulando
Recapitulando
História dos conjuntos 
numéricos
História da álgebra
História da 
geometria
Elementos de 
Euclides