História do ensino da Matemática Moderna

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História do ensino da Matemática Moderna
Prof. Luciano Padilha
Descrição
Criação e transformação dos conceitos da Matemática, fundamentação
histórica da Geometria e livros matemáticos na Idade Moderna.
Propósito
Compreender a utilização de elementos históricos como motivador no
processo de ensino e de aprendizagem da Matemática é fundamental na
formação do profissional da área. O estudo de fatos históricos
possibilita uma maior compreensão do contexto em que ocorreram tais
descobertas. E, a partir daí, uma percepção mais ampla das
possibilidades do ensino da Matemática.
Objetivos
Módulo 1
Matemática na Modernidade: Descartes
Identificar a contribuição de Descartes para a Matemática Moderna.
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Módulo 2
Fundamentos da Geometria: Recuperação
dos gregos
Reconhecer os fundamentos da Geometria por meio de sua
fundamentação histórica.
Módulo 3
Livros matemáticos na Idade Moderna
Identificar as principais obras matemáticas na Idade Moderna.
Introdução
O conhecimento matemático trabalhado nas escolas é fruto de
profundos estudos realizados ao longo de diversos anos, desde o
início da organização da sociedade até o que chamamos de
tempos contemporâneos. O hábito de identificar o
desenvolvimento histórico se configura um amparo para
compreender o significado de diferentes concepções da
Matemática, ideias desenvolvidas que culminaram em um
conjunto de dados, sejam elas de linguagem específica,
comportamental etc., a qual denominamos cultura.
Portanto, a história da Matemática Moderna se apresenta como
uma importante ferramenta de investigação na busca de atender
a esses objetivos. Contemplar fatos construídos ao longo da
história do conhecimento matemático torna possível chegar a
uma melhor compreensão da evolução de um (ou mais)
conceito(s) da Matemática abordado nas escolas e universidades.
Nesse sentido, é importante identificar como a história da
Matemática contribui com as metodologias do ensino da
matemática. Atuando, assim, diretamente na ação pedagógica do

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agente educador, fazendo com que a construção do
conhecimento deixe de partir de suas próprias vivências escolares
e passe a utilizar os conhecimentos inerentes da profissão,
levando em consideração as mudanças ocorridas nos ramos
científico e pedagógicos.
1 - Matemática na Modernidade: Descartes
Ao �m deste módulo, você será capaz de identi�car a contribuição de Descartes para a
Matemática Moderna.
A Matemática Moderna
No século XVII foram reveladas grandes descobertas no campo da
Matemática: John Napier, com os logaritmos; com Galileu Galilei e
Johannes Kepler, ocorreram grandes contribuições para notação e a
codificação da álgebra, com a ciência dinâmica e as leis do movimento
planetário, respectivamente.
Um pouco depois, nasceu um novo campo da Geometria pura com
Girard Desargues e Blaise Pascal. Avançando um pouco mais no tempo,
podemos citar:
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René Descartes e a importância da
Geometria analítica (coordenadas
geométricas).
Pierre de Fermat e o estabelecimento dos
fundamentos da teoria dos números.
Cristian Huygens e suas contribuições
para a teoria das probabilidades.
Aproveitando-se de todas essas descobertas, já no final do século, Isaac
Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz deram enormes contribuições para a
criação do cálculo diferencial e integral. Podemos dizer (ou afirmar) que
o período se configurou pelos importantes avanços na pesquisa
matemática. Os campos Político, Econômico e Social, favoráveis ao
período, facilitaram de alguma forma o compartilhamento das
atividades intelectuais, proporcionando um crescimento das pesquisas
no campo da Matemática.
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Foi no século XVII que ocorreu a Revolução Científica, estimulada pelo
fortalecimento da teoria heliocêntrica de Nicolau Copérnico e pelas obras
de Galileu e Kepler, que mais tarde resultaram na Revolução Industrial.
Outro fato marcante foi a definição de logaritmo como função inversa
da potenciação, apresentada por Napier, em 1614, que representou um
avanço e facilitou os cálculos realizados pelos astrônomos da época.
Curiosidade
Ao final do século XVII, o desenvolvimento do cálculo diferencial e
integral ocorreu de forma quase concomitante por Newton e Leibniz.
Ambos desenvolveram a base do cálculo diferencial e integral mesmo
estando em locais distintos e separados por uma longa distância.
Com o aproveitamento desses estudos, tem-se o nascimento do que
conhecemos, hoje, como estudo da análise matemática. Mesmo não
sendo pertencente ao estudo da Geometria, ajudou a resolver problemas
de encontrar retas tangentes a curvas estranhas e cálculo de áreas
limitadas por essas curvas, uma revolução no estudo da Matemática da
época.
No ano 1637, em sua obra Discurso sobre o Método, René Descartes
apresentou os fundamentos da Geometria analítica, por meio do
formalismo, que permitiu a localização de pontos do plano utilizando um
sistema de coordenadas. Abriu então possiblidades para o cálculo de
distâncias entre dois pontos utilizando o teorema de Pitágoras, portanto,
utilizando-se de processos algébricos para cálculos geométricos.
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Primeira edição do Discurso sobre o método, 1637.
As diversas conquistas científicas ocorridas no século XVII
impulsionaram o século XVIII, acarretando um início com progresso
social e, principalmente, um grandioso movimento de renovação
intelectual (Iluminismo). O movimento do Iluminismo se configurou
como importante movimento cultural e social norteado pela razão e pela
compreensão do universo por parte da humanidade. Seu impacto foi
forte o suficiente para atingir o âmbito político-social (Revolução
Francesa e Revolta das Treze Colônias Inglesas) e econômico-social
(Revolução Industrial).
Durante este período viveram grandes matemáticos, como Laplace e
Lagrange; o matemático e físico d’Alembert e os cientistas Voltaire,
Rousseau e Diderot participaram da edição da Enciclopédia, com enorme
repercussão nas bases culturais levando a um movimento de renovação
que culminaria, em 1789, com a Revolução Francesa.
Falando em Revolução Francesa, Napoleão Bonaparte – que liderou
parte desse processo – levou os cientistas matemáticos Monge e Fourier
para o Egito, onde criou o Instituto do Egito com o objetivo de difundir o
Iluminismo naquela região. Nesta época, os cientistas matemáticos não
estavam vinculados às universidades, e sim a organizações militares e
eclesiásticas.
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Uma introdução ao pensamento
cartesiano
René Descartes (1596-1650) foi um importante filósofo, físico e
matemático francês da Idade Moderna. Hoje, reconhecido como o pai da
Filosofia Moderna.
Aos oito anos de idade, ingressou no colégio Jesuíta e mostrou-se muito
interessado pelo estudo dos elementos da Matemática, à qual atribuía a
chave para desvendar os segredos da natureza. No transcorrer de seus
estudos, em La Flêche e na Universidade de Pointres, Descartes
discordava do rumo que a Matemática e a Filosofia estavam tomando,
tornando-se um crítico ao aristotelismo e à Matemática e à Lógica
tradicionais.
Ao romper com a Filosofia de Aristóteles, adotadanas diversas
academias, ele propõe, em 1619, uma ciência unitária e universal,
apresentando as bases do método científico moderno, que influenciou
várias ciências que surgiriam após seu falecimento. A principal obra de
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Descartes, O Discurso do Método, teve sua primeira publicação em 1637,
e continha três outras importantes obras:

Os Meteoros
Obra em que ocorre a afirmação da inexistência do vazio.

A Dióptrica
Obra que tratava, basicamente, da construção de vidros.

A Geometria (La Géométrie)
Obra que apresentava os elementos geométricos.
René Descartes foi importante no aprofundamento dos estudos da
Geometria e do método científico. Em Discurso do Método, suas
reflexões foram expostas, principalmente, a utilização da razão e da
comprovação Matemática para melhor compreensão dos fenômenos
naturais. Descarte relacionou a Álgebra com a Geometria, fazendo surgir
a Geometria Analítica e o sistema de coordenadas, o famoso plano
cartesiano.
Descartes utilizou o plano cartesiano com objetivo de realizar, por meio
das equações matemáticas, representações de:
Os primeiros estudos da Geometria analítica surgem por meio das
teorias de René Descartes, que representavam as formas geométricas de
forma numérica. A Geometria analítica, criada por ele, auxiliou na criação
do cálculo diferencial e integral pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz.
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No campo da Cartografia, seus estudos focaram no desenvolvimento de
aspectos matemáticos ligados à construção de mapas. Afirmava que a
Matemática dispunha de conhecimentos técnicos para o processo de
evolução de qualquer área do conhecimento.
Apesar de toda a sua contribuição à Matemática, A Geometria (1637) foi
a única obra matemática publicada por ele. Esta obra representa um
marco na história da Matemática, fazendo alguns historiadores
considerarem Descartes como inventor da Geometria analítica - outros
também consideram Fermat como coinventor.
Saiba mais
Vale informar que as representações por sistema de coordenadas já
eram utilizadas por povos antigos para criação de mapas.
Em A Geometria, Descartes conseguiu tornar significativos os conceitos
abstratos da Geometria; no caso, o plano cartesiano na solução de
problemas práticos da humanidade em relação aos fenômenos da
natureza. Nessa obra, ele contribuiu:
Desse modo, Descartes conseguiu criar um sistema concreto e
estruturado para relacionar Álgebra e Geometria. Os vários matemáticos
da humanidade tiveram suas ideias questionadas. Com Descartes não
foi diferente: existe uma discussão em torno da veracidade biográfica de
suas criações e teorias, fazendo de sua existência um celeiro de riqueza
e complexidade da história da Matemática. A Geometria, uma obra com
aproximadamente 100 páginas, apresenta três livros:

Primeiro
Trata de problemas que utilizam círculos e linhas retas.
 Na formalização e aplicação da álgebra na resolução
de problemas de geometria
 Nos estudos que possibilitavam representar pontos
descritos por expressões, por meio de variáveis e
operações aritméticas
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
Segundo
Trata das naturezas das linhas retas.

Terceiro
Trata da construção dos sólidos.
Descartes, ao escrever esta obra, conduziu a razão na busca pela
verdade nas ciências, demonstrando ser possível investigar a Geometria
por meio do princípio do raciocínio presente em seu discurso do método.
No prefácio da obra, Descartes mostra sua concepção racionalista para
o estudo da natureza, sempre inspirado no rigor da Matemática.
Desdobramentos da obra de
Descartes
Diversas obras filosóficas deram a Descartes notoriedade internacional,
e o passar da Filosofia para Matemática ocorreu de forma natural. Ele se
empenhou pela busca de um método geral de pensamento, capaz de
auxiliar as descobertas e assim encontrar as verdades nas ciências.
A Astronomia e a Mecânica, muito conhecidas por seu alto grau de
coerência, apresentavam compreensão por meio da Matemática; assim,
Descartes atribui à Matemática o principal meio de compressão do
universo. A possibilidade de generalização da Matemática despertou seu
interesse em:
Encontrar nesta ciência um universo de possibilidades
racionalistas, aplicável em diversos estudos da
humanidade.
Quanto ao racionalismo de Descartes ele afirmava que os sentidos nos
enganam, sendo suas manifestações incompreensíveis e de pouca
exatidão. Só pela razão poderíamos ter respostas claras e distintas.
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Descartes, Boyer e as curvas
cartesianas
Veja a seguir como o pensamento de Descartes impactou outros autores
(em especial, Boyer), utilizando as curvas cartesianas.
O projeto de união da Geometria com a Álgebra surge da unificação
racionalista do saber, quando Descartes coloca a ação dos algebristas
aplicada à Geometria clássica, assim surgindo a Geometria analítica. A
obra A Geometria ajudou a desenvolver a Geometria analítica, mas não
esgotou tudo que era possível sobre o tema.
Mas podemos dizer que nessa obra haveria uma simples
redução da Geometria à Álgebra?
Descartes classificava apenas como
tradução de operações algébricas
em linguagem geométrica;
praticamente toda La Géométrie
está dedicada a uma completa
aplicação da Álgebra à Geometria e
da Geometria à Álgebra.
(BOYER, 1994, p. 251)
Essa afirmação de Carl Boyer pode nos ajudar a entender melhor a
questão! Segundo Boyer (1994), embora Descartes reconhecesse que os
matemáticos anteriores possuíam estudos das curvas, ele afirmava que
não haviam sido criteriosos quanto às suas especificidades. Descartes
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realizou criteriosa distinção, designando as curvas como retas, círculos,
cônicas, cissoide e a concoide. Observe a diferença a seguir:
Cissoide
É uma curva gerada pela soma dos raios vetores das curvas anteriores.
Concoide ou conchoide
É uma cissoide cuja segunda curva é uma circunferência centrada na
origem.
Cissoide.
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Concoide.
As outras curvas que Descartes denominou de mecânicas tinham a
possibilidade de ser descritas por dois movimentos separados, não
admitindo determinação exata para sua relação.
A revolução criada com as teorias de René Descartes acarretou conceitos
utilizados pela escola até hoje, como:
Teoria dos conjuntos;
Produto cartesiano;
Campos complexos da Geometria analítica.Descartes influenciou obras de Isaac Newton; a praticidade e
multifuncionalidade do plano cartesiano revolucionaram a história da
Matemática, acendendo uma luz em todo o conhecimento científico
desenvolvido posteriormente, principalmente nos estudos de cálculo
realizados por Newton.
Ao final, vários matemáticos buscaram generalizar os métodos de
Descartes. Foi então que perceberam que os métodos algébricos eram
mais adequados para resolver problemas geométricos, mesmo aqueles
nos quais Descartes executou as suas próprias técnicas de construção.
Recomendação
Como pequena mostra da grandiosidade deste filósofo da Matemática,
veja o destaque de suas obras:
• Regras para a Direção do Espírito (1628)
• O Mundo ou Tratado da Luz (1632-1633)
• Discurso sobre o Método (1637)
• A Geometria (1637)
• Meditações sobre Filosofia Primeira (1641)
• Princípios de Filosofia (1644)
• As Paixões da Alma (1649)
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Matemáticos do final do século XVIII expressaram o sentimento de
que as descobertas matemáticas estavam saturadas. Na visão
deles, os matemáticos das gerações futuras apenas iriam desvendar
problemas de menor importância. Isso não aconteceu, e uma nova
geração veio mostrar que esse pessimismo era infundado.
O que impulsionou novas descobertas na Matemática no final do
século XVIII?
A
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Revolução Francesa (1789-1799) e Revolução Industrial (1760-
1830) foram importantíssimas na evolução das pesquisas em
Matemática no final do século XVIII, sob influência cultural do
Iluminismo.
Questão 2
Os logaritmos representaram para a Matemática Moderna um
dispositivo para reproduzir fórmulas usadas na resolução de
triângulos esféricos, ou seja, fórmulas trigonométricas úteis na
resolução de triângulos esféricos. Hoje identificamos diversas
outras aplicações. Esse importantíssimo estudo de associar
logaritmo com trigonometria foi desenvolvido por:
Revolução Francesa e heliocentrismo.
B Revolução Industrial e heliocentrismo.
C Revolução Francesa e Revolução Industrial.
D Revolução de aves e Revolução Industrial.
E Revolução de aves e Revolução Francesa.
A Girard Desargues.
B Johann Kepler.
C Blaise Pascal.
D Pierre de Fermat.
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Parabéns! A alternativa E está correta.
No século XVII foram reveladas grandes descobertas no campo da
Matemática. Napier é conhecido como o inventor dos logaritmos.
2 - Fundamentos da Geometria: Recuperação dos gregos
Ao �m deste módulo, você será capaz de reconhecer os fundamentos da Geometria por meio
de sua fundamentação histórica.
Geometria na Idade Moderna
No começo do século XVII, a Geometria se desenvolvia por duas vias:
E John Napier.
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A Geometria não euclidiana
Durante muito tempo, a demonstração do quinto postulado de Euclides
(Postulado das paralelas) foi objeto de estudo de muitos matemáticos
que não obtiveram êxito, pois faltava algum princípio não demonstrado
nos quatro primeiros postulados.
No começo do século XVII, houve uma gigantesca quantidade de
demonstrações realizadas em torno do que poderia ser provado com os
quatro primeiros postulados. Mesmo assim, permanecia a frustação nas
inúmeras tentativas de demonstrar o quinto postulado. Alguns
matemáticos, como Johann Heinrich Lambert e Adrien-Marie Legendre,
apresentaram trabalhos relevantes para o desenvolvimento da
Geometria, mas ainda ficaram longe de obter êxito.
No começo do século XIX, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) começou a
considerar improvável o postulado das paralelas. Dessa forma, abriu
espaço para o desenvolvimento da chamada Geometria autoconsistente,
em que o quinto postulado era falso, surgindo a Geometria não
euclidiana.
 Geometria analítica
Considerada a mais importante das criações, a
Geometria analítica de René Descartes e Pierre de
Fermat é reconhecida até hoje como precursora
fundamental para o desenvolvimento do cálculo
diferencial e integral, e para quantificação precisa
dos estudos da Física.
 Geometria projetiva
A Geometria projetiva de Girard Desargues se
diferencia da Geometria analítica: esta é baseada
em princípios algébricos (e, portanto, busca definir
formas geométricas de modo numérico); a
Geometria projetiva busca a propriedade descritiva
das figuras, considerando-as de forma abstrata.
Vale ressaltar que os geômetras helênicos já
realizavam estudos nesta área, mas o maior
desenvolvimento ocorreu com Poncelet.
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Retrato de Gauss por Eduard Ritmüller no terraço do observatório de Göttingen, Alemanha.
É importante ressaltar que nos anos críticos que antecederam a
descoberta da nova Geometria, Carl Friedrich Gauss era figura dominante
do mundo matemático e contribuiu ativamente para o desenvolvimento
de ideias que levaram à descoberta delas. Poucos dos seus resultados,
frutos de muitos anos de pesquisa sobre os problemas associados ao
quinto postulado, foram tornados públicos durante sua vida. Algumas
cartas a outros interessados naqueles problemas, críticas de tratados
sobre paralelas e notas inéditas descobertas entre seus trabalhos são
toda a evidência disponível de que foi ele o primeiro a entender
claramente a possibilidade de uma Geometria logicamente precisa e
diferente daquela de Euclides.
Em 1868, Beltrami demonstrou matematicamente que a Geometria não
euclidiana se apresentava tão autoconsistente quanto a Geometria
euclidiana, colocando as duas no mesmo patamar.
A Teoria da Relatividade de Albert Einstein (1879-1955) se fundamentou
no estudo de Riemann, estudante que apresentou inovações nos
conceitos de superfícies chamadas suaves ou deriváveis, encontrando
outra abordagem para a Geometria não euclidiana.
Portanto, a Teoria da Relatividade está intrinsicamente
atrelada aos conceitos das geometrias não euclidianas.
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Ilustração do efeito da deflexão da luz previsto pela Teoria da Relatividade. Os elementos do
desenho estão fora de escala.
David Hilbert e a recuperação dos
gregos
Desde o início da Idade Moderna, com a queda de Constantinopla frente
aos turcos, houve um grande fluxo de refugiados para a Itália. O retorno
dos escritos da civilização grega para o ocidente, agora com alguma
influência oriental, levou diversos matemáticos a se debruçaram no
postulado das paralelas, revelando o quanto foi difícil para eles separar
o raciocínio lógico da compreensão intuitiva de um espaço físico. Assim
surge a necessidade de crítica ao raciocínio do grego Euclides, e
principalmente a não declaração de alguns princípios geométricos; em
alguns casos, Euclides invoca as chamadas petições de princípio.
Paralelo a este momento da história da Geometria, ocorre
uma crise entre o cálculo e a análise na noção de
processos in�nitos, como a convergência e a continuidade.
Ao longo dos séculos XVI, XVII e XVIII aconteceu a transição entre a
antiguidade e a modernidade na história da Matemática, o chamado
renascimento da Geometria. A recuperação surge da necessidade de se
criar um conjunto de axiomas, com papel complementar aos axiomas de
Euclides, ou seja, algo completo. Dessa forma, surgiram os axiomas de
David Hilbert publicados em sua dissertação Fundações de Geometria,
em 1984.
Apesar de suas demonstrações, não foi ele o precursor da reconstrução
dos axiomas de Euclides, pois alguns outros conjuntos completos de
axiomas já haviam sido criados, ainda que não se comparassem ao
trabalho realizado por Hilbert em analogia com os axiomas de Euclides.
Axiomas
Um axioma é um conceito matemático que não precisa de demonstração
para ser verdadeiro. É uma ideia considerada óbvia e tomada como
consenso, mesmo sem provas para tal.
Saiba mais
A obra Fundamentos da Geometria teve sua primeira edição em 1899 e
veio sofrendo diversas alterações, a ponto de a última edição ser,
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praticamente, irreconhecível em relação à primeira. Isso levou alguns
matemáticos a considerar a obra de David Hilbert de menor importância,
alegando a presença de erros.
A recuperação da Geometria tem, no século XVII, seu ponto de partida,
com a retomada do estudo dos Elementos de Euclides,uma abertura
para diversos resultados surpreendentes para ideia de incidência.
Hilbert descreveu um sistema de axiomas completando a Geometria
euclidiana plana e espacial. As apresentações ocorreram em
conferências na Universidade de Göttingen. Hilbert validou todos os
resultados dos Elementos, considerando seus postulados. Esse sistema
axiomático tornou-se um dos marcos na história da Matemática devido
ao fato de organizar os fundamentos da Geometria e Análise. Hilbert
apresenta, em 1950, esses axiomas em seu trabalho Fundamentos da
Geometria (The Foundations of Geometry), em cinco grupos:

Axiomas de incidência

Axiomas de ordem

Axiomas de congruência

Axiomas de continuidade

Axioma das paralelas
No conjunto de axiomas de incidência, foi definida a ideia expressa pela
noção de estar em. O conjunto estabelece também uma junção entre os
termos primitivos do plano: ponto e reta. Os axiomas de ordem já
definem a ideia expressa de estar entre e tornam possível definir
segmentos. Essa base descreveu a ordem de sequência dos pontos
sobre uma reta.
Os axiomas de congruência fornecem a ideia intuitiva de que dois
segmentos ou ângulos congruentes têm a mesma medida ou podem ser
superpostos por um movimento rígido do plano por meio de uma
aplicação que não distorça as figuras. Essa noção de segmentos e
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ângulos foi estendida aos triângulos, assim obtendo teoremas que
condicionaram a congruência de triângulos.
Os axiomas de continuidade não envolveram uma chamada terceira
relação primitiva, mas garantiram a algumas construções a
possibilidade de medir distâncias entre pontos.
Diante de tanta consistência, David Hilbert designou o quinto postulado
de Euclides à condição de axioma, de forma independente dos demais. A
chamada Geometria euclidiana plana se deu por esse axioma, que
afirma a unicidade da reta passando por um ponto e paralela a uma reta
dada.
Com a exposição do conjunto de axiomas de David Hilbert, analisando
sua estrutura lógica, temos um marco na transição do método
axiomático moderno. Para Hilbert, não havia a necessidade de tratar os
objetos geométricos para construir suas demonstrações; objetos da
natureza podem assumir o lugar dos termos primitivos da Geometria
sem perda do valor lógico e construção.
No conjunto de axiomas de David Hilbert, a discussão não se baseia nos
objetos, mas na forma como eles se relacionam.

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Os axiomas de David Hilbert
Veja as principais características dos axiomas de David Hilbert e sua
importância para a história da Matemática.
Desdobramentos dos axiomas de
Hilbert
Durante todo o desenvolvimento dos fundamentos da Matemática,
David Hilbert utilizou-se do formalismo na criação do método
axiomático, devido ao fato de que a análise matemática, na época, tinha
consolidado os números reais como uma estrutura algébrica de corpo
ordenado completo.
Essa afirmação fica evidenciada pela forma como Hilbert organizou os
cinco grupos axiomáticos, manifestando relações entre objetos
geométricos. Possibilitando a ordenação e a definição dos objetos
congruentes por meio da superposição, ele demonstrou a possibilidade
de construir uma única reta paralela a uma reta dada por um ponto fora
dela, por meio da necessidade de se explorar o conceito de continuidade.
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O axioma da completude de Hilbert buscou caracterizar à continuidade
própria números reais ou dos pontos do espaço infinito, assegurando
restrições da axiomatização a modelos isomorfos. No processo de
investigação aos grupos axiomáticos, temos fatos importantíssimos. Por
exemplo, a existência de retas coplanares sem intersecção não resulta
dos axiomas de incidência, e sim dos axiomas de congruência e de
ordem.
Podemos citar também, no axioma de ordem, que a diferença
fundamental entre alinhamentos entre pontos se deu a partir de retas
concorrentes. Esse axioma eliminou a dualidade, quando as afirmações
acerca de pontos e retas precisavam ser duplicadas.
Atenção!
Descartes considera que figuras congruentes possuem algumas
igualdades numéricas. Ele consolida a igualdade de segmentos e a
introdução dos sinais algébricos aos segmentos com objetivo de
diferenciá-los no sistema cartesiano. A definição de congruência entre
figuras planas aparece como um caso particular para relação de
equivalência.
Unicidade, reflexividade, simetria, transitividade e operação de adição
são garantidas pelos axiomas de congruência. Ficam claras neste
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axioma as congruências entre dois triângulos que apareceram em
diversos outros teoremas posteriores, não fazendo deles axiomas.
As estruturas axiomáticas foram discutidas por diversos outros
matemáticos, referenciando sempre aos postulados de Euclides,
percebendo o quanto são insuficientes para provar os teoremas
anteriores e outros do futuro, bem como a necessidade de ferramentas
da lógica e da própria Matemática com potencialidade para corrigir as
falhas de estrutura dos axiomas.
A Geometria desenvolvida pelos gregos da antiguidade categorizou-se
acerca do significado dos objetos geométricos, enquanto a estrutura
lógica teve seu desenvolvimento nos fundamentos da Geometria na
Matemática Moderna.
Compreender o processo de criação da Geometria não foi algo muito
claro na antiguidade, pois utilizavam formas primitivas de raciocínio
indutivo em suas conclusões. As soluções significativas ocorrem depois
do século XVII. A história mostra que, durante muito tempo, os Elementos
de Euclides foram a principal forma de exposição do método axiomático.
O movimento da Matemática Moderna realiza a recuperação da
Geometria dos gregos, principalmente por Fermat, que sofreu influência
direta de Apolônio (filósofo que seguiu ensinamentos de Pitágoras). Em
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suas traduções das obras gregas, buscou exprimir, por meio da
linguagem algébrica, os problemas geométricos de Apolônio.
Também apresentou interesse pelos lugares geométricos em sua
primeira grande obra Ad locos planos et solidos isagoge (Introdução aos
lugares geométricos planos e sólidos), contemporânea à obra de
Descartes, que tem como característica principal a introdução de
coordenadas no tratamento geométrico.
Descartes deduzia equações para resolver problemas geométricos, e não
esteve interessado em estudar as equações por si mesmas,
diferenciando-se de Fermat.
A precariedade da notação geométrica dos gregos tornou o estudo da
Matemática, ao longo da história, objeto de profunda dedicação,
valorizando a importância da Geometria na formação do pensamento da
humanidade.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Os Elementos de Euclides indicam uma lista de cinco postulados e
cinco noções comuns. No começo do século XIX, Gauss começou a
considerar improvável um desses postulados, abrindo espaço para o
desenvolvimento da chamada Geometria autoconsistente, na qual
esse determinado postulado era falso, surgindo, assim, a Geometria
não euclidiana. Marque a opção que representa o postulado citado
no texto acima.
A
Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dos
pontos.
B
Pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer
reta finita continuamente em uma reta.
C
Pode-se traçar um círculo comqualquer centro e
qualquer raio.
D Todos os ângulos retos são iguais.
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Parabéns! A alternativa E está correta.
O quinto postulado é o mais popular dos postulados de Euclides e,
antes da Idade Moderna, foi objeto de polêmica e causou muita dor
de cabeça aos matemáticos na busca de seu entendimento.
Corresponde ao “axioma das paralelas”, que afirma haver
obrigatoriamente uma única reta paralela a uma outra, que passa
por um ponto exterior à primeira.
Questão 2
Marque o axioma que fornece a ideia intuitiva de que dois
segmentos ou ângulos congruentes têm a mesma medida ou
podem ser superpostos por um movimento rígido do plano, por meio
de uma aplicação que não distorça as figuras.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Esses axiomas estão ligados à definição de igualdade entre
segmentos e ângulos.
E
Se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos
internos, no mesmo lado, cuja soma é menor que
dois ângulos retos, então estas duas retas encontrar-
se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é
menor do que dois ângulos retos.
A Axiomas de incidência.
B Axiomas de ordem.
C Axiomas de congruência.
D Axiomas de continuidade.
E Axioma das paralelas.
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3 - Livros matemáticos na Idade Moderna
Ao �m deste módulo, você será capaz de identi�car as principais obras matemáticas na
Idade Moderna.
Panorama histórico
A criação da imprensa de forma móvel (por Johann Gutenberg, no século
XV) levou à difusão dos conhecimentos matemáticos. A comercialização
dos livros de forma rápida e a baixo custo potencializou a disseminação
da Matemática.
À medida que o tempo passou, ocorreu um processo natural de filtragem
da produção dos livros de matemática, desmembrando os conteúdos
genuinamente especulativos daqueles que revolucionaram o
pensamento matemático e sua importância na transformação de
algumas sociedades.
Relembrando
No módulo anterior, foi citada a obra A Geometria, publicada em 1637,
na forma de um apêndice de outra obra, O Discurso do Método. Nesta
obra, Descartes apresenta seu método capaz de desenvolver qualquer
coisa de forma clara.
Outras obras de Descartes apresentam um caráter filosófico para o
estudo das ciências, mas essa, de grande significado para os estudos da
Matemática, tem como única intenção provar seu discurso do método, o
qual associa elementos da Geometria e da Álgebra, tornando-se a base
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para o cálculo de Newton e Leibniz. Podemos considerar que as obras a
seguir foram complementares, de forma que:
O Discurso do Método
Apresenta apenas a
ideia de posição de um
ponto ou objeto por
meio de dois eixos que
se interceptam
A Geometria
Ocorre todo o
desenvolvimento do
conceito.
Ainda no século XVII, a obra do considerado criador dos logaritmos,
Napier, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614), apresenta
tabelas de números relacionados a logaritmos naturais, teoremas de
trigonometria esférica e regras das partes de circulares de Napier.
Ela representou um progresso para os, até então, longos e complicados
cálculos realizados pelos astrônomos, pois permitiram a redução da
possibilidade de erros. Outra importante contribuição foi encontrar
expressões exponenciais no estudo de funções trigonométricas e a
introdução da notação decimal no estudo de frações.

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Newton, em 1687, publica Princípios Matemáticos da Filosofia Natural,
conhecida por muitos como “Principia” (a comunidade a reconhece
como uma das principais obras científicas da humanidade).
Considerada uma das principais obras do século XVII, descreve assuntos
de Matemática, Física Mecânica, Astronomia e a famosa Lei da
Gravitação Universal. Com influência de Descartes, Newton desenvolve
os conceitos de cálculo diferencial e integral.
As obras de Newton fizeram dele um dos grandes matemáticos. Lembre-
se do famoso binômio de Newton e sua importância no desenvolvimento
do cálculo diferencial e integral.
Ao escrever sobre as obras de Newton, precisamos falar de Leibniz, um
importante matemático da época, precursor da anatomia da lógica e
criador das famosas “leis do pensamento”, que têm significado no
estudo de análise combinatória. A obra De arte Combinatória, de 1666,
representou um modelo científico que marca o início da teoria de
computação moderna.
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Após um estudo meticuloso no século XIX, concluiu-se que Newton e
Leibniz desenvolveram o teorema fundamental do cálculo de forma
independente, acabando, assim, com as acusações de plágio feitas
contra Leibniz pelos seguidores de Newton.
Galileu, na sua época, apresentou a renovação da ciência, esquecendo a
confiança na autoridade e no senso comum. Na obra O Ensaiador
(SCHWARTSMAN, 2003, n.p.), encontramos uma das importantes frases
de Galileu:
“A Matemática é o alfabeto no qual Deus escreveu o
universo.”
As verdades da Física só poderiam ser descobertas pela Matemática.
O Ensaiador foi um livro publicado em Roma, em 1623. Nessa obra,
Galileu sugere que o estudo de Física deve ser alicerçado por formas da
Matemática.
Defendeu a natureza geométrica do mundo, no princípio, em acordo com
a teoria da percepção; depois, pelo atomismo (teoria de origem grega,
fundamentada por Demócrito, na qual os elementos básicos da
realidade eram átomos, partículas de matéria indivisíveis, indestrutíveis,
que se moviam no espaço).
Atualmente, o conhecimento matemático na Física é algo comum, mas,
na época de Galileu, a busca por descobrir a estrutura do mundo pelos
conhecimentos matemáticos não era comum.
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Obras de Descartes, Newton e Galileu
em destaque
Veja a importância das obras de Descartes, Newton e Galileu para a
história da Matemática.
As obras de Geometria

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Geometria é a ciência das
propriedades da extensão,
enquanto se a considere
como simplesmente extensa
e �gurada.
(DIDEROT; D’ALEMBERT, 1757, p. 629)
Na obra Discurso Preliminar de La Enciclopédia, fica claro que d’Alembert
reconhece o inestimável valor da Geometria por meio de sua utilidade em
outros campos científicos. De forma categórica, afirma que ela contribui
na construção e formação do bom conhecimento.
A obra de Laplace, Mécanique Céleste (Mecânica celeste), com
publicações entre 1798 e 1825, traduziu estudos da mecânica clássica
sobre os conceitos de cálculo.
No ramo da Matemática, temos a obra Um ensaio filosófico sobre
probabilidades, na qual Laplace desenvolve a teoria matemática da
probabilidade. Dividida em duas partes, abrindo com cinco capítulos e
fechando com 13, nesta extensa obra temos o desenvolvimento dos
estudos da distribuição de probabilidade, um avanço com grandes
aplicações na Física, Engenharia e Economia, entre diversos outros
campos do conhecimento.
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Méchanique Analytique, ou Mecânica Analítica, de 1788, foi considerada
a maior obra de Lagrange. Para alguns, é uma obra de arte pela22/11/2023, 17:31 História do ensino da Matemática Moderna
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qualidade de tratamento dado à mecânica clássica, a ponto de
influenciar, no século XIX, a Física Matemática.
Ao combinar cálculo de variáveis com cálculo em espaços de quatro
dimensões na resolução de problemas da mecânica, Lagrange tornou-se
largamente conhecido, algo que diferenciou sua obra em relação aos
estudos de Newton.
Na obra, observamos que Lagrange já fazia uso das equações
diferenciais no século XVIII, avanço que faz até hoje reconhecermos sua
importância na Física, Engenharias e outros campos do conhecimento.
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No desenvolvimento da Geometria analítica e de estudos da
Probabilidade aplicados a eventos em jogos, temos a obra The Doctrine
of Chances: a method of calculating the probabilities of events in play, do
matemático e estatístico Frances Abraham de Moivre.
A primeira edição, de 1718, A doutrina das chances: um método para
calcular as probabilidades de eventos em jogo tem 175 páginas. A
publicação da segunda edição, com 258 páginas, ocorreu em 1738, com
duas novidades: a introdução da distribuição normal e as aproximações
das distribuições binomiais. A terceira edição acrescentou apenas
aplicações da teoria das probabilidades. Com 348 páginas, foi publicada
em 1756.
Curiosidade
A obra foi escrita em inglês pelo francês De Moivre, que, para escapar da
perseguição dos huguenotes, mudou-se para Inglaterra após fugir da
França.
Apesar das obras muito importantes, De Moivre não foi nomeado, em
nenhuma Universidade Inglesa, para uma cadeira de Matemática. Ele
tinha pouco tempo, devido ao fato de fazer longas viagens a Londres,
dando aula particular, algo que o sobrecarregava. Uma cadeira na
Academia significaria maior dedicação à produção científica, mas sua
origem francesa pode ter dificultado o convite.
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Aos 18 anos, Clairaut publica Research on Double Curvature Curves
(Pesquisas em Curvas de Dupla Curvatura). As obras de Clairaut foram
fundamentais para a formação da Geometria analítica espacial.
Começando os estudos da Matemática de forma precoce, aos 13 anos
apresentou sua obra Quatre problèmes sur de nouvelles curbes (Quatro
problemas sobre novas curvas), na qual demonstrou a forma analítica
sobre curvas não planas no espaço. Já maior, agora na Academia de
Ciências de Paris, publicou Recherches sur les courbes à double
courbure, garantindo sua entrada aos 16 anos.
Euler atuou na Geometria, cálculo infinitesimal, trigonometria, álgebra e
teoria dos números, além da Física newtoniana e outras áreas da Física.
Foi considerado uma ilustre figura da Matemática, e suas obras são de
interesse fundamental.
Estudiosos de Matemática, ao ouvir Euler, associam a ele diversos temas
da Matemática, até a representação de números. Um exemplo é o
número e, de representação infinita dada por aproximadamente 2,71828.
O crescimento do cálculo infinitesimal estava na linha de frente das
pesquisas em Matemática do século XVIII. Popularizou o π (pi) como a
razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Embora não
seja sua criação, ganhou notoriedade por meio de Euler.
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Por fim, vale lembrar de Colin Maclaurim, que publicou quatro obras:
A publicação póstuma de sua última obra - O Tratado da Álgebra - traz
uma importante intuição sobre um tema fundamental para a
Matemática, o número negativo:
Assim, a quantidade negativa, bem
longe de ser rigorosamente menos
que nada, não é menos real em sua
espécie que a quantidade positiva,
mas ela é posta num sentido
oposto; de onde não se segue mais
que uma quantidade considerada
única, não seria negativa; ela só é
por comparação, e quanto a
quantidade que chamamos positiva
não há nada a mais que seja oposto
a ele. Não se saberia subtrair uma
maior: por exemplo, seria absurdo
de querer subtrair uma maior
1720
• Geometrica organica, sive
descriptio linearum curvarum
universalis
• De linearum geometricarum
proprietatibus
1742
Treatise of Fluxions
1748
O Tratado da Álgebra
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quantidade de matéria de uma
menor.
(MACLAURIM, apud GLAESER, 1981, p. 317)
Embora ele não conseguisse identificar o número negativo como
quantidades isoladas, foi um passo muito importante.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Deve-se a Galileu a forma de aliar a experiência à teoria: o famoso
espírito científico moderno. Em sua obra O Ensaiador que ele
defende:
Parabéns! A alternativa A está correta.
A
a profunda articulação entre a Física e a
Matemática, fundamentada na experimentação.
B
a independência da Física em relação à Matemática,
apesar de experimentações nesse último campo.
C
a independência da Matemática em relação à Física,
apesar de experimentações nesse último campo.
D
a profunda articulação entre a Física e a
Matemática, independentemente da realização de
experimentações.
E
a necessidade de relacionar teoria e prática no
campo da Física, ainda que sem articulação com a
Matemática.
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Galileu, na obra O Ensaiador, sugere que o estudo de Física deve ser
alicerçado por formas da Matemática após diversos experimentos.
Questão 2
(IBFC - Prefeitura de Vinhedo - Professor de Educação Básica - Área:
Matemática – 2019) Na segunda metade do século XVII, Isaac
Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveram o uso do cálculo
infinitesimal. Embora se acredite hoje que o desenvolvimento desta
área por ambos tenha ocorrido em paralelo, muitas acusações de
plágio foram feitas na época.
Assinale a alternativa que indica como é conhecido atualmente o
ramo da Matemática desenvolvido a partir do trabalho de ambos,
neste período.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Ao final do século XVII, o desenvolvimento do cálculo diferencial e
integral ocorreu de forma quase concomitante por Newton e Leibniz.
Considerações �nais
A Cálculo diferencial e integral
B Análise matricial
C Geometria analítica
D Lógica matemática
E Probabilidade
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Vimos a contribuição de diversos matemáticos em mostrar a
importância da Matemática na funcionalidade do universo e do mundo.
A partir do apresentado, podemos considerar que a Matemática da Era
Moderna se distingue da Matemática da Antiguidade principalmente
pela Filosofia do conhecimento, bem como pelo desenvolvimento de
muitas ferramentas capazes de transformar outras ciências.
O texto mostra a forma como Descartes inaugurou a Filosofia Moderna,
por meio da exposição do seu pensamento, de que nada pode ser
considerado verdadeiro. A busca pela verdade ocorre por meio de um
método que, de acordo com sua abrangência, possa respaldar o homem,
não deixando que ele seja enganado por seus sentidos. Colocou fim à
contemplação, que nunca poderia nos levar à verdade absoluta, só
atingida por meio da razão.
A Idade Moderna representou um marco histórico para a Ciência, abrindo
espaço para grandes transformações, durante a Idade Contemporânea.
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ideia da “Matemática como a linguagem de Deus”. Confira no
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Referências
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1994.
BRAGA, M.; GUERRA, A.; REIS, J. C. Breve história da ciência moderna:
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Raisonné des Sciences, des Arts et des Metiers. Tome VII. Par une
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1757. Edição Fac-Simile de Pergamon Press.
FERREIRA, A. Kant e a revolução copernicana do conhecimento: uma
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GALILEI, G. O mensageiro das estrelas. Scientific American
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GLAESER, G. Epistemologie des nombres relatifs. RDM, v.2, n.3, 1981.
MONDINI, F.; MOCROSKY, L. F.; BICUDO, M. A. V. A hermenêutica em
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SÁ, C. História da Matemática Grega (apontamentos das aulas
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VOEGELIN, E. Religião e a ascensão da modernidade: histórias das
ideias políticas. São Paulo: É realizações, 2016.
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