O Baricentro da Mente_ Completando Quadrado

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11/09/13 O Baricentro da Mente: Completando Quadrado
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21/11/2012
Quando estamos estudando equações, surgem em nossa frente as equações de
segundo grau, também conhecidas como equações quadráticas.
Matematicamente, essas equações são dadas por:
Essas equações levam esse nome por possuir uma incógnita com expoente de
grau 2 e podem ser completas ou incompletas.
As equações quadráticas incompletas são mais práticas de serem resolvidas,
pois não apresentam o termo da incógnita x ou o termo independente.
A equação quadrática acima não possui o termo independente c, ou seja, c = 0.
Para encontrarmos suas raízes, colocamos a incógnita x em evidência:
Daqui segue que:
Outra forma incompleta da equação quadrática:
Neste caso basta isolar a incógnita:
As duas raízes acima são reais se –c/a > 0. Para a equação completa (1), se a
equação for um quadrado perfeito, conseguiremos fatorá-la de modo que se
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11/09/13 O Baricentro da Mente: Completando Quadrado
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apresente como:
O que nos leva a raiz dupla:
Se a equação não for um quadrado perfeito, aplicamos a fórmula resolvente da
equação de segundo grau, também conhecida como fórmula de Bháskara:
Vale ressaltar que existe uma lógica por trás da expressão (2). Mas em geral,
é um assunto desconhecido para muitos professores, que infelizmente, apenas
ensinam os alunos a substituir as constantes a, b e c nesta expressão. Neste
post, usaremos um processo chamado Completar Quadrado, transformando
o membro da esquerda em um quadrado perfeito.
Vamos considerar a equação quadrática completa:
Dividimos toda a equação pelo coeficiente a, pois a ≠ 0, para obter:
Isolamos o termo independente no lado direito da equação:
Queremos que o membro da esquerda seja um quadrado perfeito. Para isso,
devemos completar o quadrado, que se dá somando uma quantidade Q ao
membro da esquerda da equação. Consequentemente, também devemos somar
o mesmo valor no membro da direita para que a igualdade continue verdadeira.
Da Álgebra Elementar temos que:
ou em forma de palavras podemos dizer que “o quadrado da soma é igual
ao quadrado primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo
segundo, mais o quadrado do segundo”.
Comparando as expressões (3) e (4), vemos que o primeiro termo m é igual a
x e o segundo termo n é igual b / 2a. Assim, para completar quadrados na
expressão (3), o valor assumido por Q deverá ser:
Deste modo, obtemos:
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11/09/13 O Baricentro da Mente: Completando Quadrado
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O que nos leva a:
Notem que agora o membro da esquerda é um quadrado perfeito. Mas vejam
que interessante: se extrairmos a raiz de ambos os lados da equação,
obteremos:
Que é a fórmula para a equação de segundo grau.
Exemplo 1: Complete o quadrado na equação e ache
suas raízes.
Etapa 1: Devemos garantir que o coeficiente de x2 seja igual a 1, dividindo
toda a equação por 2:
Etapa 2: Isolamos o termo independente:
Etapa 3: Devemos adicionar um valor Q em ambos os lados da equação para
obtermos um quadrado perfeito no membro da esquerda. Esse número é
obtido tomando o quadrado da metade do coeficiente de x.
Etapa 4: Reescrevemos o membro da esquerda como quadrado perfeito:
Podemos encontrar as raízes da equação extraindo a raiz de ambos os lados da
equação:
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Equação do
Movimento, Queda
Livre e
Lançamento
Vertical
Teorema do
Ângulo Inscrito
A Equação da
Elipse
Gravitação
Universal e Campo
Gravitacional
Exemplo 2: Complete quadrado da equação abaixo e ache suas raízes:
Devemos garantir que o coeficiente de x2 seja igual a 1, multiplicando toda a
equação por 4:
a qual pode ser reescrita na forma:
Mas, a expressão é um quadrado perfeito, isto é:
Assim,
Logo, x = –2 é uma raiz dupla desta equação.
Comentário Final: A Matemática possui muitas regras, propriedades,
fórmulas e teorias. Mesmo nos níveis elementares, os professores deveriam
priorizar o ensino desta ciência apresentando o porquê de tais métodos
funcionarem, ao invés de forçar os alunos a decorar fórmulas sem sentido.
Buscamos neste post apresentar as equações quadráticas sem o uso
discriminado da fórmula de Bháskara, usando apenas as técnicas de completar
quadrados, mostrando desta forma a estreita ligação que existem entre vários
assuntos, passando para os alunos a importância de conhecer em sua essência
os vários tópicos da Matemática.
Veja mais:
Demonstração dos Pontos de Máximo e Mínimo de uma Equação Quadrática 
Resolvendo Equações Quadráticas pelo Método Geométrico de Descartes
Regra de Descartes e a Equação Quadrática no blog Fatos Matemáticos
Fatoração do Trinômio Quadrático em Z no blog Fatos Matemáticos
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Postado por Kleber Kilhian 
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regular utilizando régua e
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aqui os pontos
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Parte: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Anonymous wrote...
muito bom mesmo,
valeu por
compartilharem seu
conhecimento.
Anonymous wrote...
Muy bien dicho . Está
muy, muy claro y
meridiano !.. Está bien
expresado !.Here is my
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Anonymous wrote...
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Laplace$$ \mathcal{L}
\left \{ f \left( t \right) \right
\} = \intop_0 \^infty...
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Obrigado pela visita e
comentário. Volte
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