2 EE (Prova e Gab)

Prévia do material em texto

UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – 2019.2
⋆ ÁLGEBRA LINEAR ⋆ 2o EXERCÍCIO ESCOLAR ⋆ 11/10/2019
GABARITO
1.(1, 5 pontos) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justifique sua decisão.
(a)(F) Existe uma transformação linear T : R2 → R2 tal que (1,−1) é autovetor associado ao autovalor
λ = 2, T (1, 2) = (2, 3) e T (2, 1) = (4,−1).
R. Se T (1,−1) = (2,−2) e T (1, 2) = (2, 3) então T ((1,−1) + (1, 2)) = T (1,−1) + T (1, 2) =
(2,−2) + (2, 3) = (4, 1), ou seja T (2, 1) = (4, 1) ̸= (4,−1). Essa afirmação é FALSA.
(b)(F) Existe uma transformação linear injetora T : M(2, 2) → R3.
R. Para uma transformação linear ser injetora, seu núcleo só pode conter o vetor nulo, tendo assim
dimensão 0. Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem a dimensão da imagem de T teria que ser
4 mas é no máximo 3. Essa afirmação é FALSA.
(c)(V) Se α é uma base de R2, β é uma base de P1, T : R2 → P1 e S : P1 → R2 são tais que
[T ]αβ =
[
1 0
1 2
]
[S]βα =
[
1 2
1 1
]
então L = S ◦ T : R2 → R2 é invert́ıvel ( Obs. L(v) = S(T (v))).
R. A matriz da composta L = S ◦ T na base α é
[L]αα = [S]βα[T ]
α
β =
[
1 2
1 1
] [
1 0
1 2
]
=
[
3 4
2 2
]
O determinante dessa matriz é −2, logo ela tem inversa e sua inversa é a matriz da trans-
formação inversa de L na base α. Essa afirmação é VERDADEIRA.
2. (3, 0 pontos) Seja T : M(2, 2) → R4 dada por
T
(
a b
c d
)
= (a+ b, 2c, b+ c− d, a− b+ 2d)
(a) Determine uma base para ker(T )
R. ker(T ) =
{(
a b
c d
)
: a+ b = 0; 2c = 0; , b+ c− d = 0; a− b+ 2d = 0
}
ker(T ) =
{(
a b
c d
)
: a = −b; c = 0; d = b
}
=
{(
−b b
0 b
)
: b ∈ R
}
=
[(
−1 1
0 1
)]
Uma base para ker(T ) é B =
{(
−1 1
0 1
)}
(b) Determine uma base para Im(T )
R. (x, y, z, t) ∈ Im(T ) ⇐⇒ a+ b = x; 2c = y; , b+ c− d = z; a− b+ 2d = t
⇐⇒ b = x−a; c = y
2
; d = a−x+ y
2
−z ⇒ a−x+a+2x−2a+y−2z = t ⇐⇒ x+y−2z−t = 0
Im(T ) = {(x, y, z, t) : t = x+ y − 2z} = {(x, y, z, x+ y − 2z) : x, y, z ∈ R}
Im(T ) = {x(1, 0, 0, 1)+y(0, 1, 0, 1)+z(0, 0, 1,−2) : x, y, z ∈ R} = [(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1,−2)]
Uma base para Im(T ) é E = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1,−2)} pois esse conjunto é LI.
(c) T é injetora? Justifique.
R. T não é injetora pois ker(T ) ̸=
{(
0 0
0 0
)}
(d) T é sobrejetora? Justifique.
R. T não é sobrejetora pois Im(T ) ̸= R4
3. (2,0 pontos) Dê um exemplo, se posśıvel, de uma transformação linear T : M(2, 2) → R2 cujo
núcleo é o conjunto das matrizes 2× 2 simétricas, da forma
(
a b
b c
)
.
R. Vamos escolher uma base para ker(T ), completá-la para uma base de M(2, 2) e definir as imagens
por T dos vetores dessa base. Para a base do núcleo temos
T
(
1 0
0 0
)
= (0, 0) T
(
0 1
1 0
)
= (0, 0) T
(
0 0
0 1
)
= (0, 0)
Daqui para frente há muitas escolhas, por exemplo, escolhendo v =
(
0 1
0 0
)
para completar a base
de M(2, 2) sua imagem T (v) não pode ser (0, 0). Pode ser, por exemplo, T (v) = (1, 1). Com essas
escolhas, temos(
a b
c d
)
= a
(
1 0
0 0
)
+ c
(
0 1
1 0
)
+ d
(
0 0
0 1
)
+ (b− c)
(
0 1
0 0
)
e
T
(
a b
c d
)
= aT
(
1 0
0 0
)
+cT
(
0 1
1 0
)
+dT
(
0 0
0 1
)
+(b−c)T
(
0 1
0 0
)
= (b−c)(1, 1) = (b−c, b−c)
4. (3,5 pontos) Considere a matriz A e a base canônica α do R3
A =
 2 2 −1
−1 −1 1
2 2 −1
 = [T ]αα
(a) Determine uma base β do R3 tal que D = [T ]ββ é diagonal
R. Essa base é formada pelos autovetores de A∣∣∣∣∣∣
2− λ 2 −1
−1 −1− λ 1
2 2 −1− λ
∣∣∣∣∣∣ = (1 + λ)2(2− λ) + 2 + 4− 2(1 + λ)− 2(2− λ)− 2(1 + λ) =
= (1 + λ)2(2− λ)− 2− 2λ = (1 + λ)2(2− λ)− 2(1 + λ) = (1 + λ)((1 + λ)(2− λ)− 2)
(1 + λ)(−λ2 + λ) = 0 ⇐⇒ λ(1 + λ)(−λ+ 1) = 0 ⇐⇒ λ = 0;λ = 1;λ = −1
λ = 0 ⇒
 2 2 −1
−1 −1 1
2 2 −1
 ∼
 1 1 −1
0 0 1
0 0 0
 ∼
 1 1 0
0 0 1
0 0 0

 1 1 0
0 0 1
0 0 0
 x
y
z
 =
 0
0
0
 ⇐⇒ x+ y = 0
z = 0
⇒ v1 = (1,−1, 0)
λ = 1 ⇒
 1 2 −1
−1 −2 1
2 2 −2
 ∼
 1 2 −1
0 −2 0
0 0 0
 ∼
 1 0 −1
0 1 0
0 0 0

 1 0 −1
0 1 0
0 0 0
 x
y
z
 =
 0
0
0
 ⇐⇒ x− z = 0
y = 0
⇒ v2 = (1, 0, 1)
λ = −1 ⇒
 3 2 −1
−1 0 1
2 2 0
 ∼
 1 0 −1
0 2 2
0 2 2
 ∼
 1 0 −1
0 1 1
0 0 0

 1 0 −1
0 1 1
0 0 0
 x
y
z
 =
 0
0
0
 ⇐⇒ x− z = 0
y + z = 0
⇒ v3 = (1,−1, 1)
Como os autovalores são todos distintos β = {(1,−1, 0), (1, 0, 1), (1,−1, 1)} é a base pedida.
(b) Determine D.
R.
D = [T ]ββ =
 0 0 0
0 1 0
0 0 −1

(c) Escreva a relação entre as matrizes A e D usando matrizes de mudança de base.
R. A = [T ]αα = [I]βα[T ]
β
β[I]
α
β = [I]βαD[I]αβ
(d) Associe a relação obtida no item (b) com a expressão A = PDQ e mostre que
An = PDnQ
R. An = PDnQAssociando, temos P = [I]βα e Q = [I]αβ = P−1. Então
A2 = PDP−1PDP−1 = PDIDP−1 = PD2P−1
A3 = PD2P−1PDP−1 = PD2IDP−1 = PD3P−1
A4 = PD3P−1PDP−1 = PD3IDP−1 = PD4P−1
...
Conclui-se que
An = PDnP−1 = PDnQ
(e) Calcule A2019.
R. A2019 = PD2019P−1. Como D é diagonal e 02019 = 0, 12019 = 1 e (−1)2019 = −1, D2019 = D.
Precisamos determinar P = [I]βα e sua inversa. Temos
P =
 1 1 1
−1 0 −1
0 1 1

Vamos calcular P−1 por escalonamento 1 1 1
... 1 0 0
−1 0 −1
... 0 1 0
0 1 1
... 0 0 1
 ∼
 1 1 1
... 1 0 0
0 1 0
... 1 1 0
0 1 1
... 0 0 1
 ∼
 1 0 1
... 0 −1 0
0 1 0
... 1 1 0
0 0 1
... −1 −1 1
 ∼
∼
 1 0 0
... 1 0 −1
0 1 0
... 1 1 0
0 0 1
... −1 −1 1
 ⇒ P−1 = [I]αβ =
 1 0 −1
1 1 0
−1 −1 1

A2019 =
 1 1 1
−1 0 −1
0 1 1
 0 0 0
0 1 0
0 0 −1
 1 0 −1
1 1 0
−1 −1 1
 =
 1 1 1
−1 0 −1
0 1 1
 0 0 0
1 1 0
1 1 −1

A2019 =
 2 2 −1
−1 −1 1
2 2 −1
 = A