Para formar uma base no R 2 R 2 precisamos de dois vetores que sejam Linearmente Independentes (LI). Uma representação geral de uma base está descrita a seguir: Um conjunto B = { v 1 , v 2 , . . . , v n } ∈ V B={v 1 ,v 2 ,...,v n }∈V é uma base do espaço vetorial V V se: I) B B é LI II) B B gera V V Determine a única alternativa que apresenta uma base no R 2 R 2 . A B = { ( 6 , − 2 ) , ( − 3 , 1 ) } B={(6,−2),(−3,1)} B B = { ( 1 , 1 ) , ( − 1 , 0 ) } B={(1,1),(−1,0)} C B = { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) } B={(1,2),(2,4)} D B = { ( 2 , 3 ) , ( 4 , 6 ) } B={(2,3),(4,6)} E B = { ( 2 , 1 ) , ( 5 , 10 ) } B={(2,1),(5,10)}

Question

Para formar uma base no  R 2 R  2   precisamos de dois vetores que sejam Linearmente Independentes (LI). Uma representação geral de uma base está d...

Ed · Answer

Para determinar qual conjunto de vetores forma uma base no $ \mathbb{R}^2 $, precisamos verificar se os vetores em cada alternativa são linearmente independentes (LI). Dois vetores são linearmente independentes se não são múltiplos um do outro.

Vamos analisar cada alternativa:

A) $ B = \{ (6, -2), (-3, 1) \} $  
Para verificar a independência, podemos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores:
$$
\begin{vmatrix}
6 & -3 \
-2 & 1
\end{vmatrix} = (6)(1) - (-3)(-2) = 6 - 6 = 0
$$
Os vetores são linearmente dependentes.

B) $ B = \{ (1, 1), (-1, 0) \} $  
Calculando o determinante:
$$
\begin{vmatrix}
1 & -1 \
1 & 0
\end{vmatrix} = (1)(0) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1
$$
Os vetores são linearmente independentes.

C) $ B = \{ (1, 2), (2, 4) \} $  
Calculando o determinante:
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 \
2 & 4
\end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(2) = 4 - 4 = 0
$$
Os vetores são linearmente dependentes.

D) $ B = \{ (2, 3), (4, 6) \} $  
Calculando o determinante:
$$
\begin{vmatrix}
2 & 4 \
3 & 6
\end{vmatrix} = (2)(6) - (4)(3) = 12 - 12 = 0
$$
Os vetores são linearmente dependentes.

E) $ B = \{ (2, 1), (5, 10) \} $  
Calculando o determinante:
$$
\begin{vmatrix}
2 & 5 \
1 & 10
\end{vmatrix} = (2)(10) - (5)(1) = 20 - 5 = 15
$$
Os vetores são linearmente independentes.

Agora, analisando as alternativas, apenas as alternativas B e E têm vetores linearmente independentes. No entanto, a única alternativa que apresenta uma base no $ \mathbb{R}^2 $ é a alternativa B, pois ela contém dois vetores que são linearmente independentes e geram o espaço $ \mathbb{R}^2 $.

Portanto, a alternativa correta é: **B) $ B = \{ (1, 1), (-1, 0) \} $**.

Álgebra Linear

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