Gabarito da 3ª Lista

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Gabarito da Lista 3 – Aulas 6 e 7
Resumo dos conteu´dos da Sec¸a˜o 2.3
Alguns limites ba´sicos
Para a, b,∈ R e n ∈ N tem-se
L1. lim
x→a
b = b;
L2. lim
x→a
x = a;
L3. lim
x→a
xn = an;
L4. lim
x→a
n
√
x = n
√
a (se n par, suponha a > 0).
Propriedades de limite
Sejam a, k ∈ R, n ∈ N, f e g func¸o˜es tais que lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M.
Enta˜o
P1. Multiplicac¸a˜o por escalar: lim
x→a
k f(x) = k L;
P2. Soma ou diferenc¸a: lim
x→a
(f(x)± g(x)) = L±M ;
P3. Produto: lim
x→a
(f(x) g(x)) = LM ;
P4. Quociente: lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
, se M 6= 0;
P5. Poteˆncia: lim
x→a
(f(x))n = Ln;
Limites laterais
LL. lim
x→a
f(x) = L ⇔ lim
x→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x)
1
Resoluc¸a˜o das questo˜es 1, 2 e 3
Vamos resolver as questo˜es 1, 2 e 3 da lista de exerc´ıcios aplicando alguns resul-
tados da sec¸a˜o 2.3.
Soluc¸a˜o da questa˜o 1:
Sejam f(x) = 1 + 3x e g(x) = 1 + 4x2 + 3x4. Enta˜o,
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
1 + 3x = 1 + 3 lim
x→1
x; por L1, P1 e P2;
= 1+ 3.1 = 4; por L2;
lim
x→1
g(x) = lim
x→1
1 + 4x2 + 3x4 = 1+4 lim
x→1
x2+ 3 lim
x→1
x4; por L1, P1 e P2;
= 1 + 4.12 + 3.14 = 8; por L3.
Como lim
x→1
g(x) = 8 6= 0 temos que
lim
x→1
f(x)
g(x)
= lim
x→1
1− 3x
1 + 4x2 + 3x4
=
4
8
=
1
2
; por P4
e, logo,
lim
x→1
(
f(x)
g(x)
)3
=
(
lim
x→1
1− 3x
1 + 4x2 + 3x4
)3
=
(
1
2
)3
=
1
8
; por P5.
Soluc¸a˜o da questa˜o 2: Observe que, neste caso, na˜o podemos usar a propriedade
P5, pois lim
x→1
g(x) = lim
x→1
x − 1 = 0. Para resolvermos o limite vamos usar o seguinte
resultado enunciado na pa´gina 92 do Livro texto:
P. Se f(x) = g(x) para x 6= a enta˜o lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x), desde que o limite exista.
Para isto, observe que
2x2 + 2x− 4 = 2(x2 + x− 2) = 2(x− 1)(x+ 2),
e, logo,
2x2 + 2x− 4
x− 1 =
2(x2 + x− 2)
x− 1 =
2(x− 1)(x+ 2)
x− 1 . (1)
2
Mas, as func¸o˜es f(x) =
(x− 1)(x+ 2)
x− 1 e g(x) = x+ 2 sa˜o iguais ∀x exceto
x = 1 e lim
x→1
g(x) = lim
x→1
(x+ 2) = 3. Enta˜o, pela propriedade P tem-se
lim
x→1
(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = limx→1(x+ 2) = 3. (2)
Combinando (1) e (2) e aplicando a propriedade P1 obtemos
lim
x→1
2x2 + 2x− 4
x− 1 = limx→1
2(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = 2 limx→1
(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = 2 limx→1(x+2) = 2.3 = 6
Me´todo pra´tico:
lim
x→1
2x2 + 2x− 4
x− 1 = limx→1
2(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = 2 limx→1
(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = 2 limx→1(x+2) = 2.3 = 6
Soluc¸a˜o da questa˜o 3: observe que temos a mesma situac¸a˜o da questa˜o 2, pois
lim
x→1
g(x) = lim
x→1
x− 1 = 0. Para aplicar a propriedade P, observe que
√
x− 1
x− 1 =
(
√
x− 1)(√x+ 1)
(x− 1)(√x+ 1) =
x− 1
(x− 1)(√x+ 1) .
Logo, as func¸o˜es f(x) =
x− 1
(x− 1)(√x+ 1) e g(x) =
1√
x+ 1
sa˜o iguais ∀x exceto
x = 1. Ale´m disso, aplicando P2 e L4 temos que
lim
x→1
(
√
x+ 1) = lim
x→1
√
x+ 1 = 1 + 1 = 2.
Portanto, podemos aplicar a propriedade P4 para obter
lim
x→1
√
x− 1
x− 1 = limx→1
(
√
x− 1)(√x+ 1)
(x− 1)(√x+ 1) = limx→1
x− 1
(x− 1)(√x+ 1) = limx→1
1√
x+ 1
=
1
2
.
Me´todo pra´tico:
lim
x→1
√
x− 1
x− 1 = limx→1
(
√
x− 1)(√x+ 1)
(x− 1)(√x+ 1) = limx→1
x− 1
(x− 1)(√x+ 1) = limx→1
1√
x+ 1
=
1
2
.
3
Resumo dos conteu´dos da Sec¸a˜o 2.5
Definic¸a˜o de continuidade
Uma func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto a se lim
x→a
f(x) = f(a), ou seja,
i) a ∈ Df ;
ii) existe lim
x→a
f(x);
iii) lim
x→a
f(x) = f(a).
Continuidade de func¸o˜es polinomiais e racionais
C1. Se p(x) =
n∑
i=1
bi x
i e q(x) =
n∑
i=1
ci x
i sa˜o func¸o˜es polinomiais com bi, ci,∈ R,
1 ≤ i ≤ n, enta˜o p(x) e´ cont´ınua em R e p(x)
q(x)
e´ cont´ınua exceto para x tal que
q(x) = 0.
Logo, lim
x→a
p(x) = p(a) e lim
x→a
p(x)
q(x)
=
p(a)
q(a)
.
Continuidade de func¸o˜es trigonome´tricas
C2. As func¸o˜es cos(x) e sen(x) sa˜o cont´ınuas em R.
Logo, lim
x→a
cos(x) = cos(a) e
lim
x→a
sen(x) = sen(a).
Continuidade da exponencial e da logar´ıtmica
C3.A func¸a˜o ex e´ cont´ınua em R e a func¸a˜o ln(x) e´ cont´ınua em seu domı´nio.
Logo, lim
x→a
ex = ea e lim
x→a
ln(x) = ln(a).
4
Continuidade da composta
C4. Se g e´ cont´ınua em a e f e´ cont´ınua em g(a), enta˜o a composta f ◦ g e´
cont´ınua em a.
Resoluc¸a˜o das questo˜es 4, 5 e 6
Vamos resolver as questo˜es 4, 5 e 6 da lista de exerc´ıcios aplicando alguns resul-
tados da sec¸a˜o 2.5.
Soluc¸a˜o da questa˜o 4: Como a func¸a˜o f e´ dada por sentenc¸as, vamos usar o
resultado de limites laterais dado em LL. Assim,
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x3 = 0; por L3;
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
ex = e0 = 1; por C3.
E logo, lim
x→0+
f(x) 6= lim
x→0−
f(x) e por LL, ∄ lim
x→0
f(x). Portanto, pela definic¸a˜o de
continuidade, f e´ descont´ınua em a = 0.
Soluc¸a˜o da questa˜o 5: Note que e´ a mesma situac¸a˜o da questa˜o 4. Assim,
lim
r→R+
F (r) = lim
r→R+
GM
r2
= GM lim
r→R+
1
r2
=
GM
R2
; por P4;
lim
r→R−
F (r) = lim
r→R−
GM r
R3
=
GM
R3
lim
r→R−
r =
GM
R3
.R =
GM
R2
; por L2.
Logo, lim
r→R
F (r) = lim
r→R+
F (r) = lim
r→R−
F (r) =
GM
R2
e F (R) =
GM
R2
, portanto,
lim
r→R
F (r) = F (R) e F e´ cont´ınua em r = R
5
Nos outros pontos de r 6= R temos a continuidade pelas as propriedades
das func¸o˜es racionais.
Soluc¸a˜o da questa˜o 6(a): A func¸a˜o modular f(x) = |x| e´ cont´ınua em R.
De fato,
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x = 0; por L2;
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
−x = 0; por L2.
Logo, lim
x→0
|x| = lim
x→0+
|x| = lim
x→0−
|x| = 0 = |0|.
Soluc¸a˜o da questa˜o 6(b): Como g(x) = |x| e´ cont´ınua e f(x) tambe´m e´ cont´ınua
temos, pelo resultado C4, (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = |f(x)| e´ cont´ınua.
Como a func¸a˜o modular e´ polinomial antes e depois do 0, enta˜o ela e´ cont´ınua em
toda a reta real.
Soluc¸a˜o da questa˜o 6(c): Na˜o. Considere, por exemplo, a func¸a˜o descont´ınua
f(x) =


1 se x ≥ 0
−1 se x < 0
Enta˜o, |f(x)| = 1 e´ cont´ınua, mas f na˜o e´. Veja os gra´ficos.
f(x) |f(x)|
6