Álgebra Linear I - Exercícios

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UFCG/CCT/UAMAT PERÍODO 2023.1
DISCIPLINA: Álgebra Linear I TURNO: Manhã
PROFESSOR: DATA: 07/11/2023
ALUNO(A):
CURSO:
3o ESTÁGIO
1. Em cada item, faça o que é pedido, dando as devidas justificativas:
a) (1,0 ponto) Determine um conjunto gerador da imagem da transformação linear
T : M2(IR) −→ IR3, definida por T
(
x y
z t
)
= (−x+ y − z, 2x− y + z + t, x+ t).
b) (1,5 ponto) Determine a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem da transformação
linear T : M2(IR) −→ IR3 do item anterior.
c) (1,5 ponto) Considerando a base α = {(1, 1), (0, 1)} do IR2, determine [T ]αα e [T (1, 0)]α,
onde T : IR2 −→ IR2 é definido por T (x, y) = (5x− y, x+ 3y).
2. Considere as bases ordenadas α = {(1,−1), (0, 1)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} de
IR2 e IR3, respectivamente, e seja T : IR2 −→ IR3 a transformação linear tal que
[T ]αβ =
 1 0
1 1
0 −1
 .
a) (1,0 ponto) Encontre T (x, y).
b) (1,0 ponto) Encontre [T ◦ F ]αβ , onde F : IR2 −→ IR2 é o operador linear que satisfaz
F (1,−1) = (3,−3) e F (0, 1) = (0, 0).
3. Considere a aplicação T : IR2 −→ IR2, definida por T (x, y) = (x+ 3y, x+ 4y).
a) (1,0 ponto) Mostre que T é linear e que é um isomorfismo.
b) (1,0 ponto) Determine T−1(x, y).
4. Considere o operador linear T : IR3 −→ IR3, definido por
T (x, y, z) = (3x+ 2y, 2x+ 4z,−y + 3z).
a) (1,5 ponto) Determine os autovalores e os autoespaços de T .
b) (0,5 ponto) T é diagonalizável? Justifique.
BOA PROVA!
UFCG/CCT/UAMAT PERÍODO 2023.1
DISCIPLINA: Álgebra Linear I TURNO: Tarde
PROFESSOR: DATA: 07/11/2023
ALUNO(A):
CURSO:
3o ESTÁGIO
1. Em cada item, faça o que é pedido, dando as devidas justificativas:
a) (1,0 ponto) Determine (S ◦ T )(x, y), onde T : IR2 −→ IR3 e S : IR3 −→ M2(IR) são as
transformaçôes lineares dadas por T (1, 0) = (2, 0,−1), T (0, 1) = (0, 1, 1) e
S(x, y, z) =
(
x x+ 2z
x+ y 0
)
.
b) (1,5 ponto) Determine uma base da imagem e a dimensão do núcleo da transformação
linear S : IR3 −→ IR4, definida por S(x, y, z) = (2x, x+ y + z, 0, x− y − z).
c) (1,5 ponto) Considerando a base β = {(1, 3), (1, 4)} do IR2 e o operador linear
S : IR2 −→ IR2 definido por S(x, y) = (2x, 3x + y), determine [S]ββ e [v]β, sabendo
que v ∈ IR2 é tal que [S(v)]β =
(
−3
5
)
.
2. Considerando as bases ordenadas α = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e β = {(1, 3), (1, 4)} de
IR3 e IR2, respectivamente, e a transformação linear T : IR3 −→ IR2 tal que
[T ]αβ =
(
3 11 5
−1 −8 −3
)
, determine:
a) (1,0 ponto) T (x, y, z).
b) (1,0 ponto) [S ◦ T ]αβ , onde S : IR2 −→ IR2 é definido por S(x, y) = (2x, 3x+ y).
3. Considere a aplicação T : IR2 −→ IR2, definida por T (x, y) = (3x− 2y, x− y).
a) (1,0 ponto) Mostre que T é linear e que é um isomorfismo.
b) (1,0 ponto) Determine T−1(x, y).
4. Considere o operador linear T : IR3 −→ IR3, definido por
T (x, y, z) = (2z, 2x− 2y + 2z, 2x).
a) (1,5 ponto) Determine os autovalores e os autoespaços de T .
b) (0,5 ponto) T é diagonalizável? Justifique.
BOA PROVA!