Cálculo 2 Solução da Lista - plano tangente

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CÁLCULO II - 16a LISTA DE EXERCÍCIOS - SOLUÇÕES
Questão 1 Verifique que o ponto especificado realmente faz parte da superfície cuja equação está
sendo dada e determine uma equação para o plano tangente naquele ponto.
(a) z = 4x2 − y2 + 2y, ponto (−1, 2, 4)
RESP.
Verificando que o ponto está na superfície: z = f(−1, 2) = 4(−1)2 − 22 + 2.2 = 4
∂z
∂x
= 8x ⇒ ∂z
∂x
(−1, 2) = −8
∂z
∂y
= −2y + 2 ⇒ ∂z
∂y
(−1, 2) = −2
Equação do plano tangente: z − 4 = −8(x+ 1)− 2(y − 2) ⇒ 8x+ 2y + z = 0
(b) z = y lnx, ponto (e3, 2, 6)
RESP.
Verificando que o ponto está na superfície: z = f(e3, 2) = 2 ln(e3) = 6
∂z
∂x
=
y
x
⇒ ∂z
∂x
(e3, 2) =
2
e3
∂z
∂y
= ln x ⇒ ∂z
∂y
(e3, 2) = 3
Equação do plano tangente: z − 6 =
2
e3
(x− e3) + 3(y − 2) ⇒ − 2
e3
x− 3y + z = −2
(c) z = y cos(x− y), ponto (2, 2, 2)
RESP.
Verificando que o ponto está na superfície: z = f(2, 2) = 2 cos(2− 2) = 2
∂z
∂x
= −x sen(x− y) ⇒ ∂z
∂x
(2, 2) = 0
∂z
∂y
= x sen(x− y) + cos(x− y) ⇒ ∂z
∂y
(2, 2) = 1
Equação do plano tangente: z − 2 = 0(x− 2) + 1(y − 2) ⇒ −y + z = 0
Obs. Para testar os resultados podemos verificar se os pontos fornecidos realmente são soluções para
as equações dos planos tangentes. É uma conta simples que pode ser feita de cabeça.
Questão 2 Obtenha equações para os planos tangentes à superfície z = 2x2 + xy2 nos pontos
A = (1, 1, 3) e B = (−1, 2,−2).
RESP. É sempre recomendável verificar se os pontos fornecidos realmente estão na superfície. Esse
é o caso porque z(1, 1) = 2.12 +1.12 = 3 e z(−1, 2) = 2.(−1)2 + (−1).22 = −2. As derivadas parciais
e seus valores em cada ponto são:
zx(x, y) = 4x+ y2 ⇒
{
zx(1, 1) = 5
zx(−1, 2) = 0
zy(x, y) = 2xy ⇒
{
zy(1, 1) = 2
zy(−1, 2) = −4
Portanto o plano tangente á superfície no ponto A = (1, 1, 3) tem equação
z − 3 = 5(x− 1) + 2(y − 1) ⇒ 5x+ 2y − z = 4
e o plano tangente á superfície no ponto B = (−1, 2,−2) tem equação
z + 2 = 0(x+ 1)− 4(y − 2) ⇒ 4y + z = 6
Questão 3 Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto (0, 0).
(a) 2x+ 3
4y + 1
≈ 3 + 2x− 12y
RESP. Precisamos checar se a aproximação fornecida para f(x, y) no ponto (a, b) coincide com
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b). Para a função deste item temos
f(x, y) =
2x+ 3
4y + 1
⇒ f(0, 0) = 3
fx(x, y) =
2
4y + 1
⇒ fx(0, 0) = 2
fy(x, y) = −4(2x+ 3)
(4y + 1)2
⇒ fy(0, 0) = −12

⇒ L(x, y) = 3 + 2x− 12y
(b) y + cos2 x ≈ 1 + y
RESP.
f(x, y) = y + cos2 x ⇒ f(0, 0) = 1
fx(x, y) = −2 cos x senx ⇒ fx(0, 0) = 0
fy(x, y) = 1 ⇒ fy(0, 0) = 1
 ⇒ L(x, y) = 1 + y
Questão 4 Determine a aproximação linear da função f(x, y) =
√
20− x2 − 7y2 no ponto (2, 1)
e use-a para encontrar valores aproximados para f(1.95 , 1.08). Usando uma calculadora, obtenha
também o valor exato para f(1.95 , 1.08).
RESP.
f(x, y) =
√
20− x2 − 7y2 ⇒ f(2, 1) = 3
fx(x, y) = − x√
20− x2 − 7y2
⇒ fx(2, 1) = −2
3
fy(x, y) = − 7y√
20− x2 − 7y2
⇒ fy(2, 1) = −7
3

⇒
L(x, y) = 3− 2
3
(x− 2)− 7
3
(y − 1)
L(x, y) = −2
3
x− 7
3
y +
20
3
A aproximação linear é L(1.95, 1.08) = 2.8466 . . . e o valor exato é f(1.95, 1.08) = 2.8342 . . .
Questão 5 Determine a aproximação linear da função f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 no ponto (3, 2, 6)
e use-a para encontrar valores aproximados para
√
(3.02)2 + (1.97)2 + (5.99)2. Usando uma calcula-
dora, obtenha também o valor exato
RESP. Aqui o procedimento é o mesmo da questão anterior, com a diferença de agora tratarmos de
uma função de três variáveis.
f(x, y) =
√
x2 + y2 + z2 ⇒ f(3, 2, 6) = 7
fx(x, y, z) =
x√
x2 + y2 + z2
⇒ fx(3, 2, 6) =
3
7
fy(x, y, z) =
y√
x2 + y2 + z2
⇒ fy(3, 2, 6) =
2
7
fz(x, y, z) =
z√
x2 + y2 + z2
⇒ fz(3, 2, 6) =
6
7

⇒
L(x, y, z) = 7 +
3
7
(x− 3) +
2
7
(y − 2) +
6
7
(z − 6)
L(x, y, z) =
3
7
x+
2
7
y +
6
7
z
O valor aproximado é L(3.02, 1.97, 5.99) = 6.99142 . . . e o valor exato é f(3.02, 1.97, 5.99) = 6.99152 . . .
Questão 6 Explique porque a função é diferenciável no ponto indicado e encontre a linearização
L(x, y) naquele ponto.
(a) f(x, y) = x3y4, ponto (1, 4)
RESP. As derivadas parciais são fx(x, y) = 3x2y4 e fy(x, y) = 4x3y3. São polinômios e portanto
contínuas sobre todo IR2. Por esse motivo, f também é diferenciável sobre todo IR2. Avaliando
no ponto dado, obtemos f(1, 4) = 256, fx(1, 4) = 768 e fy(1, 4) = 256, de modo que
L(x, y) = 256 + 768(x− 1) + 256(y − 4) = 768x+ 256y − 1536
(b) f(x, y) = e−xy cos y, ponto (π, 0)
RESP. As derivadas parciais são fx(x, y) = −y e−xy cos y e fy(x, y) = −e−xy(x cos y+sen y). São
combinações de polinômios, exponenciais e funções trigonométricas e portanto contínuas sobre
todo IR2. Por esse motivo, f também é diferenciável sobre todo IR2. Avaliando no ponto dado,
obtemos f(π, 0) = 1, fx(π, 0) = 0 e fy(π, 0) = −π, de modo que
L(x, y) = 1 + 0(x− π)− π(y − 0) = −πy + 1
Questão 7 Determine a diferencial total das funções abaixo.
(a) z(x, y) = x3 ln(y2)
RESP. As derivadas parciais são zx(x, y) = 3x2 ln(y2) e zy(x, y) = 2yx3 1
y2
=
2x3
y
. Portanto, a
diferencial total é
dz = 3x2 ln(y2) dx+
2x3
y
dy
(b) w(x, y, z) =
x
1 + xyz
RESP. Aqui temos três variáveis independentes, mas o procedimento é o mesmo. As derivadas
parciais são wx(x, y) =
1
(1 + xyz)2
, wy(x, y) = − x2z
(1 + xyz)2
e wz(x, y) = − x2y
(1 + xyz)2
. Portanto,
a diferencial total é
dw =
1
(1 + xyz)2
dx− x2z
(1 + xyz)2
dy − x2y
(1 + xyz)2
dz
Questão 8 Se z = 5x2 + y2 e (x, y) varia de (3,−1) para (2.96,−0.95), obtenha e compare os
valores de ∆z e dz.
RESP. ∆z é a variação total de z. Portanto
∆z = z(2.96,−0.95)− z(3,−1)
= [5(2.96)2 + (−0.95)2]− [5(3)2 + (−1)2]
= 44.7105− 46 = -1.2895
Por outro lado (atenção para a definição de dx e dy como valor final menos valor inicial e para o
cálculo das derivadas parciais no ponto inicial),
dz = zx(x, y) dx+ zy(x, y) dy
= 10x dx+ 2y.dy
= 10(3)(2.96− 3) + 2(−1)[−0.95− (−1)] = -1.1
Questão 9 O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm,
respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0.1 cm. Utilize diferenciais para estimar o
erro máximo cometido no cálculo da área desse retângulo.
RESP. Denotamos a largura L = 24 cm e o comprimento C = 30 cm. As diferenciais dL e dC serão
as incertezas em cada medida: dL = dC = 0.1 cm Temos que a área é o produto
A = LC = (24).(30) = 720 cm2.
O erro máximo cometido é
dA =
∂A
∂L
dL+
∂A
∂C
dC
= C dL+ LdC
= 30(0.1) + 24(0.1) = 5.4 cm2
Assim, podemos escrever A = (720± 5.4) cm2 .