Cálculo Diferencial e Integral II

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MA72A (turma S23) - Cálculo Diferencial e Integral II - 1o. sem. 2015
Professor Rodolfo Begiato - begiato@utfpr.edu.br - http://paginapessoal.utfpr.edu.br/begiato
AVALIAÇÃO DE RECUPERAÇÃO
Todas as respostas nos exercícios abaixo devem ser justificadas.
Respostas sem justificativas não serão aceitas.
Aparelhos eletrônicos de qualquer tipo, incluindo telefones celulares,
devem ser mantidos desligados durante a realização da prova.
1. Considere a seguinte função vetorial:
F (t) =
(
1
t2 − 4
, ln(t− 1), 2t3
)
(a) (0,5 ponto) É possível determinar lim
t→2
F (t)? Justi�que a sua resposta.
(b) (0,5 ponto) Encontre F ′(t).
(c) (1 ponto) Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva determinada
por F quando t = 3.
2. Considere f(x, y) = x
x2−y2 :
(a) (0.5 ponto) Determine e esboce o domínio de f .
(b) (0.5 ponto) Determine e esboce a imagem de f .
(c) (1 ponto) Calcule as derivadas parciais de 1a. ordem de f .
(d) (0.5 ponto) O que podemos dizer sobre a diferenciabilidade de f?
(e) (0.5 ponto) Calcule o gradiente de f no ponto (0, 1).
(f) (0.5 ponto) Calcule a derivada direcional f no ponto (0, 1) na direção
(√
2
2
,
−
√
2
2
)
.
(g) (1 ponto) Determine a equação do plano tangente ao grá�co de f no ponto (0, 1, 0).
3. (4 pontos) Escolha dois dos três problemas abaixo para resolver:
(a) Esboce a região cuja área é dada pela integral
∫ 3π/2
π/4
∫ 3
2
rdrdθ.
(b) Encontre o volume do sólido limitado por x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, z = x e y2 = 2− x.
(c) Calcule
∫∫∫
S
z dx dy dz, onde S é a parte da esfera de centro na origem e raio 3 tal que
x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0;